Objetivo

Calcular probabilidades con variables aleatorias discretas y con variables aleatorias continuas con distribución uniforme

Desarrollo

Cargar librerías

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(gtools)
library(knitr)
library(cowplot) # Gráficas mismo renglones

options(scipen = 999) # Notación normal

Ejercicios con variables discretas

Tirar dos dados

Construir tabla de distribución

dado <- c(1,2,3,4,5,6)

lanzar_dados <- data.frame(permutations(n=6, r = 2, v = dado, repeats.allowed = TRUE))

names(lanzar_dados) <- c("dado1", "dado2")

lanzar_dados <- cbind(lanzar_dados, suma = apply(X = lanzar_dados, MARGIN = 1, FUN = sum))

lanzar_dados
##    dado1 dado2 suma
## 1      1     1    2
## 2      1     2    3
## 3      1     3    4
## 4      1     4    5
## 5      1     5    6
## 6      1     6    7
## 7      2     1    3
## 8      2     2    4
## 9      2     3    5
## 10     2     4    6
## 11     2     5    7
## 12     2     6    8
## 13     3     1    4
## 14     3     2    5
## 15     3     3    6
## 16     3     4    7
## 17     3     5    8
## 18     3     6    9
## 19     4     1    5
## 20     4     2    6
## 21     4     3    7
## 22     4     4    8
## 23     4     5    9
## 24     4     6   10
## 25     5     1    6
## 26     5     2    7
## 27     5     3    8
## 28     5     4    9
## 29     5     5   10
## 30     5     6   11
## 31     6     1    7
## 32     6     2    8
## 33     6     3    9
## 34     6     4   10
## 35     6     5   11
## 36     6     6   12

Contar frecuencias de las sumas

tabla <- lanzar_dados %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 

tabla <-  data.frame(tabla)

Tabla con nombres de x’s

colnames(tabla) <- c('x', 'casos')
tabla
##     x casos
## 1   2     1
## 2   3     2
## 3   4     3
## 4   5     4
## 5   6     5
## 6   7     6
## 7   8     5
## 8   9     4
## 9  10     3
## 10 11     2
## 11 12     1

Tabla con probabilidades

n <- sum(tabla$casos)
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))


tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))


tabla
##     x casos f.prob f.acum
## 1   2     1 0.0278 0.0278
## 2   3     2 0.0556 0.0834
## 3   4     3 0.0833 0.1667
## 4   5     4 0.1111 0.2778
## 5   6     5 0.1389 0.4167
## 6   7     6 0.1667 0.5834
## 7   8     5 0.1389 0.7223
## 8   9     4 0.1111 0.8334
## 9  10     3 0.0833 0.9167
## 10 11     2 0.0556 0.9723
## 11 12     1 0.0278 1.0001

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 

gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')

gacumulada

Calcular probabilidades

Función para calcular probabilidades
# Llamar la función o cargar el archivo en donde estpa la función

source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/funciones.para.distribuciones.r")
P(x = 3)

\(P(f(x=3))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 3

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 3, tipo = 0)
##   f.prob
## 1 0.0556
P(x = 7)

\(P(f(x=7))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 7

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 0)
##   f.prob
## 1 0.1667
P(x >= 7)

\(P(F(x \ge7))\)

La probabilidad cuando x sea mayor o igual a 7 \(1 - P(F(X=6)) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 4)
##   f.acum
## 1 0.5833
P(x <= 5)

\(P(F(x \le 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor o igual a 5

\(P(F(X\le5)) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 3)
##   f.acum
## 1 0.2778
P(x > 5)

\(P(F(x < 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor a 5

\(P(F(X > 5)) = P(6) + P(7) + P(8) ... P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 2)
##   f.acum
## 1 0.7222

Estudiantes y oferta de empleo

Tres estudiantes agendan entrevistas para un empleo de verano en el Brookwood Institute. En cada caso el resultado de la entrevista será una oferta de trabajo o ninguna oferta. Los resultados experimentales se definen en términos de los resultados de las tres entrevistas. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

  • Enumere los resultados experimentales.

  • Defina una variable aleatoria que represente el número de ofertas de trabajo. ¿Es una variable aleatoria discreta o continua?

  • Dé el valor de la variable aleatoria que corresponde a cada uno de los resultados experimentales. (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

    resultado <- c(1,0) # 1 Si le ofrecen, 0 No le ofrecen
S <- permutations(resultado, n = 2, r = 3, repeats.allowed = TRUE)

S <- data.frame(S)
colnames(S) <- c("of1", "of2", "of3")
S
    ##   of1 of2 of3
## 1   0   0   0
## 2   0   0   1
## 3   0   1   0
## 4   0   1   1
## 5   1   0   0
## 6   1   0   1
## 7   1   1   0
## 8   1   1   1

Son ocho resultados experimentales que presenta el espacio muestral.

La variable aleatoria es \(x=0\) a ninguno se le ofrece empleo, \(x=1\) a uno de ellos se le ofrece empleo, \(x=2\) a dos de ellos se le ofrece empleo y \(x=3\) a los tres se les ofrece empleo.

Es una variable aleatoria discreta con valores en \(x\) de \(0\) a \(3\).

Tabla de probabilidades con x’s prob y acumulado

Sumando las ofertas

S <- S %>%
    mutate(suma = of1 + of2 + of3)

S
##   of1 of2 of3 suma
## 1   0   0   0    0
## 2   0   0   1    1
## 3   0   1   0    1
## 4   0   1   1    2
## 5   1   0   0    1
## 6   1   0   1    2
## 7   1   1   0    2
## 8   1   1   1    3
# El valor de n
n <- nrow(S)

Construir la tabla

tabla <- S %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 

tabla <- data.frame(tabla)

colnames(tabla) <- c("x", "casos")


n <- sum(tabla$casos)

tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))


tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))


tabla
##   x casos f.prob f.acum
## 1 0     1  0.125  0.125
## 2 1     3  0.375  0.500
## 3 2     3  0.375  0.875
## 4 3     1  0.125  1.000

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 

gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')

gacumulada

Calcular probabilidades

P(x=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos estudiantes? \(P(f(x = 2))\).

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 0)
##   f.prob
## 1  0.375
P(x>=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos o mas estudiantes? \[ P(x \ge 2) = P(2) + P(3) + P(4) \]

\[ P(x \ge 2) = 1 - F(x=1) \]

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 4)
##   f.acum
## 1    0.5

Ejercicios con variables continuas y distribución uniforme

Espera de autobús

Un autobús para por cierta parada cada 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que llega en un momento dado tenga que esperar el autobús mas de cinco minutos?

¿Cual es la densidad?

Es la altura, es decir para cualquier valor desde 0 a 15 la densidad es la misma. \(0.0666 …\) ó \(\frac{1}{15}\) con estos valores mínimos y máximos de \(0, 15\) respectivamente.

Entonces la densidad para una distribución uniforme puede obtenerse mediante función dunif() o mediante la fórmula \(\frac{1}{b-a)}\) siempre y cuando se identifiquen y se tengan los valores del intervalo mínimo \(a\) y máximo \(b\).

dens <- dunif(x = 0:15, min = 0, max = 15)
dens
##  [1] 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667
##  [7] 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667
## [13] 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667

\(P(x > 5\)

Para calcular la probabilidad puede hacerse calculando el área que representa el intervalo cuya base es desde 5 a 15 es decir, 10 y multiplicada por la altura o la densidad \(\frac{1}{15}\). O se puede encontrar mediante la función punif() de probabilidad de distribución uniforme.

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura
## [1] 0.06666667
base <- 10

area <- base * altura
area
## [1] 0.6666667
paste("La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de ", round(area * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de  66.67 %"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x>5) \]

x = 5
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1
## [1] 0.3333333
prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2
## [1] 0.6666667
prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3
## [1] 0.6666667
paste("La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de ", round(prob3 * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de  66.67 %"

\(P(x < 2\))

¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere un tiempo menor que 2 minutos?

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura
## [1] 0.06666667
base <- 2

area <- base * altura
area
## [1] 0.1333333
paste("La probabilidad de esperar menos de 2 minutos es de ", round(area * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de esperar menos de 2 minutos es de  13.33 %"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x<=2) \]

x = 2
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1
## [1] 0.1333333
prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2
## [1] 0.8666667
prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3
## [1] 0.8666667
paste("La probabilidad de esperar menos de 2 minutosminutos es de ", round(prob1 * 100, 2), "%")
## [1] "La probabilidad de esperar menos de 2 minutosminutos es de  13.33 %"

Interpretación

El primer ejercicio trata de una distribución de variables discretas de las permutaciones de los valores al lanzar dos dados y la probabilidad de que la suma sea tal valor. Podemos observar una frecuencia mayor en el valor de 7 con una probabilidad de 0.1667.

La probabilidad de que el valor sea menor o igual a 7 es del 0.58.

La probabilidad de que el valor sea menor o igual a 5 es del 0.2778

La probabilidad de que sea mayor a 5 es del 0.7222.

El segundo ejercicio trata de las permutaciones de tres variables discretas, 0 y 1. En total se presentan 8 permutaciones. La frecuencia máxima se encuentra entre los valores de contratar 1 y 2 estudiantes, ambos con una probabilidad del 0.375.

La probabilidad de que se les ofrezca trabajo a dos o más estudiantes del 0.5.

El tercer ejercicio trata del tiempo de espera de un autobús que pasa por cierta parada cada 15 minutos. Por lo que el tiempo de espera va desde los 0 hasta los 15 minutos. Esta es representada por una distribución uniforme. Su densidad es de 0.06666666 o de 1/15.

La probabilidad de que se tengan que esperar 5 o mas minutos, se determina el intervalo (10) y lo multiplicamos por la densidad (1/15), lo que es lo mismo que multiplicar la base ´por la altura de un rectángulo. La probabilidad es del 0.666667 o 1/3.

La probabilidad de que la espera se de 2 minutos o menos es del 0.13333.

Bibliografía

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.