Analisis de correlación

El analisis de correlación es un procedimiento estadistico con el que se determina si dos variables pueden relacionarse, y como resultado nos da un coeficiente de correlación que toma valores de entre -1 y 1.

Nuestro analisis quedaría así:

round(cor(x = datos, method = "pearson"), 3)

##                habitantes ingresos analfabetismo esp_vida asesinatos
## habitantes          1.000    0.208         0.108   -0.068      0.344
## ingresos            0.208    1.000        -0.437    0.340     -0.230
## analfabetismo       0.108   -0.437         1.000   -0.588      0.703
## esp_vida           -0.068    0.340        -0.588    1.000     -0.781
## asesinatos          0.344   -0.230         0.703   -0.781      1.000
## universitarios     -0.098    0.620        -0.657    0.582     -0.488
## heladas            -0.332    0.226        -0.672    0.262     -0.539
## area                0.023    0.363         0.077   -0.107      0.228
## densidad_pobl       0.246    0.330         0.009    0.091     -0.185
##                universitarios heladas   area densidad_pobl
## habitantes             -0.098  -0.332  0.023         0.246
## ingresos                0.620   0.226  0.363         0.330
## analfabetismo          -0.657  -0.672  0.077         0.009
## esp_vida                0.582   0.262 -0.107         0.091
## asesinatos             -0.488  -0.539  0.228        -0.185
## universitarios          1.000   0.367  0.334        -0.088
## heladas                 0.367   1.000  0.059         0.002
## area                    0.334   0.059  1.000        -0.341
## densidad_pobl          -0.088   0.002 -0.341         1.000

Analisis con histogramas.

Un histograma representa como es la distribución de los datos de una sóla categoría.

multi.hist(x = datos, dcol = c("red", "green"), dlty = c("dotted", "solid"))

Analisis de dispersión.

Es una técnica de modelado estadistico que describe una variable como una o varias funciones.

ggpairs(datos, lower = list(continuous = "smooth", diag = list(continuous = "barDiag"), axisLabels = "none"))

Con los analisis que hemos realizado podemos dar las siguiente conclusiones por el momento:

• Las variables que tienen una mayor relación lineal con la esperanza de vida son: asesinatos (r= -0.78), analfabetismo (r= -0.59) y universitarios (r= 0.58).

• Asesinatos y analfabetismo están medianamente correlacionados (r = 0.7) por lo que posiblemente no sea útil introducir ambos predictores en el modelo.

• Las variables habitantes, área y densidad poblacional muestran una distribución exponencial, una transformación logarítmica posiblemente haría más normal su distribución.

Generar modelos

Utilizaremos un método en el que utilizaremos todas las variable como predictores, realizando la selección de los predictores con la medición Akaike (AIC).

Gráfica del modelo.

plot(datos$asesinatos, datos$esp_vida)
abline(modelo)

Modelo de regresión lineal.

Aquí vamos a evaluar algunas variables predictoras para ver cuantas de estas influyen tanto positiva como negativamente en la esperanza de vida.

modelo2 <- lm(esp_vida ~ habitantes + ingresos + analfabetismo + asesinatos + universitarios + heladas + area + densidad_pobl, data = datos )
summary(modelo2) 

## 
## Call:
## lm(formula = esp_vida ~ habitantes + ingresos + analfabetismo + 
##     asesinatos + universitarios + heladas + area + densidad_pobl, 
##     data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.47514 -0.45887 -0.06352  0.59362  1.21823 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     6.995e+01  1.843e+00  37.956  < 2e-16 ***
## habitantes      6.480e-05  3.001e-05   2.159   0.0367 *  
## ingresos        2.701e-04  3.087e-04   0.875   0.3867    
## analfabetismo   3.029e-01  4.024e-01   0.753   0.4559    
## asesinatos     -3.286e-01  4.941e-02  -6.652 5.12e-08 ***
## universitarios  4.291e-02  2.332e-02   1.840   0.0730 .  
## heladas        -4.580e-03  3.189e-03  -1.436   0.1585    
## area           -1.558e-06  1.914e-06  -0.814   0.4205    
## densidad_pobl  -1.105e-03  7.312e-04  -1.511   0.1385    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.7337 on 41 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7501, Adjusted R-squared:  0.7013 
## F-statistic: 15.38 on 8 and 41 DF,  p-value: 3.787e-10

Con todas las variables introducidas como predictores, el modelo tiene un R2 alta (0.7501), es capaz de explicar el 75,01% de la variabilidad observada en la esperanza de vida. El p-value del modelo es significativo (3.787e-10) por lo que se puede aceptar que el modelo no es por azar, al menos uno de los coeficientes parciales de regresión es distinto de 0.

Mejores predictores.

step(object = modelo2, direction="both", trace = 1)

## Start:  AIC=-22.89
## esp_vida ~ habitantes + ingresos + analfabetismo + asesinatos + 
##     universitarios + heladas + area + densidad_pobl
## 
##                  Df Sum of Sq    RSS     AIC
## - analfabetismo   1    0.3050 22.373 -24.208
## - area            1    0.3564 22.425 -24.093
## - ingresos        1    0.4120 22.480 -23.969
## <none>                        22.068 -22.894
## - heladas         1    1.1102 23.178 -22.440
## - densidad_pobl   1    1.2288 23.297 -22.185
## - universitarios  1    1.8225 23.891 -20.926
## - habitantes      1    2.5095 24.578 -19.509
## - asesinatos      1   23.8173 45.886  11.707
## 
## Step:  AIC=-24.21
## esp_vida ~ habitantes + ingresos + asesinatos + universitarios + 
##     heladas + area + densidad_pobl
## 
##                  Df Sum of Sq    RSS     AIC
## - area            1    0.1427 22.516 -25.890
## - ingresos        1    0.2316 22.605 -25.693
## <none>                        22.373 -24.208
## - densidad_pobl   1    0.9286 23.302 -24.174
## - universitarios  1    1.5218 23.895 -22.918
## + analfabetismo   1    0.3050 22.068 -22.894
## - habitantes      1    2.2047 24.578 -21.509
## - heladas         1    3.1324 25.506 -19.656
## - asesinatos      1   26.7071 49.080  13.072
## 
## Step:  AIC=-25.89
## esp_vida ~ habitantes + ingresos + asesinatos + universitarios + 
##     heladas + densidad_pobl
## 
##                  Df Sum of Sq    RSS     AIC
## - ingresos        1     0.132 22.648 -27.598
## - densidad_pobl   1     0.786 23.302 -26.174
## <none>                        22.516 -25.890
## - universitarios  1     1.424 23.940 -24.824
## + area            1     0.143 22.373 -24.208
## + analfabetismo   1     0.091 22.425 -24.093
## - habitantes      1     2.332 24.848 -22.962
## - heladas         1     3.304 25.820 -21.043
## - asesinatos      1    32.779 55.295  17.033
## 
## Step:  AIC=-27.6
## esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios + heladas + 
##     densidad_pobl
## 
##                  Df Sum of Sq    RSS     AIC
## - densidad_pobl   1     0.660 23.308 -28.161
## <none>                        22.648 -27.598
## + ingresos        1     0.132 22.516 -25.890
## + analfabetismo   1     0.061 22.587 -25.732
## + area            1     0.043 22.605 -25.693
## - habitantes      1     2.659 25.307 -24.046
## - heladas         1     3.179 25.827 -23.030
## - universitarios  1     3.966 26.614 -21.529
## - asesinatos      1    33.626 56.274  15.910
## 
## Step:  AIC=-28.16
## esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios + heladas
## 
##                  Df Sum of Sq    RSS     AIC
## <none>                        23.308 -28.161
## + densidad_pobl   1     0.660 22.648 -27.598
## + ingresos        1     0.006 23.302 -26.174
## + analfabetismo   1     0.004 23.304 -26.170
## + area            1     0.001 23.307 -26.163
## - habitantes      1     2.064 25.372 -25.920
## - heladas         1     3.122 26.430 -23.877
## - universitarios  1     5.112 28.420 -20.246
## - asesinatos      1    34.816 58.124  15.528

## 
## Call:
## lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios + 
##     heladas, data = datos)
## 
## Coefficients:
##    (Intercept)      habitantes      asesinatos  universitarios         heladas  
##      7.103e+01       5.014e-05      -3.001e-01       4.658e-02      -5.943e-03

Gracias al final de este proceso (AIC) tenemos que el mejor modelo es:

modelo3 <- (lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios +
              heladas, data = datos))
summary(modelo3)

## 
## Call:
## lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios + 
##     heladas, data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.47095 -0.53464 -0.03701  0.57621  1.50683 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     7.103e+01  9.529e-01  74.542  < 2e-16 ***
## habitantes      5.014e-05  2.512e-05   1.996  0.05201 .  
## asesinatos     -3.001e-01  3.661e-02  -8.199 1.77e-10 ***
## universitarios  4.658e-02  1.483e-02   3.142  0.00297 ** 
## heladas        -5.943e-03  2.421e-03  -2.455  0.01802 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.7197 on 45 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.736,  Adjusted R-squared:  0.7126 
## F-statistic: 31.37 on 4 and 45 DF,  p-value: 1.696e-12

Intervalos de confianza para cada coeficiente.

confint(lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios +  heladas, data = datos))

##                        2.5 %        97.5 %
## (Intercept)     6.910798e+01 72.9462729104
## habitantes     -4.543308e-07  0.0001007343
## asesinatos     -3.738840e-01 -0.2264135705
## universitarios  1.671901e-02  0.0764454870
## heladas        -1.081918e-02 -0.0010673977

Analisis residuales.

plot1 <- ggplot(data = datos, aes(habitantes, modelo$residuals)) +
    geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
    theme_bw()
plot2 <- ggplot(data = datos, aes(asesinatos, modelo$residuals)) +
    geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
    theme_bw()
plot3 <- ggplot(data = datos, aes(universitarios, modelo$residuals)) +
    geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
    theme_bw()
plot4 <- ggplot(data = datos, aes(heladas, modelo$residuals)) +
    geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
    theme_bw()
grid.arrange(plot1, plot2, plot3, plot4)

## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'

En la grafica de habitantes los datos se agrupan a la izquierda entre 0 y 5000, mientras que los asesinatos se encuentran agrupados entre Y -1 y 1, los universitarios cuenta con una concentracion entre 50 y 60, y las heladas estan dispersas.

Distribución normal de residuos.

qqnorm(modelo3$residuals)
qqline(modelo3$residuals)

Prueba de Shapiro-Wilk.

shapiro.test(modelo$residuals)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.98431, p-value = 0.7416

Ambos, el modelo grafico y el la prueba de hipotesis confirman una normalidad.

Variabilidad constante de los residuos (homocedasticidad).

Cuando se representan los residuos frente a los valores ajustados por el modelo, los residuos se tienen que distribuir de forma aleatoria en torno a cero, manteniendo aproximadamente la misma variabilidad a lo largo del eje X.

corrplot(cor(dplyr::select(datos, habitantes,asesinatos,universitarios,heladas,esp_vida)),
         method = "number", tl.col = "black")