Unidade VIII - Funções - continuação

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Funções - continuação

Inequações de 1º grau

Exemplo 19: Resolva a inequação: \(5x-1 > 3x+5\). Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}\).

Passo a passo Deve-se isolar o \(x\) na inequação: \[\begin{eqnarray*} 5x-1 &>& 3x+5 \\ \Rightarrow 5x - 3x &>& 5+1 \\ \Rightarrow 2x &>& 6 \\ \Rightarrow x&>&3. \end{eqnarray*}\] Intepretação gráfica Consiste em fazer o estudo de sinal da função \(f(x)=2x-6\). O gráfico está na figura 1.

Exemplo 20: Resolva a inequação: \(2x+1 \leq 4x+6\). Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -\frac{5}{2}\}\).

Passo a passo \[\begin{eqnarray*} 2x+1 &\leq& 4x+6 \\ \Rightarrow 2x - 4x &\leq& 6-1 \\ \Rightarrow -2x &\leq& 5 \\ \Rightarrow x &\geq& -\frac{5}{2}. \end{eqnarray*}\]

Inequações de 1º grau simultâneas

Exemplo 21:
Resolva a inequação: \(-1 < 2x-3 \leq x\). Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x \leq 3 \}\).
Passo I) Resolva a inequação do lado esquerdo: \[\begin{eqnarray*} -1 &<& 2x-3\\ \Rightarrow 2 &<& 2 x\\ \Rightarrow 1 &<& x, \text{}{}{}\text{}{}{} \text{donde lê-se: "x é maior do que 1"}; \end{eqnarray*}\] Passo II) Resolva a inequação do lado direito: \[\begin{eqnarray*} 2x-3 &\leq& x\\ \Rightarrow x &\leq& 3. \end{eqnarray*}\]

Exercícios - continuação

• 16 Resolva as inequações:
  • 1. \(-3 < 2x+1 < 5\);
  • 2. \(-2 \leq 3x+7 < 4x\);
  • 3. \(x \leq -x+2 \leq x+3\);
  • 4. \(-x+3 < x+1 \leq 2x\).

Inequações produto

Exemplo 22: Determine o conjunto solução da inequação produto \((-3x + 6)(5x-7)<0\).
Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid x < \frac{7}{5} \text{ ou } x>2\}\).
Passo I) Faça o estudo de sinal da função \(f(x)=-3x + 6\). \[\begin{eqnarray*} f(x)&=&0 \text{ quando } x =2 \mbox{(raiz)};\\ f(x)&>&0 \text{ quando } x <2;\\ f(x)&<&0 \text{ quando } x >2. \end{eqnarray*}\]

Passo II) Faça o estudo de sinal da função \(g(x)=5x-7\). \[\begin{eqnarray*} g(x)&=&0 \text{ quando } x =\frac{7}{5} \mbox{(raiz)};\\ g(x)&>&0 \text{ quando } x > \frac{7}{5};\\ g(x)&<&0 \text{ quando } x < \frac{7}{5}. \end{eqnarray*}\]

Passo III) O que acontece com o produto \(f(x) \times g(x)\)? \[\begin{eqnarray*} f(x) \times g(x) &=& 0 \text{ quando } x=2 \text{ ou } x=\frac{7}{5};\\ f(x) \times g(x) &>& 0 \text{ quando } \frac{7}{5} < x < 2;\\ f(x) \times g(x) &<& 0 \text{ quando } x < \frac{7}{5} \text{ ou } x > 2. \end{eqnarray*}\]

Intepretação gráfica A figura 2 mostra os gráficos das funções \(f(x)\) e \(g(x)\) e o esquema de estudo de sinal.

Figura 1: Inequação produto. a) Gráficos das funções \(f(x)=-3x + 6\) e \(g(x)=5x-7\); b) Esquema de estudo de sinal.

Exemplo 23: Determine o conjunto solução da inequação: \((x-4)(x+2)\geq 0\).

Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -2 \text{ ou } x \geq 4\}\).

• Passo I) Estudo de sinal de \(f(x)=x-4\)\ \[ f(x)=0 \text{ se } x = 4, \\ f(x)>0 \text{ se }x > 4 \\ f(x)<0 \text{ se } x < 4 \]

• Passo II) Estudo de sinal de \(g(x)=x+2\) \[ g(x)=0 \text{ se } x=-2, \\ g(x)>0 \text{ se } x > -2 \\ g(x)<0 \text{ se } x < -2. \]

• Passo III) Estudo de sinal de \(f(x).g(x)=(x-4)(x+2)\) \[ f(x).g(x) = 0 \text{ se } x=4 \text{ ou } x=-2; \\ f(x).g(x) > 0 \text{ se } x<-2 \text{ ou } x>2;\\ f(x).g(x) < 0 \text{ se } -2 < x < 4 \]

Inequação produto. a) Gráficos das funções \(f(x)=-3x + 6\) e \(g(x)=5x-7\); b) Esquema de estudo de sinal.

Exemplo 24: Determine o conjunto solução da inequação: \((x+2)(x-1)(-x+2)<0\).

Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x < 1 \text{ ou } x > 2\}\).
Passo I) \(f(x)=x+2\) é uma função crescente.

\[ \begin{array}{c} f(x)=0 &\text{ para }& x=-2 \mbox{ (raiz)};\\ f(x)>0 &\text{ para }& x>-2;\\ f(x)<0 &\text{ para }& x<-2. \end{array} \]

Passo II) \(g(x)=x-1\) é uma função crescente.

\[ \begin{array}{c} g(x)=0 &\text{ para }& x=1 \mbox{(raiz)};\\ g(x)>0 &\text{ para }& x>1;\\ g(x)<0 &\text{ para }& x<1. \end{array} \]

Passo III) \(h(x)=-x+2\) é uma função decrescente.

\[ \begin{array}{c} h(x)=0 &\text{ para }& x=2 \mbox{ (raiz)};\\ h(x)>0 &\text{ para }& x<2;\\ h(x)<0 &\text{ para }& x>2. \end{array} \]

A figura abaixo mostra os gráficos das funções \(f(x)\), \(g(x)\) e \(h(x)\) e o esquema de estudo de sinal para responder à questão.

Inequação produto. a) Gráficos das funções \(f(x)=x+2\), \(g(x)=x-1\) e \(h(x)=-x+2\); b) Esquema de estudo de sinal.

Exercícios - continuação

• 17. Resolva a inequação \(\frac{x-1}{x-3}\geq 0\).
• 18. Resolva a inequação \(\frac{2x+1}{x-2}> 10\).

Fatoração de uma função de segundo grau

Exemplo 25: Seja a função quadrática \(f(x)=x^2-7x+10\).

1. Escreva esta função na forma fatorada: como um produto de duas funções de primeiro grau. Resp. \(f(x)=(x-5)(x-2)\).
   Descrição do método
   Uma função de segundo grau \(f(x)\) escrita em sua forma fatorada deve ser \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), onde \(a\) é o coeficiente que acompanha o termo \(x^2\) e \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da função, que podem ser obtidas pela formula de Bhaskara.

2. Faça o estudo de sinal da função. Resp. Como a parábola é voltada para cima (\(a>0\)):

• \(f(x)=0\) se \(x=5\) ou \(x=2\);
• \(f(x)>0\) se \(x<2\) ou \(x>5\);
• \(f(x)<0\) se \(2 < x <5\).

3. Tarefa Faça o gráfico da função e o estudo de sinal a partir do gráfico.

Dica Algumas vezes conseguimos fatorar uma função de segundo grau sem ter que recorrer à fórmula de Bhaskara, como por exemplo, nos produtos notáveis abaixo.

1. \(f(x)=x^2-1=(x+1)(x-1)\) ou também \(g(x)=x^2-4=(x+2)(x-2)\),
   donde \(f(x)\) tem duas raízes: \(-1\) e \(1\), e o intercepto é igual a \(-1\),
   e \(g(x)\) tem duas raízes \(-2\) e \(2\), e o intercepto é igual a \(-4\);
2. \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\), ou também \(g(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\),
   donde \(f(x)\) tem uma raíz: \(-1\), e o intercepto é igual a \(1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz: \(-2\), e o intercepto é igual a 4;
3. \(f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\), ou também \(g(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\),
   donde \(f(x)\) tem uma raíz: \(1\), e o intercepto é igual a \(1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz: \(2\), e o intercepto é igual a \(4\).

Dica A fatoração da função de segundo grau nos auxilia a:

• Encontrar os zeros (ou raízes) da função;
• Fazer o estudo de sinal da função, mesmo sem conhecer o seu gráfico.

Dica 2 Também podemos fatorar uma função cúbica, como nos casos abaixo:

1. \(f(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3\), e \(g(x)=x^3+6x^2+12x+8=x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3=(x+2)^3\),
   donde \(-1\) é o zero da função \(f(x)\), e o intercepto é igual a \(1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz:\(-2\), e o intercepto é igual a \(8\);
2. \(f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\), e \(g(x)=x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3\),
   donde \(f(x)\) tem uma raíz: \(1\), e o intercepto é igual a \(-1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz: \(2\), e o intercepto é igual a \(-8\).

Tarefa Faça o estudo de sinal das funções \(f(x)\) e \(g(x)\) nos itens “a)” e “b)”.

Função quadrática ou função de \(2º\) grau

Função quadrática ou função de 2º grau é qualquer função do tipo \(ax^2+bx+c, \text{ com } a, b \text{ e } c \in \mathbb{R}, \text{ e } a \ne 0\).

\(\checkmark\) \(a\), \(b\) e \(c\) são os coeficientes da função e o seu gráfico é uma parábola;
\(\checkmark\) O valor de \(a\) determina a concavidade da parábola: Se \(a>0\) a parábola é voltada para cima, caso contrário a parábola é voltada para baixo;
\(\checkmark\) \(b\) é o intercepto: o valor de \(b\) determina o ponto onde a parábola intercepta o eixo \(y\);
\(\checkmark\) O conjunto domínio é: \(D=\mathbb{R}\);
\(\checkmark\) O conjunto imagem é um subconjunto de \(\mathbb{R}\): para determiná-lo é preciso encontrar o ponto de máximo da função (quando a parábola é voltada para baixo) ou o ponto de mínimo da função (quando a parábola é voltada para cima);
\(\checkmark\) A função não é injetora e não é sobrejetora. Tarefa: Justificar esta afirmação.
\(\checkmark\) A função não é crescente e não é decrescente.

Exemplo:

• 1. \(f(x) = x^2-4x-3, \text{ donde } a=1, b=-4 \text{ e } c=-3, \text{ a parábola é voltada para cima }, \text{ o intercepto é igual a } -3 \text{ e as raízes são } x_1 \approx -0.6458 \text{ e } x_2 \approx 4.6458\);
• 2. \(f(x) = -2x^2+5x+1, \text{ donde } a=-2, b=5 \text{ e } c=1, \text{ a parábola é voltada para baixo },\\ \text{ o intercepto é igual a } 1, \text{ há duas raízes distintas: } x_1 \approx -0.1861 \text{ e } x_2 \approx 2.6861\);
• 3. \(f(x) = 6x^2, \text{ donde } a=6, b=0 \text{ e } c=0, \text{ a parábola é voltada para cima }, \text{ o intercepto é igual a } 0 \\ \text{ há uma única raiz real: } 0, \text{ também podemos dizer que há duas raízes reais iguais: } x_1=x_2=0\);
     
• 4. \(f(x) = x^2 + \frac{1}{2}, \text{ donde } a=1, b=0 \text{ e } c=\frac{1}{2}, \text{ a parábola é voltada para cima }, \\\text{ o intercepto é igual a } \frac{1}{2} \text{ e não há raízes reais }\).
• 5. O conjunto imagem no item “c)” é \(IM=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0 \}\) e no item “d)” é \(IM=\left\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq \frac{1}{2} \right\}\). Nos demais itens é necessário encontrar as coordenadas do vértice da parábola.

x=seq(-2,6,0.1)
 f=function(x){
 x^2-4*x-3
 }
plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylab="",ylim=c(-8,9),main=expression(f(x)==x^2-4*x-3))
abline(h=0)
abline(v=0)
text(6,-0.75,"x",cex=2)
text(-1/4,9,"y",cex=2)
text(-1,-0.5,"-0.65",cex=2)
text(4.95,-0.5,"4.65",cex=2)
text(0.25,-3,"-3",cex=2)
text(2,-7.5,"(2,-7)",cex=2)

# GRAFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA - TOPRIGHT PARABOLA PARA BAIXO
x=seq(-1,3.5,0.1)
f=function(x){
-2*x^2+5*x+1
}
plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylim=c(-6,5.8),ylab="",main=expression(f(x)==-2*x^2+5*x+1))
abline(h=0)
abline(v=0)
text(3.5,-0.75,"x",cex=2)
text(-1/4,4.12,"y",cex=2)
text(-0.45,0.25,"-0.19",cex=2)
text(2.9,0.25,"2.69",cex=2)
text(0.1,1,"1",cex=2)
text(1.25,4.5,"(1.25,4.13)",cex=2)

# GRAFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA - BOTTOMLEFT PARABOLA PARA CIMA
x=seq(-1.2,1.2,0.1)
f=function(x){
6*x^2
}
plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylab="",main=expression(f(x)==6*x^2))
abline(h=0)
abline(v=0)
text(1,-0.25,"x",cex=2)
text(-0.1,8.75,"y",cex=2)

# GRAFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA - BOTTOMRIGHT PARABOLA PARA CIMA
x=seq(-1.2,1.2,0.1)
f=function(x){
x^2+0.5
}
plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,ylim=c(-1.2,2.2),xlab="",ylab="",main=expression(f(x)==x^2+1/2))
abline(h=0)
abline(v=0)
text(1,-0.1,"x",cex=2)
text(-0.1,2,"y",cex=2)
text(-0.1,0.4,"0.5",cex=2)

Exercícios - continuação

• 19. Analise as funções abaixo e construa o gráfico::
  • 1. \(f(x)=x^2-2x-3\);
  • 2. \(f(x)=-x^2+2x+3\).

Zeros ou raízes de uma função quadrática

O zero da função de \(2º\) grau é o valor de \(x\) para o qual a função \(f(x) = ax^2 + bx + c\) é igual a zero. Também é denominado raiz da função. Exemplo: Determine as raízes da função

• 1. \(f(x)=x^2-4x-5\).Resp.: A função tem duas raízes reais: \(x_1=-1\) e \(x_2=5\).
• 2. \(f(x)=x^2-2x+6\).Resp.: A função não tem raízes reais.
• 3. \(f(x)=4x^2+20x+25\).Resp.: A função tem uma raiz real: \(-\frac{5}{2}\).

Método de cálculo: Primeira opção: Fatorar a função: \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\),
Se a função admite raízes (no mínimo uma raíz) é possível fatorar!

Segunda opção: Fórmula de Bhaskara: \[ \Delta=b^2-4.a.c \text{ e as raízes são: } x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2.a} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x_1=\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2.a} \\x_2=\frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2.a} \end{array} \right.. \] \(\checkmark\) Se \(\Delta >0\) a função tem duas raízes reais distintas \(\Rightarrow\) a parábola “corta” o eixo \(x\) em dois pontos;\ \(\checkmark\) Se \(\Delta =0\) a função tem apenas uma raiz real, ou equivalentemente, tem duas raízes reais iguais \(\Rightarrow\) a parábola toca o eixo \(x\) em apenas um ponto.\ \(\checkmark\) Se \(\Delta <0\) a função não tem raízes reais \(\Rightarrow\) a parábola não toca o eixo \(x\).

Estudo de sinal da função quadrática

Exemplos:

• 1. \(f(x) = x^2-4x-3 \text{ tem raízes } x_1 \approx -0.6458 \text{ e } x_2 \approx 4.6458\): \(f(x)>0 \text{ se } x<-0.6458 \text{ ou } x>4.6458\);< \(f(x)=0 \text{ se } x=-0.6458 \text{ ou } x=4.6458\); \(f(x)<0 \text{ se } -0.6458 < x < 4.6458\);
• 2. \(f(x) = -2x^2+5x+1 \text{ tem raízes } x_1 \approx -0.1861 \text{ e } x_2 \approx 2.6861\):
     \(f(x)>0 \text{ se } -0.1861 < x < 2.6861\);\ \(f(x)=0 \text{ se } x=-0.1861 \text{ ou } x=2.6861\);
     \(f(x)<0 \text{ se } x < -0.1861 \text{ ou } x > 2.6861\);
• 3. \(f(x) = 6x^2 \text{ tem raízes } x_1=x_2=0\);
     \(f(x)>0 \text{ se } x \ne 0\);
     \(f(x)=0 \text{ se } x = 0\);
     \(f(x)<0: \text{ O conjunto solução é vazio: } S=\emptyset\);
     
• 4. \(f(x) = x^2 + \frac{1}{2} \text{ não tem raízes reais }\);
     \(f(x)>0 \text{ se } x \in \mathbb{R}\);\ \(f(x)=0: \nexists x \in \mathbb{R} \mid f(x)=0\) lê-se: “não existe \(x\) pertencente aos reais tal que \(f(x)=0\)”; \(f(x)<0: \nexists x \in \mathbb{R} \mid f(x)<0\);

Exemplo extra: \(f(x) = -x^2 - \frac{1}{2} \text{ não tem raízes reais}\);
\(f(x)>0: \text{ O conjunto solução é } S=\emptyset\);
\(f(x)=0: \text{ O conjunto solução é } S=\emptyset\);
\(f(x)<0: \text{ O conjunto solução é } S=\mathbb{R}\).

Soma e produto das raízes de uma função quadrática

As fórmulas da soma e do produto nos auxiliam a fatorar a função de 2º grau. \[\begin{eqnarray*} &&\checkmark \text{ A soma das raízes é: } x_1+x_2=-\frac{b}{a};\\ &&\checkmark \text{ O produto das raízes é: } x_1 \times x_2=\frac{c}{a}. \end{eqnarray*}\] Retomando ao exemplo : - a) Determine dois números cuja soma soma é igual a \(4\) e cujo produto é igual a \(-5\).Resp.: \(-1\) e \(5\). - b) Determine dois números reais com soma igual a \(2\) e produto igual a \(6\).Resp.: Não há. - c) Determine dois números reais em que somando dá \(-\frac{10}{2}\) e multiplicando dá \(\frac{25}{4}\).Resp.: \(-\frac{5}{2}\).

Inequações do 2º grau

Exemplo: Encontre o conjunto solução das inequações

• 1. \((x-2)^2 < 2x-1\).Resp.: \(S=\{x\in \mathbb{R} \mid 1 < x < 5\}\).
     Passo a passo:

\[ \begin{array}{c} (x-2)^2 &<& 2x-1\\ \Rightarrow x^2-4x+4-2x+1 &<& 0\\ \Rightarrow x^2-6x+5&<& 0. \end{array} \]

\(\text{ As raízes da função } f(x)=x^2-6x+5 \text{ são } x_1=1 \text{ e } x_2=5\).\ Pelo estudo de sinal, \(f(x)<0 \text{ se } 1 < x < 5\); - b) Resolva a inequação \(-x^2 + 4 \geq 0\).Resp.: \(S=\{x\in \mathbb{R} \mid -2 \leq x \leq 2\}\).

Coordenadas do vértice da parábola

O vértice da parábola nos auxilia a determinar o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática. \[\begin{eqnarray*} &&\checkmark \text{ A abcissa do vértice é: } x_v=-\frac{b}{2a};\\ &&\checkmark \text{ A ordenada do vértice é: } y_v=-\frac{\Delta}{4a};\\ &&\checkmark \text{ O vértice da parábola é o ponto } (x_v,y_v);\\ &&\checkmark \text{ Se } a>0 \text{ a parábola é voltada para cima e o ponto de mínimo é } (x_v,y_v);\\ &&\checkmark \text{ Se } a<0 \text{ a parábola é voltada para baixo e o ponto de máximo é } (x_v,y_v). \end{eqnarray*}\]

Retomando o REFERENCIAR .

• 1. \(f(x) = x^2-4x-3\),
     donde \(\Delta=28\), as coordenadas do vértice são \((2,-7)\) e \(IM=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq -7\}\);
• 2. \(f(x) = -2x^2+5x+1\),
     donde \(\Delta=33\), as coordenadas do vértice são \(x_v=\frac{5}{4}=1.25\) e \(y_v=\frac{33}{8}=4.125\), \ e \(IM=\left\{y \in \mathbb{R} \mid y \leq 4.125 \right\}\);
• 3. \(f(x) = 6x^2\), \ donde \(\Delta=0\), as coordenadas do vértice são \((0,0)\) e \(IM=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}\);
• 4. \(f(x) = x^2 + \frac{1}{2}\),
     donde \(\Delta=-2\), as coordenadas do vértice são \(\left(0,\frac{1}{2}\right)\) e \(IM=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq \frac{1}{2}\}\).

Exercícios - continuação

• 20. Determine as raízes das funções abaixo:

[noitemsep,topsep=0pt] - a) \(f(x)=3x^2-7x+2\); - b) \(f(x)=2x^2-3x+4\); - c) \(f(x)=x^2+2x+1\).

• 21. Dada a função \(f(x)=3x^2-5x+m\), calcule \(m\) para que a função tenha uma única raiz real.
• 22. As raízes da função \(f(x)=x^2+ax+b\) são \(4\) e \(-8\). Calcule os valores de \(a\) e \(b\).
• 23. Sendo \(a\) e \(b\) as raízes da função \(f(x)=2x^2-5x+m-3\) e sabendo que \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{3}\), calcule o valor de \(m\).
• 24. Determine as coordenadas do vértice da parábola e o conjunto imagem das funções abaixo:
  • 1. \(f(x)=3x^2-2x+2\);
  • 2. \(f(x)=x^2-x-2\);
  • 3. \(f(x)=3x^2-4x\).
• 25. Determine a função \(f(x) = ax^2+bx+5\), tal que as coordenadas do vértice são \((2;9)\).
• 26. Faça o estudo de sinal das funções abaixo:
  • 1. \(f(x)=x^2-7x+10\);
  • 2. \(f(x)=-3x^2+2x+1\);
  • 3. \(f(x)=x^2-6x+9\);
  • 4. \(f(x)=-5x^2+2x-3\).

Função modular

Para entender a função modular iniciaremos com o conceito de módulo. ### Conceito de módulo O conceito de módulo de um número real está associado à idéia de distância de um ponto da reta à origem. Isto ocorre devido à correspondência biunívoc entre os pontos da reta e os números reais. Assim, o módulo ou valor absoluto de um número é igual à distância deste ponto da reta até a origem (até o ponto \((0,0)\) no plano cartesiano). Distâncias são sempre positivas!

Exemplo:

• 1. \(|4|=4\) e também \(|-4|=4\), donde lê-se: “A distância de \(4\) até o zero é igual a \(4\), bem como a distância de \(-4\) até o zero.”
• 2. \(|0|=0\), donde lê-se: “A distância de zero à origem é igual a zero.”

Assim, nós temos a definição de módulo. Definição: Seja \(x\in\mathbb{R}\). Então: \[ |x|=\left\{\begin{array}{ll} x, \text{ se } x \geq 0, \\ -x\text{ se } x <0, \end{array} \right. \] donde lê-se: “o módulo de um número real é igual a ele mesmo caso este número for positivo, ou,
é igual ao seu oposto caso este número for negativo”.

Propriedades do módulo

Abaixo temos as principais propriedades da operação módulo.
Sejam \(x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}, \text{ e } a \geq 0\):

• P- Prop. Irop. I \(| x | = a \Rightarrow x = a \text{ ou } x=-a\) (vem direto da definição de módulo);
• Prop. II \(| x | = 0 \Rightarrow x=0\) (caso especial da propriedade I quando \(a=0\)); E quando \(a>0\) temos as desigualdades:
• Prop. III \(| x | \leq a \Rightarrow -a \leq x \leq a\);
• Prop. IV \(| x | \geq a \Rightarrow x \leq -a \text{ ou } x \geq a\).

Exemplo: Aplicação das propriedades do módulo

• Prop. I \(| x | = \frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{1}{3}\) ou \(x=-\frac{1}{3}\), donde lê-se: “a distância de \(x\) à origem é igual a \(\frac{1}{3}\), portanto \(x\) é igual a \(-\frac{1}{3}\) ou \(x\) é igual a \(\frac{1}{3}\)”;
  
• Prop. II \(| x | = 0\Rightarrow x=0\), donde lê-se: “a distância de \(x\) à origem é igual a zero, portanto \(x\) é igual a zero”;
  
• Prop. III \(| x | \leq \sqrt{2}\Rightarrow -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\), donde lê-se: “a distância de \(x\) à origem é menor ou igual a \(\sqrt{2}\), portanto \(x\) está situado no intervalo fechado de \(-\sqrt{2}\) a \(\sqrt{2}\)”. Qualquer valor dentro do intervalo \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) satisfaz a condição.
• Prop. IV \(| x | \geq 7 \Rightarrow x \leq -7 \text{ ou } x \geq 7\),
  donde lê-se: “a distância de \(x\) à origem é maior ou igual a \(7\), portanto \(x\) é menor do que \(-7\) ou \(x\) é maior do que \(7\)”. Qualquer valor fora do intervalo \((-7,7)\) satisfaz a condição.

Exemplo extra: \(| x | = -1 \Rightarrow S=\emptyset\),
donde lê-se: “a distância de \(x\) à origem é igual a \(-1\), portanto o conjunto solução é vazio.” Distâncias são sempre positivas!

Equações modulares

Nas equações modulares, nós utilizamos as propriedades I e II de módulo:
Exemplo: Encontre o conjunto solução das equações abaixo:

• 1. \(|x+1| = 3x+2\). Resp.: \(S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}\). \[\begin{eqnarray*} \text{ A condição principal é: } 3x+2 \geq 0, \text{ ou seja, } x \geq -\frac{2}{3}\approx -0.67.\\ |x+1| = 3x+2 \Rightarrow \text{Prop.I} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x+1=3x+2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} = -0.5 \text{ (satisfaz a condição principal}), \text{ ou } \\ x+1=-3x-2 \Rightarrow x = -\frac{3}{4} \approx -0.75 \text{ (não satisfaz a condição principal}). \end{array} \right. \end{eqnarray*}\]
• 2. \(|x^2+4x+3|=0\) Resp.: \(S=\left\{-1,-3\right\}\). \[ |x^2+4x+3|= 0 \Rightarrow \text{Prop.II} \Rightarrow x^2+4x+3=0 \Rightarrow x_1=-1 \text{ e } x_2=-3. \] Note que a SOMA das raízes é: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-4\) e o PRODUTO das raízes é: \(x_1 \times x_2=\frac{c}{a}=3\).
     Dois números em que somando dá \(-4\) e multiplicando dá \(3\). Só pode ser \(-1\) e \(-3\).

Inequações modulares

Nas inequações modulares, nós utilizamos as proppriedades III e IV que envolvem desigualdades:
Exemplo: Encontre o conjunto solução das inequações abaixo:

• 1. \(|2x+1| < 3\). Resp.: \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x < 1 \right\}\). \[ |2x+1| < 3 \Rightarrow \text{Prop.III}\Rightarrow -3 < 2x+1 < 3 \Rightarrow \text{ há 2 desigualdades } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lll} -3<2x+1 \Rightarrow x > -2 \\ \text{ e } \\ 2x+1 < 3 \Rightarrow x < 1. \end{array} \right. \]
• 2. \(|4x-3| > 5\). Resp.: \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid x < -\frac{1}{2} \text{ ou } x > 2 \right\}\). \[ |4x-3| > 5 \Rightarrow \text{Prop.IV}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lll} 4x-3 < -5 \Rightarrow x < -\frac{1}{2} \\ \text{ ou } \\ 4x-3 > 5 \Rightarrow x > 2. \end{array} \right. \]

Função modular

A função modular em sua forma mais simples é do tipo: \[ f(x)=|x|, \text{ ou equivalentemente } f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x, \text{ se } x \geq 0,\\ -x, \text{ se } x < 0, \end{array} \right. \] com intercepto igual a zero e raiz igual a zero. O gráfico de \(f(x)\) é formado pelas retas \(y=x\) quando \(x\) é positivo, e \(y=-x\) quando \(x\) é negativo, conforme observamos na figura abaixo.

x=seq(-3,3,0.10)
plot(x,abs(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylab="",ylim=c(-1,3))
abline(h=0)
abline(v=0)
text(3,-0.25,"x",cex=2)
text(-1/4,3,"y",cex=2)

De forma geral, a função modular é qualquer função que apresenta o módulo na sua lei de formação.

Exemplo: Exemplos de funções modulares

• 1. \(f(x) = |2x-1|-3\), com intercepto igual a \(-2\);
• 2. \(f(x) = |x|+3\), com intercepto igual a \(3\);
• 3. \(f(x) = |3x-4|+1\), com intercepto igual \(5\);
• 4. \(f(x) = |x^2-1|-2\), com intercepto igual a \(-1\);
• 5. \(f(x) = |x+3|\), com intercepto igual a \(3\);
• 6. \(f(x) = \frac{|x|}{x}\), sem intercepto.

0.0.1 Estudo da função modular

O estudo da função modular consiste em:

• Parte I) Encontrar as raízes;
• Parte II) Construir o gráfico;
• Parte III) Fazer o estudo de sinal;
• Parte IV) Encontrar o conjunto imagem.

Retomando ao exemplo a) \(f(x) = |2x-1|-3\).
Parte I) Para encontrar as raízes da função, nós utilizamos as propriedades de módulo: \[\begin{eqnarray*} &&|2x-1|-3 = 0 \\ &\Rightarrow&|2x-1|=3 \Rightarrow \text{ Prop. I: } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lll} 2x-1=3 \Rightarrow x=2 \\ \text{ ou } \\ 2x-1=-3 \Rightarrow x=-1 \end{array} \right. \Rightarrow \text{ as raízes são } 2 \text{ e } -1. \end{eqnarray*}\] Parte II) Para construir o gráfico da função, nós utilizamos a definição de módulo: \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x-1-3, \text{ se } 2x-1 \geq 0,\\ -2x+1-3, \text{ se } 2x-1 < 0, \end{array} \right. \Rightarrow f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x-4, \text{ se } x \geq \frac{1}{2},\\ -2x-2, \text{ se } x < \frac{1}{2}, \end{array} \right. \] então o gráfico de \(f(x)\) é formado pelas retas \(y=2x-4\) quando \(x \geq \frac{1}{2}\), e \(y=-2x-2\) quando \(x < \frac{1}{2}\).

Parte III) O estudo de sinal vem diretamente do gráfico: \[ f(x)\left\{ \begin{array}{lll} =0, \text{ se } x=-1 \text{ ou } x=2, \text{ ou seja, } S=\{-1,2\}\\ >0, \text{ se } x<-1 \text{ ou } x>2, \text{ ou seja, } S=\{x \in \mathbb{R} \mid x<-1 \text{ ou } x>2\} \\ <0, \text{ se } -1<x<2, \text{ ou seja, } S=\{x \in \mathbb{R} \mid -1<x<2\} \end{array} \right. \] Parte IV) O conjunto imagem vem diretamente do gráfico, onde verificamos que o valor mínimo da função ocorre em \(x=\frac{1}{2}\): \[ f\left(\frac{1}{2}\right)=\left|2.\frac{1}{2}-1\right|-3=-3 \Rightarrow IM=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq -3 \}: \text{esta função só tem valores maiores ou iguais a } -3. \] exemplo b) \(f(x)=|x|+3\).
Parte I) Raízes da função:
\(|x|+3 = 0 \Rightarrow |x| = -3 \Rightarrow\) Impossível! Logo a função não possui raízes.
Parte II) Construção do gráfico: \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x+3, \text{ se } x \geq 0,\\ -x+3, \text{ se } x < 0, \end{array} \right. \] então o gráfico de \(f(x)\) é formado pelas retas \(y=x+3\) quando \(x \geq 0\), e \(y=-x+3\) quando \(x < 0\). Parte III) Estudo de sinal: \[ f(x)\left\{ \begin{array}{lll} =0 \text{ nunca! } \Rightarrow S=\emptyset\\ >0 \text{ sempre! } \Rightarrow S=\mathbb{R} \\ <0 \text{ nunca! } \Rightarrow S=\emptyset\\ \end{array} \right. \] Parte IV) Conjunto imagem: verificamos que o valor mínimo de y é \(3\) \[ IM=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 3 \}: \text{ esta função só assume valores maiores ou iguais a $3$.} \] exemplo d) \(f(x) = |x^2-1|-2\).
Parte I) Raízes da função:

\[ \begin{array}{c} |x^2-1|-2 = 0 \Rightarrow |x^2-1|=2\\ \text{ Prop. I: } \left\{ \begin{array}{cc} x^2-1=2 \Rightarrow x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\\ \text{ ou } x^2-1=-2 \Rightarrow x^2=-1 \text{ (impossível)}\\ \end{array} \right.\\ \text{ Raizes: } \sqrt{3} \text{ e } -\sqrt{3}. \end{array} \] Parte II) Construção do gráfico: \[\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-1-2, \text{ se } x^2-1 \geq 0,\\ -x^2+1-2, \text{ se } x^2-1 < 0, \end{array} \right. \Rightarrow f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-3, \text{ se } x^2 \geq 1 ,\\ -x^2-1, \text{ se } x^2 < 1, \end{array} \right.\\ \Rightarrow f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-3, \text{ se } x \geq 1 \text{ ou } x \leq -1,\\ -x^2-1, \text{ se } -1 < x < 1, \end{array} \right. \end{eqnarray*}\] $ então o gráfico de \(f(x)\) é formado pela parábola \(y=x^2-3\) quando \(x \geq 1\) ou \(x \leq -1\),
e pela parábola \(y=-x^2-1\) quando \(-1 < x < 1\).

Parte III) Estudo de sinal: \[ f(x)\left\{ \begin{array}{lll} =0, \text{ se } x=-\sqrt{3} \text{ ou } x=\sqrt{3} \Rightarrow S=\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\};\\ >0, \text{ se } x<-\sqrt{3} \text{ ou } x>\sqrt{3} \Rightarrow S=\{x \in \mathbb{R} \mid x<-\sqrt{3} \text{ ou } x>\sqrt{3}\}; \\ <0, \text{ se } -\sqrt{3}<x<\sqrt{3} \Rightarrow S=\{x \in \mathbb{R} \mid -\sqrt{3}<x<\sqrt{3}\}. \end{array} \right. \]

Parte IV) Conjunto imagem: verificamos que o valor mínimo da função ocorre em \(x=\pm 1\): \[\begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} f(-1)=|(-1)^2-1|-2= -2, \\ \text{ ou equivalentemente },\\ f(1)=|1^2-1|-2=-2 \end{array} \Rightarrow IM=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq -2 \}, \end{eqnarray*}\] significa que esta função só assume valores maiores ou iguais a \(-2\).\ Verificamos pelo gráfico que esta função é par: \(f(x)=f(-x)\) para quaisquer valores de \(x\), em especial para \(x=1\), onde \(f(1)=f(-1)\) como mostramos acima. exemplo \[ f(x) = \frac{|x|}{x}. \] Verifique que o conjunto domínio da função é: \[ DOM=\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne 0\}, \text{ porque não existe divisão por zero.} \] Esta função não possui intercepto: é impossível calcular \(f(0)\) porque \(x\) nunca é igual a zero.

Parte I) Raízes da função: \[ \frac{|x|}{x} = 0 \text{ Impossível pois } x \ne 0 \Rightarrow \text{ Não há raízes. } \] Parte II) Construção do gráfico: \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{x}, \text{ se } x > 0,\\ \frac{-x}{x}, \text{ se } x < 0, \end{array} \right. \Rightarrow f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, \text{ se } x > 0,\\ -1, \text{ se } x < 0, \end{array} \right. \] então o gráfico de \(f(x)\) é formado pela função constante \(y=1\) quando \(x > 0\) e pela função constante \(y=-1\) quando \(x< 0\).
Utilizando o conceito de limites, temos: \[ \lim \limits_{x\rightarrow0^-} \frac{|x|}{x}=-1 \text{ e } \lim \limits_{x\rightarrow0^+} \frac{|x|}{x}=1, \text{ como vemos na figura \ref{sec6.18:fig1}}: \]

\(\checkmark\) Quando \(x\) se aproxima de zero pela esquerda, \(y\) é sempre igual a \(-1\),
\(\checkmark\) Quando \(x\) se aproxima de zero pela direita, \(y\) é sempre igual a \(1\),
\(\checkmark\) Podemos dizer que no zero a função “salta” do \(-1\) ao \(1\).

Parte III) Estudo de sinal: \[ f(x)\left\{ \begin{array}{lll} =0, \text{ nunca! } \Rightarrow S=\emptyset;\\ >0, \text{ se } x>0 \Rightarrow S=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\}; \\ <0, \text{ se } x<0 \Rightarrow S=\{x \in \mathbb{R} \mid x<0\}. \end{array} \right. \]

Parte IV) Conjunto imagem: a função só assume dois valores: \(-1\) ou \(1\). \[ IM=\{-1,1\}, \text{ o conjunto imagem contém somente dois elementos}. \]

Gráficos das funções modulares.

    #GRÁFICO DA FUNÇÃO TOPLEFT
    x=seq(-2,3,0.10)
    f=function(x){
    abs(2*x-1)-3
    }

    plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylab="",ylim=c(-3,5),main=expression(f(x)==abs(2*x-1)-3))
    abline(h=0)
    abline(v=0)
    text(3,-0.25,"x",cex=2)
    text(-1/4,5,"y",cex=2)
    text(2.2,-0.25,"2",cex=2)
    text(-1.2,-0.25,"-1",cex=2)
    text(-0.25,-2,"-2",cex=2)
    abline(v=0.5,lty=2)
    text(0.5,1/2,"0.5",cex=2)

    #GRÁFICO DA FUNÇÃO TOPRIGHT
    x=seq(-3,3,0.10)
    f=function(x){
    abs(x)+3
    }

    plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylab="",ylim=c(-1,5),main=expression(f(x)==abs(x)+3))
    abline(h=0)
    abline(v=0)
    text(3,-0.25,"x",cex=2)
    text(-1/4,5,"y",cex=2)
    text(0.25,3,"3",cex=2)

    #GRÁFICO DA FUNÇÃO BOTTOMLEFT
    x=seq(-3,3,0.01)
    f=function(x){
    abs(x^2-1)-2
    }
    plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylab="",ylim=c(-3,2),main=expression(f(x)==abs(x^2-1)-2))
    abline(h=0)
    abline(v=0)
    text(3,-0.25,"x",cex=2)
    text(-1/4,1.8,"y",cex=2)
    text(-0.25,-0.75,"-1",cex=2)
    text(1.88,-0.25,expression(sqrt(3)),cex=2)
    text(-1.98,-0.25,expression(-sqrt(3)),cex=2)
    abline(v=1,lty=2)
    abline(v=-1,lty=2)
    text(1,0.25,"1",cex=2)
    text(-1,0.25,"-1",cex=2)

    #GRÁFICO DA FUNÇÃO BOTTOMRIGHT
    x=seq(-3,3,0.05)
    f=function(x){
    abs(x)/x
    }
    plot(x,f(x),type='l',lwd=2,cex.lab=2,cex.main=2,cex.axis=2,axes=FALSE,xlab="",ylab="",ylim=c(-2,2),main=expression(f(x)==abs(x)/x))
    abline(h=0)
    abline(v=0)
    points(0,1,cex=2)
    points(0,-1,cex=2)
    text(3,-0.25,"x",cex=2)
    text(-1/4,2,"y",cex=2)
    text(-0.25,-0.85,"-1",cex=2)
    text(-0.25,0.85,"1",cex=2)

Por fim, segue algumas propriedades da função modular:

\(\checkmark\) A função modular pode assumir diferentes formas: linear, quadrática, entre outras, desde que a operação módulo esteja presente em sua lei de formação;
\(\checkmark\) O conjunto domínio é um subconjunto de \(\mathbb{R}\): há casos em que o conjunto dos valores de \(x\) possui alguma restrição, como no exemplo letra “f)” em que o conjunto domínio não contém o valor zero. Em geral, quando existe restrição no domínio, o estudo da função envolve o conceito de limites;
\(\checkmark\) O conjunto imagem é um subconjunto de \(\mathbb{R}\). Na maioria dos casos basta determinar o ponto de mínimo da função, mas há casos como no exemplo letra `f)” que a função só assume dois valores;
\(\checkmark\) A função não é injetora e não é sobrejetora;
\(\checkmark\) A função não é crescente e não é decrescente.

Exercícios - continuação

• 27. Resolva as equações modulares abaixo
  • 1. \(|3x-1|=|2x+3|\);
  • 2. \(|x+1|=3x+2\);
  • 3. \(|x|^2+2|x|-15=0\);
  • 4. \(|3x-1|=2\);
  • 5. \(|x^2-3x-1|=3\);
  • 6. \(\left|x^2-\frac{5}{2}x-\frac{1}{4}\right|=\frac{5}{4}\);
  • 7. \(|3x+2|=|x-1|\);
  • 8. \(|4x-1|-|2x+3|=0\);
  • 1. \(|x^2+2x-2|=|x^2-x-1|\);
  • 10. \(|x-2|=2x+1\);
  • 11. \(|2x-5|=x-1\);
  • 12. \(|2x^2+15x-3|=x^2+2x-3\).
• 28. Resolva as inequações modulares abaixo
  • 1. \(|2x+1|<3\);
  • 2. \(|3x-5|> 0\);
  • 3. \(1 <|x-1| \leq 3\);
  • 4. \(|2-3x| \geq 1\);
  • 5. \(|x^2-5x+5| < 1\);
  • 6. \(|x^2-5x| \geq 6\);
  • 7. \(\left| \frac{2x-3}{3x-1}\right| > 2\);
  • 8. \(\left| \frac{x+1}{2x-1}\right| \leq 2\);
  • 1. \(|x^2-4x|-3x+6 \leq 0\).