Solución punto 1.

La gerente de una sucursal bancaria sabe que la variabilidad en el tiempo de atención a un cliente en asesoría comercial depende exclusivamente del número de asesores presentes en la jornada laboral. La gerente sabe, que la variabilidad en los tiempos de atención es de 15,5 minutos2 si hay 5 asesores presentes en una sucursal. La gerente decide evaluar su grupo de asesores durante quince días para poder responder las siguientes preguntas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la variabilidad muestral de los tiempos de atención sea superior a 32.2635 minutos2?

\[\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\] \[\chi^2=\frac{(14)(32.2635)}{15.5}=29.1412\]

pchisq(29.1412,14,lower.tail = F)
## [1] 0.01000012

Respuesta: 1%

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la variabilidad muestral de los tiempos de atención sea inferior a 23.3209 minutos2

\[\chi^2=\frac{(14)(23.3209)}{15.5}=21.064038\]

pchisq(21.064038,14)
## [1] 0.8999973

Res: 90%

Solucion punto 2.

Calculamos la esperanza de la función

\[\int \:y\frac{1}{\theta +1}e^{\frac{-y}{\theta +1}}dy=\left(θ+1\right)\left(-\frac{e^{-\frac{y}{θ+1}}y}{θ+1}-e^{-\frac{y}{θ+1}}\right)+C\] Evaluando la funcion de \(0 ~ a ~\infty\)

\[\int _0^{\infty }\:y\frac{1}{\theta +1}e^{\frac{-y}{\theta +1}}dy = \theta+1\]

\[E(\bar{Y}+1) = E(\bar{Y})-1\] \[= E\bigg(\frac{1}{n}\sum^n_{y=1}Y_i \bigg)-1\] \[= E\bigg(\frac{1}{n}\sum^n_{y=1}Y_i \bigg)-1\] \[= \frac{1}{n}E(nY) -1\] \[= \frac{1}n{n}E(Y) -1\]

\[= \frac{1}n{n}E(Y) -1\] \[= E(Y) -1\] sabemos que \(E(Y)=\theta+1\)

\[ \theta+1 -1= \theta ~~;~~ \theta =\theta\]

Solucion punto 3.

Obtenga el estimador de máxima verosimilitud en una distribución exponencial de parámetro λ

\[l(\lambda)=\prod_{i=1}^nf(\lambda e^{-\lambda x_i })\] \[l(\lambda)=\lambda^n e^{-\lambda \sum x_i}\] \[\ln (l(\lambda))=\ln(\lambda^n e^{-\lambda \sum x_i})\] \[\ln (l(\lambda))=\ln(\lambda^n e^{-\lambda \sum x_i})\] \[\ln (l(\lambda))=\ln(\lambda^n ) + \ln(e^{-\lambda \sum x_i})\] \[\ln (l(\lambda))=n\ ln(\lambda) -\lambda \sum x_i\] Derivamos la ecuacion:

\[0= n\frac{1}{\lambda} - \sum x_i ~~\leftrightarrow ~~ n\frac{1}{\lambda} = \sum x_i\] Despejamos \(\lambda\)

\[\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\] Dividimos por \(n\) cada lado de la ecuación:

\[\frac{\lambda}{n} =\frac{\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}}{n} ~~\leftrightarrow ~~ \lambda=\frac{1}{\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}} \leftrightarrow \lambda = \frac{1}{n} \]

Solucion punto 4.

Se toma una muestra aleatoria de 102 estudiantes de la Facultad de Derecho de la Fundacion Universitaria Los Libertadores con el fin de estimar las calificaciones promedio de los estudiantes. De esta muestra se obtiene que la calificaciones promedio de los estudiantes es de 3.9 con una desviación estándar de 1.03. Con esta información y asumiendo que las calificaciones siguen una distribución normal: a) Calcular un intervalo de confianza del 90 % para la nota promedio de los estudiantes.

Datos: \(\bar{X}=3.9 ~~~S=1.03~~~\alpha=0.1 ~~~~n=102\)

L.I = round(3.9 + qt(0.05,101)*(1.03/sqrt(102)),2)
L.S = round(3.9 - qt(0.05,101)*(1.03/sqrt(102)),2)

print(paste("L.I= ",L.I,"L.S =",L.S))
## [1] "L.I=  3.73 L.S = 4.07"

Como el tamaño de la muestra es mayor a 30 la distribucion tiende a ser normal

L.I = round(qnorm(0.05,3.9,1.03/sqrt(102)),3)
L.S = round(qnorm(0.95,3.9,1.03/sqrt(102)),3)
print(paste("L.I = ",L.I ,"L.S= ",L.S))
## [1] "L.I =  3.732 L.S=  4.068"
  1. Si el decano de la Facultad de Derecho afirma que la nota promedio de los estudiantes es superior a 3.5, con una confianza del 95 % ¿Qué se puede concluir?
L.I = round(3.9 + qt(0.025,101)*(1.03/sqrt(102)),2)
L.S = round(3.9 - qt(0.025,101)*(1.03/sqrt(102)),2)

print(paste("L.I= ",L.I,"L.S =",L.S))
## [1] "L.I=  3.7 L.S = 4.1"

El decano de la facultad de Derecho se encuentra equivocado, puesto que al realizar inferencia de la muestra a la población con un nivel de confianza del 95% estos valores se encuentran entre 3.7 y 4.1 más no entre 3.5 y 5.0.