Matricula <- 3786

Lista de Testes de Hipóteses

  1. Trace uma curva normal e sombreie a área desejada obtendo então a informação.

a) Área à direita de \(Z = 1\)

1-pnorm(q=1, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.1586553
pnormGC(1, region="above", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.1586553

b) Área à esquerda de \(Z = 1\)

pnorm(q=1, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.8413447
pnormGC(1, region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8413447

c) Área entre \(Z = 0\) e \(Z = 1.5\)

pnorm(q=1.5, mean = 0, sd=1)-0.5
## [1] 0.4331928
pnormGC(c(0,1.5), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.4331928

d) Área entre \(Z = −0,56\) e \(Z = −0,2\)

pnorm(q=-0.2, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=-0.56, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.1330006
pnormGC(c(-0.56,-0.2), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.1330006

e) Área entre \(Z = 0, 5\) e \(Z = 0, 5\)

pnorm(q=0.5, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=0.5, mean = 0, sd=1)
## [1] 0
pnormGC(c(0.5,0.5), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0

f) Área entre \(Z = 0\) e \(Z = −2,5\)

pnorm(q=-2.5, mean = 0, sd=1)-0.5
## [1] -0.4937903
pnormGC(c(-2.5,0), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.4937903
  1. Usando a tabela da distribuição normal, determine os valores de \(Z\) que correspondem às seguintes áreas:

a) Área de 0,0505 à esquerda de Z.

qnorm(0.0505, mean = 0, sd=1, lower.tail = TRUE)
## [1] -1.640025
pnormGC(qnorm(0.0505, mean = 0, sd=1), region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.0505

b) Área de 0,0228 à direita de Z

qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
## [1] 1.999077
pnormGC(qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1 , lower.tail = FALSE), region="above", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.0228

c) Área de 0,0228 à esquerda de Z

qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1, lower.tail = TRUE)
## [1] -1.999077
pnormGC(qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1 , lower.tail = TRUE), region="below", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.0228

d) 0,4772 entre 0 e z

qnorm(0.4472, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.1327387
  1. Consultando a tabela, determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre \(Z_0 = −1, 20\) e \(Z_1 = 2,00.\) Desenhe o gráfico.
pnorm(q=2.00, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=-1.20, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.8621802
pnormGC(c(-1.20,2.00), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8621802
  1. Dado uma variável X com distribuição normal de média 25 e desvio-padrão 2, determine os valores de Z para os seguintes valores (x) :

Sabemos que \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\) logo:

a) 23

(Z=(23-25)/2)
## [1] -1

b) 23,5

(Z=(23.5-25)/2)
## [1] -0.75

c) 24

(Z=(24-25)/2)
## [1] -0.5

d) 25,2

(Z=(25.2-25)/2)
## [1] 0.1

e) 25,5

(Z=(25.5-25)/2)
## [1] 0.25
  1. Determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre \(Z_0 = −1, 30\) e \(Z_1 = 1.5.\) Desenhe o gráfico.
pnorm(q=1.5, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=-1.30, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.8363923
pnormGC(c(-1.30,1.5), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8363923
  1. Uma população normal tem média 40 e desvio-padrão 3. Determine os valores da população correspondentes aos seguintes de Z:

Sabemos que \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\) logo, dado Z, temos que \(X=Z\sigma+\mu,\) assim:

a) 0,10

(X=(0.1*3)+40)
## [1] 40.3

b) 2,00

(X=(2.0*3)+40)
## [1] 46

c) 0,75

(X=(0.75*3)+40)
## [1] 42.25

d) -3,00

(X=(-3.0*3)+40)
## [1] 31

e) -2,53

(X=(-2.53*3)+40)
## [1] 32.41
  1. Explique com suas palavras, exemplificando, o significado de:

a) teste de hipótese; Um teste de hipótese é uma técnica estatística cujo intuito é verificar se uma dada amostra de dados é, ou não, compatível com uma hipótese feita sobre a população que lhe deu origem. Um teste de hipóteses coloca lado-a-lado duas hipóteses sobre a população que deu origem à amostra de dados que temos à disposição. Uma hipótese inicial, ou hipótese nula, e uma hipótese alternativa. Estas são normalmente designadas por Ho e H1 respetivamente e referem-se a uma caraterística de uma população. Desta população é retirada uma amostra, cuja informação será tratada. Do resultado desse tratamento vamos encontrar evidência para se rejeitar, ou não, a hipótese nula. Caso haja rejeição da hipótese nula, o investigador deve daí em diante considerar na sua pesquisa a hipótese alternativa.

Exemplos:

A produtividade média milho no estado (SC) é de 2500 kg/ha;

A proporção de peças defeituosas no unidade de fabricação é de 0,10;

A propaganda produz efeito positivo nas vendas;

Os métodos de ensino produzem resultados diferentes de aprendizagem

b) Hipótese nula e alternativa;

A hipótese nula afirma que um parâmetro da população como a média, o desvio padrão, e assim por diante é igual a um valor hipotético. A hipótese nula é, muitas vezes, uma alegação inicial baseado em análises anteriores ou conhecimentos especializados.

A hipótese alternativa afirma que um parâmetro da população é menor, maior ou diferente do valor hipotético na hipótese nula. A hipótese alternativa é aquela que você acredita que pode ser verdadeira ou espera provar ser verdadeira.

c) erros do tipo I e II;

Se a hipótese nula é verdadeira e você a rejeita, comete um erro do tipo I. A probabilidade de cometer um erro do tipo I é α, que é o nível de significância que você definiu para seu teste de hipóteses. Um α de 0,05 indica que você quer aceitar uma chance de 5% de que está errado ao rejeitar a hipótese nula. Para reduzir este risco, você deve usar um valor inferior para α. Entretanto, usar um valor inferior para alfa significa que você terá menos probabilidade de detectar uma diferença verdadeira, se existir uma realmente.

Caso a hipótese nula é falsa e você não a rejeita, comete um erro de tipo II. A probabilidade de cometer um erro de tipo II é β, que depende do poder do teste. Você pode diminuir o risco de cometer um erro do tipo II, assegurando que o seu teste tenha potência suficiente. Você pode fazer isso garantindo que o tamanho amostral seja grande o suficiente para detectar uma diferença prática, quando realmente existir uma. A probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa é igual a 1–β. Esse valor é a potência do teste.

d) nível de significância.

O nível de significância, também denotado como alfa ou α, é a probabilidade de rejeição da hipótese nula quando ela é verdadeira. Por exemplo, um nível de significância de 0,05 indica um risco de 5% de concluir que existe uma diferença quando não há diferença real.

A natureza técnica de tais tipos de definições pode dificultar a sua compreensão. A utilização de imagens facilita muito a compreensão dos conceitos!

O nível de significância determina a que distância do valor da hipótese nula traçaremos essa linha no gráfico. Para representar graficamente um nível de significância de 0,05, precisamos sombrear os 5% da distribuição que estão mais distantes da hipótese nula.

  1. Enuncie a hipótese nula e a hipótese alternativa em cada um dos casos a seguir.

a) A produção média de certo cereal é de 40 toneladas por hectare. Acredita-se que um novo tipo de adubo aumenta a produção média por hectare.

\(H_{0}:\mu=40\) toneladas por hectare

\(H_{1}:\mu>40\) toneladas por hectare

#H0:mu=40
#H1:mu>40

b) Um sindicato de empregados de certa categoria deseja verificar se a taxa de desemprego em certo município é maior que a taxa de 12% observada seis meses antes.

#H0:mu=12
#H1:mu>12
  1. O fabricante de certa marca de suco informa que as embalagens de seu produto têm em média 500 ml, com desvio padrão igual a 10 ml. Tendo sido encontradas no mercado algumas embalagens com menos de 500 ml, suspeita-se que a informação do fabricante seja falsa. Para verificar se isto ocorre, um fiscal analisa uma amostra de 200 embalagens escolhidas aleatoriamente no mercado e constata que as mesmas contêm em média 498 ml. Considerando-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se afirmar que o fabricante está mentindo? Calcule o valor da prova para esta amostra.
mu <- 500
sigma <- 10
n <- 200
xbarra <- 498
alpha <- 0.05
#H0: mu=500
#H1: mu<500 (Unilateral a esquerda)
#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] -2.828427
pnormGC(Zcal, region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.002338867
Ztab <- qnorm(alpha)
Ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- pnorm(Zcal))
## [1] 0.002338867
  1. A duração das lâmpadas produzidas por certo fabricante tem distribuição normal com média igual a 1200 horas e desvio padrão igual a 300 horas. O fabricante introduz um novo processo na produção das lâmpadas. Para verificar se o novo processo produz lâmpadas de maior duração, o fabricante observa 100 lâmpadas produzidas pelo novo processo e constata que as mesmas duram em média 1265 horas. Admitindo-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se concluir que o novo processo produz lâmpadas com maior duração?
n <- 100
xbarra <- 1265
mu <- 1200
sigma <- 300
alpha <- 0.05
#H0:mu = 1200h
#H1:mu > 1200h (Teste-z unilateral)
#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] 2.166667
pnormGC(Zcal, region="above", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.01513014
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.01513014
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.05  Rejeita-se H0"
  1. O custo de produção de certo artigo numa localidade tem distribuição normal com média igual a \(R\$~42, 00.\) Desenvolve-se uma política de redução de custos na empresa para melhorar a competitividade do referido produto no mercado. Observando-se os custos de 10 unidades deste produto, obtiveram-se os seguintes valores: 34, 41, 36, 41, 29, 32, 38, 35, 33 e 30. Admitindo-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se afirmar que o custo do produto considerado diminuiu?
mu <- 42
n <- 10
x <- c(34, 41, 36, 41, 29, 32, 38, 35, 33, 30)
xbarra <- mean(x)
s <- sd(x)
alpha <- 0.05
#H0: mu = 42 
#H1: mu < 42 (Teste-t unilateral)
gl <- n-1
#Estatística do Teste
Tcal <- (xbarra-mu)/(s/sqrt(n))
Tcal
## [1] -5.377348
Ttab <- qt(alpha, df=gl, lower.tail = TRUE,)
Ttab
## [1] -1.833113
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste(
"Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- pt(Tcal, df = gl, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.0002230215
ConclusaoT <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoT
## [1] "Como p-valor< 0.05  Rejeita-se H0"
  1. O controle de qualidade das peças produzidas por certa fábrica exige que o diâmetro médio das mesmas seja 57 mm. Para verificar se o processo de produção está sob controle, observam-se os diâmetros de 10 peças, constatando-se os seguintes valores em mm: \(56,5; 56,6; 57,3; 56,9; 57,1; 56,7; 57,1; 56,8; 57,1; 57,0.\) Admitindo-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se concluir que o processo de produção está sob controle?
mu <- 57
n <- 10
x <- c(56.5, 56.6, 57.3, 56.9, 57.1, 56.7, 57.1, 56.8, 57.1, 57.0)
xbarra <- mean(x)
s <- sd(x)
alpha <- 0.05
#H0: mu = 57 
#H1: mu != 57 (Teste-t unilateral)
gl <- n-1
#Estatística do Teste
Tcal <- (xbarra-mu)/(s/sqrt(n))
Tcal
## [1] -1.112516
Ttab <- qt(alpha, df=gl, lower.tail = TRUE,)
Ttab
## [1] -1.833113
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste(
"Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#o processo de produção está sob controle
(pvalor <- pt(Tcal, df = gl, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.1473741
ConclusaoT <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoT
## [1] "Como p-valor> 0.05  Não Rejeita-se H0"
  1. Suponha que o tempo necessário para que estudantes completem uma prova tenha distribuição normal com média 90 minutos e desvio padrão 15 minutos.

a) Qual é a probabilidade do estudante terminar a prova em menos de 80 minutos?

(pMenor80 <- pnorm(80, mean = 90, sd = 15, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.2524925

b) Em mais de 120 minutos?

(pMaior120 <- pnorm(120, mean = 90, sd = 15, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.02275013

c) Entre 75 e 85 minutos?

pnorm(q=85, mean = 90, sd=15)-75
## [1] -74.63056
pnormGC(c(75,85), region="between", mean=90,
        sd=15, graph=TRUE)

## [1] 0.2107861

d) Qual é o tempo necessário para que 98% dos estudantes terminem a prova?

qnorm(0.98, mean = 90, sd = 15)
## [1] 120.8062
  1. Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10.

a) Qual a \(P(90 < X < 110)?\)

pnorm(110, mean = 100, sd = 10)-pnorm(90, mean = 100, sd = 10)
## [1] 0.6826895

b) Se \(\bar{X}\) for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população, calcule \(P(90 < \bar{X} < 110).\)

sigma <- 10/sqrt(n)

pnorm(110, mean = 100, sd = sigma)-pnorm(90, mean = 100, sd = sigma)
## [1] 0.9984346

c) Represente, num único gráfico, as distribuições de \(X\) e \(\bar{X}\). 

n <- 16
x <- seq(-50, 150, length=1000)
mu <- 100
sigma <- 10/sqrt(n)
z <- dnorm(x, mean = 100, sd = 10)
colors <- "blue"
plot(x, z, type="l", lty=2, xlab="x", ylim = c(0,0.2),
    ylab="Densidade", main="Comparação de distribuições normais")
lines(x, dnorm(x,mu,sigma), lwd=2, col=colors)

d) Que tamanho deveria ter a amostra para que \(P(90 < \bar{X}< 110) = 0, 95?\)

\(P(P(90 < \bar{X}< 110) = P\Big(\frac{90-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}< \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}< \frac{110-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\Big )=P(-\sqrt{n}<Z<\sqrt{n})=0.95\Rightarrow \sqrt{n}=1.96;\)

Para que \(P(90 < \bar{X}< 110) = 0, 95?\) devemos ter \(n\approx\) r (1.96)^2

  1. Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, \(H_0,\) aquela que para você leva a um erro tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso.

a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipotéses:

  1. está começando um ataque;
  2. tudo bem, apenas uma leve interferência.

b) Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são:

  1. o acusado é inocente;
  2. o acusado é culpado.

\(H_{0}:\)o acusado é inocente

Rejeitar \(H_{0}\) e ela ser verdadeira, significa que, estamos afirmando ser culpada uma pessoa inocente. Acredito que é mais importante ter certeza que uma pessoa inocente será considerada inocente do que uma pessoa culpada ser considerada inocente.

c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são:

  1. a vacina é eficaz;
  2. a vacina não é eficaz.

H0:a vacina é eficaz

Quando se rejeita H0 neste caso você fala que a vacina não é eficaz, assim uma vacina que poderia salvar vidas será desconsiderada, o que acho pior do considerar uma vacina não eficaz em eficaz.

  1. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km, com desvio padrão de 0,8 litros. Uma revista resolve testar essa afirmação e analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo 11,3 litros por 100 km como consumo médio (considerar distribução normal). O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica, no nível de \(10\%\)?
mu <- 11 #litros por 100 quilometro
sigma <- 0.8 #litros
n <- 35
xbarra <- 11.3 #litros por 100 quilometro
alpha <- 0.1
#H0:mu=11
#H1:mu!=11 (Teste Z bilateral)

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] 2.21853
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.281552
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.1 de significância"
pnormGC(c(qnorm(0.05), qnorm(0.05, lower.tail = F)), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.9
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- 2*pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.02651872
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.1  Rejeita-se H0"
  1. Duas máquinas, A e B, são usadas para empacotar pó de café. A experiência passada garante que o desvio padrão para ambas é de 10 g. Porém, suspeita-se que elas têm médias diferentes. Para verificar, sortearam-se duas amostras: uma com 25 pacotes da máquina A e outra com 16 pacotes da máquina B. As médias foram, respectivamente, \(\bar{X}_{A} = 502, 74g\) e \(\bar{X}_{B} = 496, 60g.\) Com esses números, e com o nível de \(5\%\), qual seria a conclusão do teste \(H_{0} : \mu_A = \mu_B?\)
sigma <- 10
nA <- 25
nB <- 16
xAbarra <- 502.74
xBbarra <- 496.6
alpha <- 0.05
#H0:muA=MuB
#H1:muA!=muB (Teste-z bilateral)

#Estatística do Teste
Zcal <- (xAbarra-xBbarra)/(sqrt((sigma^2)*((1/nA)+(1/nB))))
Zcal
## [1] 1.917814
Ztab <- qnorm((alpha)/2, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.959964
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
pnormGC(c(qnorm((alpha)/2), qnorm((alpha)/2, lower.tail = F)), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.95
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- 2*pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.05513463
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor> 0.05  Não Rejeita-se H0"
  1. Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para combater a corrosão de suas latas especiais. Para verificar o efeito dos tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo (em porcentagem de corrosão eliminada). Qual seria a conclusão sobre os dois tratamentos?
Método Amostra Média Desvio Padrão
A 15 48 10
B 12 52 15 
nA <- 15
nB <- 12
xAbarra <- 48
xBbarra <- 52
sA <- 10
sB <- 15
#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB (Teste-t bilateral)
#Precisamos proceder antes do teste-T o teste-F.
#H0:SigmaA^2=SigmaB^2
#H1:SigmaA^2<SigmaB^2 (Teste unilateral)

(Fcal <- (sB^2)/(sA^2))
## [1] 2.25
(pvalor <- pf(q=Fcal, df1 = nB-1, df2 = nA-1))
## [1] 0.9224523
#Conclusao: Não rejeita-se H0 para todo alpha < pvalor. Assim, para realizar o teste - t, vamos considerar que as variâncias do método A 
#e método B são iguais (SigmaA^2=SigmaB^2). Dessa forma, procedemos 
# o teste-t para variâncias populacionais iguais.

#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB (Teste-t bilateral)

#A <- (sA^2)/nA
#B <- (sB^2)/nB
#
#df <- ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
df <- nA+nB-2  
Sc <- sqrt((((sA^2)*(nA-1))+((sB^2)*(nB-1)))/(nA+nB-2))  
#Estatística do Teste
Tcal <- (xAbarra-xBbarra)/(Sc*sqrt((1/nA)+(1/nB)))
Tcal
## [1] -0.8295614
(pvalor <- pt(Tcal, df = gl, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.2141203
ConclusaoT <- "Não rejeita-se H0 para alpha menor que pvalor"
  1. Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formandos em Administração de Empresas. Com os resultados abaixo, expressos em salários mínimos, quais seriam suas conclusões?
Liberais 6,6 10,3 10,8 12,9 9,2 12,3 7,0
Administradores 8,1 9,8 8,7 10,0 10,2 8,2 8,7 
Li <- c(6.6, 10.3, 10.8, 12.9, 9.2, 12.3, 7.0)
Ad <- c(8.1, 9.8, 8.7, 10.0, 10.2, 8.2, 8.7, 10.1)
sd(Li)
## [1] 2.432909
sd(Ad)
## [1] 0.8876132
nLi <- length(Li)
nAd <- length(Ad)
#Teste-F
#H0:SigmaLi^2=SigmaAd^2
#H1:SigmaLi^2!=SigmaAd^2

var.test(Li, Ad, alternative = "two.sided")
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  Li and Ad
## F = 7.5128, num df = 6, denom df = 7, p-value = 0.01768
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   1.467755 42.789180
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           7.512844
print("Para alpha > p-value=0.01768 rejeita-se H0, logo, devemos proceder o teste-t para variâncias desiguais.")
## [1] "Para alpha > p-value=0.01768 rejeita-se H0, logo, devemos proceder o teste-t para variâncias desiguais."
#H0:muLi=muAd
#H1:muLi!=muAd

t.test(Li, Ad, alternative = "two.sided", var.equal = FALSE)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  Li and Ad
## t = 0.6653, df = 7.393, p-value = 0.5261
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.626575  2.919433
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  9.871429  9.225000
print("Para alpha menor do que p-value=0.5261, não rejeita-se H0. Ou seja nesse caso, as médias salariais são iguais.")
## [1] "Para alpha menor do que p-value=0.5261, não rejeita-se H0. Ou seja nesse caso, as médias salariais são iguais."
  1. Os dados abaixo referem-se a medidas de determinada variável em 19 pessoas antes e depois de uma cirurgia. Verifique se as medidas pré e pós-operatórias apresentam a mesma média. Que suposições você faria para resolver o problema?
Pessoas Pré Pós Pessoas Pré Pós
1 50,0 42,0 10 40,0 50,0
2 50,0 42,0 11 50,0 48,0
3 50,0 78,0 12 75,0 52,0
4 87,5 33,0 13 92,5 74,0
5 32,5 96,0 14 38,0 47,5
6 35,0 82,0 15 46,5 49,0
7 40,0 44,0 16 50,0 58,0
8 45,0 31,0 17 30,0 42,0
9 62,5 87,0 18 35,0 60,0
10 19 39,4 28,0 
Pre <- c(50.0,50.0,50.0,87.5,32.5,35.0,40.0,45.0,62.5,40.0,50.0,75.0,92.5,38.0,46.5,50.0,30.0,35.0,39.4)
Pos <- c(42.0,42.0,78.0,33.0,96.0,82.0,44.0,31.0,87.0,50.0,48.0,52.0,74.0,47.5,49.0,58.0,42.0,60.0,28.0)
Dif <- Pre-Pos
sd(Dif)
## [1] 26.35174
mean(Dif)
## [1] -4.978947
#H0:muDif=0
#H1:muDif!=0

t.test(Dif, alternative = "two.sided")
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  Dif
## t = -0.82358, df = 18, p-value = 0.421
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -17.680077   7.722183
## sample estimates:
## mean of x 
## -4.978947
print("Não rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância, pois pvalor é maior que alpha=0.05")
## [1] "Não rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância, pois pvalor é maior que alpha=0.05"

b) Como a variância da diferença entre os valores Pré e Pós-Operatório do exercício é muito alta, nós não rejeitamos H0, mesmo observando um valor bem diferente de 0. Para corrigir o teste e/ou rejeitarmos H0 com um valor de média tão discrepante de 0, precisamos corrigir a variabilidade da diferente entre o pré e o pós-operatório.

  1. Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade de seus trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e contou o número de peças produzidas durante uma semana sem intervalo e uma semana com intervalo. Os resultados sugerem se há ou não melhora na produtividade? Caso haja melhora, qual deve ser o acréscimo médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica?
Operário 1 2 3 4 5 6
Sem intervalo 23 35 29 33 43 32
Com intervalo 28 38 29 37 42 30 
Sem <- c(23,35,29,33,43,32)
Com <- c(28,38,29,37,42,30)
Dif <- Sem-Com
sd(Dif)
## [1] 2.880972
mean(Dif)
## [1] -1.5
#H0:muDif=0
#H1:muDif!=0

t.test(Dif, alternative = "two.sided")
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  Dif
## t = -1.2753, df = 5, p-value = 0.2582
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -4.523395  1.523395
## sample estimates:
## mean of x 
##      -1.5
print("Não rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância, pois pvalor é maior que alpha=0.05, portanto não houve acréscimo na produtividade.")
## [1] "Não rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância, pois pvalor é maior que alpha=0.05, portanto não houve acréscimo na produtividade."
  1. Num levantamento feito com os operários da indústria mecânica, chegou-se aos seguintes números: salário médio = 3,64 salários mínimos e desvio padrão = 0,85 salário mínimo. Suspeita-se que os salários de subclasse formada pelos torneiros mecânicos são diferentes dos salários do conjunto todo, tanto na média como na variância. Que conclusões você obteria se uma amostra de 25 torneiros apresentasse salário médio igual a 4,22 salários mínimos e desvio padrão igual a 1,25 salário mínimo?
mu <- 3.64
sigma <- 0.85
n <- 35
xbarra <- 4.22
alpha <- 0.5
#H0:mu=3,64
#H1:mu>3,64

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] 4.036854
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = TRUE)
Ztab
## [1] 0
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.5 de significância"
#Logo, conclui- se que formados em torneiro mecânico possui de fato o salário maior!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 2.708633e-05
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.5  Rejeita-se H0"
  1. Um partido afirma que a porcentagem de votos masculinos a seu favor será de 10 % a mais do que a porcentagem de votos femininos. Numa pesquisa feita entre 400 homens, 170 votariam no partido, enquanto entre 625 mulheres, 194 lhe seriam favoráveis. A afirmação do partido é verdadeira ou não?
##teste da variância
n = 25
S = 1.25
sigma = 0.85
alpha = 0.05
#H0: Sigma = 0.85
#H1: Sigma =! 0.85
XsqCAL = ((n-1)*S^2)/sigma^2
XsqTAB = 30.144
ConclusãoXsq = ifelse(abs(XsqCAL)>abs(XsqTAB),paste("Como |XsqCAL|>|XsqTAB| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |XsqCAL|<|XsqTAB| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoXsq
## [1] "Como |XsqCAL|>|XsqTAB| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
## Os valores do salário da subclasse possuem variâncias diferentes.
#teste z (variância populacional conhecida)
#H0: mu = 3.64
#H1: mu =! 3.64
#Estatística do teste
mu = 3.64
sigma = 0.85
n = 25
xbarra = 4.22
s = 1.25
alpha = 0.05
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal
## [1] 3.411765
ztab = qnorm(alpha/2)
ztab
## [1] -1.959964
ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoZ
## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#O salário médio dos torneiros mecânicos é diferente do que o salário da indústria mecânica.
  1. Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, preparam-se dois tipos de montagem: cruzado (A), onde a cola é posta em forma de X, e quadrado (B), onde a cola é posta apenas nas quatro bordas. Os resultados da resistência para as duas amostras de 10 cada estão abaixo. Que tipo de conclusão poderia ser tirada?
Método A 16 14 19 18 19 20 15 18 17 18
Método B 13 19 14 17 21 24 10 14 13 15
  1. Em um estudo para comparar os efeitos de duas dietas, A e B, sobre o crescimento, 6 ratos foram submetidos à dieta A, e 9 ratos à dieta B. Após 5 semanas, os ganhos em peso foram:
Dieta A 15 18 12 11 14 15
Dieta B 11 11 12 16 12 13 8 10 13 
x = c(16,14,19,18,19,20,15,18,17,18)
y = c(13,19,14,17,21,24,10,14,13,15)
nA=10
nB=10
xAbarra = mean(x)
xBbarra = mean(y)
sA = sd(x)
sB = sd(y)
alpha = 0.05
#teste-F (desvio populacional desconhecido)
#H0:SigmaA^2 = SigmaB^2
#H1:SigmaA^2 < SigmaB^2
Fcal = (sB^2)/(sA^2)
Fcal
## [1] 5
Ftab = qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab
## [1] 0.3145749
ConclusaoF = ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF
## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
# A variância das populações são diferentes.
#teste-t
#H0:muA = muB
#H1:muA!= muB
Tcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal
## [1] 0.9525793
A = (sA^2)/nA
B = (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
(df = round(df, digits = 0))
## [1] 12
df
## [1] 12
Ttab = qt(alpha/2, df)
Ttab
## [1] -2.178813
ConclusaoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Não existe diferença entre os tratamentos analisados.
  1. Admitindo que temos duas amostras independentes de populações normais, teste a hipótese de que não há diferença entre as duas dietas, contra a alternativa que a dieta A é mais eficaz, usando o teste t de Student, no nível de \(\alpha = 0, 01.\)
#H0: muA = muB
#H1: muA > muB
x = c(15, 18, 12, 11, 14, 15)
y = c(11, 11, 12, 16, 12, 13, 8, 10, 13)
xAbarra = mean(x)
xBbarra = mean(y)
nA = 6
nB = 9
sA = sd(x)
sB = sd(y)
alpha = 0.01
#teste-F (desvio populacional desconhecido)
#H0:SigmaA^2 = SigmaB^2
#H1:SigmaA^2 < SigmaB^2
Fcal = (sB^2)/(sA^2)
Fcal
## [1] 0.8018018
Ftab = qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab
## [1] 0.1507881
ConclusaoF <- ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF
## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"
# A variância das populações são diferentes.

#teste-t
#H0:muA = muB
#H1:muA > muB
Tcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal
## [1] 1.902208
A <- (sA^2)/nA
B <- (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
(df = round(df, digits = 0))
## [1] 10
df
## [1] 10
Ttab <- qt(alpha/2, df)
Ttab
## [1] -3.169273
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"
#Não existe diferença entre os tratamentos analisados.
  1. Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.

a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

mu=8
sigma=2
pnorm(q=5, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.0668072
pnormGC(5, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.0668072

b) E mais do que 9,5 minutos?

mu=8
sigma=2
pnorm(9.5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2266274
pnormGC(9.5, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.2266274

c) E entre 7 e 10 minutos?

mu=8
sigma=2
pnorm(10, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(7, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.5328072
pnormGC(c(7,10), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.5328072

d) 7\(5\%\) das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

qnorm(0.75, mean = 8, sd = 2, lower.tail = FALSE)
## [1] 6.65102
qnormGC(0.75, region = "above", mean = 8, sd = 2, graph = TRUE )

## [1] 6.65102
  1. A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: 1\(5\%\) dos mais leves como pequenos, os \(50\%\) seguintes como médios, os \(20\%\) seguintes como grandes e os 1\(5\%\) mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?

Pequenos

qnorm(0.15, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = TRUE)
## [1] 4.06721
qnormGC(0.15, region = "below", mean = 5, sd = 0.9, graph = TRUE )

## [1] 4.06721

Médios

qnorm(0.15, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = FALSE)- qnorm(0.65, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.5860016
qnormGC(0.5860016, region = "between", mean = 5, sd = 0.9, graph = TRUE )

## [1] 4.26481 5.73519

Grandes

qnorm(0.85, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = TRUE)-qnorm(0.85, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = FALSE)
## [1] 1.86558
1.86558-1
## [1] 0.86558
qnormGC( 0.86558, region = "between", mean = 5, sd = 0.9, graph = TRUE )
## [1] 3.652792 6.347208
qnorm(0.15, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = TRUE)-1
## [1] 3.06721
qnormGC( 0.86558, region = "between", mean = 5, sd = 0.9, graph = TRUE )

## [1] 3.652792 6.347208
  1. Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de \(1000cm^{3}\) e desvio padrão de \(10m^{3}.\) Admita que o volume siga uma distribuição normal.

a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que \(990cm^{3}?\)

mu=1000
sigma=10*1000000
pnorm(q=990, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.4999996
pnormGC(990, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.4999996

b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?

mu=1000
sigma=10*1000000
pnorm(10*1000000*2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275553
pnormGC(10*1000000*2, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.02275553
  1. Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m. Respectivamente.

a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.

Tipo A

mu=10
sigma=2
proba <- pnorm(q=6, mean = mu, sd=sigma)
pnorm(q=6, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.02275013

Tipo B

mu=11
sigma=3
probb <- pnorm(q=6, mean = mu, sd=sigma)
pnorm(q=6, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.04779035

b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.

# Lucro médio tipo A
1-proba
## [1] 0.9772499
1200*1-proba - 2500*proba
## [1] 1143.102
#Lucro médio Tipo B
1-probb
## [1] 0.9522096
2100*1-probb - 7000*probb
## [1] 1765.42

Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

print("A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, pois o lucro B é maior que o lucro médio de A.")
## [1] "A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, pois o lucro B é maior que o lucro médio de A."
  1. Um estudo comparou dois métodos (A e B) para ensinar matemática a alunos do primeiro grau. Após 10 semanas, o desempenho dos alunos foi avaliado em um teste. Teste a hipótese de que o método A resulta num melhor desempenho médio, ao nível \(\alpha=5\%\), com base nos resultados da tabela a seguir:
Método Número de alunos Média das notas Desvio padrão das notas
A 10 8.15 1.15
B 8 7.31 1.94 
nA <- 10
nB <- 8
xAbarra <- 8.15
xBbarra <- 7.31
sA <- 1.15
sB <- 1.94
#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB (Teste-t bilateral)
#Precisamos proceder antes do teste-T o teste-F.
#H0:SigmaA^2=SigmaB^2
#H1:SigmaA^2<SigmaB^2 (Teste unilateral)

(Fcal <- (sB^2)/(sA^2))
## [1] 2.845822
(pvalor <- pf(q=Fcal, df1 = nB-1, df2 = nA-1))
## [1] 0.9267392
#Conclusao: Não rejeita-se H0 para todo alpha < pvalor. Assim, para realizar o teste - t, vamos considerar que as variâncias do método A 
#e método B são iguais (SigmaA^2=SigmaB^2). Dessa forma, procedemos 
# o teste-t para variâncias populacionais iguais.

#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB (Teste-t bilateral)

#A <- (sA^2)/nA
#B <- (sB^2)/nB
#
#df <- ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
df <- nA+nB-2  
Sc <- sqrt((((sA^2)*(nA-1))+((sB^2)*(nB-1)))/(nA+nB-2))  
#Estatística do Teste
Tcal <- (xAbarra-xBbarra)/(Sc*sqrt((1/nA)+(1/nB)))
Tcal
## [1] 1.145369
(pvalor <- pt(Tcal, df = gl, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.8592004
ConclusaoT <- "Não rejeita-se H0 para alpha menor que pvalor, portanto não a diferença entre os testes"
  1. A lei trabalhista estabelece que o pagamento diário mínimo deve ser de 13, 20 U.M. (unidades monetárias). Assuma distribuição normal com desvio padrão igual a 2,0 U.M. Uma amostra aleatória de 40 trabalhadores de uma firma revelou média diária de 12,20 U.M .Esta firma deve ser acusada de estar infringindo a lei? Conclua a \(1\%\) de probabilidade.
mu <- 13.20
sigma <- 2
n <- 40
xbarra <- 12.20
alpha <- 0.01
#H0:mu=13.20
#H1:mu<13.20

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] -3.162278
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 2.326348
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"
#Logo, conclui- se que essa firma deve ser acusada de infrigir a lei!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.0007827011
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.01  Rejeita-se H0"
  1. A tabela a seguir mostra a frequência de acidentes automobilísticos por ano, de acordo com a faixa etária (idade) do motorista, para motoristas com idade inferior a 25 anos. Teste a hipótese de que o número de acidentes independe da idade, a \(5\%\) de probabilidade. Isto é, teste a hipótese de que o número anual de acidentes se distribui proporcionalmente nas faixas etárias. A tabela abaixo apresenta o percentual de motoristas em cada faixa etária.
% de motoristas 10 20 20 25 25
idade (anos) 15-16 17-18 19-20 21-22 23-24
número de acidentes 8 15 13 11 8 
alpha <- 0.05
(TotalAcidentes <- 8+15+13+11+8)
## [1] 55
Obs <- c(8,15,13,11,8)
#H0:O percentual de acidentes independe da idade
#H1:Não H0
XiQuad <- chisq.test(Obs, p = c(0.1,0.2,0.2,0.25,0.25))
XiQuad
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  Obs
## X-squared = 5.9091, df = 4, p-value = 0.206
  1. Uma indústria farmacêutica conduziu um estudo para avaliar o tempo médio em dias para recuperação dos efeitos da gripe. O estudo comparou o tempo de indivíduos que tomaram 500 mg diárias de vitamina C, contra indivíduos que não tomaram vitamina C (nenhum suplemento). Com base nos dados a seguir, conclua e interprete a \(5\%\) de probabilidade.
Nenhum suplemento 500mg Vit. C
Tamanho da amostra 12 12
Tempo médio 7,4 5,8
Variâncias 2,9 2,4 
nA <- 12
nB <- 12
xAbarra <- 7.4
xBbarra <- 5.8
sA <- sqrt(2.9)
sB <- sqrt(2.4)
#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB (Teste-t bilateral)
#Precisamos proceder antes do teste-T o teste-F.
#H0:SigmaA^2=SigmaB^2
#H1:SigmaA^2<SigmaB^2 (Teste unilateral)

(Fcal <- (sB^2)/(sA^2))
## [1] 0.8275862
(pvalor <- pf(q=Fcal, df1 = nB-1, df2 = nA-1))
## [1] 0.3795903
#Conclusao: Não rejeita-se H0 para todo alpha < pvalor. Assim, para realizar o teste - t, vamos considerar que as variâncias do método A 
#e método B são iguais (SigmaA^2=SigmaB^2). Dessa forma, procedemos 
# o teste-t para variâncias populacionais iguais.

#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB (Teste-t bilateral)

#A <- (sA^2)/nA
#B <- (sB^2)/nB
#
#df <- ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
df <- nA+nB-2  
Sc <- sqrt((((sA^2)*(nA-1))+((sB^2)*(nB-1)))/(nA+nB-2))  
#Estatística do Teste
Tcal <- (xAbarra-xBbarra)/(Sc*sqrt((1/nA)+(1/nB)))
Tcal
## [1] 2.407535
(pvalor <- pt(Tcal, df = gl, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.980296
ConclusaoT <- "Não rejeita-se H0 para alpha menor que pvalor"
  1. Um pesquisa de opinião entrevistou 50 pessoas em dois distritos. O objetivo era verificar se a distribuição das opiniões era homogênea nos dois distritos. Com base nos dados da tabela, teste a hipótese de homogeneidade de opiniões usando \(\alpha=5\%\).
Sim Indeciso Não Total
Distrito A 20 9 21 50
Distrito B 26 3 21 50
Total 46 12 42 100 
Fobs <- data.frame(Distrito=c("Distrito A", "Distrito B"), Sim=c(20,26),
                   Indeciso=c(9,3), Nao=c(21,21), row.names = TRUE)

#H0: As opiniões são homogêneas
#H1: Não H0

chisq.test(Fobs, correct = TRUE)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  Fobs
## X-squared = 3.7826, df = 2, p-value = 0.1509
  1. Uma associação comercial afirma que o número médio de dias de trabalho perdidos anualmente, devido a problemas de saúde, é igual a 60. Uma extensa campanha educacional visando a conscientizar os trabalhadores quanto a importância de uma alimentação balanceada, higiene pessoal, prática de esportes etc, foi conduzida com o intuito de melhorar este quadro. Um ano após esta campanha, um estudo com 30 trabalhadores forneceu média igual a 55 dias. Assuma que o número de dias de trabalho perdidos anualmente é normalmente distribuído com variância \(\sigma^{2}=275\). Pede-se:

a) Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de \(\alpha= 1\%\) de probabilidade?

mu <- 60
sigma <- 275
n <- 30
xbarra <- 55
alpha <- 0.01
#H0:mu=60
#H1:mu<60

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] -0.09958592
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 2.326348
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"
#Logo, conclui- se que essa firma deve ser acusada de infrigir a lei!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.4603365
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor> 0.01  Não Rejeita-se H0"

b) Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha educacional foi eficaz?

print("Podemos afirmar que a campanha educacional foi eficaz para valores abaixo de 46% de sgnificancia")
## [1] "Podemos afirmar que a campanha educacional foi eficaz para valores abaixo de 46% de sgnificancia"
  1. Um gerente comercial acredita que um número excessivo de horas estejam sendo desperdiçadas em contatos comerciais, via telefone, entre os seus vendedores e os clientes em potencial. Ele deseja no máximo quinze horas por semana por vendedor. Este gerente comercial contratou uma empresa especializada para treinar seus vendedores. Após este treinamento, uma amostra de 36 vendedores revelou média igual a 17h por semana por vendedor. O que pode ser concluído quanto a eficácia do treinamento? Assuma \(\sigma^{2}=9\) e utilize \(\alpha=5\%\).
mu <- 15
sigma <- 9
n <- 36
xbarra <- 17
alpha <- 0.05
#H0:mu=15
#H1:mu>15

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] 1.333333
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = TRUE)
Ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, conclui- se que o treinamento foi eficaz!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.09121122
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor> 0.05  Não Rejeita-se H0"
  1. Com base em dados obtidos de 400 mulheres, apresentados na tabela abaixo, pode-se concluir que o nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes? Conclua a \(5\%\) de probabilidade.
Nível educacional ruim razoável boa muito boa
Universidade 18 29 70 115
2º grau 17 28 30 41
3º grau 11 10 11 20 
Fobs <- data.frame(Distrito=c("Universidade", "2° grau", "3° grau"), Ruim=c(18,17,11), Razoável=c(29,28,10), boa=c(70,30,11 ), Muitoboa=c(115,41,20),
row.names = TRUE)

#H0: Nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes
#H1: Não H0

chisq.test(Fobs, correct = TRUE)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  Fobs
## X-squared = 19.943, df = 6, p-value = 0.002835
print("Não são independentes uma vez que se rejeita H0 pelo p valor muito baixo")
## [1] "Não são independentes uma vez que se rejeita H0 pelo p valor muito baixo"
  1. Uma cooperativa de produtores possui uma máquina de encher vasilhame com um litro de leite. Para assegurar que em média cada vasilhame não terá leite a mais e nem a menos, o responsável pelo controle de qualidade amostra, semanalmente, 75 vasilhames enchidos pela máquina. Se uma amostra fornecer 63, 97 litros e desvio padrão \(s = 0, 25\) litros, deve-se parar a máquina para regulagem ou continuar a produção? Qual deve ser o procedimento adotado a \(\alpha=5\%\) de probabilidade?
mu <- 75
sigma <- 0.25
n <- 75
xbarra <- 67.97
alpha <- 0.05
#H0:mu=75
#H1:mu<75

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] -243.5263
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, conclui- se que deve-se paarar a máquina para regulagem!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = TRUE))
## [1] 0
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.05  Rejeita-se H0"
  1. A renda média de famílias com 4 pessoas na região sudeste do Brasil, no ano de 1975, era de 5 U.M. Economistas acreditam que atualmente a renda média é maior. Pede-se,

a) Quais seriam as hipóteses estatísticas (H0 e Ha), para se tentar provar que atualmente a renda média é maior do que em 1975?

H0:mu=5u.m

H1:mu>5u.m

b) Quais são as informações necessárias para se realizar um teste Z?

print("O Teste Z requer a variância populacional, e a média populacional.")
## [1] "O Teste Z requer a variância populacional, e a média populacional."

c) Quais são as informações necessárias para se realizar um teste t?

print("O Teste t requer a variância amostral, o número da amostra, e a média populacional.")
## [1] "O Teste t requer a variância amostral, o número da amostra, e a média populacional."

d) Explique os dois possíveis erros (erro tipo I e erro tipo II) de decisão que podem ocorrer neste exemplo?

print("No erro tipo I rejeita- se H0 mesmo sendo verdadeira, neste caso ocorrendo o erro do tipo I iriamos afirmar que o slário é menor mesmo sendo maior. Já no erro tipo II não rejeita- se H0 mesmo sendo falsa, neste caso ao ocorrer o erro do tipo II, iria afirmar que o salário é menor mesmo sendo maior.")
## [1] "No erro tipo I rejeita- se H0 mesmo sendo verdadeira, neste caso ocorrendo o erro do tipo I iriamos afirmar que o slário é menor mesmo sendo maior. Já no erro tipo II não rejeita- se H0 mesmo sendo falsa, neste caso ao ocorrer o erro do tipo II, iria afirmar que o salário é menor mesmo sendo maior."
  1. Assuma que o consumo mensal per capita de determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão igual a 5 kg. Com a atual crise (do dólar, do apagão, do futebol…várias opções!) o departamento de vendas da fábrica decidiu que irá retirar o produto do mercado, caso o consumo médio \((\mu)\) per capita seja inferior a 10kg. Se uma pesquisa de mercado, com uma amostra de 100 indivíduos, revelar consumo médio mensal per capita de 9 kg, pede-se: Qual deve ser a afirmação, ao nível de significância de \(1, 5\%?\)
mu <- 10
sigma <- 5
n <- 100
xbarra <- 9
alpha <- 0.015
#H0:mu=10
#H1:mu<10

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] -2
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 2.17009
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.015 de significância"
#Logo, conclui- se que a fábrica não deve retirar o produto do mercado!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = TRUE))
## [1] 0.02275013
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor> 0.015  Não Rejeita-se H0"
  1. No quadro abaixo estão as opiniões, com respeito ao desempenho e a potência do motor, de proprietários de veículos de um determinado fabricante. As opiniões foram classificadas pela idade do proprietário.
Idade Ruim Bom
Jovem 30 20
Experiente 20 30

O que pode ser afirmado quanto à seguinte hipótese de nulidade? H0 : Idade e opinião são independentes.

Fobs <- data.frame(Distrito=c("Jovem", "Experiente"), Ruim=c(30,20),
                   Bom=c(20,30),  row.names = TRUE)

#H0: Idade e opinião são independentes
#H1: Não H0

chisq.test(Fobs, correct = TRUE)
## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  Fobs
## X-squared = 3.24, df = 1, p-value = 0.07186
  1. Para comparar duas marcas de pará-choques, montaram-se seis de cada marca em 12 carros compactos, fazendo-se cada carro colidir com um muro de concreto, a uma velocidade de 40 km Registraram-se os seguintes custos de reparo:
Pára-choque Custo (R$) Média Variância
A 320 310 380 360 320 345 339,17 744,17
B 305 290 340 315 280 305 305,80 434,17

Teste (\(\alpha=5\%\)) a hipótese de igualdade entre os custos médios de reparo dos pará-choques.

A <- c(320,310,380,360,320,345)
B <- c(305,290,340,315,280,305)
sd(A)
## [1] 27.27942
sd(B)
## [1] 20.83667
nA <- length(A)
nB <- length(B)
#Teste-F
#H0:SigmaA^2=SigmaB^2
#H1:SigmaA^2!=SigmaB^2

var.test(A, B, alternative = "two.sided")
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  A and B
## F = 1.714, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.5687
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   0.2398433 12.2489808
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           1.714012
print("Para alpha > p-value=0.5687 rejeita-se H0, logo, devemos proceder o teste-t para variâncias desiguais.")
## [1] "Para alpha > p-value=0.5687 rejeita-se H0, logo, devemos proceder o teste-t para variâncias desiguais."
#H0:muLi=muAd
#H1:muLi!=muAd

t.test(A, B, alternative = "two.sided", var.equal = FALSE)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  A and B
## t = 2.3786, df = 9.3527, p-value = 0.04033
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   1.813021 64.853645
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  339.1667  305.8333
print("Para alpha menor do que p-value=0.04033, não rejeita-se H0. Ou seja nesse caso, os custos médios de reparo são desiguais.")
## [1] "Para alpha menor do que p-value=0.04033, não rejeita-se H0. Ou seja nesse caso, os custos médios de reparo são desiguais."
  1. Se um dado não é viciado cada uma das seis faces ocorre com igual probabilidade. Um determinado dado foi lançado 720 vezes, obtendo-se:
Face 1 2 3 4 5 6 Total
Frequência observada 129 107 98 132 136 118 720

O dado será considerado viciado para qual nível de significância? Explique sua resposta.

(TotalAcidentes <- 720)
## [1] 720
Obs <- c(129,107,98,132,136,118)
#H0:Dado viciado
#H1:Não H0
XiQuad <- chisq.test(Obs, p = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6))
XiQuad
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  Obs
## X-squared = 9.4833, df = 5, p-value = 0.09127
print("o dado será considerado um dado vicido para um nivel de significância maior que 0.09127, que foi o p-valor calculado.")
## [1] "o dado será considerado um dado vicido para um nivel de significância maior que 0.09127, que foi o p-valor calculado."
  1. O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos. Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada, considerando \(\alpha=5\%\)? Apresente as suposições teóricas usadas para resolver problema.
mu <- 100
sigma <- 12
n <- 16
xbarra <- 85
alpha <- 0.05
#H0:mu=100
#H1:mu<100

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] -5
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, conclui- se que o tempo para um operário realizar uma tarefa não melhorou!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = TRUE))
## [1] 2.866516e-07
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.05  Rejeita-se H0"