Cálculo de intervalos de confianza

Cuando realizamos mediciones o cálculos el resultado que obtenemos no es el valor real, más bien es una estimación de lo que queremos medir o calcular. Esto se debe a que los valores que obtenemos pueden tener un error al momento de tomar la medida o de realizar el cálculo.

¿Cómo podemos saber qué tanto error? calculando el intervalo de confianza. Un intervalo de confianza nos indica que tanta incertidumbre existe en una medición, nos indica que tan confiable es nuestra medición. Mientras más grande sea el intervalo de confianza menos confiable es nuestra medición, porque la amplitud del intervalo indica que el valor real de la medición puede variar mucho con respecto a nuestra estimación.

Para obtener el intervalo de confianza de una medición podemos utilizar la siguiente fórmula:

\[IC = \bar{x}\pm error\ marginal\] Donde \(\bar{x}\) es la media de nuestros datos y el error marginal es el error que tiene nuestra medición.

Para calcular el error marginal necesitamos obtener el producto del cuantil teórico por el error estándar de los datos. Por lo tanto, necesitamos 1) utilizar una distribución teórica para determinar el punto donde se encuenta el nivel de confianza que queremos dar a nuestra medición y 2) calcular el error estándar.

Si consideramos las siguientes mediciones como ejemplo el peso de cinco personas:

Generalmente se utiliza la distribución normal (\(z\)) o la distribución \(t\). La diferencia entre usar una u otra no es grande, sin embargo, es recomendable utilizar la distribución \(t\) ya que nos da un mayor rango de libertad para nuestros cálculos y funciona para muestras pequeñas o grandes. Al calcular el cuantil de la distribución teórica que corresponde al nivel de confianza determinamos, por ejemplo, si queremos un nivel de confianza de 95% estamos indicando que nuestra medición puede no corresponder con el valor real en cinco de cada 100 mediciones que realizamos. Ese 5% de error se divide entre las dos colas de la distribución (\(\alpha \over 2\)) de modo que para calcular el cuantil utilizamos \(1-{\alpha \over 2}=1-{0.05 \over 2}= 0.975\). Calculamos tanto el cuantil para la distribución normal como para la distribución \(t\).

qnorm(0.975)
qt(0.975, 4)

Aquí vemos que el intervalo de confianza con la distribución \(t\) será más grande, mientras más grande sea el tamaño de la muestra esta diferencia entre \(z\) y \(t\) disminuirá. Por el tamaño de nuestra muestra utilizaremos el cuantil de la distribución \(t\).

Para calcular el error estándar necesitamos conocer la desviación estándar (s = 17.0340248) y el tamaño de nuestra muestra (n = 5). La fórmula del error estándar es:

\[EE={s \over \sqrt{n}}\]

El error estándar para nuestros datos es entonces:

\[EE = {17.03402 \over 2.236068} = 7.617847\]

Con estos datos el error marginal es:

\[EM= t*EE = 2.776445*7.617847=21.15053\]

Sustituyendo en la fórmula para obtener el intervalo de confianza:

\[IC=69.76\pm21.15053=[48.60946,90.91054]\]

esto nos indica que la media de estatura real de los sujetos puede variar entre 48.61 y 90.91 este intervalo es casi tan amplio como el rango de nuestros datos debido al tamaño de la muestra.

Además de indicarnos que tan confiable es nuestra medición, los intervalos de confianza nos permiten comparar mediciones para determinar si estadísticamente se pueden considerar diferentes.

Pensemos que la estatura de nuestros sujetos se midió con una cinta métrica y queremos comparar si el promedio de estas estaturas es diferente al promedio obtenido cuando las estaturas se miden con una regla de 30 cm (esto añade error a nuestra medición).

La media para la primera medición es 69.76 y para la segunda es de 71.16. Numéricamente son diferentes, pero para determinar si estas dos medidas son estadísticamente diferentes obtenemos el intervalo de confianza para ambos conjuntos:

mean(Peso)+c(-1,1)*qt(0.975,4)*(sd(Peso)/sqrt(5))
mean(Peso2)+c(-1,1)*qt(0.975,4)*(sd(Peso2)/sqrt(5))

Para concluir que dos mediciones son estadísticamente diferentes sus intervalos de confianza no deben traslaparse (no deben compartir valores que comunes incluidos en ambos intervalos). En nuestro ejemplo los intervalos comparten todos los valores entre 49.1579 y 90.91054, por lo tanto, no podemos afirmar que sean estadísticamente diferentes.

Cuando se trata de datos binomiales podemos utilizar otros métodos, cuando tenemos una muestra grande podemos utilizar una aproximación normal.

\[p\pm z\sqrt{pq \over n}\]

donde \(p\) es la proporción de éxito y \(q\) es la proporción de fracaso, esta proporción se puede calcular restando \(1-p\).

Podemos considerar que una muestra es lo suficientemente grande para utilizar la aproximación normal si \(np \ge 30\) y \(nq \ge 30\).

Tomemos por ejemplo la producción de botellas de vidrio soplado por dos artesanos, cada uno de ellos produce 300 botellas las cuales son valoradas de acuerdo a sus características como Excelentes o _Deficientes.

Artesano	Excelentes	Deficientes	Total
1	285	15	300
2	270	30	300

Para saber si el número de botellas Excelentes que produce el artesano 1 es estadísticamente diferente de las que produce el artesano 2 obtenemos los intervalos de confianza.

El estimador insesgado de una proporción es \(p \over n\) de tal forma que la proporción para el artesano 1 es \({285 \over 300} = 0.95\) y para el artesano 2 es \({270 \over 300}= 0.9\).

Utilizamos la proporción para generar el intervalo de confianza para el artesano 1:

285/300+c(-1,1)*qnorm(0.975)*sqrt((0.95*0.05)/300)

[1] 0.9253377 0.9746623

Para el artesano 2 el intervalo es:

270/300+c(-1,1)*qnorm(0.975)*sqrt((0.9*0.1)/300)

[1] 0.8660524 0.9339476

Con estos intervalos de confianza que comparten los valores entre 0.9253377 y 0.9339476 no podemos afirmar que la proporción de éxito (botellas _Excelentes) para el artesano 1 sea estadísticamente diferente de la proporción de éxito del artesano 2.