Resolución de ejemplo 9.13 páginas 518-519 del libro Modern Mathematical Statistics with Applications Third Edition.

Para realizar este ejercicio se utilizó el dataset “propinas”, el cual ha sido transformado a vector para una mejor manipulación de los datos

propinas <- c(14.21, 20.24, 44914.0, 20.37, 29.87, 17.92, 13.46, 16.79, 11.48, 13.96, 15.23, 44820.0, 21.53, 12.76, 44854.0, 14.94, 15.29, 18.39, 19.74,   22.73, 44639.0, 19.19, 21.58, 11.94, 19.19, 11.91, 44760.0, 44879.0, 15.69,   44666.0, 27.55, 44577.0, 14.56, 15.16, 19.23, 12.39, 44611.0, 17.73, 18.21, 15.37,  
15.86, 20.67, 44663.0, 20.16, 17.85,  10.94, 13.52, 17.42, 44820.0, 16.42, 44761.0, 16.89, 18.93, 13.56, 44762.0, 40.09, 19.88, 16.31, 44636.0, 48.77, 15.66, 18.54, 27.88, 16.35, 14.48, 13.74, 17.70, 22.79, 12.31, 13.81)

Visualizamos los datos

propinas
##  [1]    14.21    20.24 44914.00    20.37    29.87    17.92    13.46    16.79
##  [9]    11.48    13.96    15.23 44820.00    21.53    12.76 44854.00    14.94
## [17]    15.29    18.39    19.74    22.73 44639.00    19.19    21.58    11.94
## [25]    19.19    11.91 44760.00 44879.00    15.69 44666.00    27.55 44577.00
## [33]    14.56    15.16    19.23    12.39 44611.00    17.73    18.21    15.37
## [41]    15.86    20.67 44663.00    20.16    17.85    10.94    13.52    17.42
## [49] 44820.00    16.42 44761.00    16.89    18.93    13.56 44762.00    40.09
## [57]    19.88    16.31 44636.00    48.77    15.66    18.54    27.88    16.35
## [65]    14.48    13.74    17.70    22.79    12.31    13.81

Breve análisis gráfico de los datos

plot(propinas, main = "Distribución de los datos del dataset propinas", xlab="")

Los datos se encuentran dispersos, algunos concentrados en la parte inferior de la gráfica y otros en la parte superior. De imediato podemos intuir que rechazaremos H0 debido a que hay datos extremos los que harán que el promedio se incremente drásticamente. Sin embargo, haremos una prueba de hipótesis para comprobarlo, definiendo H0 = “El promedio de propinas es de 15%”, (\(H0:u = 15\)), y H1 = “El promedio de propinas es mayor que 15%”, (\(H1:u > 15\)).

Prueba de hipótesis para μ de una población normal (prueba T)

require(nortest)
## Loading required package: nortest
t.test(propinas, y = NULL, alternative = c("greater"), conf.level = 0.95, mu = 15)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  propinas
## t = 4.1548, df = 69, p-value = 4.592e-05
## alternative hypothesis: true mean is greater than 15
## 95 percent confidence interval:
##  5372.084      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  8962.588

Interpretación: A un 95% de confianza, como el valor-P es inferior a cero y menor que el nivel de significancia 5%, se rechaza la hipótesis nula, es decir, las evidencias son suficientes para afirmar que la media verdadera de los porcentajes de propinas es mayor a 15%.

Prueba de hipótesis para μ de una población normal (prueba Z)

require(BSDA)
## Loading required package: BSDA
## Loading required package: lattice
## 
## Attaching package: 'BSDA'
## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     Orange
z.test(x=propinas, y=NULL, alternative="greater",mu=15,sigma.x=sd(propinas),sigma.y=NULL,conf.level=0.95)
## 
##  One-sample z-Test
## 
## data:  propinas
## z = 4.1548, p-value = 1.628e-05
## alternative hypothesis: true mean is greater than 15
## 95 percent confidence interval:
##  5420.291       NA
## sample estimates:
## mean of x 
##  8962.588

Interpretación: A un 95% de confianza, como el valor-P es inferior a cero y menor que el nivel de significancia 5%, se rechaza la hipótesis nula, es decir, las evidencias son suficientes para afirmar que la media verdadera de los porcentajes de propinas es mayor a 15%.