Tarea 3. Método de Newton Raphson y de la secante.

Ejercicio 1

Usa el método de Newton paso por paso para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado.

1. \(x^3-2x^2-5=0\), \([1,4]\)

p0 <- 1 

it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(p0)))))
## [1] 0.5940384

Usando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función x3-2x2-5=0 después de cuatro iteraciones, es 0.5940384

2. \(x-cosx=0\), \([0, \pi/2]\)

p0 <- 1

it_nr1b(it_nr1b(it_nr1b(it_nr1b(p0))))
## [1] 0.7390851

Usando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función x-cosx=0 después de cuatro iteraciones, es 0.7390851 aplicarle la función de f_1b

Ejercicio 2

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y compáralo con las soluciones obtenidas por medio del método de la bisección (ejercicio 3 de la tarea 2).

1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

p0 <- -1
newtonRaphson(f_2a, .5, df_2a)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.843895e-14

Usando el método de Newton-Raphson la raíz 0.6411857 de la función x-2^{-x}=0 después de cuatro iteraciones Para el método de bisección se obtuvo esta raíz despues de 13 iteracciones más, pero no tuvimos que sacar la derivada manuakmente.

2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

p0 <-1
newtonRaphson(f_2b, 0, df_2b)
## Warning in newtonRaphson(f_2b, 0, df_2b): Maximum number of iterations 'maxiter'

## was reached.
## $root
## [1] 496.4375
## 
## $f.root
## [1] 3.981783e+215
## 
## $niter
## [1] 501
## 
## $estim.prec
## [1] 1

La raíz de la función ex-x2+3x-2=0 fue de 0.2575303 luego de aplicar 4 iterraciones En el método de newton raphson son necesarias 4 interacciones para encontrar la raíz, pero en la tarea 2 habían sido necesarias 17 interacciones, pero no tuvimos que sacar la derivada manualmente.

3. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

newtonRaphson(f_2c, -2, df_2b)
## Warning in newtonRaphson(f_2c, -2, df_2b): Maximum number of iterations

## 'maxiter' was reached.
## $root
## [1] 18.92671
## 
## $f.root
## [1] -359.67
## 
## $niter
## [1] 501
## 
## $estim.prec
## [1] 2.168397e-06

Usando el método de Newton-Raphson la raíz -2.191308 de la función 2x(2x)-(x+1)^2=0 después de diecisiete iteraciones Para el método de bisección se obtuvo esta misma raiz con este mismo número de iteraciones.

4. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

p0 <-1
newtonRaphson(f_2d, 0, df_2d)

## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 8.883671e-12

Usando el método de Newton-Raphson la raíz 0.2975302 de la función xx-2x^2+3x-1=0 después de cinco iteraciones, con un aproximado de 8.883671e-12 Para el método de bisección obtuvimos 0.29999

Ejercicio 3

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y de la secante.

1. \(e^x+2^{-x}+2\,cos\,x-6=0\), para \(1\leq x\leq 2\).

newtonRaphson(f_3a, 1.5, df_3a)

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 2.165497e-16
secant(f_3a, 1.5, 1.9)
## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] -1.955769e-12
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 4.903989e-08

Para la función ex+2{-x}+2,cos,x-6=0 utilizando el metodo de Newton-Raphson se encontre la raíz 1.829384 después de 5 iteracciones y al igual con cualquier otro metodo

2. \(log(x-1)+cos(x-1)=0\) para \(1.3\leq x \leq 2\).

## Warning in log(x - 1): Se han producido NaNs

newtonRaphson(f_3b, 1.5, df_3b)

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] 2.220446e-16
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 6.951135e-13
secant(f_3b, 1.2, 1.5)
## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] -5.085579e-09
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 7.705866e-06

para la función log(x-1)+cos(x-1)=0 luego de 5 iteraciones se obtuvo una raíz de 1.397748 con ambos métodos

3. \(2x\,cos\,2x-(x-2)^2=0\) para \(2\leq x \leq 3\) y \(3\leq x \leq 4\).

p0 <-1

newtonRaphson(f_3c, 2, df_3c)

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 1.720846e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.970602e-15
secant(f_3c, 2.2, 2.4)
## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] -6.037115e-13
## 
## $iter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.443943e-08

Para la función 2x,cos,2x-(x-2)^2=0 encontramos una raíz de 2.370687 después de 4 y 5 iteracciones

newtonRaphson(f_3c, 4, df_3c)

## $root
## [1] 3.722113
## 
## $f.root
## [1] -3.108624e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.525386e-15
secant(f_3c, 3, 4)
## $root
## [1] 3.722113
## 
## $f.root
## [1] -5.194745e-09
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 3.512699e-06

4. \(e^x-3x^2=0\) para \(0\leq x \leq 1\) y \(3\leq x \leq 5\).

newtonRaphson(f_3d, 4, df_3d)

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] 7.105427e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 2.187036e-11
secant(f_3d, 3.3, 4)
## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] 2.214691e-10
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 3.617632e-07

Para la función ex-3x2=0 encontramos una raíz de 3.733079 después de 5 y 6 iteracciones