Estadística Inferencia

Distribuciones de muestreo fundamentales y descripciones de datos.

Muestreo aleatorio

Población y muestras

Definición: Una población consiste en la totalidad de las observaciones en las que estamos interesados

Definición: Una muestra es un subconjunto de una población

Definición: Sean \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) n variables independientes, cada una con una misma distribución de probabilidad \(f(x)\). Definimos \(X_{1},...,X_{n}\) con una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de la población \(f(x)\) y escribimos su distribución de probabilidad conjunta como \[f(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1})...f(x_{n})\]

Algunos estadísticos importantes

Definición: Cualquier función de las variables aleatorias que forman una muestra aleatoria se llama estadístico

Tendencia central en la muestra.

Definición: Si \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) representan una muestra aleatoria de tamaño \(n\), entonces media de la muestra se define mediante el estadístico \[\bar{X}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\] Existen otros tipos de medias que se ajustan según la situación y la caracteristica de los datos u observaciones que se tienen. Una de estas variaciones es el media truncada, la cual calcula el promedio dejando por fuera un número fijo de valores aleatorios en cada extremo y luego encontrando la media con los valores de las observaciones restantes.

Definición: si \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) representa una muestra aleatoria de tamaño \(n\), entonces la media truncada se define mediante el estadístico con \(p\) valores más pequeños y más grandes omitidos es: \[\bar{X}=\frac{\sum_{i=p+1}^{n-p}X_{i}}{n-2p}\] La media es sensible a valores extremos, por lo tanto la media truncada elimina la influencia de valores extremos.

Otro tipo de media es la media ponderada, que se calcula multiplicando cada observación o dato \(X_{i}\) con un peso \(w_{i}\) ya especificado y dividiendo esta suma por la suma de los pesos

Definición: Si \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) representa una muestra aleatoria de tamaño \(n\), entonces la media ponderada se define mediante el estadístico

\[\bar{X}_{w}= \frac{\sum_{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum_{i=1}^{n}w_{i}}\] Existen dos motivaciones por la cual utilizamos este tipo de promedio. 1. Algunos valores son intrinsecamente mas variables que otros, y estos valores con alta variabilidad se le da un peso menos. Por ejemplo si estamos tomando el promedio de multiples sensonres y uno de estos sensores tiene poca presición, entonces podemos bajar su influencia utilizando los pesos para este sensor.

2. Las observaciones o datos obtenimos no representan de manera equitativa diferentes grupos de los cuales queremos realizar mediciones. Por ejemplo debido a como un experimento en linea fue implementado fue realizado, no tenemos datos que reflejen de manera precisa todos los grupos que deseamos estudiar. Para corregir esto podemos dar pesos de mayor valor a los grupos con baja representación.

Veamos el siguiente conjunto de datos.

library(readr)
state <- read_csv("data/state.csv")

## Rows: 50 Columns: 4

## -- Column specification --------------------------------------------------------
## Delimiter: ","
## chr (2): State, Abbreviation
## dbl (2): Population, Murder.Rate

## 
## i Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## i Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.

head(state)

En la tabla observamos las primeras seis filas del conjunto de datos que contiene la población y tasas de homicidio.

Encontremos la media de la población de los estados.

#mean es la función de r para encontrar el promedio o media. 
mean(state[['Population']])

## [1] 6162876

#Si deseamos encontrar la media truncada utilizamos el argumento trim
mean(state[['Population']], trim=0.1)

## [1] 4783697

Este trim=0.1 elimina o deja de considerar el 10% de los datos en cada extremo

#weighted.mean es la función de r para las medias ponderadas. 
weighted.mean(state[['Murder.Rate']], w=state[['Population']])

## [1] 4.445834

Varianza de la muestra

La varianza debería indicar como se dispersan las observaciones a partir del promedio. Es posible tener dos conjuntos de observaciones con las mismas media o mediana, y que difieran de manera considerable en la variabilidad de sus mediciones alrededor del promedio.

Considere las siguientes mediciones, en litros, para dos muestras de jugo de naranaja envasado por las compañias A y B

#Creación de vectores con la información de cada muestra. 
Muestra_A <-c(0.97, 1.00, 0.94, 1.03, 1.06)
Muestra_B <-c(1.06, 1.01, 0.88, 0.91, 1.14)

#Creación de un dataframe. 
df<-data.frame(Muestra_A,Muestra_B)
df

Ahora, encontremos la media de cada una de las muestras.

#Utilizamos la función cat para imprimir un mensaje frete a un resultado. 
cat("Media de la Muestra A: ", mean(Muestra_A))

## Media de la Muestra A:  1

cat("Media de la Muestra B: ", mean(Muestra_B))

## Media de la Muestra B:  1

Vemos que ambas muestras tienen la misma media, \(1.00\) litros. ¿Cómo podemos saber cual de las dos compañias envasa de manera mas uniforme? Buscamos en cual de las dos muestras la variabilidad o la dispersión de las observaciones respecto al promedio es menor.

Definición: Si $X_{1},X_{2},…,X_{n} representan una muestra aleatoria de tamaño \(n\), entonces la varianza de la muestra se define con el estadistico
\[ S^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\] El valor calculado de \(S^{2}\) para una muestra dada se denota con \(s^2\).

#Utilizamos la función sd para encontrar la desviación standar de la muestra. 
cat("Varianza de la Muestra A", (sd(Muestra_A))^2)

## Varianza de la Muestra A 0.00225

cat("Varianza de la Muestra B",(sd(Muestra_B))^2)

## Varianza de la Muestra B 0.01145

Por lo tanto vemos que si compramos un jugo de naranja, tendríamos más confianza de que el envase seleccionado esté más cerca del promedio anunciado si lo compramos a la compañia A.

Ejemplo: Una comparación de los precios de café en cuatro tiendas de abarrotes, seleccionadas al azar, en San Diego mostró aumentos en comparación con el mes anterior de 12,15,17 y 20 centavos para una bolsa de 1 libra. Encuentre la varianza de esta muestra aleatoria de aunmento de precio.

Aumento_cafe <-c(12,15,17,20)

Aumento_cafe_df <-data.frame(Aumento_cafe)
Aumento_cafe_df

Podemos utilizar la función sd(), que corresponde a la desviación estandar, y por definición el cuadrado de esta será el valor de la varianza.

#Podemos utilizar la función sd para encontrar la varianza elevando esta al cuadrado. 
(sd(Aumento_cafe))^2

## [1] 11.33333

#Utilizamos var para encontrar la varianza de una muestra. 
var(Aumento_cafe)

## [1] 11.33333

Existe una expresión alternativa para la varianza y que es un teorema: Teorema: Si \(S^{2}\) es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño \(n\), podemos escribir: \[S^{2}=\frac{1}{n(n-1)}\left[n\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}- \left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}\right]\] Definición: La **desviación estándar de la muestra, que se denota con \(S\), es la raíz cuadrada positiva de la varianza de la muestra.

Ejemplo: Encuentre la varianza de los datos 3, 4, 5, 6, 6 y 7 que representan el número de truchas atrapadas por una muestra aleatoria de 6 pescadores el 19 de junio de 1996, en el lago Muskoka.

pescador <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6)
numero_truchas<-c(3, 4, 5, 6, 6, 7)

numero_truchas_df<-data.frame(pescador, numero_truchas)
numero_truchas_df

Ahora, para encontrar la desviación estandar en R solo necesitamos utilizar la función sd()

cat("La desviación estadar del numero de truchas es: ", sd(numero_truchas_df$numero_truchas) )

## La desviación estadar del numero de truchas es:  1.47196

Presentación de datos y métodos gráficos

Gráfica de caja y extensión o gráfica de caja

La gráfica de caja se basa en los percentiles y da una visualización rapida a la distribución de los datos.

Ejemplo: Se midió el contenido de nicotina en una muestra aleatoria de 40 cigarrillos. Los datos se ven en la siguiente tabla.

nicotina <-c(1.09, 0.85, 1.86, 1.82, 1.40, 1.92, 1.24, 1.90, 1.79, 1.64, 2.31, 1.58, 1.68, 2.46, 2.09, 1.79, 2.03, 1.51, 1.88, 1.75, 2.28, 1.70, 1.64, 2.08, 1.63, 1.74, 2.17, 0.72, 1.67, 2.37, 1.47, 2.55, 1.69, 1.37, 1.75, 1.97, 2.11, 1.85, 1.93, 1.63)

nicotina_df<-c(nicotina)
nicotina

##  [1] 1.09 0.85 1.86 1.82 1.40 1.92 1.24 1.90 1.79 1.64 2.31 1.58 1.68 2.46 2.09
## [16] 1.79 2.03 1.51 1.88 1.75 2.28 1.70 1.64 2.08 1.63 1.74 2.17 0.72 1.67 2.37
## [31] 1.47 2.55 1.69 1.37 1.75 1.97 2.11 1.85 1.93 1.63

#boxplot es la función para crear graficos de cajas y bigotes. 
boxplot(nicotina_df)

De esta grafica podemos observar que la media de la cantidad de nicotina es alrededor de \(1.7\) y los datos \(0.72\) y \(0.85\) como valores extremos inferiores; en tanto que la observación \(2.55\) es un valor extremo moderado superior. En este ejemplo el raangi intercuartil es \(0.365\), y \(1.5\) veces el rango intercuartil es \(0.5475\)

Veamos cual es la media de estos datos.

mean(nicotina_df)

## [1] 1.77275

la parte superior y la parte inferior de la caja son el percentil del \(75\) y \(25\). La mediana es la linea horizontal que esta dentro de la caja. Las lineas discontinuas, tambien llamadas como bigotes se extienden desde la parte superior e inferior del cuadro para indicar el rango de la mayor parte de los datos. Por defecto, la función de \(R\) extiende los bigotes al punto más allá de la caj, execepto que no ira mas allá de \(1.5\) veces el rango intercuartil.

Gráfica de cuantiles.

El propósito de las gráficas de cuantiles consiste en describir, en forma de muestra, la función de distribución acumulada.

Definición Un cuantil de una muestra, \(q(f)\), es un valor para el que una fracción específica \(f\) de los valores de los datos es menor que o igual a \(q(f)\)

Una gráfica de cuantiles simplemente gráfica los valores de los datos en el eje vertical contra una evaluación empírica de la fracción de observaciones excedidad por los valores de los datos

Detección de desviaciones de la normalidad.

##Gráfica de cuantiles-cuantiles normales.

La metodología incluye una gráfica de los cuantiles empíricos recién presentados contra el cuantil correspondiente de la distribución normal

Definición La **gráfica de cuantiles-cuantiles normales* es una grafica de \(y_{(i)}\) observaciones ordenadas contra \(q_{0,1}(f_{i})\), donde \(f_{i}=\frac{i-\fra{3}{8}}{n+\frac{1}{4}}\)

Una relación cercana a una línea recta sugiere que los datos provienen de una distribución normal. La intersección en el eje vertical es una estimación de la media de la población \(\mu\) y la pendiente es una estimación de la desviación estándar \(\sigma\). Ejemplo

#repeticiones del experimento
rep = 100
#tamano de la muestra
n = 16
#media de la población
mu = 800
#desviacion estandar de la población 
sigma = 40
#matriz para guardar las muestras
muestras = matrix(data = NA, nrow = rep, ncol = n)
#Generacion de las muestras de tamaño n provenientes de una población
#Normal con media mu y desviación sigma
for (i in 1:rep) {
  muestras[i,] = rnorm(n, mean=mu, sd=sigma) 
}
#Convertir la matriz muestras en un data.frame
muestras = data.frame(muestras)
head(muestras)

qqnorm(muestras$X1, pch = 1, frame = FALSE)
qqline(muestras$X1, col = "steelblue", lwd = 2)

Graficación de la probabilidad normal..

Estación_1 <-c(5.30, 4.980, 13.700, 11.910, 10.730, 8.130, 11.400, 26.850, 860, 17.660, 2.200, 22.800, 4.250, 1.130, 15.040, 1.690)

Estación_2 <-c(2.800, 4.670, 6.890, 7.720, 7.030, 7.330, 2.810, 1.330, 3.320, 1.230, 2.130, 2.190, NA, NA, NA, NA)

Número_de_organismos_m2 <-data.frame(Estación_1, Estación_2)
Número_de_organismos_m2

Distribuciones muestrales de medias

El campo de la inferencia estadística se trata básicamente con generalizaciónes y predicciones.

Inferencias sobre la población a patir de la información de la muestra.

Definición La distribuciòn de probabilidad de in estadìstico se llama distribuciòn muestral.

Distribuciones muestrales de medias

Teorema del lìmite central: si \(\bar{X}\) es la media de de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) tomada de una población con media \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^{2}\), entonces la forma límite de la distribución de \[Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\] conforme \(n \rightarrow \infty\), es la distribución normal estándar \(n(z;0,1)\)

Ejemplo Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 bombillas tengan una vida promedio de menos de 775 horas.

#repeticiones del experimento
rep = 10000
#tamano de la muestra
n = 16
#media de la población de bombillos
mu = 800
#desviacion estandar de la población de bombillos
sigma = 40
#matriz para guardar las muestras
muestras = matrix(data = NA, nrow = rep, ncol = n)
#Generacion de las muestras de tamaño n provenientes de una población
#Normal con media mu y desviación sigma
for (i in 1:rep) {
  muestras[i,] = rnorm(n, mean=mu, sd=sigma) 
}
#Convertir la matriz muestras en un data.frame
muestras = data.frame(muestras)
#Crear una variable columna al final del data.frame con la proporcion de exitos
#llamada Media
head(muestras)

muestras$Media = apply(muestras, 1, mean)
#Histograma de frecuencias para la variable aleatorio o estimador Media
hist(muestras$Media, breaks=50)

#Media del estimador Media
mean(muestras$Media)

## [1] 799.9402

#Varianza del estimador Media
var(muestras$Media)

## [1] 99.72982

#Desviacion estandar del estimador Media
sd(muestras$Media)

## [1] 9.986482

#Histograma con frecuencias relativas
hist(muestras$Media, breaks=50, freq = FALSE)
#Curva normal teorica superpuesta
curve(dnorm(x, mean=mu, sd=sigma/sqrt(n)), col="red", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")

# Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria 
# de 16 bombillas tenga una vida promedio de menos de 
# 775 horas.

#Indicadora de que Medias son menores que 775
muestras$ind = (muestras$Media < 775)
#Conteo del numero de Medias menores a 775
sum(muestras$ind)

## [1] 61

#Proporcion del numero de Medias menores a 775
sum(muestras$ind)/rep

## [1] 0.0061

Inferencias sobre la media de la población

Ejemplo: Un importante proceso de fabricación produce partes de componentes cilíndricos para la industria automotriz. Es importante que el proceso produzca partes que tengan una media de 5 milímetros. El ingeniero implicado hace la conjetura de que la media de la población es de 5.0 milímetros. Se lleva a cabo un experimento donde se seleccionan al azar 100 partes elaboradas por el proceso y se mide el diámetro de cada una de ellas. Se sabe que la desviación estándar de la población es \(\sigma=0.1\). El experimento indica un diámetro promedio de la muestra \(\bar{x}=5.027\) milímetros. ¿Esta información de la muestra parece apoyar o refutar la conjetura del ingeniero?

#repeticiones del experimento
rep_2 = 10000
#tamano de la muestra
n_2 = 100
#media del diametro de las piezas
mu_2 = 5
#desviacion estandar del diametro de las piezas
sigma_2 = 0.1
#matriz para guardar las muestras
muestras_2 = matrix(data = NA, nrow = rep_2, ncol = n_2)
#Generacion de las muestras de tamaño n provenientes de una población
#Normal con media mu y desviación sigma
for (i in 1:rep) {
  muestras_2[i,] = rnorm(n_2, mean=mu_2, sd=sigma_2) 
}
#Convertir la matriz muestras en un data.frame
muestras_2 = data.frame(muestras_2)
head(muestras_2)

#Crear una variable columna al final del data.frame con la proporcion de exitos
#llamada Media
muestras_2$Media = apply(muestras_2, 1, mean)
#Histograma de frecuencias para la variable aleatorio o estimador Media
hist(muestras_2$Media, breaks=50)

#Media del estimador Media
mean(muestras_2$Media)

## [1] 5.000106

#Varianza del estimador Media
var(muestras_2$Media)

## [1] 9.797967e-05

#Desviacion estandar del estimador Media
sd(muestras_2$Media)

## [1] 0.009898468

#Histograma con frecuencias relativas
hist(muestras_2$Media, breaks=50, freq = FALSE)
#Curva normal teorica superpuesta
curve(dnorm(x, mean=mu_2, sd=sigma_2/sqrt(n_2)), col="red", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")

# El ingeniero implicado hace la conjetura de que la media 
#de la población es de 5.0 milímetros. 
# Se lleva a cabo un experimento donde se seleccionan al 
#azar 100 partes elaboradas por el proceso y se mide el 
# diámetro de cada una de ellas.
# El experimento indica un diámetro promedio de la muestra
# x_barra = 5.027 milímetros. ¿Esta información de la 
#muestra parece apoyar o refutar la conjetura del ingeniero?

#Indicadora de que Medias mayores que 5.027
muestras_2$ind = (muestras_2$Media > 5.027)
#Conteo del numero de Medias mayores a 5.027
sum(muestras_2$ind)

## [1] 30

#Proporcion del numero de Medias mayores a 5.027
2*sum(muestras_2$ind)/rep

## [1] 0.006

Distribución muestral de la diferencia entre dos promedios.

Teorema: Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños \(n_1\) y \(n_2\) de dos poblaciones, discretas o continuas, con medias \(\mu_1\) y \(\mu_2\) y varianzas \(\sigma_{1}^{2}\) y \(\sigma_{2}^{2}\) respectivamente, entonces la distribución muestras de las medias, \(\bar{X_{1}}-\bar{X}_{2}\), está distribuida aproximadamente de forma normal con media y varianza dadas por \[\mu_{\bar{X_1}-\bar{X_2}}=\mu_{1}-\mu_{2}\] y \[\sigma_{\bar{X_1}-\bar{X_2}}^{2}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}\] De aquí, \[Z=\frac{(\bar{X_1}-\bar{X_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{(\sigma_{1}^{2}/n_1)+(\sigma_{2}^{2}/n_2)}}\] Es aproximadamente una variable normal estándar.

Ejemplo: Se llevan a cabo dos experimentos independientes en los que se comparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con el tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas \(1.0\). Suponiendo que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipos de pintura, encuentre \(P(\bar{X_A}-\bar{X_b}>1.0)\), donde \(\bar{X_A}\) y \(X_{X_B}\), son los tiempos promedio de secado para muestras de tamaño \(n_A=n_B=18\)

#repeticiones del experimento
rep = 10000
#tamano de la muestra
n_1 = 30
n_2 = 30
#media del diametro de las piezas
mu_1 = 5
mu_2 = 5
#desviacion estandar del diametro de las piezas
sigma_1 = 0.1
sigma_2 = 0.1
#matriz para guardar las muestras
muestras_1 = matrix(data = NA, nrow = rep, ncol = n_1)
muestras_2 = matrix(data = NA, nrow = rep, ncol = n_2)
#Generacion de las muestras de tamaño n provenientes de una población
#Normal con media mu y desviación sigma
for (i in 1:rep) {
  muestras_1[i,] = rnorm(n_1, mean=mu_1, sd=sigma_1) 
}

for (i in 1:rep) {
  muestras_2[i,] = rnorm(n_2, mean=mu_2, sd=sigma_2) 
}
#Convertir la matriz muestras en un data.frame
muestras_1 = data.frame(muestras_1)
muestras_2 = data.frame(muestras_2)

muestras_1$Media = apply(muestras_1, 1, mean)
muestras_2$Media = apply(muestras_2, 1, mean)


head(muestras_1)

head(muestras_2)

muestras_df = muestras_1-muestras_2
muestras_df

#Histograma de frecuencias para la variable aleatorio o estimador Media
hist(muestras_df$Media, breaks=50)

#Media del estimador Media
mean(muestras_df$Media)

## [1] -3.120768e-05

#Varianza del estimador Media
var(muestras_df$Media)

## [1] 0.0006630989

#Desviacion estandar del estimador Media
sd(muestras_df$Media)

## [1] 0.02575071

#Histograma con frecuencias relativas
hist(muestras_2$Media, breaks=50, freq = FALSE)
#Curva normal teorica superpuesta
curve(dnorm(x, mean=mu_2, sd=sigma_2/sqrt(n_2)), col="red", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")

# El ingeniero implicado hace la conjetura de que la media 
#de la población es de 5.0 milímetros. 
# Se lleva a cabo un experimento donde se seleccionan al 
#azar 100 partes elaboradas por el proceso y se mide el 
# diámetro de cada una de ellas.
# El experimento indica un diámetro promedio de la muestra
# x_barra = 5.027 milímetros. ¿Esta información de la 
#muestra parece apoyar o refutar la conjetura del ingeniero?

#Indicadora de que Medias mayores que 5.027
muestras_2$ind = (muestras_2$Media > 5.027)
#Conteo del numero de Medias mayores a 5.027
sum(muestras_2$ind)

## [1] 684

#Proporcion del numero de Medias mayores a 5.027
2*sum(muestras_2$ind)/rep

## [1] 0.1368

Distribución muestral de \(S^2\)

Teorema si \(S^2\) es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) que se toma de una población normal que tiene la varianza \(\sigma^{2}\), entonces el estadistico \[X^{2} =\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_{i}-\bar{X})^2}{\sigma^2}\] tiene una distribución chi cuadrara con \(v=n-1\) grados de libertad

EjemploUn fabricante de baterías para automóvil garantiza que sus baterías durarán, en promedio, 3 años con una desviación estándar de 1 año. Si cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años,¿el fabricante aún está convencido de que sus baterías tienen una desviación estándar de 1 año? Suponga que la duración de la batería sigue una distribución normal.

#repeticiones del experimento
rep = 10000
#tamano de la muestra
n = 5
#media del diametro de las piezas
mu = 3
#desviacion estandar del diametro de las piezas
sigma = 1
#matriz para guardar las muestras
muestras = matrix(data = NA, nrow = rep, ncol = n)
#Generacion de las muestras de tamaño n provenientes de una población
#Normal con media mu y desviación sigma
for (i in 1:rep) {
  muestras[i,] = rnorm(n, mean=mu, sd=sigma) 
}
#Convertir la matriz muestras en un data.frame
muestras = data.frame(muestras)
#Crear una variable columna al final del data.frame con la proporcion de exitos
#llamada Media
muestras$S_2 = apply(muestras, 1, var)
#Crear una variable transformando S_2 que se llame Chi_Sq
muestras$Chi_Sq = (n-1)*muestras$S_2/sigma^2
#Histograma de frecuencias para la variable aleatoria o estimador Varianza
hist(muestras$S_2, breaks=50)

#Media del estimador Varianza
mean(muestras$S_2)

## [1] 0.992907

#Varianza del estimador Varianza
var(muestras$S_2)

## [1] 0.4912323

#Histograma de frecuencias para la variable aleatorio o estimador Chi_Sq
hist(muestras$Chi_Sq, breaks=50)

#Media del estimador Chi_Sq
mean(muestras$Chi_Sq)

## [1] 3.971628

#Varianza del estimador Chi_Sq
var(muestras$Chi_Sq)

## [1] 7.859718

#Histograma con frecuencias relativas
hist(muestras$Chi_Sq, breaks=50, freq = FALSE)
#Curva Chi-cuadrado teorica superpuesta
curve(dchisq(x, df=4), col="red", lwd=2, add=TRUE, yaxt="n")

## -- Solución del ejercicio

#Creacion del vector de datos
datos = c(1.9, 2.4, 3.0, 3.5, 4.2)
#Calculo de su varianza
s2 = var(datos)
#Transformacion Chi-cuadrado
chis_quad = (n-1)*s2/sigma^2

#Que porcentaje de repeticiones del experimento son menores que 
#el valor de chis_quad
sum(muestras$Chi_Sq<chis_quad) 

## [1] 4897

#Que porcentaje de repeticiones del experimento son mayores que 
#el valor de chis_quad
sum(muestras$Chi_Sq>chis_quad)

## [1] 5103

#Podríamos preguntarnos entre que par de valores "centrales"
#se concentra el 95% de los valores de la variable Chi_Sq
quantile(muestras$Chi_Sq,c(0.025,0.975))

##      2.5%     97.5% 
##  0.469673 11.129911

#Como el valor de chis_quad es un valor que cae entre estos
#dos valores, el valor de la muestra tiene alta probbilidad
#que ocurra

Distribución t

Teorema Sea \(Z\) una variable aleatoria normal estándar y \(V\) una variable aleatoria chi cuadrada con \(v\) grados de libertad. Si \(Z\) y \(V\) son independientes, entonces, la distribución de la variable aleatoria \(T\), donde \[T = \frac{Z}{\sqrt{V/v}}\] está dada por la función de densidad \[h(t)=\frac{\Gamma[(v+1)/2]}{\Gamma(v/2)\sqrt{\pi v}}\left(1+\frac{t^2}{v}\right)^{-(v+1)/2}\] Ejemplo El valor \(t\) con \(v=14\) grados de libertad que deja un área de \(0.025\) a la izquierda y, por lo tanto. un área de \(0.975\) a la derecha

-qt(0.025,14)

## [1] 2.144787

qt(0.975, 14)

## [1] 2.144787

Ejemplo Encuentre $P(-t_{0.025}< T < t_{0.05})

qt(0.05,df=1)

## [1] -6.313752

Ésta se conoce como la distribución t con \(v\) grados de libertad. Ejemplo Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso de lotes es de 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar dicha afirmación muestrea 25 lotes cada mes. Si el valor \(t\) calculado cae entre \(-t_{0.05}\) y \(t_{0.05}\), queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión debería obtener de una muestra que tiene media \(\bar{x}=518\) gramos por milímetro y una desviación estándar muestra de \(s=40\)? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

n <- 25
df <- n - 1
samples <- rt(n, df)
hist(samples, breaks = 'Scott', freq = FALSE)

samples

##  [1] -1.55889770 -0.32391092 -0.54267403  0.78115456 -0.05721924  0.49166435
##  [7]  1.16125515  1.40593352 -0.77419798  0.08188063 -0.90933675  0.77637952
## [13] -0.15286139 -0.23736238 -0.28827407  1.60671353  1.44714776 -0.80197509
## [19]  0.83888530 -0.17523539  0.77252765 -0.39447590  0.28677791  0.90212659
## [25]  0.34815310

x <- seq(-2, 4, by = 1)
dt(x, df = n-1)

## [1] 0.0574847439 0.2370161199 0.3948093882 0.2370161199 0.0574847439
## [6] 0.0073723126 0.0006656993

pt(-0.05, df) + pt(0.05, df,lower.tail = FALSE)

## [1] 0.9605362

qt(0.05,df)

## [1] -1.710882

qt(1-0.05,df)

## [1] 1.710882

pt(2.25,24, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.01694426

x<-seq(-4,4, by=1)
dt(x, df=25)

## [1] 0.0006362067 0.0072537481 0.0573606966 0.2372110228 0.3949737896
## [6] 0.2372110228 0.0573606966 0.0072537481 0.0006362067

Distribución F

Suponga que las muestras aleatorias de tamaño \(n_1\) y \(n_2\) se seleccionan de dos poblaciones normales con varianzas \(\sigma_{1}^{2}\) y \(\sigma_{2}^{2}\) respectivamente. Sabemos que

\[X_{1}^{2} = \frac{(n_1-1)S_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} \hspace{1cm}X_{1}^{2} = \frac{(n_2-1)S_{2}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\] son variables aleatorias que tienen distribuciones chi cuadradas con \(v_1=n_1 -1\) y \(v_2 = n_2-1\) grados de libertad. Además, como las muestras se seleccionan al azar, la tratamos con variables aleatorias independientes y, entonces, usando el teorema anterior

Teorema Si \(S_{1}^{2}\) y \(S_{1}^{2}\) son las varianzas muestras aleatorias independientes de tamaño \(n_1\) y \(n_2\) tomadas de poblaciones normales con varianzas \(\sigma_{1}^{2}\) \(\sigma_{2}^{2}\), respectivamente, entonces, \[F=\frac{S_{1}^{2}/\sigma_{1}^{2}}{S_{2}^{2}/\sigma_{2}^{2}}= \frac{\sigma_{2}^{2}S_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}S_{2}^{2}} \]

¿Para qué se utiliza la distribución F?

La distribución \(F\) se usa en situaciones de dos muesrtas para realizar inferencias acerca de las varianzas de población. La distribución \(F\) se aplica a muchos otros tipos de problemas en los cuales están relacionadas las varianzas muestrales. De hecho la distribución \(F\) se llama distribución de razón de varianzas

pintura <-c('A', 'B', 'C')
media_muestral <-c(4.5, 5.5, 6.5)
varianza_muestral <-c(0.20, 0.14, 0.11)
tamaño_muestral <- c(10, 10, 10)
tiempo_secado <-data.frame(pintura, media_muestral, varianza_muestral, tamaño_muestral)
tiempo_secado

El problema se centra alrededor de si los promedios muestrales están los suficientemente alejados o no. La implicación “suficientemente alejados” resulta muy importante. Parecería razonable que si la variabilidad entre los promdios muestrales es mayor que lo que se esperaría por casualidad, los datos no apoyan la conclusión de \(\mu_A=\mu_B=\mu_C\).

curve(df(x, df1 = 10, df2 = 20), from = 0, to = 4)

df(1.2, df1=10, df2=20)

## [1] 0.5626125

Pruebas de estimación de una y dos muestras

Introducción

Inferencia estadística

Métodos clásicos de estimación

Estimador insesgado

Definición Se dice que un estadístico \(\hat{\Theta}\) es un estimador insesgado del parámetro \(\theta\) si \[\mu_{\hat{\Theta}}=E(\hat{\Theta})=\theta\]

Una sola muestra: Estimación de la media

Intervalo de confianza de \(\mu\); con \(\sigma\) conocida.

Si \(\bar{x}\) es la media de una muestra aletoria de tamaño \(n\) de una población con varianza \(\sigma^{2}\) conocida, un intervalo de confianza \((1-\alpha)100%\) para \(\mu\) está dado por \[\bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] Ejemplo Se encuentra que la concentración promedio de zine que se obtiene a partir de una muestra de mediciones de zinc en \(36\) sitios diferentes es \(2.6\) gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95 y 99% para la concentración media de zinc en el rio. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3.

Utilizaremos la función ‘t.test’ la cual usamos para calcular intervalos de confianza para la media y diferencia de medias, con muestras independientes y dependientes (o pareadas)

# Un vector de 36 muestras con media 2.6 y desviación estandar 0.3

x<-rnorm(36, mean=2.6,sd=0.3)
t.test(x, alternative = "two.sided", conf.level = 0.99)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 58.518, df = 35, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 99 percent confidence interval:
##  2.546085 2.794680
## sample estimates:
## mean of x 
##  2.670382

x<-rnorm(36, mean=2.6,sd=0.3)
t.test(x, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 51.013, df = 35, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  2.473708 2.678756
## sample estimates:
## mean of x 
##  2.576232

Teorema Si se utiliza \(\bar{x}\) como una estimación de \(\mu\), podemos tener una confianza de \((1-\alpha)100%\) de que el error no excederá \(z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

Teorema Si {x} se usa como estimación de \(\mu\), podemos tener \((1-\alpha)100%\) de confianza de que el error no excederá una cantidad específica \(e\) cuando el tamaño de la muestra sea \[n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{e}\right)^2\] Ejemplo ¿Qué tan grande se requiere una muestra en el ejemplo anterior si queremos tener 95% de confianza de que nuestra estimación de \(\mu\) difiera por menos de 0.05?

z_alpha=qnorm(0.025, lower.tail = FALSE)
z_alpha

## [1] 1.959964

sigma=0.3
e = 0.05
n = ((z_alpha*sigma)/e)**2
n

## [1] 138.2925

x<-rnorm(ceiling(n),mean=2.6,sd=0.3)
t.test(x, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 99.129, df = 138, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  2.520990 2.623608
## sample estimates:
## mean of x 
##  2.572299

abs(2.542800-2.6)

## [1] 0.0572

abs(2.640213-2.6)

## [1] 0.040213

Limites de confianza unilaterales.

Límites de confianza unilaterales en \(\mu\); \(\sigma\) desconocida

Si \(\bar{X}\) es la media de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) a partir de una población con varianza \(\sigma^2\), los límites de confianza unilaterales de \((1-\alpha)100%\) para $% estan dados por - Límite unilateral superior: \(\bar{x}+z_{\alpha} \sigma/\sqrt{n}\) - Límite unilateral inferior: \(\bar{x}-z_{\alpha}\sigma/\sqrt{n}\)

Ejemplo En un estudio de pruebas psicológicas, se seleccionan al azar 25 sujetos y se mide su tiempo de reacción, en segundos, ante un experimento particular. La experiencia pasada sugiere que la varianza en el tiempo de reacción es aproximadamente normal. El tiempo promedio para los sujetos fue de 6.2 segundos. Dé un límite superior de 95% para el tiempo medio de reacción.

set.seed(002)
x<-rnorm(25, mean=6.2,sd=2)
t.test(x,alternative = "greater",conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 15.005, df = 24, p-value = 5.389e-14
## alternative hypothesis: true mean is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  6.084858      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  6.867947

Caso de \(\sigma\) desconocida

Intervaloo de confianza de \(\mu\); con \(\sigma\) desconocida

Si \(\bar{x}\) y \(s\) son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de una población con varianza \(\sigma^2\) desconocida, un intervalo de confianza de \((1-\alpha)100%\)

\[\bar{x}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\] donde \(t_{\alpha/2}\) es el valor \(t\) con \(v=n-1\) grados de libertad que deja un área de \(\alpha/2\) a la derecha

Ejemplo El contenido de 7 contenedores similares de ácido sulfúrico es de 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2 y 9.6 ligrots. Encuentre un intervalor de confianza de 95% para la media de todos los contenedores, si se supone una distribución aproximadamente normal.

acido<-c(9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, 9.6)
mean(acido)

## [1] 10

length(acido)

## [1] 7

t.test(acido, mean=mean(acidos), sd=sd(acidos), df=length(acido)-1)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  acido
## t = 93.541, df = 6, p-value = 1.006e-10
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   9.738414 10.261586
## sample estimates:
## mean of x 
##        10

Error estándar de una estimación puntual

Intervalos de predicción

Intervalo de predicción para una observación futura: \(\sigma\) conocida

Para una distribución normal de mediciones con media desconocida \(\mu\) y varianza conocida \(\sima^2\), un intervalo de predicción de \((1-\alpha)100%\) de una observación futura \(x_{0}\) es \[\bar{x}-z_{\alpha/2}\sigma\sqrt{1+1/n}<x_{0}<\bar{x}+z_{\alpha/2}\sigma\sqrt{1+1/n}\] donde \(z_{\alpha/2}\) es el valor de \(z\) que deja un área de \(\alpha/2\) a la derecha.

Ejemplo A causa de la disminución en las tasas de interés, el First Citizens Bank recibió muchas solicitudes para hipoteca. Una muestra reciente de 50 créditos hipotecarios resultó en un promedio de $ $257,300$. Suponga una desviación estándar de la población de \(\$25000\). Si el siguiente cliente llamó para una solicitud de crédito hipotecario, encuentre un intervalo de confianza de predicción de 95% para la cantidad del crédito de este cliente.

n = 50
x_bar = 257300
sigma = 25000
z_alpha2 = qnorm(0.05/2, lower.tail = FALSE)
raiz = sqrt(1+(1/n))

x_bar-z_alpha2*sigma*raiz

## [1] 207813.3

x_bar+z_alpha2*sigma*raiz

## [1] 306786.7

Es un intervalo de \((\$207812.43,\$306787.57)\)

Tambien podemos crear una función para realizar todas estas operaciones.

x<-rnorm(50,mean=257300,sd=25000)

interpredict<- function(n, x_bar, sigma, alpha){
  raiz = sqrt(1+(1/n))
  z_alpha2 = qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
  a=x_bar-z_alpha2*sigma*raiz
  b=x_bar+z_alpha2*sigma*raiz
  print(a)
  print(b)
}

interpredict(n=50, x_bar=257300, sigma=25000, alpha=0.05)

## [1] 207813.3
## [1] 306786.7

Intervalo de predicción de una observación futura

Para una distribución normal de mediciones con media desconocida \(\mu\) y varianza desconocida \(\sigma^{2}\), un intervalo de predicción de \((1-\alpha)100%\) de una observación futura \(x_{0}\) es \[\bar{x}-t_{\alpha/2}s\sqrt{1+1/n}<x_{0}<\bar{x}+t_{\alpha/2}s\sqrt{1+1/n}\] donde \(t_{\alpha/2}\) es el valor \(t\) con \(v=n-1\) grados de libertad, que deja un área de \(\alpha/2\) a la derecha

Ejemplo Un inspector de alimentos midió aleatoriamente 30 paquetes de carne de res 95% sin grada. La muestra resultó en una media de 96.2% con la desviación estándar muestral de 0.08%. Encuentre un intervalo de predicción de 99% para un paquete nuevo. Suponga normalidad.

qt(0.005,df=29, lower.tail = FALSE)

## [1] 2.756386

tinterpredict<- function(n, x_bar, sigma, alpha){
  raiz = sqrt(1+(1/n))
  t_alpha2 = qt(0.005,df=29, lower.tail = FALSE)
  a=x_bar-t_alpha2*sigma*raiz
  b=x_bar+t_alpha2*sigma*raiz
  print(a)
  print(b)
}

n=30
x_bar=96.2
sigma=0.8
alpha=1-0.99
tinterpredict(n=n ,x_bar=x_bar, sigma=sigma, alpha=alpha)

## [1] 93.95844
## [1] 98.44156

Por lo tanto un intervalo de predicción de 99% para una observación nueva \(x_{0}\) es \((93.95844,98.44156)\)

Límites de tolerancia

Límites de tolerancia

Para una distribución normal de mediciones con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), ambas desconocidas, los límites de tolerancia están dados por \(\bar{x}\pm ks\), donde \(k\) se determina de manera que se pueda asegurar con una confianza de \((1-\gamma)100%\) que los límites dados contienen la menos la proporción \(1-\alpha\) de las mediciones.

Ejemplo una máquina produce piezas de metal que tienen forma cilíndrica. Se toma una muestra de tales piezas y se encuentra que los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre los límites de tolerancia de 99% que contendrán 95% de las piezas de metal que produce la máquina. Suponga distribución aproximadamente normal.

diametros <-c(1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03)
mean(diametros)

## [1] 1.005556

sd(diametros)

## [1] 0.02455153

Utilizamos la libreria ‘tolerance’ y la función ‘normtol.int’

library(tolerance)

## Warning: package 'tolerance' was built under R version 4.1.3

normtol.int(diametros, alpha=0.05, P=0.99, side=2)

Dos muestras: Estimación de la diferencia entre dos medias

Intervalo de confianza para \(\mu_{1}-\mu_{2}\); con \(\sigma_{1}^{2}\) y \(\sigma_{2}^{2}\) conocidas

Si \(\bar{x}_{1}\) y \(\bar{x}_2\) son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños \(n_1\) y \(n_2\) de poblaciones con varianzas conocidas \(\sigma_{1}^{2}\) y \(\sigma_{2}^{2}\), respectivamente, un intervalo de confianza de \((1-\alpha)100%\) para \(\mu_{1}-\mu_{2}\) está dado por.

\[(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}<\mu_{1}-\mu_2<(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}\] donde \(z_{\alpha/2}\) es el valor de \(z\) que deja un área de \(\alpha/2\) a la derecha

Ejemplo Se lleva a cabo un experimento donde se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento de combustible en millas por galón. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón, y el promedio para el motor B es de 42 millas por galón. Encuentre un intervalod de confianza de 96% sobre \(\mu_B - \mu_A\), donde \(\mu_A\) y \(\mu_B\) son el rendimiento de combustible medio poblacional para los motores A y B, respectivamente. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B, respectivamente.

A<-rnorm(50,mean=36, sd=6)
B<-rnorm(75,mean=42, sd=8)

t.test(B,A,conf.level = 0.96)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  B and A
## t = 3.7331, df = 114.4, p-value = 0.0002963
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 96 percent confidence interval:
##  2.188375 7.680088
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  41.40244  36.46820

qnorm(0.04/2,lower.tail = FALSE)

## [1] 2.053749

intermean<-function(x,n1,y,n2,alpha,sigma1,sigma2){
  a=mean(y)-mean(x)
  b=qnorm(0.04/2,lower.tail = FALSE)
  arg = (sigma1**2/n1)+(sigma2**2/n2)
  sqrt =sqrt(arg)
  i1=a-b*sqrt
  i2=a+b*sqrt
  print(i1)
  print(i2)
}

intermean(A,50,B, 75, 0.04, 6,8)

## [1] 2.358161
## [1] 7.510301

Varianza desconocida

Estimado de unión de la varianza

\[S_{p}^{2} = \frac{(n_1 -1 )S_{1}^{2}+(n_2 - 1)S_{2}^{2}}{n_1 +n_2 -2}\] #### Intervalo de confianza para \(\mu_1 - \mu_2\); con \(\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\) pero desconocidas. Si \(\bar{x}_1\) y \(\bar{x}_2\) son las medias de muestras aleatorias independientes con tamaños \(n_1\) y \(n_2\), respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales con varianzas iguales pero desconocidas, un intervalo de confianza de \((1-\alpha)100%\) para \(\mu_1 - \mu_2\) está dado por.

\[(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)-t_{\alpha/2}s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}<\mu_1 - \mu_2<\bar{x}_1 - \bar{x}_2)+t_{\alpha/2}s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\] donde\(s_p\) es la estimación de unión de la desviación estándar poblacional y \(t_{\alpha/2}\) es el valor \(t\) con \(v=n_1 + n_2 -2\) grados de libertad, que deja un área de \(\alpha/2\) a la derecha.

Ejemplo En el artículo “Macroinvertebrate Community Structure as an Indicator of Acid Mine Pollution”, publicado en el Journal of Environmental Pollution, se ofrece un reporte sobre una investigación realizada en Cane Creek, Alabama, para determinar la relación entre parámetros fisioquímicos seleccionados y diversas mediciones de la estructura de la comunidad de macroinvertebrados. Una faceta de la investigación fue una evaluación de la efectividad de un índice númerico de la diversidad de especies, para indicar de la degradación del agua debida al desagüe ácido de una mina. Conceptualmente, un índice alto de la diversidad de especies macroinvertebradas debería indicar un sistema acuático no contaminado mientras que un índice de diversidad baja indicaría un sistema acuático contaminado.

Se eligieron 2 estaciones de muestreo independientes para dicho estudio: una que se localiza corriente abajo del punto de descarga ácida de la mina y otra ubicada corriente arriba. Para 12 muestras mensuales reunidas en la estación correinte abajo, el índice de diversidad de especies tuvo un valor medio de \(\bar{x}=3.11\) y una desviación estándar \(s_1 = 0.771\); mientras que 10 muestras reunidas mensualmente en la estación corriente arriba tuvieron un valor medio del índice \(\bar{x}_2=2.04\) y una desviación estándar \(s_2 =0.448\). Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias poblacionales para los dos sitios, suponiendo que las poblaciones están distribuidas de forma aproximadamente normal con varianzas iguales.

A<-rnorm(12, mean=3.11,sd=0.771)
B<-rnorm(10, mean=2.04,sd=0.447)
t.test(A,B,conf.level = 0.9, var.equal = TRUE)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  A and B
## t = 3.8069, df = 20, p-value = 0.001105
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 90 percent confidence interval:
##  0.617265 1.639873
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  3.279968  2.151399

interdifmeanvar<-function(x1,n1,s1,x2,n2,s2,alpha){
  sp = ((n1-1)*(s1**2)+(n2-1)*(s2**2))/(n1+n2-2)
  df=n1+n2-2
  t_alpha=qt(alpha/2,df=df, lower.tail = FALSE)
  a=x1-x2
  sqrt=sqrt((1/n1)+(1/n2))
  li = a-t_alpha*sp*sqrt
  ls = a+t_alpha*sp*sqrt
  print(li)
  print(ls)
}

interdifmeanvar(3.11,12,0.771,2.04,10,0.448,0.01)

## [1] 0.5616522
## [1] 1.578348

Varianzas distintas

####Intervalo de confianza para \(\mu_1 - \mu_2\); \(\sigma_{1}^{2}\not= \sigma_{2}^{2}\) Si \(\bar{x}_1\) y \(s_1^2\) y \(\bar{x}_2\) y \(s_2^2\) son las medias y varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaños \(n_1\) y \(n_2\), respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales con varianzas desconocidas y diferentes, un intervalo de confianza aproximado del $(1-)100 % $ para \(\mu_1 - \mu_2\) está dado por \[(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)-t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}<\mu_1 - \mu_2 <(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)+t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\] donde \(t_{\alpha/2}\) es el valor \(t\) con \[v=\frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}{[(s_1^2/n_1)^2/(n_1 -1)]+[(s_2^2/n_2)^2(n_2 -1)]}\] grados de libertad, que deja un área \(\alpha/2\) a la derecha.

Ejemplo El Departamento de Zoología del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósfoto químico medido en dos estaciones diferentes del río James. El ortofósforo se mid een miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2. Las 15 muestras de la estación 1 tuvieron un contenido promedio de ortofósforo de 3.84 miligramos por litro y una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro; en tanto que las 12 muestas de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 miligramos por litro y una desviación estándar de 0.80 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en el contenido promedio real del ortofósforo en estas dos estaciones. Suponga que las observaciones provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes.

A<-rnorm(15, mean = 3.84, sd = 3.07)
B<-rnorm(12, mean = 1.49, sd = 0.8)
t.test(A,B, conf.level = 0.95, var.equal = FALSE,alternative = "two.sided")

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  A and B
## t = 2.0151, df = 15.389, p-value = 0.06171
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.1129051  4.1867363
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  3.836510  1.799595

Observaciones pareadas

Intervalo de confianza para \(\mu_{D}=\mu_1 - \mu_2; para observaciones pareadas\)

Si \(\bar{d}\) y \(s_{d}\) son la media y la desviación estándar, respectivamente, de las diferencias distribuidas normalmente de \(n\) pares aleatorios de mediciones, un intervalo de confianza de \((1-\alpha)100%\) para \(\mu_{D}=\mu_{1}-\mu_{2}\) es \[\bar{d}-t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}<\mu_D<\bar{d}+t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\]

Ejemplo Un estudio publicado por Chemosphere reporta los niveles de la diocina TCDD de 20 veteranos de Vietnam residentes en MAssachusetts, quienes posiblemente se expusieron al agente naranja. La cantidad en los niveles de TCDD en el plasta y el tejido adiposo se presenta en la siguiente tabla:

Veterano <-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20)
Niveles_TCDD_en_plasma <-c(2.5, 3.1, 2.1, 3.5, 3.1, 1.8, 6.0, 3.0, 36.0, 4.7, 6.9, 3.3, 4.6, 1.6, 7.2, 1.8, 20.0, 2.0, 2.5, 4.1)
Niveles_TCDD_en_tejido_adiposo <-c(4.9, 5.9, 4.4, 6.9, 7.0, 4.2, 10.0, 5.5, 41.0, 4.4, 7.0, 2.9, 4.6, 1.4, 7.7, 1.1, 11.0,2.5, 2.3, 2.5 )
d_i<-Niveles_TCDD_en_plasma-Niveles_TCDD_en_tejido_adiposo

df<-data.frame(Veterano, Niveles_TCDD_en_plasma, Niveles_TCDD_en_tejido_adiposo, d_i)
df

d_mu = mean(df$d_i)
d_mu

## [1] -0.87

s_d = sd(df$d_i)
s_d

## [1] 2.9773

t_alpha_2 = qt(1-0.025,df=19)
t_alpha_2

## [1] 2.093024

d_mu-((t_alpha_2)*(s_d/sqrt(20)))

## [1] -2.263419

d_mu+(t_alpha_2)*(s_d/sqrt(20))

## [1] 0.5234193

help("t.test")

## starting httpd help server ... done

boxplot(df$Niveles_TCDD_en_plasma,df$Niveles_TCDD_en_tejido_adiposo)

boxplot(df$Niveles_TCDD_en_plasma,df$Niveles_TCDD_en_tejido_adiposo)

t.test(df$Niveles_TCDD_en_plasma, df$Niveles_TCDD_en_tejido_adiposo, mu=0, alt= "two.sided",paired=T, conf.level=0.95)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  df$Niveles_TCDD_en_plasma and df$Niveles_TCDD_en_tejido_adiposo
## t = -1.3068, df = 19, p-value = 0.2069
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -2.2634193  0.5234193
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                   -0.87

Una sola muestra: Estimación de una proporción

Intervalo de confianza de \(p\) de una muestra grande.

Si \(\hat{p}\) es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño \(n\), y \(\hat{q}-\hat{p}\), un intervalo de confianza de confianza aproximado de \((1-\alpha)100%\) para el parámetro binomial \(p\) esté dado por \[\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}<p<\hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\] donde \(z_{\alpha/2}\) es el valor de \(z\) que deja un área de \(\alpha/2\) a la derecha.

Ejemplo Es una muestra aleatoria de \(n=500\) familias que tienen televisores en la cidad de Hamilton, Canadá, se encuentran que \(x=340\) estan suscritas a HBO. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción real de familias en esta ciudad que están suscritas a HBO

Dos muestras: Estimación de la diferencia entre dos proporciones.

Ejemplo Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento actual y del nuevo, para determinar si el nuevo tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracciòn de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.

prop.test(340,500,conf.level = 0.95)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  340 out of 500, null probability 0.5
## X-squared = 64.082, df = 1, p-value = 1.193e-15
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6368473 0.7203411
## sample estimates:
##    p 
## 0.68

Teorema si \(\hat{p}\) se utiliza como una estimación de \(p\), podemos tener una confianza de \((1-\alpha)100\%\) de que el error no excederá \(z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}\hat{q}/n}\)

Selección tamaño de la muestra

TeoremaSi \(\hat{p}\) se utiliza como estimación de \(p\), podemos tener una confianza de \((1-\alpha)100\%\) de que el error será menos que una cantidad específica \(e\) cuando el tamaño de la muestra sea aproximadamente \[n=\frac{z_{\alpha/2}\hat{p}\hat{q}}{4e^2}\] Ejemplo ¿Qué tan grande se requiere que se a una muestra en el ejemplo anterior si queremos tener 95% de confianza de que nuestraestimación de \(p\) esté dentro de 0.02

tamano_muestra <-function(alpha, error){
  z=qnorm(alpha/2, lower.tail = FALSE)
  n=(z**2)/(4*(error)**2)
  print(n)
}

tamano_muestra(0.05,0.02)

## [1] 2400.912

prop.test(340,2401,conf.level = 0.95)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  340 out of 2401, null probability 0.5
## X-squared = 1232.2, df = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.1280345 0.1563428
## sample estimates:
##         p 
## 0.1416077

Dos muestras: Estimación de la diferencia entre dos proporciones.

Intervalo de confianza \(\p_1 - \p_2\) de una muestra grande.

Si \(\hat{p}_1\) y \(\hat{p}_2\) son las proporciones de éxitos en muestras aleatorias de tamaño \(n_1\) y \(n_2\) respectivamente, \(\hat{q}_1=1-\hat{p}_1\), y \(\hat{q}_2=1-\hat{p}_2\), un intervalo de confianza aproximado de \((1-\alpha)100\%\) para la diferencia de dos parámetros binomiales \(p_1 - p_2\), está dado por \[(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1}+\frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}<p_1-p_2\]

\[<(\hat{p}_1-\hat{p}_2)+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1}+\frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}\]

donde \(z_{alpha/2}\) es el valor \(z\) que deja una área de \(\alpha/2\) a la derecha

Ejemplo Se considera cierto cambio en un proceso de fabricaciòn de partes componentes. Se toman muestras de procedimiento actual y del nuevo, para determinar si el nuevo tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y de 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confienza de 90% para la diferencia real en fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.

n_articulos_ac = 1500
n_defec_ac =75

n_articulos_nu = 2000
n_defec_nu = 80

p_gorro_1 = n_defec_ac/n_articulos_ac

p_gorro_2 = n_defec_nu/n_articulos_nu

y la estimación puntual:

p_gorro_1-p_gorro_2

## [1] 0.01

q_gorro_1 =(1-p_gorro_1)
q_gorro_2 = (1-p_gorro_2)

qnorm(1-0.05)

## [1] 1.644854

alpha=qnorm(1-0.05)*sqrt(((p_gorro_1*q_gorro_1)/n_articulos_ac)+((p_gorro_2*q_gorro_2)/n_articulos_nu))
alpha

## [1] 0.01173124

(p_gorro_1-p_gorro_2)-alpha

## [1] -0.001731239

(p_gorro_1-p_gorro_2)+alpha

## [1] 0.02173124

Como el nuevo intervalo contiene el valor 0, no hay razón para creer que el nuevo procedimiento resultó en una disminución significativa en la proporción de artículos defectuosos, comparado con el método actual.

prop.test(x=c(75,80),n=c(1500,2000), conf.level = 0.9, alternative = "two.sided")

## 
##  2-sample test for equality of proportions with continuity correction
## 
## data:  c(75, 80) out of c(1500, 2000)
## X-squared = 1.7958, df = 1, p-value = 0.1802
## alternative hypothesis: two.sided
## 90 percent confidence interval:
##  -0.002314573  0.022314573
## sample estimates:
## prop 1 prop 2 
##   0.05   0.04

Una sola muestra: Estimación de la varianza

Intervalo de confianza para \(\sigma^{2}\)

Si \(s^2\) es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una población normal, un intervalo de confianza de \((1-\alpha)100\%\) para \(\sigma^2\) es \[\frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{\alpha/2}}<\sigma^2<\frac{(n-1)s^2}{\chi^{2}_{1-\alpha/2}}\] donde \(\chi^{2}_{\alpha/2}\) y \(\chi^{2}_{1-\alpha/2}\) son valore de \(\chi^{2}\) con \(v=n-1\) grados de libertad, que deja áreas de \(\alpha/2\) y \(1-\alpha/2\), respectivamente, a la derecha.

Ejemplo Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas para césped distribuidas por cierta compañia

semillas <-c(46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9,45.8, 46.9, 45.2, 46.0)
semillas

##  [1] 46.4 46.1 45.8 47.0 46.1 45.9 45.8 46.9 45.2 46.0

Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas para césped que distribuye esta compañía. Suponga población normal:

semillas<-data.frame(semillas)
sd_2=(sd(semillas$semillas))^2
sd_2

## [1] 0.2862222

q_chi_1=qchisq(1-0.025, df=9) 
q_chi_1

## [1] 19.02277

q_chi_2=qchisq(0.025, df=9) 
q_chi_2

## [1] 2.700389

(sd_2*9)/q_chi_1

## [1] 0.1354167

(sd_2*9)/q_chi_2

## [1] 0.9539365

v = var(semillas$semillas);  n = length(semillas$semillas)
     
(n-1)*v/qchisq(c(.975,.025), n-1)

## [1] 0.1354167 0.9539365

Dos muestras: Estimación de la razón de dos varianzas

Intervalo de confianza para \(\sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^{2}\)

Si \(s^{2}_{1}\) y \(s_{2}^{2}\) son las varianzas de muestras independientes de tamaño \(n_1\) y \(n_2\), respectivamente, de poblaciones normales, entonces un intervalo de confianza de \((1-\alpha)100\%\) para \(\sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^2\) es

\[\frac{s_{1}^2}{s_{2}^{2}}\frac{1}{f_{\alpha/2}(v_1,v_2)}<\frac{\sigma_2^{1}}{\sigma_{2}^{2}}<\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}f_{\alpha/2}(v_2,v_1)\] donde \(f_{\alpha/2}(v_1,v_2)\) es un valor \(f\) con \(v_1 = n_1 -1\) y \(v_2 = n_2 -1\) grados de libertad que deja un área de \(\alpha/2\) a la derecha, y \(f_{\alpha/2}(v_2,v_1)\) es un valor \(f\) similar con \(v_2 = n_2 -1\) y \(v_1 = n_1 -1\) grdaos de libertad

Ejemplo

A<-rnorm(15, mean=3.84, sd=3.07)
B<-rnorm(12, mean=1.49,sd=0.80)
var.test(A,B)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  A and B
## F = 9.6962, num df = 14, denom df = 11, p-value = 0.0005784
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   2.886804 30.005849
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           9.696228

Pruebas de hipótesis de una y dos muestras

Hipótesis estadísticas: Conceptos generales.

Definición Una hipótesis estadísticas es una severación o conjetura respecto a una o más poblaciones

Hipótesis nula e hipótesis alternativa

Prueba de una hipótesis estadisticas

El estadístico de prueba.

Definición El rechazo de la hipótesis nula cuando es verdadera se llama error tipo I

Definición No rechazar la hipótesis nula cuando es falsa se llama error tipo II

Definición La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar \(H_{0}\) dado que una alternativa especifica es verdadera.

Pruebas de una y dos colas

Una prueba de cualquier hipótesis estadística, donde la alternativa es unilateral, como \[H_{0}: \theta=\theta_{0}, \hspace{0.5cm}H_{1}:\theta>\theta_{0}\] o quizas \[H_{0}: \theta=\theta_{0},\hspace{0.5cm}H_{1}:\theta<\theta_{0}\] Se denomina prueba de una sola cola.

Una prueba de cualquier hipótesis alernativa donde la alternativa sea bilateral, como \[H_{0}:\theta=\theta_{0}, \hspace{0.5cm}H_{1}:\theta \not=\theta_{0}\] Se llama prueba de dos colas, ya que la región critica se divie en dos partes, que a menudo tienen probabilidades iguales que se colocan en cada cola de la distribución

¿Cómo se eligen las hipótesis nula y alternativa?

Ejemplo Una fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el contenido promedio de grasa saturada no excede de 1.5 gramos. Establezca la hipotesis nula y alternativa a utilizar para probrar esta afirmación y determina dónde se localiza la región crítica.

La afirmación del fabricante se debería rechazar sólo si \(\mu\) es mayor que 1.5 miligramos y no se debería rechazar si \(mu\) es menor o igual que 1.5 miligramos. Entonces probramos \[H_{0}: \mu = 1.5,\hspace{0.5cm}H_{1}:\mu>1.5\] De manera que el no rechazo de \(H_{0}\) no descara valores de 1.5 miligramos. Como tenemos una pruena de una cola, el símbolo mayor que indica que la región critica yace por completo en la cola derecha de la distribución de nuestro estadístico de prueba \(\bar{X}\).

Ejemplo Un agente de bienes raíces afirma que 60% de todas la viviendas privadas que se contruyen actualmente son casas con tres dormitorios. Para probar esta afirmación, se inspecciona una muestra grande de viviendas nuevas. La proporción de tales casas con rtes dormitorios se registra y se utiliza como estadístico de prueba. Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizarse en esta prueba y determina la posición de la región critica.

Si el estadístico de prueba fuera considerablemente mayor o menor que \(p=0.6\), rechazariamos la afirmación del agente, por lo que deberíamos establece la hipótesis \[H_{0}: p=0.6, \hspace{0.5cm}H_{1}:p\not=0.6\]

La hipótesos alternativa implica una prueba de dos colas con la región critica dividad por igual en ambas colas de la distribución de \(\hat{P}\), nuestro estadístico de prueba.

Uso de valores \(P\) para la toma de decisiones en la prueba de hipótesis

Definición Un valor \(P\) es el nivel (de significancia) más bajo donde es significativo el valor observado del estadístico de prueba.

Aproximación a la prueba de hipótesis con probabilidad ija del error tipo I

1. Establezca la hipótesis nula y alternativa.
2. Elija un nivel de significancia \(\alpha\) fijo.
3. Seleccione una estadístico de prueba adecuado y establezca la región critica con base en \(\alpha\).
4. A partir del estadístico de pruena calculado, rechace \(H_{0}\) si el estadistico de prueba está en la región crítica. De otra manera, no rechace \(H_{0}\)
5. Obtenga conclusiones científicas y de ingeniería.

Prueba de significancia.

1. Establezca las hipótesis nula y alternativa.
2. Elija un estadístico de prueba adecuado.
3. Calcule el valor \(P\) con base en los valores calculados des estadístico de prueba. 4.Utilice el juicio con base en el valor \(P\) y reconozca el sistema científico.

Una sola muestra: Pruebas con respecto a una sola media (varianza conocida)

Procedimiento de una prueba para una sola media.

\[z = \frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}>Z_{\alpha/2}\hspace{0.5cm}o\hspace{0.5cm}\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}<-z_{\alpha/2}\] Si \(-z_{\alpha/2}<z<z_{\alpha/2}\) no se rechaza \(H_{0}\). El rechazo de \(H_{0}\), desde luego implica la aceptación de la hipótesis alternativa \(\mu \not= \mu_{0}\). Con esta definición la región critica debería quedar claro que habrá la probabilidad de \(\alpha\) de rechazar \(H_{0}\) (que cae en la región crítica) cuando en realidad. \(\mu=\mu_{0}\)

Ejemplo Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos al año pasado mostró una vida promedio de 71.8 años. Suponiendo una deviación estándar poblacional de 8.9 años. ¿esto parece indicar que la vida media actual es mayor que 70 años? utilice un nivel de siginificancia de 0.05. 1. \(H_{0}: \mu=70 años\) 2. \(H_{1}: \mu >70 años\) 3. \(\alpha = 0.05\)

4. Región crítica: \(z>1.645\), donde \(z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/ \sqrt{n}}\)

qnorm(0.05, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.644854

normalizar<-function(value,mean,sd,n){
  z=(value-mean)/(sd/sqrt(n))
  print(z)
}

z=normalizar(71.8, 70, 8.9, 100)

## [1] 2.022472

pnorm(z, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.02156381

Como resultado, la evidencia a favor de \(H_{1}\) es mayor incluso que la sugerida por un nivel de significancia de \(0.05\)

Ejemplo Un fabricante de un equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para pesca sintético que afirma que tiene una resistencia media a la rotura de 8 kilogramos con una desviación estándar de 0.5 kilogramos. Pruebe la hipótesis de que $ = 8$ kilogramos contra la alternativa de que \(\mu \not = 8\), si se prueba una muestra aleatoria de 50 sedales, y se encuentra que tiene una resistencia media a la rotura de \(7.8\) kilogramos. Utilice un nivel de significancia de 0.01

1. \(H_{0}: \mu=8\)
2. \(H_{1}: \mu \not = 8\)
3. = 0.01$

#La función qnorm permite enontrar el cuantíl (percentil) Q para cualquier probabilidad p.
qnorm((0.01)/2)

## [1] -2.575829

#La función qnorm permite enontrar el cuantíl (percentil) Q para cualquier probabilidad p.
qnorm(1-(0.01)/2)

## [1] 2.575829

4. Región critica \(z<-2.575\) y \(z>2.575\)

2*pnorm(-2.83, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.0046548

Que nos permite rechazar la hipótesis nula de que \(\mu=8\) kilogramos en un nivel de significacnia menor que \(0.01\)

Relación con la estimación del intervalo de confianza.

Una sola muestra: Pruebas sobre una sola media (varianza desconocida)

El estadístico \(t\) para una pruena en una sola media (varianza desconocida)

\[t = \frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}\] Para la hipótesis bilateral en un nivel de significancia \(\alpha\), se aplican las regiones críticas de dos colas. Para \(H_{1}: \mu > \mu_{0}\), el rechazo resulta cuando \(t>t_{\alpha , n-1}\). Para \(H_{1}: \mu<\mu_{0}\), la región crítica está dada por \(t>-t_{\alpha, n-1}\)

Ejemplo El el instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual del kilowatts-horas que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatts-hora al año. Sin una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado incida que las aspiradores gastan un promedio de 42 kilowatts-hora al año con una desviación estándar de 11.9 kilowatts-hora, ¿en un nivel de significancia de 0.05 esto sugiere que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatts-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatts-hora es normal

1. \(H_{0}: \mu = 46 kilowatts-ahora\)

2. \(H_{1}: \mu < 46 kilowatts-ahora\)

3. \(\alpha=0.05\)

4. Región crítica.

alpha= 0.05
qt(alpha,11)

## [1] -1.795885

5. Cálculos: \(\bar{x}=42\) kilowatts-hora \(s=11.9\) kilowatts-hora y \(n=12\). De aquí.

n = 12
x = 42
mu = 46
sigma = 11.9


t = (x-mu)/(sigma/sqrt(n))
t

## [1] -1.164404

pt(t,n-1)

## [1] 0.1344464

6. Decisión: No rechace \(H_{0}\) y concluya que el número promedio de kilowatts-hora que gastan al año las aspiradoras domésticas no es significativamente menos que 46.

Dos muestras: Pruebas sobre medias.

Varianza desconocidas pero iguales.

Prueba \(T\) combinada de dos muestras.

\[t = \frac{(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-d_{0}}{s_{p}\sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}}}\] donde \[s_{p}^{2}= \frac{s_{1}^{2}(n_{1}-1)+s_{2}^{2}(n_{2}-1)}{n_{1}+n_{2}-2}\] Se incluye la distribución \(t\) y no se rechaza la hipótesis bilateral cuando \[-t_{\alpha/2,n_{1}+n_{2}-2}<t<t_{\alpha/2,n_{1}+n_{2}-2}\] Para \(H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}>d_{0}\), rechace \(H_{0}:\mu_{1}-\mu{2}=d_{0}\) cuando \(t>t_{\alpha, n_{1}+n_{2}-2}\)

Ejemplo Se lleva a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivos de dos diferentes materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 exponiendo cada pieza a una máquina para medir desgaste. Diez piezas del material 2 se prueban de manera similar. En cada caso, se observa la profundidad del desgaste. Las muestras del material 1 dan un desgaste promedio (codificado) de 85 unidades con una desviación estándar muestras del 4; en tanto que la smuestras del material 2 dan un promedio de 81 y una desviación estándar muestras de 5. ¿Podríamos concluir, con un nivel de significancia de 0.05, que el desgaste abrasivo del material 2 excede el material 2 en más de 2 unidades? Suponga que las poblaciones son aproximadamente normales con varianzas iguales.

1. \(H_{0}: \mu_{1}-\mu_{2}=2\).
2. \(H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}>2\)
3. \(\alpha = 0.05\)
4. Región crítica: \(t> 1.725\), donde \(t = \frac{(\bar{x}{1}-\bar{x}_{2})-d_{0})}{s_{p}\sqrt{1/n_{1}-1/n_{2}}}\), con \(v=20\) grados de libertad.
5. Cálculos

x_1 = 85
x_2 = 81
s_1 = 4
s_2 = 5
n_1 = 12
n_2 = 10

a = (s_1)**2 *(n_1-1)
b = (s_2)**2 *(n_2-1)
c = n_1 + n_2 -2

s_p2 = (a+b)/c
s_p=sqrt(s_p2)

t = ((x_1 -x_2)-2)/(s_p*sqrt(1/12 + 1/10))
t

## [1] 1.043163

pt(t,df=20, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.1546594

6. Decisión: no rechace \(H_{0}\). Somos incapaces de concluir que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en más de dos unidades.

Varianzas desconocidas pero diferentes.

\[T' = \frac{(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2})-d_{0}}{\sqrt{s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}}\] tiene distribución \(t\) aproximada con grados de libertad aproximados.

\[v = \frac{(s_{1}^{2}/n_1 + s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{(s_{1}^{2}/n_1)^{2}/(n_1 -1)+ (s_{2}^{2}/n_2)^{2}/(n_2-1)}\] El resultado del procedimiento de prueba es no rechazar \(H_{0}\) cuando

\[-t_{\alpha/2,v}<t'<t_{\alpha/2, v}\] ### Observaciones pareadas.

El cálculo del intervalo de congianza para \(\mu_{1}-\mu_{2}\) en la situación con observaciones pareadas se basa en la variable aleatoria.

\[T = \frac{\bar{X}-\mu_{D}}{S_{d}/\sqrt{n}}\] donde \(\bar{D}\) y \(S_{d}\) son variables aleatorias que representan la media muestral y las desviaciones estándar de las diferencias de las observaciones en las unidades experimentales. Como en el caso de la prueba \(t\) combinada, la suposición es que las observaciones de cada población son normales. Este problema de dos muestras se reduce en esencia a una problema de una muestra utilizando las diferencias calculadas \(d_{1}, d_{2}, ...,d_{n}\). De esta manera, la hipótesis se reduce a \[H_{0}: \mu_{D}=\mu_{0}\]

El estadístico de prueba calculado está dado entonces por. \[t = \frac{\bar{d}-d_{0}}{s_{d}/\sqrt{n}}\] Las regiones críticas se construyen usando la distribución \(t\), con \(n-1\) grados de libertad.

ejemplo En un estudio realizado en el Departamento de Silvicultura y Fauna del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia, J.A. Wesson examinó la influencia del fármaco succinylcholine sobre los niveles de circulación de andrógenos en la sangre. Se obtuvieron muestras sanguíneas de venados salvajes vía ña vena yugular, inmediatamente después de una inyección intramuscular de succinylcholine con dardos de un rifle de caza. Los venados se sangraron nuevamente aproximadamente 30 minutos después de la inyección y luego se libraron. Los niveles de andrógenos al momento de la captura y 30 minutos más tarde, medidos en nanogramos por mililitro (ng/ml), para 15 venados se presentan en la siguiente tabla.

venado<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
al_momento <-c(2.76, 5.18, 2.68, 3.05, 4.10, 7.05, 6.60, 4.79, 7.39, 7.30, 11.78, 3.90, 26.00, 67.48, 17.04)
despues <-c(7.02, 3.10, 5.44, 3.99, 5.21, 10.26, 13.91, 18.53, 7.91, 4.85, 11.10, 3.74, 94.03, 94.03, 41.70)
d_i = despues- al_momento

tabla<-data.frame(venado, al_momento,despues, d_i )
tabla

Suponiendo que las poblaciones de andrógenos al momento de la inyección y 30 minutos después se distribuyen normalmente, pruebe con un nivel de significancia de 0.05 si las concentraciones de andrógenos se alteran después de 30 minutos de encierro,

1. \(H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}\) o \(\mu_{D}=\mu_{1}-\mu_{2}=0\).
2. \(H_{1}: \mu_{1}\not=\mu_{2}\) 0 \(\mu_{D}=\mu_{1}-\mu_{2}\not=0\)
3. \(\alpha=0.05\).
4. Región crítica: \(t<-2.145\) y \(t>2.145\), donde \(t=\frac{\bar{d}-d_{0}}{s_{D}/\sqrt{n}}\) con \(v=14\) grados de libertad.

qt(0.05/2, df=14,lower.tail = TRUE)

## [1] -2.144787

qt(0.05/2, df=14,lower.tail = FALSE)

## [1] 2.144787

5. Cálculos: la media muestral y la desviación estándar para las \(d_{i}\) son \(\bar{d}=9.848\) y \(s_d=18.474\)

mean(tabla$d_i)

## [1] 9.848

sd(tabla$d_i)

## [1] 18.47363

Por lo tanto, \[t=\frac{9.848-0}{18.474/\sqrt{15}}=2.06\]

6. Aunque el estadístico \(t\) no es significativo al nivel \(0.05\),

2*pt(2.06,df=14, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.05849421

Como resultado, existe alguna evidencia de que hay una diferencia en los niveles medios circulantes de andrógenos.

t.test(tabla$al_momento, tabla$despues, alternative= 'two.sided')

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  tabla$al_momento and tabla$despues
## t = -1.0863, df = 21.479, p-value = 0.2894
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -28.676029   8.980029
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  11.80667  21.65467

Elección del tamaño de la muestra para probar medias.

Ejemplo Suponga que deseamos probar las hipótesis \[H_{0}: \mu=68kg, \hspace{0.5cm}H_{1}:\mu>68kg\] para los pesos de estudiantes hombres en cierta universidad usando un nivel de significancia \(\alpha=0.05\) cuando se sabe que \(\simga=5\). Encuentre el tamaño muestral que se requiere si la potencia de nuestra prueba debe ser \(0.95\) cuando la media real es \(69\) kilogramos.

z_alpha = qnorm(0.05, lower.tail =FALSE)
z_alpha

## [1] 1.644854

n = ((z_alpha+z_alpha)**2)*25 
n

## [1] 270.5543

Por lo tanto, se requieren 271 observaciones si la prueba debe rechazar las hipótesis nula \(95%\) de las veces cuando, de hecho \(\mu\) es tan grande como 69 kilogramos.

El caso de dos muestras.

Ejemplo Al comparar el comportamiento de dos catalizadores sobre el efecto del rendimiento de una reacción, se realiza una prueba \(t\) de dos muestras con \(\alpha = 0.05\). Las varianzas de los rendimientos se consideran las mismas para los dos catalizadores. ¿De qué tamaño se necesita una muestra para cada catalizador, si se desea probar la hipótesis \[H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}, \hspace{0.5cm}H_{1}:\mu_{1}\not= \mu_{2}\] si es esencial detectar una diferencia de \(0.8\sigma\) entre los catalizadores con probabilidad 0.9?

Métodos gráficos para comparar medias.

Una muestra: Prueba sobre una sola proporción

Prueba de una proporción: muestas pequeñas

1. \(H_{0}: p=p_{0}\)
2. Una de las alternativas \(H_{1}:p<p_{0}, p>p_{0}\), o\(p\not=p_{0}\)
3. Elija un nivel de significancia igual a \(\alpha\)
4. Estadística de prueba: variable binomial \(X\) con \(p=p_{0}\)
5. Cálculos: Encuentre \(x\), el número de éxitos, y calcule el valor \(P\) adecuado.
6. Decisión. Obtenga las conclusiones apropiadas basadas en el valor \(P\).

Ejemplo Constructor afirma que se instalan bombas de calor en el 70% de todas las casas que se construyen actualemente en la ciudad de Richmond, Virginia. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación, si una encuesta aleatoria de casas nuevas en esta ciudad demuestra que 8 de 15 tiene instaladas bombsa de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.010

1. \(H_{0}:p=0.7\)
2. \(H_{1}:p\not=0.7\)
3. \(\alpha=0.1\)
4. Estadístico de prueba: Variable binomial \(X\) con \(p=0.7\) y \(n=15\)
5. Cálculos: \(x=8\) y \(np_{0}=(15)(0.7)\)

n = 15
p_gorro=0.7
n*p_gorro

## [1] 10.5

n*(1-p_gorro)

## [1] 4.5

2*pbinom(8,15,prob=0.7, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.2622851

6. Decisión: No rechace \(H_{0}\). Concluya que no hay razón suficiente para dudar de la afirmación del constructor.

Ejemplo Un medicamento que se prescribe comúnmente para aliviar la tensión nerviosa se considera que es efectivo en tal sólo 66%. Resultados experimentales con un nuevo fármaco que se suministra a una muestra aleatoria de 100 adultos que padecen tensión nerviosa demuestran que 70 tuvieron alivio. ¿Ésta es evidencia suficiente para concluir que el nuevo medicamento es superior a la que se prescribe actualmente? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

1. \(H_{0}: p= 0.6\)
2. \(H_{1}: p>0.6\)
3. \(\alpha=0.05\)
4. Región crítica: \(z>1.645\)

qnorm(0.05, lower.tail=FALSE)

## [1] 1.644854

x = 70
n = 100
p_gorro = 70/100
p_ant = 0.6
z=(p_gorro-p_ant)/sqrt((p_ant*(1-p_ant))/100)
z

## [1] 2.041241

pnorm(z, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.02061342

6. Decisión: Rechace \(H_{0}\) y concluya que el nuevo fármaco es superior.

Pruebas sobre dos proporciones

Ejemplo Se tomará el voto entre los residentes de una ciudad y el condado circundante, para determinar si se debe construir la planta química que se propone. El lugar de construcción está dentro ed los límites de la ciudad y, por esa razón, muchos votantes del condado consideran que la propuesta pasará debido a la gran proporción de votantes que favorecen que favorecen la construcción. Para determinar si hay una diferencia siginificativa en la proporción de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorecen la propuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 vontantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado también lo hace, ¿estaría usted de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es mayor que la proporción de votantes del condado? Utilice un nivle de significancia de 0.025

Sean \(p_1\) y \(p_2\) las proporciones reales de votantes en la ciudad y el condado, respectivamente, que favorecen la propuesta. 1. \(H_{0}:p_1 = p_2\) 2. \(H_{1}: p_1>p_2\) 3. \(\alpha=0.05\) 4.Región crítica: \(z>1.645\)

qnorm(0.05, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.644854

5. Cálculos

x_1=120
n_1=200
x_2=240
n_2=500
p_1=x_1/n_1
p_2=x_2/n_2
p=(x_1+x_2)/(n_1+n_2)
z=(p_1-p_2)/sqrt(p*(1-p)*(1/n_1 + 1/n_2))
print(z)

## [1] 2.86972

pnorm(z, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.002054176

6. Desición: Rechace \(H_{0}\) y esté de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad a favor de la propuesta a favor de la propuesta es mayor que la proporción de votantes del condado.

Pruebas de una y dos muestras referentes a varianzas

Ejemplo Un fabricante de baterías para automovil afirma que la duración de sus baterías se distribuye de forma aproximadamente normal con una desviación estándar igual a 0.9 años. Si una muestra aleatoria de 10 de tales baterías tiene una desviación estándar de 1.2 años ¿considera que \(\sigma>0.9\)? Utilice un nivel de significancia de 0.05

1. \(H_{0}:\sigma^2=0.81\)
2. \(H_{1}: \sigma^2>0.81\)
3. \(\alpha=0.05\)
4. Región crítica

qchisq(0.05, df=9, lower.tail = FALSE)

## [1] 16.91898

5. Cálculos

x_chi=(9*1.44)/(0.81)
x_chi

## [1] 16

pchisq(16, df=9, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.06688159

6. Decisión: El estadístico \(\chi^{2}\) no es significativo suficiente en el nivel 0.05. Sin embargo, con base en el valor de \(P\) de 0.07, hay alguna evidencia de que \(\sigma>0.9\)

library(EnvStats)

## Warning: package 'EnvStats' was built under R version 4.1.3

## 
## Attaching package: 'EnvStats'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     predict, predict.lm

## The following object is masked from 'package:base':
## 
##     print.default

A<-rnorm(10,sd=2)
varTest(A, sigma.square=(0.9)**2,alternative = "greater",conf.level = (1-0.05))

## $statistic
## Chi-Squared 
##    41.06653 
## 
## $parameters
## df 
##  9 
## 
## $p.value
## [1] 4.864397e-06
## 
## $estimate
## variance 
## 3.695987 
## 
## $null.value
## variance 
##     0.81 
## 
## $alternative
## [1] "greater"
## 
## $method
## [1] "Chi-Squared Test on Variance"
## 
## $data.name
## [1] "A"
## 
## $conf.int
##     LCL     UCL 
## 1.96607     Inf 
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
## 
## attr(,"class")
## [1] "htestEnvStats"

Pruebas de una y dos muestras referentes a varianzas

Prueba bondad de ajuste.

Una prueba de la bondad de ajuste entres las frecuencias observadas y esperadas se basas en la cantidad \[\chi^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(o_i - e_i)^2}{e_i}\] donde \(\chi^2\) es un valor de una variagle aleatoria cuya distribución muestra se aproxima muy de cerca con la distribución chi cuadrada con \(v=k-1\) grados de libertad. Los símbolos \(o_i\) y \(e_i\) representan las frecuencias observadas y esperada respectivamente, para la \(i-\)ésima celda.

Prueba de bondad de ajuste.

Prueba de independencia (datos categóricos)

Prueba de homogeneidad