#Exercício 1: Trace uma curva normal e sombreie a área desejada obtendo então a informação.
#a)
pnorm(1,lower.tail = FALSE)## [1] 0.1586553#b)
pnorm(1)## [1] 0.8413447#c)
pnorm (1.5) - pnorm(0)## [1] 0.4331928#d)
pnorm(-0.56) - pnorm(-0.2)## [1] -0.1330006#e)
pnorm(0.5)-pnorm(0.5)## [1] 0#f)
pnorm(-2.5) - pnorm(0)## [1] -0.4937903#Exercício 2: Usando a tabela da distribuição normal, determine os valores de Z que correspondem às seguintes áreas:
#a)
qnorm(0.0505)## [1] -1.640025#b)
qnorm(0.0228,lower.tail = FALSE)## [1] 1.999077#c)
qnorm(0.0228)## [1] -1.999077#d)
qnorm(0.4472, lower.tail = FALSE)## [1] 0.1327387#Exercício 3: Consultando a tabela, determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre Z0 = −1,20 e Z1 = 2,00.
pnorm(2)-pnorm(-1.2)## [1] 0.8621802#Exercício 4: Dado uma variável X com distribuição normal de média 25 e desvio-padrão 2, determine os valores de Z para os seguintes valores (x):
mu = 25
sigma = 2
#a)
x = 23
z = (x - mu)/sigma
z## [1] -1#b)
x = 23.5
z = (x - mu)/sigma
z## [1] -0.75#c)
x = 24
z = (x - mu)/sigma
z## [1] -0.5#d)
x = 25.2
z = (x - mu)/sigma
z## [1] 0.1#e)
x = 25.5
z = (x - mu)/sigma
z## [1] 0.25#Exercício 5: Determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre Z0 = −1,30 e Z1 = 1,5.
pnorm(1.5)-pnorm(-1.30)## [1] 0.8363923#Exercício 6: Uma população normal tem média 40 e desvio-padrão 3. Determine os valores da população correspondentes aos seguintes de Z:
mu = 40
sigma = 3
#a)
z = 0.1
x = mu + (sigma*z)
x## [1] 40.3#b)
z = 2.00
x = mu + (sigma*z)
x## [1] 46#c)
z = 0.75
x = mu + (sigma*z)
x## [1] 42.25#d)
z= -3.0
x = mu + (sigma*z)
x## [1] 31#e)
z = -2.53
x = mu + (sigma*z)
x## [1] 32.41#Exercício 7
#a) Teste de hipótese é o procedimento de tomada de decisão sobre a hipótese.
#b) A hipótese nula afirma que um parâmetro da população, como a média e o desvio padrão, é igual a um valor hipotético. A hipótese alternativa é aquela que você acredita que pode ser verdadeira ou espera provar o que ela seja: verdadeira ou não.
#c) Erro do tipo I é a probabilidade de termos H0 verdadeira e a rejeitamos. Erro do tipo II é a probabilidade de termos H0 falsa e a aceitarmos.
#d) O nível de significância, denotado alfa, é a probabilidade de rejeição da hipótese nula quando ela é verdadeira.#Exercicio 8
#a)
#H0: mu=40$ toneladas por hectares
#H1: mu>40$ toneladas por hectares
#b)
#H0: mu=0.12$ taxa de desemprego
#H1: mu>0.12$ taxa de desemprego#Exercício 9: O fabricante de certa marca de suco informa que as embalagens de seu produto têm em média 500 ml, com desvio padrão igual a 10 ml. Tendo sido encontradas no mercado algumas embalagens com menos de 500ml, suspeita-se que a informação do fabricante seja falsa. Para verificar se isto ocorre, um fiscal analisa uma amostra de 200 embalagens escolhidas aleatoriamente no mercado e constata que as mesmas contêm em média 498 ml. Considerando-se um nivel de significância de 5%, pode-se afirmar que o fabricante está mentindo? Calcule o valor da prova para esta amostra.
mu = 500
sigma = 10
n = 200
xbarra = 498
alfa = 0.05
#H0: mu = 500
#H1: mu < 500
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] -2.828427ztab = qnorm(alfa)
ztab## [1] -1.644854ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alfa, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alfa,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# O fabricante está mentindo.
#PROVA:
x = mu +(sigma/sqrt(n)*ztab)
x## [1] 498.8369#Exercício 10: A duração das lâmpadas produzidas por certo fabricante tem distribuição normal com média igual a 1200 horas e desvio padrão igual a 300 horas. O fabricante introduz um novo processo na produção das lâmpadas. Para verificar se o novo processo produz lâmpadas de maior duração, o fabricante observa 100 lâmpadas produzidas pelo novo processo e constata que as mesmas duram em média 1265 horas. Admitindo-se um nível de significância de 5%, pode-se concluir que o novo processo produz lâmpadas com maior duração?
#teste z
#H0: mu = 1200
#H1: mu > 1200
#Estatística do teste
mu = 1200
sigma = 300
n = 100
xbarra = 1265
alpha = 0.05
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] 2.166667ztab = qnorm(alpha, lower.tail = FALSE)
ztab## [1] 1.644854ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#Sim, o processo produz lâmpadas com maior duração.#Exercício 11: O custo de produção de certo artigo numa localidade tem distribuição normal com média igual a R$42, 00.Desenvolve-se uma política de redução de custos na empresa para melhorar a competitividade do referido produto no mercado. Observando-se os custos de 10 unidades deste produto, obtiveram-se os seguintes valores: 34, 41, 36, 41, 29, 32, 38, 35, 33 e 30. Admitindo-se um nível de significância de 5%, pode-se afirmar que o custo do produto considerado diminuiu?
mu = 42
n = 10
x = c(34, 41, 36, 41, 29, 32, 38, 35, 33, 30)
xbarra = mean(x)
xbarra## [1] 34.9dp = sd(x)
dp## [1] 4.175324alfa = 0.05
#teste para média
#teste t (variancia populacional desconhecida)
#H0: mu = 42
#H1: mu < 42
#Estatística do teste
tcal = (xbarra-mu)/(dp/sqrt(n))
tcal## [1] -5.377348ttab = qt(alfa,n-1)
ttab## [1] -1.833113ConclusãoZ = ifelse(abs(tcal)>abs(ttab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#Não, o custo do produto permaneceu o mesmo.#Exercício 12: O controle de qualidade das peças produzidas por certa fábrica exige que o diâmetro médio das mesmas seja 57 mm. Para verificar se o processo de produção está sob controle, observam-se os diâmetros de 10 peças, constatando-se os seguintes valores em mm: 56,5; 56,6; 57,3; 56,9; 57,1; 56,7; 57,1; 56,8; 57,1; 57,0. Admitindo-se um nível de significância de 5%, pode-se concluir que o processo de produção está sob controle?
mu=57
n=10
x=c(56.5, 56.6, 57.3, 56.9, 57.1, 56.7, 57.1, 56.8, 57.1, 57.0)
xbarra=mean(x)
dp=sd(x)
alpha=0.05
#Teste para média
#Teste t (variância populacional desconhecida)
#H0:mu=57
#H1:mu!=57
#Estatística do Teste
Tcal=(xbarra-mu)/(dp/sqrt(n))
Tcal## [1] -1.112516Ttab=qt(alpha/2, n-1)
Ttab## [1] -2.262157ConclusãoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#Sim, o processo está sob controle.#Exercício 13 - NÃO É PRA FAZER
#Exercício 14 - NÃO É PRA FAZER
#Exercício 15: Suponha que o tempo necessário para que estudantes completem uma prova tenha distribuição normal com média 90 minutos e desvio padrão 15 minutos. #a) Qual é a probabilidade do estudante terminar a prova em menos de 80 minutos?
mu = 90
sigma = 15
x = 80
zcal80 = (x-mu)/sigma
zcal80## [1] -0.6666667x=0
zcal0= (x-mu)/sigma
zcal0## [1] -6P = pnorm(-0.666)-pnorm(-6)
P## [1] 0.2527055#b) Em mais de 120 minutos?
mu=90
sigma=15
x=0
zcal0 = (x-mu)/sigma
zcal0## [1] -6x = 120
zcal120 = (x-mu)/sigma
zcal120## [1] 2P = 1 - (pnorm(2)-pnorm(-6))
P## [1] 0.02275013#c) Entre 75 e 85 minutos?
mu=90
sigma=15
x = 75
zcal75 = (x-mu)/sigma
zcal75## [1] -1x = 85
zcal85 = (x-mu)/sigma
zcal85## [1] -0.3333333P = pnorm(-0.333)-pnorm(-1)
P## [1] 0.2109119#d) Qual é o tempo necessário para que 98% dos estudantes terminem a prova?
mu=90
sigma=15
ztab = qnorm(0.98)
ztab## [1] 2.053749x=mu+(sigma*ztab)
x## [1] 120.8062#Exercício 16: Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10. #a) Qual a P (90 < X < 110)?
mu = 100
sigma = 10
x = 90
zcal90 = (x-mu)/sigma
zcal90## [1] -1x = 110
zcal110 = (x-mu)/sigma
zcal110## [1] 1P = (pnorm(1.33) - pnorm(0))*100
P## [1] 40.82409#b)Se Xbarra for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população, calcule P (90 < Xbarra < 110).
mu = 100
sigma = 10
#P = P(90<Xbarra<110) = P(-4<Z<4) = 2*P(0<Z<4)
P <- 2*(pnorm(4)-pnorm(0))
P## [1] 0.9999367#c)Representação gráfica não é pra fazer.
#d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < Xbarra < 110) = 0,95?
mu = 100
sigma = 10
#P(90<Xbarra<110)=0.95=>P(-sqrt(n)<Z<sqrt(n))=0.95
#=> P(0<Z<sqrt(n))=0.475
#=>sqrt(n)=qnorm(p, lower.tail=FALSE)
n <- (qnorm(0.025, lower.tail =FALSE))^2
n <- round(n, digits =0)
n## [1] 4#Exercício 17: Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, H0, aquela que para você leva a um erro tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso.
#a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipotéses: #1. está começando um ataque; #2. tudo bem, apenas uma leve interferência.
#H0: tudo bem, apenas uma interferência
#H1: está começando um ataque#b)Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: #1. o acusado é inocente; #2. o acusado é culpado.
#H0: o acusado é inocente
#H1:o acusado é culpado#c)Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são: #1. a vacina é eficaz; #2. a vacina não é eficaz.
#H0: a vacina é eficaz
#H1: a vacina não é eficaz#Exercício 18: Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km, com desviopa drão de 0,8 litros. Uma revista resolve testar essa afirmação e analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo 11,3 litros por 100 km como consumo médio (considerar distribução normal). O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica, no nível de 10%?
mu = 0.11
sigma = 0.8
#H0: mu = 0.11
#H1 != 0.11
n = 35
xbarra = 0.113
alpha = 0.10
#Teste z (variância conhecida, teste de média)
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] 0.0221853ztab = qnorm(alpha/2)
ztab## [1] -1.644854ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.1 de significância"# A revista estava falando a verdade.#Exercício 19: Duas máquinas, A e B, são usadas para empacotar pó de café. A experiência passada garante que o desvio padrão para ambas é de 10 g. Porém, suspeita-se que elas têm médias diferentes. Para verificar, sortearam-se duas amostras: uma com 25 pacotes da máquina A e outra com 16 pacotes da máquina B. As médias foram,respectivamente, x¯A = 502, 74g e x¯B = 496, 60g. Com esses números, e com o nível de 5%, qual seria a coclusão do teste H0 : µA = µB?
xAbarra = 502.74
xBbarra = 496.6
alpha = 0.05
nA = 25
nB = 16
sigma = 10
#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB
#Estatística do Teste
Zcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(sigma^2*((1/nA)+(1/nB)))
Zcal## [1] 1.917814Ztab = qnorm(alpha/2)
Ztab## [1] -1.959964ConclusaoZ = ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"designificância"))
ConclusaoZ## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 designificância"# A média de café empacotado pelas máquinas A e B são iguais.#Exercício 20: Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para combater a corrosão de suas latas especiais. Para verificar o efeito dos tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo (em porcentagem de corrosão eliminada). Qual seria a conclusão sobre os dois tratamentos?
nA=15
nB=12
xBarraA=48
xBarraB=52
sA=10
sB=15
alpha=0.05
#teste-F
#H0:SigmaA^2=SigmaB^2
#H1:SigmaA^2<SigmaB^2
Fcal = (sB^2)/(sA^2)
Fcal## [1] 2.25Ftab = qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab## [1] 0.3651436ConclusaoF = ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A variância entre as populções são desiguais.
#teste-t
#H0:muA=muB
#H1:muA!=muB
Tcal = (xBarraA-xBarraB)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal## [1] -0.7934155A = (sA^2)/nA
B = (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/nA-1)+((B^2)/nB-1))
(df = round(df, digits = 0))## [1] 21Ttab = qt(alpha/2,df)
Ttab## [1] -2.079614ConclusaoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A média de porcentagem de corrosão entre os dois tratamentos são iguais.#Exercício 21: Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formandos em Administração de Empresas.Com os resultados abaixo, expressos em salários mínimos, quais seriam suas conclusões?
x = c(6.6, 10.3, 10.8, 12.9, 9.2, 12.3, 7.0)
y = c(8.1, 9.8, 8.7, 10.0, 10.2, 8.2, 8.7, 10.1)
xAbarra = mean(x)
xBbarra = mean(y)
sA = sd(x)
sA## [1] 2.432909sB = sd(y)
sB## [1] 0.8876132nA = 7
nB = 8
alpha = 0.05
#teste-F (desvio populacional desconhecido)
#H0:SigmaA^2 = SigmaB^2
#H1:SigmaA^2 =! SigmaB^2
Fcal = (sA^2)/(sB^2)
Fcal## [1] 7.512844Ftab = qf(alpha,nA-1,nB-1)
Ftab## [1] 0.2377184ConclusaoF = ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A variância entre as populções são desiguais.
#teste-t
#H0:muA = muB
#H1:muA! = muB
Tcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal## [1] 0.6653048A = (sA^2)/nA
B = (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
(df = round(df, digits = 0))## [1] 7df## [1] 7Ttab = qt(alpha/2, df)
Ttab## [1] -2.364624ConclusaoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A média de salário entre os récem-formados são iguais.#Exercício 22 - NÃO TEM NA LISTA
#Exercício 23: Os dados abaixo referem-se a medidas de determinada variável em 19 pessoas antes e depois de uma cirurgia. Verifique se as medidas pré e pós-operatórias apresentam a mesma média. Que suposições você faria para resolver o problema?
#H0: mu = 0
#H1: mu > 0
x = c(50.0,50.0,50.0,87.5,32.5,35.0,40.0,45.0,62.5,40.0,50.0,75.0,92.5,38.0,46.5,50.0,30.0,35.0,39.4)
y = c(42.0,42.0,78.0,33.0,96.0,82.0,44.0,31.0,87.0,50.0,48.0,52.0,74.0,47.5,49.0,58.0,42.0,60.0,28.0)
mu = 0
n = 19
d = x-y
xbarra = mean(d)
s = sd(d)
alpha = 0.05
Tcal = (xbarra - mu)/(s/sqrt(n))
Tcal## [1] -0.8235787Ttab=qt(alpha, n-1)
Ttab## [1] -1.734064ConclusãoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#As medidas pré e pós-operatórias são a mesma.#Exercício 24: Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade de seus trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e contou o número de peças produzidas durante uma semana sem intervalo e uma semana com intervalo. Os resultados sugerem se há ou não melhora na produtividade? Caso haja melhora, qual deve ser o acréscimo médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica?
#H0: mu = 0
#H1: mu > 0
x = c(23,35,29,33,43,32)
y = c(28,38,29,37,42,30)
mu = 0
n = 6
d = x-y
xbarra = mean(d)
s = sd(d)
alpha = 0.05
Tcal = (xbarra - mu)/(s/sqrt(n))
Tcal## [1] -1.275345Ttab=qt(alpha, n-1)
Ttab## [1] -2.015048ConclusãoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#Não houve melhora na produtividade com a pausa.#Exercício 25: Num levantamento feito com os operários da indústria mecânica, chegou-se aos seguintes números: salário médio = 3,64 salários mínimos e desvio padrão = 0,85 salário mínimo. Suspeita-se que os salários de subclasse formada pelos torneiros mecânicos são diferentes dos salários do conjunto todo, tanto na média como na variância. Que conclusões você obteria se uma amostra de 25 torneiros apresentasse salário médio igual a 4,22 salários mínimos e desvio padrão igual a 1,25 salário mínimo?
##teste da variância
n = 25
S = 1.25
sigma = 0.85
alpha = 0.05
#H0: Sigma = 0.85
#H1: Sigma =! 0.85
XsqCAL = ((n-1)*S^2)/sigma^2
XsqTAB = 30.144
ConclusãoXsq = ifelse(abs(XsqCAL)>abs(XsqTAB),paste("Como |XsqCAL|>|XsqTAB| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |XsqCAL|<|XsqTAB| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoXsq## [1] "Como |XsqCAL|>|XsqTAB| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"## Os valores do salário da subclasse possuem variâncias diferentes.
#teste z (variância populacional conhecida)
#H0: mu = 3.64
#H1: mu =! 3.64
#Estatística do teste
mu = 3.64
sigma = 0.85
n = 25
xbarra = 4.22
s = 1.25
alpha = 0.05
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] 3.411765ztab = qnorm(alpha/2)
ztab## [1] -1.959964ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#O salário médio dos torneiros mecânicos é diferente do que o salário da indústria mecânica.#Exercício 26 - NÃO É PRA FAZER
#Exercício 27 - NÃO É PRA FAZER
#Exercício 28: Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, preparam-se dois tipos de montagem: cruzado (A), onde a cola é posta em forma de X, e quadrado (B), onde a cola é posta apenas nas quatro bordas. Os resultados da resistência para as duas amostras de 10 cada estão abaixo. Que tipo de conclusão poderia ser tirada?
x = c(16,14,19,18,19,20,15,18,17,18)
y = c(13,19,14,17,21,24,10,14,13,15)
nA=10
nB=10
xAbarra = mean(x)
xBbarra = mean(y)
sA = sd(x)
sB = sd(y)
alpha = 0.05
#teste-F (desvio populacional desconhecido)
#H0:SigmaA^2 = SigmaB^2
#H1:SigmaA^2 < SigmaB^2
Fcal = (sB^2)/(sA^2)
Fcal## [1] 5Ftab = qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab## [1] 0.3145749ConclusaoF = ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A variância das populações são diferentes.
#teste-t
#H0:muA = muB
#H1:muA!= muB
Tcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal## [1] 0.9525793A = (sA^2)/nA
B = (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
(df = round(df, digits = 0))## [1] 12df## [1] 12Ttab = qt(alpha/2, df)
Ttab## [1] -2.178813ConclusaoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#Não existe diferença entre os tratamentos analisados.#Exercício 29: Em um estudo para comparar os efeitos de duas dietas, A e B, sobre o crescimento, 6 ratos foram submetidos à dieta A, e 9 ratos à dieta B. Após 5 semanas, os ganhos em peso foram listados na tabela abaixo. Admitindo que temos duas amostras independentes de populações normais, teste a hipótese de que não há diferença entre as duas dietas, contra a alternativa que a dieta A é mais eficaz, usando o teste t de Student, no nível de α = 0, 01.
#H0: muA = muB
#H1: muA > muB
x = c(15, 18, 12, 11, 14, 15)
y = c(11, 11, 12, 16, 12, 13, 8, 10, 13)
xAbarra = mean(x)
xBbarra = mean(y)
nA = 6
nB = 9
sA = sd(x)
sB = sd(y)
alpha = 0.01
#teste-F (desvio populacional desconhecido)
#H0:SigmaA^2 = SigmaB^2
#H1:SigmaA^2 < SigmaB^2
Fcal = (sB^2)/(sA^2)
Fcal## [1] 0.8018018Ftab = qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab## [1] 0.1507881ConclusaoF <- ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"# A variância das populações são diferentes.
#teste-t
#H0:muA = muB
#H1:muA > muB
Tcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal## [1] 1.902208A <- (sA^2)/nA
B <- (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
(df = round(df, digits = 0))## [1] 10df## [1] 10Ttab <- qt(alpha/2, df)
Ttab## [1] -3.169273ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"#Não existe diferença entre os tratamentos analisados.#Exercício 30: Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos. #a)Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
mu = 8
sigma = 2
x = 5
zcal5 = (x-mu)/sigma
zcal5## [1] -1.5x = 0
zcal0 = (x-mu)/sigma
zcal0## [1] -4P = pnorm(zcal5) - pnorm(zcal0)
P## [1] 0.06677553#b)E mais do que 9,5 minutos?
mu = 8
sigma = 2
x = 9.5
zcal9.5 = (x-mu)/sigma
zcal9.5## [1] 0.75P = 1 - pnorm(zcal9.5)
P## [1] 0.2266274#c)E entre 7 e 10 minutos?
mu = 8
sigma = 2
x = 7
zcal7 = (x-mu)/sigma
zcal7## [1] -0.5x = 10
zcal10 = (x-mu)/sigma
zcal10## [1] 1P = pnorm(zcal10) - pnorm(zcal7)
P## [1] 0.5328072#d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?
mu = 8
sigma = 2
ztab = qnorm(0.75)
ztab## [1] 0.6744898x = mu + (sigma*ztab)
x## [1] 9.34898#Exercício 31: A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: 15% dos mais leves como pequenos, os 50% seguintes como médios, os 20% seguintes como grandes e os 15% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?
mu = 5
sigma = 0.9
ztab15 = qnorm(0.15)
ztab15## [1] -1.036433x = (mu + sigma*ztab15)
x## [1] 4.06721ztab65 = qnorm(0.65)
ztab65## [1] 0.3853205x = (mu + sigma*ztab65)
x## [1] 5.346788ztab85 = qnorm(0.85)
ztab85## [1] 1.036433x = (mu + sigma*ztab85)
x## [1] 5.93279#Pequenos: x < 4,06kg
#Médio: 4,06 < x < 5,34kg
#Grandes: 5,34 < x < 5,93 kg
#Extras: x > 5,93 kg#Exercício 32: Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000cm3 e desvio padrão de 10m3. Admita que o volume siga uma distribuição normal.
mu = 1000
sigma = 10
#a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990cm3?
#mu - sigma = 34%
#A porcentagem de garrafas menores que 990 mL 攼㸹 34%
#b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?
#A porcentagem de garrafas que não se desviam mais que mu+2sigma é 95%#Exercício 33: Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m. Respectivamente. #a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.
#Televisor A
mu = 10
sigma = 2
x = 6
zcal = (x - mu)/sigma
zcal## [1] -2P = pnorm(zcal)
P## [1] 0.02275013#Televisor B
mu = 11
sigma = 3
x = 6
zcal = (x - mu)/sigma
zcal## [1] -1.666667P = pnorm(zcal)
P## [1] 0.04779035#b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.
#Televisor A
lucro = (1-0.023)*1200
lucro## [1] 1172.4#Televisor B
lucro = (1-0.048)*2100
lucro## [1] 1999.2#c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?
#Televisor A
prejuizo = 0.023* 2500
prejuizo## [1] 57.5#Televisor B
prejuizo = 0.048 * 7000
prejuizo## [1] 336#Exercício 34:Um estudo comparou dois métodos (A e B) para ensinar matemática a alunos do primeiro grau. Após 10 semanas, o desempenho dos alunos foi avaliado em um teste. Teste a hipótese de que o método A resulta num melhor desempenho médio, ao nível α = 5%, com base nos resultados da tabela a seguir.
xAbarra = 8.15
xBbarra = 7.31
nA = 10
nB = 8
sA = 1.15
sB = 1.94
alpha = 0.05
#teste-F (desvio populacional desconhecido)
#H0:SigmaA^2 = SigmaB^2
#H1:SigmaA^2 < SigmaB^2
Fcal = (sB^2)/(sA^2)
Fcal## [1] 2.845822Ftab = qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab## [1] 0.2719849ConclusaoF = ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A variância das populações são diferentes.
#teste-t
#H0:muA = muB
#H1:muA > muB
Tcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal## [1] 1.082004A = (sA^2)/nA
B = (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/(nA-1))+((B^2)/(nB-1)))
(df = round(df, digits = 0))## [1] 11df## [1] 11Ttab = qt(alpha/2, df)
Ttab## [1] -2.200985ConclusaoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#Não existe diferença entre os tratamentos analisados.#Exercício 35: A lei trabalhista estabelece que o pagamento diário mínimo deve ser de 13, 20 U.M. (unidades monetárias). Assuma distribuição normal com desvio padrão igual a 2,0 U.M. Uma amostra aleatória de 40 trabalhadores de uma firma revelou média diária de 12,20 U.M .Esta forma deve ser acusada de estar infringindo a lei? Conclua a 1% de probabilidade.
mu = 13.20
sigma = 2.0
n = 40
xbarra = 12.2
alfa = 0.01
#H0: mu = 13.2
#H1: mu < 13.2
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] -3.162278ztab = qnorm(alfa)
ztab## [1] -2.326348ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alfa, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alfa,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"# A fábrica está infringindo a lei.#Exercício 36: A tabela a seguir mostra a frequência de acidentes automobilísticos por ano, de acordo som a faixa etária (idade) do motorista, para motoristas com idade inferior a 25 anos. Teste a hipótese de que o número de acidentes independe da idade, a 5% de probabilidade. Isto é, teste a hipótese de que o número anual de acidentes se distribui proporcionalmente nas faixas etárias.
#H0: O número de acidentes independe da faixa etaria
#H1: Não H0
fo = c(8, 15, 13, 11, 8)
p = c(0.1, 0.2, 0.2, 0.25, 0.25)
Xsq = chisq.test (fo, correct = FALSE, p = p)
Xsq##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: fo
## X-squared = 5.9091, df = 4, p-value = 0.206#Conclusão: como p-valor é maior do que o nível de significância, não rejeitamos H0. Ou seja,o número de acidentes independe da faixa etária.#Exercício 37: Uma indústria farmacêutica conduziu um estudo para avaliar o tempo médio em dias para recuperação dos efeitos da gripe. O estudo comparou o tempo de indivíduos que tomaram 500 mg diárias de vitamina C, contra indivíduos que não tomaram vitamina C (nenhum suplemento). Com base nos dados a seguir, conclua e interprete a 5% de probabilidade.
#H0: mu = 0
#H1: mu < 0
mu = 0
n = 12
xbarra = 7.4 - 5.8
s = 2.9 - 2.4
alpha = 0.05
Tcal = (xbarra - mu)/(s/sqrt(n))
Tcal## [1] 11.08513Ttab=qt(alpha, n-1)
Ttab## [1] -1.795885ConclusãoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoT## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#A vitamina diminuiu o tempo médio de recuperação.#Exercício 38: Um pesquisa de opinião entrevistou 50 pessoas em dois distritos. O objetivo era verificar se a distribuição das opiniões era homogênea nos dois distritos. Com base nos dados da tabela, teste a hipótese de homogeneidade de opiniões usando α = 5%.
#H0: A distribuição é homogênea.
#H1: Não H0.
fo = data.frame (Distrito = c("Distrito A", "Distrito B"), Sim = c(20,26), Indeciso = c(9,3), Não = c(21,21), row.names = TRUE)
fo## Sim Indeciso Não
## Distrito A 20 9 21
## Distrito B 26 3 21Xsq = chisq.test (fo, correct = FALSE)
Xsq$expected## Sim Indeciso Não
## Distrito A 23 6 21
## Distrito B 23 6 21Xsq##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: fo
## X-squared = 3.7826, df = 2, p-value = 0.1509#Como p-valor é maior do que 0,05, não rejeitamos H0. Ou seja, a distribuição é homogênea.#Exercício 39: Uma associação comercial a rma que o número médio de dias de trabalho perdidos anualmente, devido a problemas de saúde, é igual a 60. Uma extensa campanha educacional visando a conscientizar os trabalhadores quanto a importância de uma alimentação balanceada, higiene pessoal, prática de esportes etc, foi conduzida com o intuito de melhorar este quadro. Um ano após esta campanha, um estudo com 30 trabalhadores forneceu média igual a 55 dias. Assuma que o número de dias de trabalho perdidos anualmente é normalmente distribuído com variância σ2 = 275. Pede-se: #a) Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de α = 1% de probabilidade?
mu = 60
sigma = 16.6
n = 30
xbarra = 55
alfa = 0.01
#H0: mu = 60
#H1: mu < 60
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] -1.649767ztab = qnorm(alfa)
ztab## [1] -2.326348ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alfa, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alfa,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"#A campanha não foi eficaz.#b) Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha educacional foi eficaz?
ns = 1 - pnorm(1.65)
ns## [1] 0.04947147#Exercício 40: Um gerente comercial acredita que um número excessivo de horas estejam sendo desperdiçadas em contatos comerciais, via telefone, entre os seus vendedores e os clientes em potencial. Ele deseja no máximo quinze horas por semana por vendedor. Este gerente comercial contratou uma empresa especializada para treinar seus vendedores. Após este treinamento, uma amostra de 36 vendedores revelou média igual a 17h por semana por vendedor. O que pode ser concluído quanto a eficácia do treinamento? Assuma σ2 = 9 e utilize α = 5%.
mu = 15
sigma = 3
n = 36
xbarra = 17
alfa = 0.05
#H0: mu = 15
#H1: mu > 15
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] 4ztab = qnorm(alfa)
ztab## [1] -1.644854ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alfa, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alfa,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# O treinamento não reduziu o tempo semanal gasto com os clientes.#Exercício 41: Com base em dados obtidos de 400 mulheres, apresentados na tabela abaixo, pode-se concluir que o nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes? Conclua a 5% de probabilidade.
#H0: Idade e opinião são independentes.
#H1: Não H0.
fo = data.frame (NivelEducacional = c("Universidade", "2° grau", "3° grau"), Ruim = c(18,17,11), Razoável = c(29,28,10), Boa = c(70,30,11), MuitoBoa = c(115,41,20), row.names = TRUE)
fo## Ruim Razoável Boa MuitoBoa
## Universidade 18 29 70 115
## 2° grau 17 28 30 41
## 3° grau 11 10 11 20Xsq = chisq.test (fo, correct = FALSE)
Xsq$expected## Ruim Razoável Boa MuitoBoa
## Universidade 26.68 38.86 64.38 102.08
## 2° grau 13.34 19.43 32.19 51.04
## 3° grau 5.98 8.71 14.43 22.88Xsq##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: fo
## X-squared = 19.943, df = 6, p-value = 0.002835#Como p-valor é menor do que 0,05, rejeitamos H0. Ou seja, idade e opinião não são independentes.#Exercício 42: Uma cooperativa de produtores possui uma máquina de encher vasilhame com um litro de leite. Para assegurar que em média cada vasilhame não terá leite a mais e nem a menos, o responsável pelo controle de qualidade amostra, semanalmente, 75 vasilhames enchidos pela máquina. Se uma amostra fornecer 63, 97 litros e desvio padrão s = 0, 25 litros, deve-se parar a máquina para regulagem ou continuar a produção? Qual deve ser o procedimento adotado a α = 5% de probabilidade?
mu = 75
n = 75
xbarra = 63.97
s = 0.25
alfa = 0.05
#teste para média
#teste t (variancia populacional desconhecida)
#H0: mu = 75
#H1: mu =! 75
#Estatística do teste
tcal = (xbarra-mu)/(s/sqrt(n))
tcal## [1] -382.0904ttab = qt(alfa/2,n-1)
ttab## [1] -1.992543ConclusãoT = ifelse(abs(tcal)>abs(ttab),paste("Como |tcal|>|ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha, "de significância"),paste("Como |tcal|<|ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alpha,"de significância"))
ConclusãoT## [1] "Como |tcal|>|ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#Deve-se parar a máquina para regulagem.#Exercício 43:A renda média de famílias com 4 pessoas na região sudeste do Brasil, no ano de 1975, era de 5 U.M.Economistas acreditam que atualmente a renda média é maior. Pede-se,
#a) Quais seriam as hipóteses estatísticas (H0eHa), para se tentar provar que atualmente a renda média é maior do que em 1975?
# H0: mu = 5
# H1: mu > 5
#b) Quais são as informações necessárias para se realizar um teste Z?
#Variância populacional
#c) Quais são as informações necessárias para se realizar um teste t?
#Variância amostral
#d) Explique os dois possíveis erros (erro tipo I e erro tipo II) de decisão que podem ocorrer neste exemplo?
#Erro tipo I: assumir que a média é maior do que 5 U. M. quando de fato ela não é.
#Erro tipo II: assumir que a média é 5 U.M. quando de fato ela é maior que 5 U.M.#Exercício 44: Assuma que o consumo mensal per capita de determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão igual a 5 kg. Com a atual crise (do dólar, do apagão, do futebol…várias opções!) o departamento de vendas da fábrica decidiu que irá retirar o produto do mercado, caso o consumo médio (µ) per capita seja inferior a 10kg. Se uma pesquisa de mercado, com uma amostra de 100 indivíduos, revelar consumo médio mensal per capita de 9 kg, pede-se: Qual deve ser a afirmação, ao nível de significância de 1,5%?
mu = 10
sigma = 5
n = 100
xbarra = 9
alfa = 0.015
#H0: mu = 10
#H1: mu < 10
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] -2ztab = qnorm(alfa)
ztab## [1] -2.17009ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alfa, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alfa,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.015 de significância"# O produto não deve ser retirado do mercado.#Exercício 45: No quadro abaixo estão as opiniões, com respeito ao desempenho e a potência do motor, de proprietários de veículos de um determinado fabricante. As opiniões foram classificadas pela idade do proprietário.O que pode ser afirmado quanto à seguinte hipótese de nulidade? H0 : Idade e opinião são independentes.
#H0: Idade e opinião são independentes.
#H1: Não H0.
fo = data.frame (Idade = c("Jovem", "Experiente"), Ruim = c(30,20), Bom = c(20,30), row.names = TRUE)
fo## Ruim Bom
## Jovem 30 20
## Experiente 20 30Xsq = chisq.test (fo, correct = FALSE)
Xsq$expected## Ruim Bom
## Jovem 25 25
## Experiente 25 25Xsq##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: fo
## X-squared = 4, df = 1, p-value = 0.0455#Como p-valor é menor do que 0,05, rejeitamos H0. Ou seja, idade e opinião não são independentes.#Exercício 46: Para comparar duas marcas de pará-choques, montaram-se seis de cada marca em 12 carros compactos,fazendo-se cada carro colidir com um muro de concreto, a uma velocidade de 40 km Teste (α = 5%) a hipótese de igualdade entre os custos médios de reparo dos pará-choques.
nA=6
nB=6
xAbarra = 339.17
xBbarra = 305.80
sA = 27.28
sB = 20.84
alpha = 0.05
#teste-F (desvio populacional desconhecido)
#H0:SigmaA^2 = SigmaB^2
#H1:SigmaA^2 > SigmaB^2
Fcal = (sA^2)/(sB^2)
Fcal## [1] 1.713536Ftab = qf(alpha,nA-1,nB-1)
Ftab## [1] 0.1980069ConclusaoF = ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A variância das populações são diferentes.
#teste-t
#H0:muA = muB
#H1:muA != muB
Tcal = (xAbarra-xBbarra)/sqrt(((sA^2)/nA)+((sB^2)/nB))
Tcal## [1] 2.381038A = (sA^2)/nA
B = (sB^2)/nB
df = ((A+B)^2)/(((A^2)/nA-1)+((B^2)/nB-1))
(df = round(df, digits = 0))## [1] 11Ttab = qt(alpha/2,df)
Ttab## [1] -2.200985ConclusaoT = ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoT## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"#O custo médio de reparo dos pará-choques são diferentes.#Exercício 47: Se um dado não é viciado cada uma das seis faces ocorre com igual probabilidade. Um determinado dado foi lançado 720 vezes, obtendo-se: O dado será considerado viciado para qual nível de significância? Explique sua resposta.
n = 720
fo = c(129, 107, 98, 132, 136, 118)
#teste para variância
#H0: Dado honesto
#H1: Não H0
#Estatística do teste
Xsq = chisq.test(fo, correct = FALSE)
Xsq$expected## [1] 120 120 120 120 120 120Xsq##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: fo
## X-squared = 9.4833, df = 5, p-value = 0.09127#Como p-valor > 0,05 Rejeita-se H0. O dado é viciado.#Exercício 48:O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos.Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada, considerando α = 5%? Apresente as suposições teóricas usadas para resolver problema.
mu = 100
sigma = 12
n = 16
xbarra = 85
alfa = 0.05
#H0: mu = 100
#H1: mu < 100
zcal = (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
zcal## [1] -5ztab = qnorm(alfa)
ztab## [1] -1.644854ConclusãoZ = ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alfa, "de significância"),paste("Como |zcal|<|ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de",alfa,"de significância"))
ConclusãoZ## [1] "Como |zcal|>|ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"# A modificação diminuiu o tempo gasto pelo operário.