Caso13 Variables Discretas

1 Objetivo

Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad,funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.

2 Descripción

Desarrollar ejercicios relacionados con variables discretas para identificar variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.

Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.

Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 13 encontrados en la literatura que se encuentran en el caso 14.

3 Marco de referencia

Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento (anderson2008c?).

Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.

El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma.(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreta.

En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).

En su libro (Walpole, Myers, and Myers 2012) define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.

• Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que \(0\). \[f(x) \geq 0\]

• La suma de las probabilidad de todas las variables \(x\) debe ser igual a \(1\) o la suma de los valores de cada función de probabilidad con respecto a \(x\) debe ser \(1\) \[\sum _xf(x) = 1\]

• La probabilidad de cada variable \(x\) es igual a la función de probabilidad con respeto a \(x\) \[P(X=x) = f(x)\] (Walpole, Myers, and Myers 2012).

Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta \(X\) con distribución de probabilidad \(f(x)\) está dada por la suma de sus probabilidades de \(t\) siendo \(t\) menor o igual a \(x\). Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicial de \(x\). El valor final con respecto a valor final de \(x\) debe ser igual a 1. \[F(x)=P(X \le x) = \sum_{t \le x}f(t)\] (Walpole, Myers, and Myers 2012).

La media de una distribución discreta es también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia (Lind, Marchal, and Wathen 2015a)

La fórmula para el valor esperado es: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

La varianza de una distribución discreta constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta, describe el grado de dispersión (variación) en una distribución (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).

Su fórmula es: \[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]

La fórmula anterior significa:

La media se resta de cada valor de la variable aleatoria y la diferencia se eleva al cuadrado.

Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.

Se suman los productos resultantes para obtener la varianza.

La desviación estándar, \(\alpha\), se determina al extraer la raíz cuadrada positiva de \(\alpha^2\); es decir, \(\alpha = \sqrt{\alpha^2}\) (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

• Posiblemente se utilicen algunas de ellas

library(ggplot2)
library(stringr)  # String
library(stringi)  # String
library(gtools)
library(dplyr)
library(knitr)

options(scipen = 999) # Notación normal

4.2 Ejercicios

• Para cada ejercicio algunos vistos en el caso anterior y otros nuevos para este caso, se describe y define su contexto.
• Se construye su tabla de probabilidad que contenga los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.
• Con la tabla de probabilidades en algunos ejercicios se determinan y calculan probabilidades.
• Se determina el valor esperado de cada ejercicio
• Se determina la varianza y la desviación estándar de la distribución de las variables discretas.

4.2.1 Billetes para rifa

Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere cincuenta billetes. (Hero, n.d.).

4.2.1.1 Tabla de probabilidad

discretas <- c(0,1)   # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000 # sum(casos)
casos <- c(4950,50)
probabilidades <- casos / n

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	4950	0.99	0.99	0.00
1	50	0.01	1.00	0.01

4.2.1.2 Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum xP(x)\]

• VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x.f.prob.x)

VE

## [1] 0.01

El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.

Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos 0.01 #### Varianza

• Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
#tabla 
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	4950	0.99	0.99	0.00	0.01	0.000099
1	50	0.01	1.00	0.01	0.01	0.009801

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2P(x)\]

• varianza = varianza de la distribución

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 0.0099

4.2.1.3 Desviación estándard de una distribución discreta

• La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]

• desv.std = desviación estándard

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 0.09949874

4.2.1.4 La tabla con las sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'

kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	4950	0.99	0.99	0.00	0.01	0.000099
1	50	0.01	1	0.01	0.01	0.009801
****	5000	1.00	****	0.01	****	0.009900

4.2.1.5 Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity") 

4.2.1.6 Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

4.2.2 Automóviles de Pelican Ford

Un vendedor llamado John Rasgdale vende la mayor cantidad de automóviles el sábado, así que desarrolló la siguiente distribución de probabilidades, en la cual se muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.

• La variable discreta venta de automóviles: \(0,1,2,3,4\) el sábado. Los valores de la probabilidad son : \(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1\), previamente definidos.

• Ya se dan las probabilidades de tal forma que la cantidad de casos no se dispone en este ejercicio.

• ¿De qué tipo de distribución se trata?, variables discretas

• ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?

• ¿Cuál es la varianza de la distribución? (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).

4.2.2.1 Tabla de probabilidad

discretas <- 0:4   

casos <- rep(0, 5)
probabilidades <- c(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1)

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado (sin número de casos)")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado (sin número de casos)

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	0	0.1	0.1	0.0
1	0	0.2	0.3	0.2
2	0	0.3	0.6	0.6
3	0	0.3	0.9	0.9
4	0	0.1	1.0	0.4

4.2.2.2 Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que se vendan DOS automóviles, es decir \(f(x=2)\) ó \(P(x=2)\)?, 30%

filter(tabla, x == 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 2      0.3

¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MENOS DE DOS automóviles, es decir \(f(x< 2)\) ó \(P(x<2)\) ? 30%

\[ \sum P(x=0) + P(x=1) \]

filter(tabla, x < 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 0      0.1      0.1
## 2 1      0.2      0.3

¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MAS DE DOS automóviles, es decir \(f(x> 2)\) ó \(P(x>2)\) ? 40%

\[ \sum P(x=3) + P(x=4) \text{ ó } \]

\[ 1 - \sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) \]

filter(tabla, x > 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 3      0.3      0.9
## 2 4      0.1      1.0

4.2.2.3 Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

• VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)

VE

## [1] 2.1

El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.

4.2.2.4 Varianza

• Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)

kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza  (sin número de casos)")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza (sin número de casos)

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	0	0.1	0.1	0.0	2.1	0.441
1	0	0.2	0.3	0.2	2.1	0.242
2	0	0.3	0.6	0.6	2.1	0.003
3	0	0.3	0.9	0.9	2.1	0.243
4	0	0.1	1.0	0.4	2.1	0.361

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]

• varianza = varianza de la distribución

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 1.29

4.2.2.5 Desviación estándar de una distribución discreta

• La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]

• desv.std = desviación estándard

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 1.135782

4.2.2.6 La tabla con las sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'

kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")

Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	0	0.1	0.1	0.0	2.1	0.441
1	0	0.2	0.3	0.2	2.1	0.242
2	0	0.3	0.6	0.6	2.1	0.003
3	0	0.3	0.9	0.9	2.1	0.243
4	0	0.1	1	0.4	2.1	0.361
****	****	1.0	****	2.1	****	1.290

4.2.2.7 Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity") 

4.2.2.8 Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

4.2.3 Solicitudes de puestos de hombres y mujeres

Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes son igualmente calificados y que no hay preferencia para elegir su género al igual que no importa el orden de género de hombres y mujeres (combinaciones).

Sea \(x\) la variable aleatoria discreta al número de mujeres elegidas para ocupar los dos puestos de trabajo. Encuentre las probabilidades para elegir 0 mujeres, 1 mujer o 2 mujeres. (mendenhall_introduccion_2010?).

Haciendo las combinaciones en donde \(M = Mujer \text{ y }H = Hombre\)

personas <- c("H1", "H2", "H3", "M1", "M2")
S.espacio.muestral <- combinations(n = 5, r = 2, v=personas)
S.espacio.muestral 

##       [,1] [,2]
##  [1,] "H1" "H2"
##  [2,] "H1" "H3"
##  [3,] "H1" "M1"
##  [4,] "H1" "M2"
##  [5,] "H2" "H3"
##  [6,] "H2" "M1"
##  [7,] "H2" "M2"
##  [8,] "H3" "M1"
##  [9,] "H3" "M2"
## [10,] "M1" "M2"

De acuerdo al espacio muestral \(n\) con diez elementos, ¿en cúantas ocasiones hay cero mujeres?, ¿en cuántas ocasiones hay una mujer? y en cuántas ocasiones hay dos mujeres?

discretas <- c(0, 1, 2)
casos <- c(3, 6, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / n

4.2.3.1 Tabla de probabilidades

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	3	0.3	0.3	0.0
1	6	0.6	0.9	0.6
2	1	0.1	1.0	0.2

4.2.3.2 Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que haya UNA MUJER?, es decir \(P(X=1)\) ó \(f(x=1)\) ? 60%

filter(tabla, x == 1 ) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 1      0.6

¿Cuál es la probabilidad de que haya MENOS DE DOS MUJERES?, es decir \(P(x=0) + P(x=1)\) ó \(f(x<2)\) ? 90%

filter(tabla, x < 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 0      0.3      0.3
## 2 1      0.6      0.9

¿Cuál es la probabilidad de que haya MAS DE 1 MUJER O SEA DOS?, es decir \(P(x=2)\) ó \(f(x>1)\) ? 10%

filter(tabla, x > 1 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 2      0.1        1

4.2.3.3 Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

• VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)

VE

## [1] 0.8

4.2.3.4 Varianza

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)

kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	3	0.3	0.3	0.0	0.8	0.192
1	6	0.6	0.9	0.6	0.8	0.024
2	1	0.1	1.0	0.2	0.8	0.144

Calculando la varianza

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 0.36

4.2.3.5 Desviación estándar

\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]

Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 0.6

4.2.3.6 Tabla con sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'

kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	3	0.3	0.3	0.0	0.8	0.192
1	6	0.6	0.9	0.6	0.8	0.024
2	1	0.1	1	0.2	0.8	0.144
****	10	1.0	****	0.8	****	0.360

4.2.3.7 Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity") 

4.2.3.8 Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

4.2.4 Número de hijos de parejas

En la siguiente tabla se presenta la distribución del número de hijos de un grupo de 100 parejas (humanos): Ejercicio extraído de: (Descartes 2018).

variable aleatoria x No hijos	cantidad de parejas
0	15
1	40
2	23
3	10
4	7
5	4
6	1
Total parejas encuestadas	100

discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
casos <- c(15, 40, 23, 10, 7, 4, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / n

4.2.4.1 Tabla de probabilidades

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada

tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	15	0.15	0.15	0.00
1	40	0.40	0.55	0.40
2	23	0.23	0.78	0.46
3	10	0.10	0.88	0.30
4	7	0.07	0.95	0.28
5	4	0.04	0.99	0.20
6	1	0.01	1.00	0.06

4.2.4.2 Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de encontrar aletoriamente parejas con TRES HIJOS, es decir, \(f(x=3)\) ó \(P(x=3)\) 10%

filter(tabla, x == 3 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 3      0.1     0.88

¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MENOS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x<3)\) ó \(\sum f(x={0,1,2})\) ó \(\sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)\) ó \(F \text{ acumulada }(x)\)

78%

filter(tabla, x < 3 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 0     0.15     0.15
## 2 1     0.40     0.55
## 3 2     0.23     0.78

¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MAS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x>3)\) ó \(\sum f(x={4,5,6})\) ó \(\sum P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)\) ó \(1 - F(x = 3)\); 12%

filter(tabla, x > 3 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 4     0.07     0.95
## 2 5     0.04     0.99
## 3 6     0.01     1.00

4.2.4.3 Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

• VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)

VE

## [1] 1.7

4.2.4.4 Varianza

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)

kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	15	0.15	0.15	0.00	1.7	0.4335
1	40	0.40	0.55	0.40	1.7	0.1960
2	23	0.23	0.78	0.46	1.7	0.0207
3	10	0.10	0.88	0.30	1.7	0.1690
4	7	0.07	0.95	0.28	1.7	0.3703
5	4	0.04	0.99	0.20	1.7	0.4356
6	1	0.01	1.00	0.06	1.7	0.1849

Calculando la varianza

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 1.81

4.2.4.5 Desviación estándar

\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]

Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 1.345362

4.2.4.6 Tabla con sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'

kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	15	0.15	0.15	0.00	1.7	0.4335
1	40	0.40	0.55	0.40	1.7	0.1960
2	23	0.23	0.78	0.46	1.7	0.0207
3	10	0.10	0.88	0.30	1.7	0.1690
4	7	0.07	0.95	0.28	1.7	0.3703
5	4	0.04	0.99	0.20	1.7	0.4356
6	1	0.01	1	0.06	1.7	0.1849
****	100	1.00	****	1.70	****	1.8100

4.2.4.7 Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity") 

4.2.4.8 Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

4.2.5 Lanzamiento de un dado

Se lanza un dado perfecto 240 veces, se anota el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:

Cara superior	1	2	3	4	5	6
Número de veces	40	39	42	38	42	39

4.2.5.1 Inicializando variables

caraSup <- c(1,2,3,4,5,6)
no.Veces <- c(40,39,42,38,42,39)
n <- sum(no.Veces)
probabilidades <- round (no.Veces / n, 2)

4.2.5.2 Tabla de probabilidad

acum <- cumsum(probabilidades)
tabla <- data.frame(x = caraSup,
                    casos = no.Veces,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acum,
                    x.f.prob.x = (caraSup * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidades")

Tabla de probabilidades

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
1	40	0.17	0.17	0.17
2	39	0.16	0.33	0.32
3	42	0.17	0.50	0.51
4	38	0.16	0.66	0.64
5	42	0.17	0.83	0.85
6	39	0.16	0.99	0.96

4.2.5.3 Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar el dado la cara superior sea 3? 17%

filter(tabla, x == 3) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 3     0.17

4.2.5.4 Valor esperado

\[ μ=∑x⋅P(x) \]

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE

## [1] 3.45

4.2.5.5 Varianza

\[ α2=∑(x−μ)2⋅P(x) \]

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)

kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad")

Tabla de probabilidad

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
1	40	0.17	0.17	0.17	3.45	1.020425
2	39	0.16	0.33	0.32	3.45	0.336400
3	42	0.17	0.50	0.51	3.45	0.034425
4	38	0.16	0.66	0.64	3.45	0.048400
5	42	0.17	0.83	0.85	3.45	0.408425
6	39	0.16	0.99	0.96	3.45	1.040400

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 2.888475

4.2.5.6 Desviación estándar

\[ \alpha = \sqrt{ \alpha^2 } \]

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 1.699551

4.2.5.7 Tabla de sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'

kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")

Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
1	40	0.17	0.17	0.17	3.45	1.020425
2	39	0.16	0.33	0.32	3.45	0.336400
3	42	0.17	0.5	0.51	3.45	0.034425
4	38	0.16	0.66	0.64	3.45	0.048400
5	42	0.17	0.83	0.85	3.45	0.408425
6	39	0.16	0.99	0.96	3.45	1.040400
****	****	0.99	****	3.45	****	2.888475

4.2.5.8 Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity")

4.2.5.9 Gráfica acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

4.2.6 Tomar vasos de agua ITD

Se tiene un estudio de que en época de calor los estudiantes del Tecnológico consumen cierta cantidad de vasos de agua durante el dia.

Se estima que se toman al alrededor de 1 a 8 vasos diarios durante el día para aliviar la sed y hidratar el cuerpo.

La siguiente tabla establece la cantidad de vasos que toman los alumnos durante el día siendo x la variable aleatoria discreta los vasos que se toman.

De un estudio de 150 alumnos esas fueron las respuestas.

x = vasos de agua	casos
0	8
1	12
2	16
3	19
4	24
5	28
6	25
7	14
8	4

4.2.6.1 Inicializando variables

X <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
casos <- c(8, 12,  16, 19, 24, 28, 25, 14, 4 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- round(casos / n, 4)

4.2.6.2 Tabla de probabilidad

acum <- cumsum(probabilidades)
tabla <- data.frame(x = X,
                    casos = casos,
                    f.prob.x = probabilidades,
                    F.acum.x = acum,
                    x.f.prob.x = (X * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidades")

Tabla de probabilidades

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	8	0.0533	0.0533	0.0000
1	12	0.0800	0.1333	0.0800
2	16	0.1067	0.2400	0.2134
3	19	0.1267	0.3667	0.3801
4	24	0.1600	0.5267	0.6400
5	28	0.1867	0.7134	0.9335
6	25	0.1667	0.8801	1.0002
7	14	0.0933	0.9734	0.6531
8	4	0.0267	1.0001	0.2136

4.2.6.3 Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente alumnos y mencionen que se toman CUATRO VASOS DE AGUA? 16%

filter(tabla, x == 4) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 4     0.16

¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente alumnos y mencionen que se toman MENOS DE SIETE VASOS DE AGUA? 9%

filter(tabla, x == 7) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 7   0.0933

¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente alumnos y mencionen que se toman MAS DE DOS VASOS DE AGUA? 10%

filter(tabla, x == 2) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 2   0.1067

4.2.6.4 Valor esperado

\[ μ=∑x⋅P(x) \]

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE

## [1] 4.1139

4.2.6.5 Varianza

\[ α2=∑(x−μ)2⋅P(x) \]

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)

kable(tabla, caption = "Tabla de Varianza")

Tabla de Varianza

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	8	0.0533	0.0533	0.0000	4.1139	0.9020584
1	12	0.0800	0.1333	0.0800	4.1139	0.7757099
2	16	0.1067	0.2400	0.2134	4.1139	0.4767968
3	19	0.1267	0.3667	0.3801	4.1139	0.1572060
4	24	0.1600	0.5267	0.6400	4.1139	0.0020757
5	28	0.1867	0.7134	0.9335	4.1139	0.1465918
6	25	0.1667	0.8801	1.0002	4.1139	0.5930141
7	14	0.0933	0.9734	0.6531	4.1139	0.7771492
8	4	0.0267	1.0001	0.2136	4.1139	0.4032173

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 4.233819

4.2.6.6 Desviación estándar

\[ \alpha = \sqrt{ \alpha^2 } \]

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 2.057625

4.2.6.7 Tabla de sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'

kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias

x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	8	0.0533	0.0533	0.0000	4.1139	0.9020584
1	12	0.0800	0.1333	0.0800	4.1139	0.7757099
2	16	0.1067	0.24	0.2134	4.1139	0.4767968
3	19	0.1267	0.3667	0.3801	4.1139	0.1572060
4	24	0.1600	0.5267	0.6400	4.1139	0.0020757
5	28	0.1867	0.7134	0.9335	4.1139	0.1465918
6	25	0.1667	0.8801	1.0002	4.1139	0.5930141
7	14	0.0933	0.9734	0.6531	4.1139	0.7771492
8	4	0.0267	1.0001	0.2136	4.1139	0.4032173
****	****	1.0001	****	4.1139	****	4.2338192

4.2.6.8 Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity") 

4.2.6.9 Gráfica acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

5 Interpretación de los ejercicios del caso

Se presentaron varios ejercicios de variables aleatorias discretas en donde se determiniaron las funciones de probabilidad y la función acumulada, la media o valor esperado, la varianza y su desviación estándard.

Se generaron gráficas de barras de los valores de las variables y la gráfica lineal de las tendencias.

El valor esperado en el ejercicio 1 del sorteo con valor de 1%, significa que es es muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos.

En el ejercicio de vena de automóviles de John, se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria “número de automóviles vendidos.”

El valor esperado es del 2.1 que significa que puede vender 2 autos como esperanza.

El valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a largo plazo. Por ejemplo, si John trabaja \(50\) sábados en un año, puede esperar vender \((50)(2.1)\) o \(105\) automóviles solo durante los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado(Lind, Marchal, and Wathen 2015b).

El valor de la varianza es de 1.29 que significa lo que puede variar con respecto al valor esperado. La desviación estándard es de \(1.135782\).

¿Cómo se interpreta la variación?

Por ejemplo, Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados pero tien tal vez una desviacón de 1.9 en comparación del 1.135782 de John, entonces de puede decir que hay mayor variabilidad en la vendedora Rita dado que \((1.91 \geq 1.35)\) (Lind, Marchal, and Wathen 2015b).

En el caso de las vacantes de puestos para hombres y mujeres el resultado del valor esperado es de \(0.8\) que significa la probabilidad de contratar mujeres en promedio, su desviación estándar es de \(0.6\) que significa nivel de dispersión (alejamiento) de la probabilidad de cada variable aleatoria con respecto al valor esperado.

Del ejercicio de parejas contestar las preguntas:

1. ¿Cuál es la probabilidad de una pareja elegida al azar tenga menos de dos hijos? \(P(x<2)\) 55%

   discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
   casos <- c(15, 40, 23, 10, 7, 4, 1 )
   n <- sum(casos)
   probabilidades <- casos / n
   acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada
   
   tabla <- data.frame(x=discretas, 
                 casos = casos,
                 f.prob.x = probabilidades,
                 F.acum.x = acumulada,
                 x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
   kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad")

   Tabla de probabilidad

   x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
   0	15	0.15	0.15	0.00
   1	40	0.40	0.55	0.40
   2	23	0.23	0.78	0.46
   3	10	0.10	0.88	0.30
   4	7	0.07	0.95	0.28
   5	4	0.04	0.99	0.20
   6	1	0.01	1.00	0.06

   filter(tabla, x < 2 ) %>%
     select(x, f.prob.x, F.acum.x)

   ##   x f.prob.x F.acum.x
   ## 1 0     0.15     0.15
   ## 2 1     0.40     0.55

2. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos? \(P(x>3)\) 12%

   filter(tabla, x > 3 ) %>%
     select(x, f.prob.x, F.acum.x)

   ##   x f.prob.x F.acum.x
   ## 1 4     0.07     0.95
   ## 2 5     0.04     0.99
   ## 3 6     0.01     1.00

3. Si se elige un hijo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos? \(P(x =0)\) 15%

   filter(tabla, x == 0 ) %>%
     select(x, f.prob.x, F.acum.x)

   ##   x f.prob.x F.acum.x
   ## 1 0     0.15     0.15

4. Determina el número de hijos esperado al seleccionar una familia al azar. ¿Cuál es el valor esperado y qué significa? Es 1.7 hijos, en este caso, se pude redondear a 2, esto significa que la respuesta que se espera cuándo se le pregunta a una pareja el número de hijos, esta se 2

   VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
   VE

   ## [1] 1.7

5. Calcula la varianza y la desviación de la distribución e interpretar su significado.

   1. Varianza

      La varianza en este caso es de 1.81, esto quiere decir que los datos no son tan dispersos con respecto a la media.

   2. Desviación

      La Desviación es de 1.345362, mientras más grande sea la desviación estándar más están alejados los datos de la media, pero en este caso no es un número muy grande por lo que los datos son relativamente cercano.

Interpretar el ejercicio del dado

En este caso podemos apreciar que tan probable es que un número del dado este en la cara principal al caer, al igual que en los casos anteriores podemos observar diferentes probabilidades, así como que tan dispersos están los datos entre sí.

Interpretar el ejercicio de los vasos de agua

Aquí podemos apreciar que los alumnos del ITD no tomamos el agua recomendada por día, afortunadamente son pocos los que toman 0 vasos, sin embargo, con los datos analizados se aprecia el número de vasos que tiene mayor frecuencia, en este caso 5 lo que es relativamente bueno para nuestra salud.

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.

Descartes, Web. 2018. “Estadística. Distribuciones Aleatorias.” https://ieszaframagon.com/matematicas/estadistica/var_aleatoria/tema5_2.html.

Hero, Course. n.d. “Variables Aleatorias - Variables Aleatorias Problemas...” https://www.coursehero.com/file/14618142/Variables-aleatorias/.

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015a. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.

———. 2015b. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.