Introducción a la Microeconomía

La microeconomía es una parte de la economía¹ que se encarga del análisis de las relaciones entre individuos y empresas a partir de la abstracción de la realidad en modelos matemáticos para predecir algunos hechos de la realidad.

Modelos como los de oferta y demanda de Alfred Marshal que representa un análisis parcial de la economía, o modelos como los de Edgeworth y Pareto sobre equilibrio general, son utilizados para predecir algunos hechos de la realidad, no obstante, estos modelos y otros existentes tienen que demostrar su validez: 1) Mediante supuestos² razonables o 2) mediante la capacidad que tienen para predecir hechos de la realidad.

Lecturas recomendadas (Nicholson, 2008)

Sobre metodología

• Blaug, Mark. The Methodology of Economics or How Economists Explain, Cambridge, Cambridge University Press, 1992. Un estupendo resumen de varias controversias actuales.
• Boland, Lawrence E. “A Critique of Friedman’s Critics”, Journal of Economic Literature, junio de 1979, pp. 503-522. Un buen resumen de críticas de enfoques positivos de la economía y del papel de la verificación empírica de los supuestos.
• Friedman, Milton. “The Methodology of Positive Economics”, en Essays in Positive Economics, pp. 3-43. Chicago: University of Chicago Press, 1953. El planteamiento básico de la visión positivista de Friedman.
• Harrod, Roy F. “Scope and Method in Economics”, Economic Journal 48 (1938), pp. 383-412. Planteamiento clásico del papel que deben desempeñar los modelos económicos.
• Hausman, David M. y Michael S. McPherson. “Taking Ethics Seriously: Economics and Contemporary Moral Philosophy”, Journal of Economic Literature, junio de 1993, pp. 671-731. Un argumento sólido a favor de que los economistas aborden cuestiones éticas, tanto porque la ética podría influir en el comportamiento de los agentes económicos, como porque los principios morales serían necesarios para determinar la importancia de los resultados de la economía positiva.
• McCloskey, Donald N. If You’re So Smart: The Narrative of Economic Expertise, Chicago: University of Chicago Press, 1990. McCloskey explica su posición, la cual afirma que la persuasión económica depende de la retórica tanto como de la ciencia. Encontrará un intercambio interesante sobre este tema en los artículos contenidos en el número de junio de 1995 de The Journal of Economic Literature.

Fuentes primarias sobre la historia de la economía

• Edgeworth, F. Y. Mathematical Psychics, Kegan Paul, Londres, 1881. Primeras investigaciones sobre la economía del bienestar, inclusive nociones rudimentarias sobre la eficiencia económica y la curva de contrato.
• Marshall, A. Principles of Economics, 8a. ed., Macmillan & Co., Londres, 1920. Resumen completo de la posición neoclásica. Texto que goza de popularidad desde hace muchos años. Apéndice matemático muy detallado.
• Marx, K. Capital, Modern Library, Nueva York, 1906. Explicación completa de la teoría del valor del trabajo. El planteamiento del “problema de la transformación” es un inicio (tal vez fallido) del análisis del equilibrio general. Contiene críticas fundamentales de la institución de la propiedad privada.
• Ricardo, D. Principles of Political Economy and Taxation, J. M. Dent & Sons, Londres, 1911. Obra verdaderamente analítica y bien hilvanada. Pionera en desarrollar un análisis detenido de cuestiones relacionadas con las políticas, especialmente las relativas al intercambio. Explica las primeras nociones básicas del marginalismo.
• Smith, A. The Wealth of Nations, Modern Library, Nueva York, 1937. El primer clásico de la economía. Muy largo y detallado, pero Smith fue el primero en hablar prácticamente de todos los temas económicos. Esta edición tiene útiles acotaciones al margen.
• Walras, L. Elements of Pure Economics, traducción de W. Jaffé, Richard D. Irwin, Homewood, IL, 1954. El inicio de la teoría del equilibrio general. Muy difícil de leer.

Fuentes secundarias sobre la historia de la economía

• Backhouse, Roger E. The Ordinary Business of Life: The History of Economics from the Ancient World to the 21st Century, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2002. Historia iconoclasta, bastante buena cuando habla de las primeras ideas económicas, pero tiene algunas lagunas por cuanto se refiere a usos recientes de las matemáticas y la econometría.
• Blaug, Mark. Economic Theory in Retrospect, 5a. ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1997. Resumen verdaderamente completo en torno a cuestiones analíticas. Cada capítulo contiene magníficas “Guías para los lectores” que refieren a los clásicos.
• Heilbroner, Robert L. The Worldly Philosophers, 7a. ed., Simon and Schuster, Nueva York, 1999. Fascinantes biografías, agradables de leer, de los economistas más importantes. El capítulo sobre los socialistas utópicos y el relativo a Thorstein Veblen especialmente recomendables.
• Keynes, John M. Essays in Biography, W.W. Norton, Nueva York, 1963. Ensayos sobre muchos personajes famosos (Lloyd George, Winston Churchill, Leon Trotsky) y varios economistas (Malthus, Marshall, Edgeworth, F. P. Ramsey y Jevons). Demuestra las grandes dotes de escritor de Keynes.
• Schumpeter, J. A. History of Economic Analysis, Oxford University Press, Nueva York, 1954. Trato enciclopédico. Cubre a todos los economistas famosos y a otros no tan famosos. También resume brevemente los avances concurrentes en otras ramas de las ciencias sociales.

Las matemáticas de la optimización

Es importante contar con nociones básicas e intermedias de cálculo diferencial e integral para el análisis, comprensión y construcción de modelos en la materia de microeconomía I y II, a continuación se presenta un breve repaso de algunas herramientas matemáticas útiles para tales objetivos.

Libros recomendados

• Sydsaeter, K., & Hammond, P. (1996). Matemáticas para el análisis económico. Pearson Educación
• Stewart, J. (2010). Cálculo de una variable. Cengage Learning.
• Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables. Cengage Learning.

Maximización de una función con una variable

Supongamos una función de ganancias:

\[\pi=f(q)\] Un supuesto común en la economía es que los agentes siempre quieren optimizar algo, en este caso un gerente quiere optimizar o maximizar las ganancias de su empresa \(\pi\), para lo cual opta por variar la producción de esta \(q\), un análisis gráfico nos haría elegir el punto más alto de la función, pero si no fuese tan preciso cometeríamos errores, por lo que, es mejor apoyarnos en el cálculo.

Condición de primer orden

Una primera condición es hallar el punto en el que la pendiente de la función de ganancias sea igual a 0, punto donde no es posible aumentar las ganancias, el cual se logra igualando la primera derivada a 0:

\[\frac{df(q^*)}{dq^*}=0\] Obteniendo de ese modo el nivel óptimo de producción (\(q^*\)) en el cual las ganancias son máximas (\(\pi^*\)).

Relación hipotética entre la cantidad producida y las ganancias

Sin embargo, esta regla no es suficiente, ya que podríamos estar tratando con funciones como las de la figura \(\ref{fig:diffun}\).

Condición de segundo orden

Para determinar si las ganancias son un máximo debemos asegurarnos que la segunda derivada es negativa

\[\frac{d^2f(q^*)}{d({q^*}^2)}=f''(q^*)<0\] Estas dos condiciones en conjunto, son condiciones suficientes para alcanzar el máximo de una función.

Derivadas parciales

Las derivadas parciales en los modelos económicos toman gran importancia puesto que gracias a estas que al descubierto el supuesto cétetris paribus, el cual pone de manifiesto que todos los demás factores que se no se consideren en el modelo permanecen sin cambio, es decir, constantes.

Por ejemplo, una manera completa de expresar la ley fundamental de la demanda³ es mediante el enunciado matemático “\(\frac{\partial q}{\partial p}<0\)” el cambio del precio debido a un aumento en la

El cálculo de las derivadas parciales es bastante sencillo, tan solo basta con considerar las variables que no son de interés como constantes y aplicar las mismas reglas de derivación aprendidas en el curso de matemática.

Derivadas parciales de segundo orden

La derivada parcial de una derivada parcial es directamente análoga a la segunda derivada de una función de una variable y se llama derivada parcial de segundo orden. Se escribiría como:

\[\frac{\partial^2f}{\partial x_jx_i}=f_{ji}\]

Teorema de Young

En condiciones bastante generales, no importa el orden que se siga al hacer una diferenciación parcial de segundo orden:

\[f_{ij} = f_{ji}\]

Elasticidad

La elasticidad es una medida porcentual, es decir, no depende ni se expresa en unidades de medida, en su forma más simple una elasticidad mide la variación porcentual de una variable (\(y\)) respecto a la variación del 1% de otra variable (\(x\)), Por tanto, la elasticidad de \(y\) con relación a \(x\) (denotada como \(e_{y,x}\)) se define como:

\[e_{y,x} =\frac{\frac{\Delta y}{y}}{\frac{\Delta x}{x}}= \frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot \frac{x}{y}=\frac{\partial y}{\partial x}\cdot \frac{x}{y}\]

Nota: La elasticidad \(e_{y,x}\), comúnmente tendrá el mismo signo que la derivada parcial \(\frac{\partial y}{\partial x}\)

Maximización de funciones con varias variables

Para el caso analizaremos una identidad resultante de la primera derivada de una función de una variable \(f(x)\) de la siguiente manera:

\[\frac{dy}{dx}=f'(x)\]

\[dy=f'(x)\cdot dx\] La identidad presentada refleja el hecho de que la variación de \(y\) es igual a la variación de \(x\) multiplicada por la pendiente de la función.

Lo que se busca al maximizar es que \(dy=0\), para tal caso, en la ecuación no necesariamente se cumple que \(dx=0\), por lo que, la pendiente de la función en el punto que maximiza la función debe ser \(f'(x)=0\).

Diferencial total

Por otro lado, generalizando lo anteriormente descrito para una función con varias variables \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) llegamos al hecho de que si se varían todas las \(x\) en una cantidad pequeña, el efecto total en \(y\) será la suma de todos los efectos, por lo tanto, la variación total de \(y\) se define como:

\[dy=\frac{\partial f}{\partial x_1} \cdot dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot dx_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cdot dx_n\] Esta expresión se denomina diferencial total.

Condicion de primer orden para un máximo

Una condición necesaria para un máximo (o un mínimo) de una función \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) es que \(dy = 0\), para tal caso, apoyados de las ecuaciones anteriores llegamos a la conclusión que todas las primeras derivadas parciales de las variables deben ser iguales a cero, tal que:

\[\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_2}=\cdots=\frac{\partial f}{\partial x_n}=0\] El punto en el que se verifica la ecuación presentada se llama punto crítico. Esta ecuación es la condición necesaria para obtener un máximo local.

Condiciones de segundo orden

Análogamente a la maximización con una variable, la función debería ser decreciente en \(y\) para hablar de una máximo, y esto nos lleva a evaluar las segundas derivadas parciales de las variables, sin embargo estas derivadas deben estar sujetas a algunas restricciones descritas más adelante.

Funciones implicitas

Algunas veces se presentarán funciones en las que la relación entre variables o parámetros no se tan clara⁴, como las siguientes:

\[y-mx-b=0\]

\[f(x,y,m,b)=0\]

Si la ecuación planteada se puede despejar respecto a la variable dependiente, entonces se pueden obtener resultados facilmente, de lo contrario se tendrán que aplicar ciertos métodos.

Derivadas de las funciones implícitas

Esta es una de las aplicaciones a derivadas implícitas más importantes a mi parecer porque se aplican a diferentes casos de la microeconomía como calcular pendientes de funciones Cobb-Douglas, logarítmicas, exponenciales y de otros tipos, con objeto de calcular términos importantes como la RMS, RMST, RMT, etc.

Esta forma de derivación consiste en obtener cualquier constante o 0 al lado derecho de la ecuación tal que al derivar \(f(x,y)=0\), se obtiene el diferencial total \(0=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot dx+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot dy\) y despejando obtenemos la siguiente identidad:

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}\]

El teorema de la envolvente

Quizá uno de los temas muy poco explicados por los docentes y aun confuso de entender, sin embargo su utilidad es verdaderamente importante para diferentes análisis de la microeconomía

Este teorema afirma que se puede determinar la variación del valor óptimo de una función respecto a un parámetro de esa función si se deriva parcialmente la función objetivo respecto al parámetro manteniendo las variables y los demás parámetros constantes en su valor óptimo.

Nota: Entiéndase como parámetro aquel componente de la ecuación que no es una variable.

Sea la función. \(f(x)=ax+b\)

\[\frac{dy^*(x)}{da}=\frac{\partial y(x^*)}{\partial a}\] Véase la página 33 del libro de Nicholson (2008) para la más detalles.

Maximización con restricciones

Tengamos en cuenta que las maximizar una función en economía muchas veces implica restringirla, ya sea a la imposibilidad de que las variables como la producción sean negativas o a que las cantidades deseadas de un bien por un individuo sean infinitas, lo cual no es posible al estar sujeto a una restricción presupuestaria.

El método del multiplicador de Lagrange

Suponga que se desean calcular los valores de \(x_1,x_2,\dots,x_n\) que maximizan la función:

\[y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)\] Sujeto a un restricción:

\[g(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\]

Que indica las condiciones a cumplir en todas las variables \(x\)

El primer paso detrás de este método consiste en construir un una expresión denominada “lagrangiano”:

\[\Lagr=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\lambda g(x_1,x_2,\dots,x_n)\]

La lógica detrá de esto es suponer que se cumplen las condiciones para las variables \(x\), por lo que \(g(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\) y ahora \(\Lagr\) y \(f\) tienen el mismo valor y determinar el valor máximo de \(f\) restringido es semejante a maximizar \(\Lagr\) y para ello, como vimos antes, las primeras derivadas deben ser iguales a 0.

\[\begin{equation} \Large \notag \begin{matrix} \frac{\partial \Lagr}{\partial x_1}&=&\frac{\partial f}{x_1}+\lambda\frac{\partial g}{x_1}&=&0\\ &&&\\ \frac{\partial \Lagr}{\partial x_2}&=&\frac{\partial f}{x_2}+\lambda\frac{\partial g}{x_2}&=&0\\ &\vdots&\\ \frac{\partial \Lagr}{\partial x_n}&=&\frac{\partial f}{x_n}+\lambda\frac{\partial g}{x_n}&=&0\\ &&&\\ \frac{\partial \Lagr}{\partial \lambda}&=&g(x_1,x_2,\dots,x_n)&=&0 \end{matrix} \end{equation}\]

Resolviendo estas ecuaciones obtenemos un punto crítico de la función \(\Lagr\) , por otro lado, esta solución tendrá dos propiedades:

1. Las variables \(x\) obedecerán a la restricción \(g\).
2. Entre todos aquellos valores de las \(x\) que satisfacen la restricción \(g\) y por lo tanto satisfacen las ecuaciones halladas, harán que \(\Lagr\) (y por tanto \(f\) ) sea tan grande como es posible⁵

Interpretación del multiplicador de lagrangre (\(\lambda\))

Despejando de las ecuaciones de lagrange obtenemos que:
\[\frac{\frac{\partial f}{\partial x_1}}{-\frac{\partial g}{\partial x_1}} =\frac{\frac{\partial f}{\partial x_2}}{-\frac{\partial g}{\partial x_2}} =\cdots =\frac{\frac{\partial f}{\partial x_n}}{-\frac{\partial g}{\partial x_n}} =\lambda\]

En otras palabras, en el punto máximo, la proporción de \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\) respecto a \(\frac{\partial g}{\partial x_i}\) es la misma para todas las \(x_i\).

También es posible interpretar el multiplicador lagrangiano como la proporción común de costos a beneficios de todas las \(x\), expresado como:

\[\lambda=\frac{\mbox{beneficio marginal de }x_i}{\mbox{costo marginal de }x_i}\]

Dualidad

El principio matemático de la “dualidad” afirma que todo problema de maximización con restricciones trae asociado un problema dual de minimización con restricciones, el cual se centra en las restricciones del problema original (primitivo) (Nicholson, 2008).

Funciones cóncavas

Las funciones cóncavas tienen la propiedad de que siempre están por debajo de un plano tangente a ellas y tienen más o menos la forma de \(\cap\), asimismo, las segundas derivadas parciales propias \(\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\right)\) deben ser negativas, este tipo de función es opuesta a la función convexa que tiene más o menos la forma de \(\cup\) y sus segundas derivadas parciales propias son positivas.

Funciones cuasi cóncavas

Éstas tienen la propiedad de que el conjunto de todos los puntos donde esa función toma un valor mayor que el de una constante específica, es un conjunto convexo (Nicholson, 2008).

Funciones homogeneas

Se dice que una función \(f(x_1, x_2,\cdots ,x_n)\) es homogénea de grado \(k\) si al multiplicar todas las variables por un parámetro \(t\) se puede obtener la siguiente forma:

\[f(t\cdot x_1, t\cdot x_2,\cdots , t\cdot x_n)=t^kf(x_1, x_2,\cdots ,x_n)\]

Homogeneidad y derivadas

Si una función de grado \(k\) es homogénea y si es posible diferenciarla, entonces las derivadas parciales de la función serán homogéneas de grado k – 1.

Funciones homotéticas

Una función homotética es aquella que se forma tomando una transformación monótona de una función homogénea⁶. Las transformaciones monótonas, por definición, conservan el orden de la relación entre los argumentos de una función y el valor de ésta.

Preguntas de repaso

1. ¿Cual es la condición necesaria y cual la condición suficiente de maximización?

2. ¿Que es y como se expresa la elasticidad?

3. ¿Como se maximiza una función de varias variables?

4. Determine \(\frac{dy}{dx}\) de la función implícita f(x,y)=0

5. Explique el teorema de la envolvente

6. ¿Como se realiza la maximización con restricciones con el metodo de Lagrange?

7. ¿En que consiste la dualidad?

8. ¿Como demuestro que una función es cóncava y que forma tiene?

9. ¿Que es una función homogénea?

10. ¿Que es una transformación monótona?

11. ¿Que es una función homotética?

Preferencias y utilidad

Axiomas de la elección racional

A continuación se presentan algunos postulados que describen el comportamiento “racional” de los individuos, para lo cual, partimos de la definición de una canasta de bienes:

\[A=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\]

Donde \(A\) es la canasta conformada por los bienes \(x_1,x_2,\cdots,x_n\).

A partir de ello definamos los siguientes 5 axiomas:

• Reflexividad: la canasta de consumo no debe estar vacía. Es decir, debe cumplirse que:

\(A\succeq A\) , la canasta A es al menos tan buena como si misma.

• Completitud: dadas dos canastas de bienes \(A\) y \(B\), el consumidor tiene la capacidad de elegir entre ambas. Entonces, una de las siguientes relaciones se cumple:

\(A\succ B\) la canasta \(A\) es preferida a la canasta \(B\).
\(A\prec B\) la canasta \(B\) es preferida a la canasta \(A\).
\(A \backsim B\) la canasta \(A\) es indiferente a la canasta \(B\).

• Transitividad: dados los dos anteriores supuestos, la transitividad asegura coherencia en el orden de las elecciones:

Si \(B\succ C\) y \(A\succ B\), entonces \(A\succ C\), tal que \(A\succ B\succ C\).

• No saturación: dado que un consumidor siempre prefiere consumir más bienes a menos, una canasta de dos bienes \(A =(x_1^A, x_2^A)\) será preferida a otra \(B =(x_1^B, x_2^B)\) si \(B\) contiene al menos más de un bien que la canasta \(A\) y no menos.

• Continuidad: Si un individuo afirma que “A es preferible a B”, entonces las situaciones que se “acercan” convenientemente a A también serán preferibles a B.

Función de utilidad

A raíz de estos supuestos es posible definir el concepto de utilidad, que la introdujo el teórico político Jeremy Bentham.
La utilidad es una clasificación⁷, de tal modo que las situaciones más deseables aportan más utilidad que las menos deseables,en otras palabras, es una forma de describir las preferencias dando números altos a las más preferidas y números bajos a las menos preferidas, Por ejemplo:

Dadas las canastas \(A\) y \(B\) y sus respectivas utilidades;

\[U(A)=U(x_1^A,x_2^A,\cdots,x_n^A)\]
\[U(B)=U(x_1^B,x_2^B,\cdots,x_n^B)\]

Si \(A\succ B\), entonces \(U(A)>U(B)\)

Curvas de indiferencia

Una curva de indiferencia⁸ es la representación gráfica de una función de utilidad en un nivel de utilidad determinado, cuyo objetivo es explicar los intercambios voluntarios entre 2 bienes \(x\) e \(y\). La siguiente gráfica es una curva de indiferencia de la función \(U_1=U(x,y)\)

Curva de indiferencia

Cada una de estas curvas muestra combinaciones de \(x\) e \(y\) que proporcionan al individuo determinado nivel de satisfacción. Los movimientos en dirección nordeste representan movimientos hacia niveles más altos de satisfacción. Cabe mencionar que las curvas de indiferencia son convexas porque a medida que la cantidad de alguno de los bienes aumenta la cantidad del otro bien disminuye. 

Existen infinitas curvas de indiferencia en el plano x-y

Tasa marginal de sustitución

La pendiente de la curva de indiferencia en su respectivo nivel \((U_1, U_2, \cdots , U_n)\) representa la tasa de cambio subjetiva entre ambos bienes⁹.

\[RMS_{x,y}=\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{dU}{dx}}{\frac{dU}{dy}}=\frac{UMg_x}{UMg_y}\] El concepto de utilidad marginal \(UMg_i\) se entiende como la variación de la utilidad debido al consumo adicional de una unidad del bien \(i\).

\[UMg_i=\frac{dU}{di}\]

Cabe señalar que a \(RMS_{x,y}\) es decreciente a lo largo de la curva de indiferencia por la convexidad de estas.

Funciones de utilidad para preferencias específicas

Utilidad Cobb-Douglas

\[utilidad=U(x,y)=x^\alpha y^\beta\]

Es una de las funciones más utilizadas en microeconomía, donde \(\alpha\) y \(\beta\) son constantes positivas que indican la importancia relativa que tienen los bienes para el individuo, una forma de normalizar estos parámetros es \(\alpha + \beta = 1\)

\[RMS=-\frac{\alpha}{\beta}\cdot \frac{y}{x}\]

Sustitutos perfectos

\[utilidad =U(x,y)=\alpha x + \beta y\] Donde \(\alpha\) y \(\beta\) son constantes positivas y son curvas lineales de indiferencia, además que indican el valor que tienen los bienes \(x\) e \(y\) para el consumidor.

\[RMS=-\frac{\alpha}{\beta}=c \quad \mbox{, es constante}\]

Complementos perfectos

También conocido como función de utilidad de proporciones fijas.

\[utilidad = U(x,y) = min [\alpha x, \beta y].\]

Donde \(\alpha\) y \(\beta\) son constantes positivas y son curvas de indiferencia en forma de L, el operador “min” significa que la utilidad está dada por el menor de los dos términos entre corchetes, que a su vez indican las proporciones que se consumen de cada bien.

\[RMS=\infty\]

Preferencia cuasilineales

Son aquellas que tienen una parte lineal en la función de utilidad:

\[utilidad=U(x,y)=f(x)+y\]

Cada una de las curvas de indiferencia es una versión desplazada verticalmente de una única curva de indiferencia.

Utilidad con CES

Es una función más general con elasticidad de sustitución constante (CES, por sus siglas en inglés) que se expresa de la siguiente manera:

\[utilidad=U(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta} \quad \mbox{cuando }\delta\leq1,\delta \neq 0 \] \[utilidad=U(x,y)=lnx+lny \quad \mbox{cuando }\delta=0\]

• El caso de sustitutos perfectos corresponde a \(\delta=1\)
• El caso de Cobb-Douglas corresponde a \(\delta=0\)
• El caso de proporciones fijas corresponde a \(\delta=-\infty\)

El uso del término “elasticidad de sustitución” para esta función surge del concepto de que las posibilidades de crear más funciones CES corresponden a distintos valores del parámetro de sustitución, \(\sigma\), que para esta función está dado por \(\sigma= \frac{1}{(1 - \delta)}\).

Preguntas de repaso

1. ¿Cuales son los axiomas de la elección racional?

2. ¿Que es la utilidad?

3. ¿Que son las curvas de indiferencia?, ¿Porqué se llaman así?, ¿Por qué son convexas? y ¿Cuál es la interpretación de un mapa de curvas de indiferencia?

4. Nombra los tipos de funciones de utilidad conocidas

5. ¿Que es y como se interpreta la relación marginal de sustitución?

Maximización de la utilidad y elección

Conjunto factible y recta de presupuesto

Una canasta de bienes accesible \(U(x,y)\) debe ser aquella que el individuo pueda comprar con su ingreso \(I\) a los precios de mercado \(p_x\) y \(p_y\), tal que satisfaga el siguiente conjunto factible:

\[p_x\cdot x+p_y\cdot y\leq I\]

Debido al axioma de no saturación, el consumidor siempre gastará todo su ingreso. Por ende, la recta de presupuesto ser:

\[p_x\cdot x+p_y\cdot y = I\]

donde la pendiente es la relación de intercambio (\(RI\)) de mercado y nos muestra los precios relativos, es decir, la tasa objetiva a la cual es posible intercambiar los bienes en el mercado expresado de la siguiente forma:

\[RI_{x,y}=\frac{dy}{dx}=-\frac{p_x}{p_y}\]

Restricción presupuestaria de un individuo en el caso de dos bienes

Máximización de la utilidad

Las utilidad más alta que puede alcanzar el individuo dado su presupuesto se expresa gráficamente como sigue:

Una demostración gráfica de la maximización de la utilidad

El punto \(C\) es aquella canasta que brinda la máxima utilidad al individuo y al mismo tiempo satisface la restricción presupuestaria.

por lo tanto la condición para la maximización de la utilidad es:

\[RMS_{x,y}=-\frac{p_x}{p_y}\]

La maximización resulta una técnica importante para conocer las funciones de demanda ordinarias o marsh de los bienes \(x\) e \(y\).

Soluciones de esquina

Una solución de esquina se da cuando la utilidad del individuo se maximiza al gastar toda su renta en un bien y nada en el otro, gráficamente es como sigue:

Solución de esquina para la maximización de la utilidad

Esto sucede cuando el precio de un bien \(p_i\) es mayor al valor marginal \(p_i> \frac{UMg_i}{\lambda}\).

Este caso se da mayormente en las preferencias de bienes sustitutivos perfectos.

\[\begin{matrix}Maximizar&U=ax+by\\sujeto\ a&I=p_xx+p_yy\end{matrix}\] \[RMS=-\frac{a}{b}\] \[RI=-\frac{p_x}{p_y}\]

• Si \(RMS>RI\), se gasta todo el ingreso en el bien \(x\).
• Si \(RMS<RI\), se gasta todo el ingreso en el bien \(y\)
• Si \(RMS=RI\), cualquier punto de la recta maximiza la utilidad.

Funciones de demanda

La maximización de la utilidad no solo busca conocer la canasta óptima sino también su respectiva curva de demanda \(x^*\) e \(y^*\) a continuación veremos el procedimiento para 3 de las funciones de utilidad más utilizadas:

Cobb-Douglas

\[\begin{matrix}Maximizar&U=Ax^\alpha y^\beta \\ sujeto\ a & I=p_xx+p_yy\end{matrix}\] \[RMS_{x,y}=-\frac{\alpha}{\beta}\cdot \frac{y}{x}\] \[RI=-\frac{p_x}{p_y}\]

\[-\frac{\alpha}{\beta}\cdot \frac{y}{x}=-\frac{p_x}{p_y}\]

Al despejar \(y\) de la igualdad obtenemos la curva de expansión:

\[y=\frac{p_xx\beta}{p_y\alpha}\] Reemplazamos en la restricción presupuestaria y obtenemos:

\[I=p_xx+p_y\left(\frac{p_xx\beta}{p_y\alpha}\right)\]

Despejamos x y obtenemos la demanda de \(x\):

\[x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\cdot \frac{I}{p_x}\] Ahora reemplazamos en la curva de expansión para obtener la demanda de \(y\):

\[y^*=\frac{p_x\left(\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\cdot \frac{I}{p_x}\right)\beta}{p_y\alpha}\]

\[y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\cdot \frac{I}{p_y}\]

Sustitutivos perfectos

Como ya vimos antes…

\[\begin{matrix}Maximizar&U=ax+by\\sujeto\ a&I=p_xx+p_yy\end{matrix}\] \[RMS=-\frac{a}{b}\] \[RI=-\frac{p_x}{p_y}\]

Si \(RMS>RI\), se gasta todo el ingreso en el bien \(x\) y la demanda es:

\[x^*=\frac{I}{p_x}\]

Si \(RMS<RI\), se gasta todo el ingreso en el bien \(y\) y la demanda es:

\[y^*=\frac{I}{p_y}\]

Si \(RMS=RI\), cualquier punto de la recta maximiza la utilidad.

La forma más rápida de evaluar cual es el bien que agotará toda la renta es guiarnos del sentido común. Dado que los bienes son sustitutos perfectos, el individuo consumirá del bien que esté más barato.

Complementarios perfectos

\[\begin{matrix}maximizar&U=min (ax,by) \\ sujeto\ a & I=p_xx+p_yy\end{matrix}\]

En este caso como las proporciones son las mismas, debe cumplirse que:

\[ax=by\] Y la curva de expansión se describe como:

\[y=\frac{a}{b}x\]

Reemplazando en la restricción presupuestaria y despejando \(x\) obtenemos la demanda de este bien:

\[I=p_xx+p_y\left(\frac{a}{b}x\right)\] \[x^*=\frac{I}{p_x+\frac{a}{b}p_y}\]

Reemplazando en la curva de expansión obtenemos la demanda de \(y\):

\[y^*=\frac{a}{b}\left(\frac{I}{p_x+\frac{a}{b}p_y}\right)\]

\[y^*=\frac{I}{p_y+\frac{b}{a}p_x}\]

Función de utilidad indirecta

Dado que las demandas de los bienes dependen de los precios y del ingreso:

\[\begin{matrix}x^*&=x(p_x,p_y,I)\\ y^*&=y(p_x,p_y,I)\end{matrix}\] al reemplazar en la función de utilidad para maximizarla:

\[\begin{matrix}U^*&=U(x^*,y^*)\\ U^*&=U(p_x,p_y,I)\end{matrix}\] obtenemos una función de utilidad que depende de los precios, por lo que decimos que la utilidad máxima depende indirectamente de los precios de los bienes y el ingreso, obteniendo de esa manera el concepto de utilidad indirecta:

\[\mbox{utilidad máxima} = V(p_x,p_y,I)\]

Principio de suma única

A este concepto de utilidad indirecta se le añade un planteamiento llamado suma única que expresa que; dada la dependencia de la utilidad con los precios e ingreso, es mejor subsidiar o grabar impuestos a la renta que a bienes específicos, esto porque un subsidio o un impuesto altera el poder adquisitivo y también distorsiona la elección del individuo, perdiendo eficiencia al elegir.

Utilidad indirecta Cobb-Douglas

\[\begin{matrix}U&=&Ax^ay^b\\ \\x^*&=&\frac{a}{a+b}\frac{I}{p_x}\\ \\ y^*&=&\frac{b}{a+b}\frac{I}{p_y} \end{matrix}\]

\[V(p_x,p_y,I)=A\left(\frac{a}{a+b}\frac{I}{p_x}\right)^a\left(\frac{b}{a+b}\frac{I}{p_y}\right)^b\]

Utilidad indirecta de complementarios perfectos

\[\begin{matrix} U&=&Min(ax,by)\\ \\ x^*&=&\frac{I}{p_x+\frac{a}{b}p_y}\\ \\ y^*&=&\frac{I}{p_y+\frac{b}{a}p_x} \end{matrix}\]

\[\begin{matrix} V(p_x,p_y,I)&=&Min(ax^*,by^*)\\ \\ &=&ax^*=\frac{I}{\frac{p_x}{a}+\frac{p_y}{b}}\\ \\ &=&bx^*=\frac{I}{\frac{p_x}{a}+\frac{p_y}{b}} \end{matrix}\]

\[V(p_x,p_y,I) = \frac{I}{\frac{p_x}{a}+\frac{p_y}{b}}\]

Minimización del gasto

Este problema corresponde al dual de la maximización de la utilidad, en este caso el problema matemático se expresa de la siguiente manera:

\[minimizar \ E=p_xx+p_yy\] \[sujeto \ a\ \overline{U}=U(x,y) \] La condición de minimización del gasto es la misma que la maximización de utilidad:

\[RMS_{x,y}=RI\]

El resultado serán demandas hicksianas las cuales al remplazar en la función de gasto, se obtiene el gasto mínimo, a este resultado se llega mediante la técnica lagrangiana o despejando el ingreso de la función de utilidad indirecta.

\[\mbox{gasto mínimo}=E(p_x,p_y,\overline{U})\]

Peguntas de repaso

1. ¿Que es la recta presupuestaria?

2. ¿Cua es la condición de maximización de la utilidad?

3. ¿Como son las demandas Cobb-Douglas?

4. ¿Como son las demandas de sustitutivos perfectos?

5. ¿Como son las demandas de complementarios perfectos?

6. ¿Que es la utilidad indirecta?

7. ¿Que expresa el principio de la suma única?

8. ¿Que es la minimización del gasto? y ¿Cual es la condición de minimización?

9. ¿Que tipo de demandas obtenemos de la minimización del gasto?

La demanda

La demanda

Las funciones de demanda \(x_i(p_1,p_2, \dots,p_n,I)\) muestran las cantidades óptimas de cada uno de los bienes dados los precios y la renta. En la teoría del consumidor es interesante analizar la estática comparativa de estos dos elementos, precios y renta.

Nota: una característica de la función de demanda ordinaria es que es homogénea de grado 0, por lo que, si se duplican los precio y la renta, se duplica la cantidad demandada del bien.

Bienes normales e inferiores

Para este análisis consideramos los precios constantes y hacemos variar la renta.

Hablamos de bienes normales cuando la demanda de este bien aumenta cuando la renta del individuo también aumenta y viceversa, \(\frac{\partial x_i}{\partial I}>0\)

Los bienes normales

Nos referimos a bienes inferiores cuando la demanda de este bien disminuye cuando la renta del individuo aumenta y viceversa, \(\frac{\partial x_i}{\partial I}<0\), esto sucede con bienes de baja calidad que el individuo consume a manera de “ahorro”.

Un bien inferior

Curvas de oferta-renta y curvas de engel

La curva oferta-renta¹⁰ describe las canastas de bienes óptimas para cada nivel de renta, mientras que la curva de Engel describe la cantidad demandada de un solo bien cuando varía la renta.

Cómo varía la demanda cuando varía la renta

Ejemplos

Sustitutivos perfectos

A continuación el caso en el que \(p_1<p_2\) y por lo tanto, se gasta todo el ingreso en el bien 1, teniendo la demanda \(x_1=\frac{I}{p_1}\),en estas condiciones la curva de oferta-renta coincide con el eje de las abscisas y la curva de Engel es un recta¹¹ con pendiente \(p_1\).

Los sustitutivos perfectos

Complementarios perfectos

La demanda para el bien 1 de este tipo de utilidad \(U=min(x_1,x_2)\) es \(x_1=\frac{I}{p_1+p_2}\), la curva oferta-renta coincide siempre con los vértices de la función de utilidad y la curva de Engel es una recta con pendiente \(p_1+p_2\).

Los complementarios perfectos

Preferencias Cobb-Douglas

La demanda del bien 1 para la utilidad \(U=x_1^ax_2^{1-a}\) es \(x_1=\frac{aI}{p_1}\), la demanda tanto del bien 1 y 2 es lineal por lo tanto la curva de Engel lo será también con pendiente \(\frac{p_1}{a}\).

Cobb-douglas

Preferencias cuasilineales

Estas funciones del tipo \(U=v(x_1)+x_2\) limitan el consumo de uno de los bienes alcanzada cierta satisfacción, por lo tanto la curva oferta-renta será una linea vertical y la curva de Engel tomará dicha forma despues de restringir el consumo del bien 1.

Preferencias cuasilineales

Bienes ordinarios y bienes Giffen

Un bien ordinario es aquel que cuando disminuye su precio aumenta su demanda.

Un bien ordinario

Un bien Giffen es aquel que cuando disminuye su precio también disminuye su demanda.

Un bien Giffen.

Curva de oferta-precio y la curva de demanda

Por su lado, la curva de oferta precio-precio describe las cestas optimas para cada nivel del precio de un bien, y la curva de demanda mide la variación en la cantidad demandada provocado por variaciones en el precio con los otros precios y la renta constantes.

La curva de oferta-precio y la curva de demanda

Ejemplos

Los sustitutivos perfectos

Los complementarios perfectos

¿Como saber a priori si dos bienes son sustitivos o complementarios?

Dada función de demanda:

\[x_1(p_1,p_2,I)\]

• Si la demanda del bien 1 aumenta cuando sube el precio del bien 2 \(p_2\) entonces se dice que el bien 1 es sustitutivo del 2.

\[\frac{\partial x_1}{\partial p_2}>0\]

• Si la demanda del bien 1 disminuye cuando sube el precio del bien 2 \(p_2\) entonces se dice que el bien 1 es complementario 2.

\[\frac{\partial x_1}{\partial p_2}<0\]

Curva de Engel para un bien normal y un bien inferior

Las curvas de Engel

Como vemos las curvas de Engel no siempre son rectas, y en general cuando aumenta la renta de un individuo la demanda de un bien puede aumentar más o menos rápido, entonces decimos:

• Si al aumentar la renta, la demanda de un bien aumenta muy rápido, hablamos de un bien de lujo.

• Si al aumentar la renta, la demanda de un bien no crece demasiado rápido, decimos que es un bien necesario.

Demanda agregada o demanda de mercado

La demanda de mercado o demanda agregada de un bien se obtiene sumando las demandas individuales \(q_i(p_j)\) de todos los individuos por ese bien, tal que:

\[Q(p_j)=q_1(p_j)+q_2(p_j)+\dots+q_n(p_j)\]

La obtención de una curva de demanda del mercado

Externalidades de red

Son un tipo de externalidad en la que la demanda del individuo se ve afectada por la cantidad consumida por otras personas.

Efecto arrastre

Externalidad positiva en la que la demanda del individuo crece a medida que más personas consumen el bien, esto suele darse con bienes de moda o tendencias, el efecto que tiene en la demanda es que la vuelve más elástica.

Efecto arrastre

Efecto snob

Externalidad negativa en la que la demanda del individuo disminuye a medida que más personas consumen el bien, esto suele darse con bienes exclusivos o únicos, el efecto que tiene en la demanda es que la vuelve menos elástica.

Efecto snob

Elasticidades de la demanda

Elasticidad precio de la demanda

También conocida como la elasticidad de la demanda y con notación \(E_p\) o \(\varepsilon\) o \(e_{x,p_x}\). Esta elasticidad mide la variación porcentual de la cantidad demandada de un bien provocada por una variación porcentual de su precio, su formula es la siguiente:

\[e_{x,p_x}=\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta p_x}{p_x}}=\frac{\Delta x}{\Delta p_x}\frac{p_x}{x}=\frac{\partial x}{\partial p_x}\frac{p_x}{x}\]

La elasticidad de la demanda casi siempre es negativa, por lo que, para el análisis recurriremos a su valor absoluto \(|\varepsilon|\).

• Si \(|\varepsilon|<1\), la demanda es inelástica, debido a que la demanda no es tan sensible al precio.

• Si \(|\varepsilon|=1\) para todos lo precios, la demanda es de elasticidad unitaria, y se cumple que el gasto total siempre es el mismo en toda la curva de demanda.

• Si \(|\varepsilon|>1\), la demanda es elástica, debido a que la cantidad demanda es muy sensible al precio.

• Si \(|\varepsilon|=c\), es decir la elasticidad es constante a todos los precios, la demanda es isoelástica.

• Si \(|\varepsilon| \approx \infty\), la demanda es infinitamente elástica y la cantidad demanda es infinitamente sensible al precio.

Elasticidad ingreso de la demanda

Esta elasticidad mide la variación porcentual de la cantidad demandada de un bien provocada por una variación porcentual del ingreso, su formula es la siguiente:

\[e_{x,I}=\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta I}{I}}=\frac{\Delta x}{\Delta I}\frac{I}{x}=\frac{\partial x}{\partial I}\frac{I}{x}\]

Elasticidad precios cruzados de la demanda

Esta elasticidad mide la variación porcentual de la cantidad demandada de un bien provocada por una variación porcentual del ingreso, su formula es la siguiente:

\[e_{x,p_y}=\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta p_y}{p_y}}=\frac{\Delta x}{\Delta p_y}\frac{p_y}{x}=\frac{\partial x}{\partial p_y}\frac{p_y}{x}\]

Elasticidad precio y total de gastos

Determina el efecto que un cambio de precio tiene en el gasto total destinado a un bien:

\[\frac{\partial (p_x \cdot x)}{\partial p_x}=x+p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x}=x[1+e_{x,p_x}]\]

Demanda compensada o hicksiana

Para introducir este concepto recordemos que, si cambia la relación de precios (pendiente de la recta presupuestaria) \(\frac{p_x}{p_y}\) también cambia la cesta optima para el individuo ya que la condición de maximización depende de la relación de precios llamada también relación de intercambio.

\[RMS=\frac{p_x}{p_y}\]

Por lo tanto, si varía el precio del bien \(x\) varía la relación de precios, obteniendo diferentes cestas óptimas en el mismo nivel de utilidad. En la figura \(\ref{fig:comp1}\) observamos lo que sucede para los precios \(p_x',p_x''\) y \(p_x'''\), para los cuales la pendiente de la recta presupuestaria cambia y se alcanzan cestas óptimas en la misma curva de indiferencia, es decir, en el mismo nivel de utilidad.

Una vez comprendido lo anterior, se está preparado para el concepto de demanda compensada.

Demanda compensada.- curva que relaciona las diferentes cantidades óptimas de un bien que se alcanzan en un mismo nivel de utilidad con los diferentes niveles de su precio.

Y un concepto más técnico, nos dice que; la curva de demanda compensada relaciona la cantidad y precio de un bien manteniendo la utilidad y los demás precios constantes, tal que, solo varíen los precios relativos al variar el precio de ese bien. A continuación, en la figura \(\ref{fig:comp2}\) ser observa esta curva para el bien \(x\)

La notación de la demanda compensada o hicksiana toma el siguiente aspecto:

\[x^c=x^H=\left(p_x,p_y,\overline{U}\right)\]

Como ya vimos antes en \(\ref{ch:mingas}\) minimización del gasto, las demandas compensadas se obtienen de resolver el problema de minimización (véase \(\ref{min:gas2}\)).

Asimismo, si se conoce la función de gasto mínimo y se conocen las demandas ordinarias o marshallianas, se puede remplazar la función de gasto mínimo en las funciones de demanda ordinarias para obtener funciones de demanda compensadas.

Comparación de las curvas de demanda compensada y marshalliana

Elasticidades precio compensado

Elasticidad precio compensado de la demanda

Mide la variación porcentual compensada de la cantidad demandada de un bien ante una variación porcentual de su precio.

\[e_{x^c,p_x}=\frac{\frac{\Delta x^c}{x^c}}{\frac{\Delta p_x}{p_x}}=\frac{\Delta x^c}{\Delta p_x}\frac{p_x}{x^c}=\frac{\partial x^c}{\partial p_x}\frac{p_x}{x^c}\]

Elasticidad precios cruzados compensados de la demanda

Mide la variación porcentual compensada de la cantidad demandada de un bien ante una variación porcentual del precio de otro bien.

\[e_{x^c,p_y}=\frac{\frac{\Delta x^c}{x^c}}{\frac{\Delta p_y}{p_y}}=\frac{\Delta x^c}{\Delta p_y}\frac{p_y}{x^c}=\frac{\partial x^c}{\partial p_y}\frac{p_y}{x^c}\]

Relaciones entre conceptos de demanda

Relaciones entre conceptos de demanda

Preguntas de repaso

1. ¿Que es un bien normal y que es un bien inferior?

2. ¿Que es una curva oferta-renta?, ¿Que es una curva de Engel?, ¿Son lo mismo?

3. ¿Que es un bien ordinario y que es un bien Giffen?

4. ¿Que es una curva oferta-precio?, ¿Que es una curva de demanda?, ¿Son lo mismo?

5. ¿Como saber si dos bienes son sustitutivos o complementarios a priori?

6. ¿Como es la curva de Engel para un bien inferior?

7. ¿Que es un bien de lujo y que es un bien necesario?

8. ¿Que es la demanda de mercado o demanda agregada y como se obtiene?

9. ¿Que es una externalidad de red?

10. ¿Que es el efecto arrastre y como altera la demanda?

11. ¿Que es el efecto snob y como altera la demanda?

12. ¿Que es la elasticidad de la demanda y como se obtiene?

13. ¿Que otras elasticidades conoces?

14. ¿Que es la demanda compensada?

15. ¿Que elasticidades para la demanda compensada conoces?

16. ¿Que característica importante tienen las curvas de demanda ordinarias?

17. ¿Que nos dice la identidad de Roy?

18. ¿Que nos dice el lema de Shepard?

Efecto renta, efecto sustitución y ecuación de Slutsky

Recordemos que una variación en el precio produce la mayoría de las veces un variación en la demanda, que comunmente la denotamos como \(\frac{\Delta q}{\Delta p}\), esta expresión representa el efecto total de una variación en el precio sobre la cantidad demandada, este efecto total puede se desagregado en dos efectos cuyo análisis es importante, sobre todo para conocer comportamiento de bienes inferiores y giffen.

Efecto sustitución: Supongamos una disminución en el precio de un bien \(x\) mientras mantenemos los demás precios constantes, esta disminución lleva al individuo a consumir más del bien que se abarata \((x)\) y menos del bien que es relativamente caro \((y)\). Por ello se dice que se sustituye un bien por otro, una aproximación más técnica nos dice que dado que han cambiado los precios relativos, el individuo iguala su RMS con la RI, tal que, alcanza una cesta óptima en la misma curva de indiferencia.

Efecto renta¹²: Dada un disminución del precio de \(x\) el individuo puede comprar la misma cantidad del bien con menos dinero, esto hace que aumente sus poder adquisitivo y alcance una nueva curva de indiferencia donde encontrará una cesta óptima al igualar su RMS con la RI.

Análisis gráfico

En la figura \(\ref{fig:eiescaída}\) se analiza un disminución del precio de \(x\).

\[p^1_x>p^2_x\]

Lo que sucede primero es que cambia la relación de precios \((p_x/p_y)\) y el individuo encuentra una nueva cesta optima \(S\) en el mismo nivel de utilidad \(U_1\) debido al efecto sustitución.

Debido a que la disminución del precio aumenta su poder adquisitivo la recta presupuestaria se desplaza a la derecha y el individuo encuentra una cesta óptima \(R\) en una nueva curva de utilidad debido al efecto ingreso. Nótese que ambos efectos operan en ambos sentidos, \(e.s>0\) y \(e.i>0\)

En la figura \(\ref{fig:eiesincre}\) se analiza un incremento del precio de \(x\).

\[p^1_x<p^2_x\]

Nuevamente primero cambian los precios relativos \((p_x/p_y)\) y el individuo halla una nueva cesta optima \(S\) en el mismo nivel de utilidad \(U_1\) gracias al efecto sustitución.

Esta vez un incremento del precio disminuye su poder adquisitivo y la recta presupuestaria se desplaza a la izquierda, por lo que, el individuo encuentra una cesta óptima \(R\) en una nueva curva de utilidad gracias al efecto ingreso. Nuevamente ambos efectos operan en ambos sentidos, \(e.s<0\) y \(e.i<0\)

Hasta ahora analizábamos un bien normal(ordinario), pero es de igual de interesante el análisis de otro tipo de bienes. La figura \(\ref{fig:eiesinferior}\) analiza un bien inferior cuando aumenta el precio de \(x\).

Como vemos el efecto sustitución siempre es positivo ante una disminución del precio, donde el individuo encuentra una cesta óptima \(S\) en la misma curva de indiferencia.

Seguidamente vemos que la recta presupuestaria se desplaza a la derecha debido al aumento del poder adquisitivo, pero para este caso en la cesta óptima \(R\) se consume menos del bien \(x\), lo que indica que el efecto ingreso es negativo para el bien \(x\). Por lo tanto diremos que; un bien inferior es aquel cuyo efecto sustitución y efecto ingreso operan en sentidos opuestos.

Para este caso \(e.s>0\) y \(e.i<0\).

Finalmente observemos la figura \(\ref{fig:eiesgiffen}\), la cual presenta un análisis para un bien giffen.

A simple vista vemos que el comportamiento del efecto sustitución ante una disminución en el precio es positivo, logrando alcanzar la cesta \(S\). Asimismo, vemos que el efecto ingreso hace desplazar la recta presupuestaria, sin embargo, el efecto ingreso es negativo debido a que en la cesta óptima \(R\) se consume menos de \(x\) e incluso el efecto ingreso absorbe al efecto sustitución.

Por lo tanto diremos que; Un bien giffen es aquel cuyo efecto sustitución y efecto ingreso operan en sentidos opuestos y además el efecto ingreso es mayor que el efecto sustitución. Para este caso \(e.s>0\) , \(e.i<0\) y \(|e.i|>|e.s|\). Asimismo podemos decir que un bien giffen es un bien muy inferior.

Análisis de elasticidades

Sean las elasticidades:

Si \(0<e_{x,I}<1\), \(x\) es un bien necesario.
Si \(e_{x,I}>1\), \(x\) es un bien de lujo.
Si \(e_{x,I}>0\), \(x\) es un bien normal.
Si \(e_{x,I}<0\), \(x\) es un bien inferior.
Si \(|e_{x,p_x}|<1\), \(x\) es un bien necesario.
Si \(|e_{x,p_x}|>1\), \(x\) es un bien de lujo.
Si \(e_{x,p_x}<0\), \(x\) es un bien ordinario.
Si \(e_{x,p_x}>0\), \(x\) es un bien giffen.
Si \(e_{x,p_y}>0\), \(x\) es un bien sustitutivo de \(y\).
Si \(e_{x,p_y}<0\), \(x\) es un bien complementario de \(y\).

Ecuación de Slutsky

Es la expresión matemática de la desagregación del efecto total:

\[e.t=e.s+e.i\]

\[\frac{\partial x_1}{\partial p_1}=\frac{\partial x_1^c}{\partial p_1}-x_1\frac{\partial x_1}{\partial I}\] Donde:

• \(\frac{\partial x_1}{\partial p_1}\), representa el efecto total.
  
• \(\frac{\partial x_1^c}{\partial p_1}\), representa el efecto sustitución.
  
• \(-x_1\frac{\partial x_1}{\partial I}\), representa el efecto ingreso.¹³

Preguntas de repaso

1. Explique el efecto sustitución

2. Explique el efecto ingreso

3. ¿Que es un bien inferior en términos de efecto ingreso y efecto sustitución?

4. ¿Que es un bien giffen en términos de efecto ingreso y efecto sustitución?

Medidas de bienestar para el consumidor

El excedente del consumidor es una medida de bienestar, útil para analizar las ganancia y pérdidas de bienestar en términos monetarioos del consumidor, se entiende como la diferencia entre el precio de reserva¹⁴ y el precio de mercado, o en otras palabras, es la diferencia del precio que está dispuesto a pagar el consumidor y el precio que realmente paga.

En la figura se observa el excedente del consumidor, que gráficamente es el área debajo de la curva de demanda y encima del precio de mercado.

Las forma de calcularlo es mediante una aproximación geométrica y mediante el calculo del área bajo la curva con la siguiente fórmula:

\[\int^{x^*}_0p(x)dx-p^*\cdot x^*\]

Donde:

\(x^*\), es la cantidad de equilibrio.
\(p(x)\), es la función de demanda inversa.
\(p^*\), es el precio de equilibrio.

Variación compensatoria

La variación compensatoria mide la cantidad de dinero que hay que darle (si el individuo empeora) o quitarle (si el individuo mejora) al individuo, para que a los precio relativos finales el individuo disfrute del mismo poder adquisitivo antes de la variación de precios (Utilidad inicial).

En la figura \(\ref{fig:varcomp}\) vemos el análisis para la variación compensatoria ante una subida del precio de \(x\): empezamos con una cesta inicial \(A\) en la recta presupuestaria \(I_1\) y la curva de indiferencia \(U_1\), luego de subir el precio del bien 1 se reduce el ingreso real, optimizando en la cesta \(B\), lo que hará la variación compensatoria es dar ingreso extra al individuo para que disfrute de la utilidad antes de la variación del precio \(U_1\) que es mayor a \(U_2\) utilizando el los precio finales. Por lo tanto la variación compensatoria será:

\[VC=E(p_1',U_1)-E(p_1,U_1)\]

Variación equivalente

La variación equivalente mide la cantidad de dinero que hay que darle o quitarle al individuo, para que a los precios relativos iniciales el individuo disfrute del poder adquisitivo después de la variación de precios, equivalente al poder adquisitivo pasado(Utilidad inicial).

En la figura \(\ref{fig:varequiv}\) vemos el análisis para la variación equivalente ante una subida del precio de \(x_1\): empezamos con una cesta inicial \(A\) en la recta presupuestaria \(I_1\) y la curva de indiferencia \(U_1\), luego de subir el precio del bien 1 se reduce el ingreso real, optimizando en la cesta \(B\), lo que hará la variación equivalente es dar dinero para alcanzar la cesta \(C\) y alcanzar la curva de utilidad final \(U_2\) comprando con los precio iniciales. Por lo tanto, la variación equivalente será:

\[VE=E(p_1,p_2,U_1)-E(p_1,p_2,U_0)\]

Relación de variaciones en la demanda compensada

En la figura \(\ref{fig:varcompcomp}\) el precio de \(x\) baja de \(p_s\) a \(p_i\), utilizando la definición anterior de variación compensatoria la curva de demanda compensada resulta muy útil para el fin de medir la VC, el área sombreada representa la diferencia entre el gasto con \(p_s\) y el gasto con \(p_i\), en la curva de indiferencia inicial. Por lo tanto la VC puede medirse como:

\[VC=\int^{p_x^1}_{p_x^0}x^c(p_x,p_y,U_0)dp_x\]

En la figura \(\ref{fig:varequivcomp}\) el precio de \(x\) baja de \(p_s\) a \(p_i\), utilizando la definición anterior de variación equivalente la curva de demanda compensada resulta muy útil para el fin de medir la VE, el área sombreada representa la diferencia entre el gasto con \(p_s\) y el gasto con \(p_i\), en la curva de indiferencia final. Por lo tanto la VE puede medirse como:

\[VE=\int^{p_x^1}_{p_x^0}x^c(p_x,p_y,U_1)dp_x\]

Ahora en la imagen \(\ref{fig:varrelcom}\) vemos como se relacionan estas tres medidas de bienestar, obteniendo las siguientes conclusiones:

Ante una disminución del precio del bien:

• \(VC<EC\), la VC subestima el excedente del consumidor y viceversa.
  
• \(VE>EC\), la VE sobre estima el excedente del consumidor y viceversa.

Otra forma de calcular el excedente del consumidor

\[\int_{p_x^*}^{p_{x=0}}x(p_x)dp_x\]

Preguntas de repaso

1. ¿Que es el excedente del consumidor?

2. ¿Que es la variación compensatoria?

3. ¿Que es la variación equivalente?

4. Mencione diferencias entre las variaciones compensatoria y equivalente

Las preferencias reveladas y los números índice

Anteriormente vimos que las preferencias y la restricción presupuestaria nos sirven para construir y obtener la demanda de los consumidores, sin embargo, las preferencia no son observables facilmente, lo que si puede ser observado es el comportamiento de los individuos y las elecciones que tomen para obtener información acerca de las preferencias.

La preferencia revelada

Con fines simplificativos se establece el supuesto que las preferencias son convexas y por lo tanto solo puede haber una cesta óptima para cada nivel de ingresos.

En principio una preferencia revelada solo nos muestra la elección que toma el individuo, pero la preferencia propiamente dicha es la que muestra la elección y el orden o importancia que tienen para el individuo.

La preferencia revelada directamente

Sean dos canastas \(X\) y \(Y\), con los gastos:

\[x_1p_1+x_2p_2=m\] \[y_1p_1+y_2p_2\leq m\]

Dado que la cesta \(X\) es la que agota la renta del individuo, decimos que; el individuo revela directamente que prefiere la canasta \(X\) a la canasta \(Y\). (\(X\succ Y\))

La preferencia revelada indirectamente

Enlazando con la definición anterior, ahora supongamos que existe otra canasta \(Z\) tal que, la canasta \(Y\) es preferida a la \(Z\), por lo tanto, se dice que: el individuo revela indirectamente que prefiere la canasta \(X\) a la \(Z\). (\(X\succ Z\))

Axioma debil de la preferencia revelada

Establece que; si la canasta \(X\) es revelada preferida directamente a la canasta \(Y\), entonces \(Y\) no puede revelarse preferida directamente a la canasta \(X\).

Axioma fuerte de la preferencia revelada

Establece que; si la canasta \(X\) es revelada preferida indirecta o directamente a la canasta \(Z\), entonces \(Z\) no puede revelarse preferida indirecta o directamente a la canasta \(X\).

Números índice¹⁵

Si se quiere un indicador de bienestar podría pensarse en uno que mida el consumo medio en 2 periodos distintos, digamos un periodo \(b\) o periodo base y un periodo cualquiera \(t\).

Entonces, el consumo dependerá de algunos “pesos” \(w\) que tienen la función de estandarizar la importancia de los bienes en los periodos, tal que, el consumo medio queda expresado de la siguiente manera.

\[I_q=\frac{w_1x_1^t+w_2x_2^t}{w_1x_1^b+w_2x_2^b}\]

Para tal caso existen dos posiciones acerca de los pesos \(w\) en el consumo, por un lado Laspeyres que pretende usar como pesos, los precios del periodo base y Paasche que pretende usar como pesos, los precios del periodo \(t\). Tal que los índices se expresan respectivamente como sigue:

Índice de Laspeyres

\[I_L=\frac{p_1^bx_1^t+p^b_2x_2^t}{p_1^bx_1^b+p_2^bx_2^b}\]

Índice de Paasche

\[I_P=\frac{p_1^tx_1^t+p_2^tx_2^t}{p_1^tx_1^b+p_2^tx_2^b}\]

Ambos tienen la misma interpretación:

• Si es mayor que 1, el consumo medio en el periodo \(t\) es mayor al del periodo base.

• Si es menor que 1, el consumo medio en el periodo \(t\) es menor al del periodo base.

Índice de precios

Los índices de precios tienen como objetivo analizar la evolución en el tiempo de los precios en una economía utilizando las variaciones relativas de estas magnitudes, la forma general de representarlas, es estudiando los precios en un periodo base \(b\) y un periodo cualquiera \(t\):

\[I_q=\frac{w_1p_1^t+w_2p_1^t}{w_1p_1^b+w_2p_1^b}\]

Nuevamente observamos un criterio de agregación en los precios con los pesos \(w\), para tal caso nuevamente aparecen 2 posiciones ya conocidas.

Índice de precios de Laspeyres

\[I_L=\frac{x_1^bp_1^t+x_2^bp_1^t}{x_1^bp_1^b+x_2^bp_1^b}\]

Índice de precios de Paasche

\[I_P=\frac{x_1^tp_1^t+x_2^tp_1^t}{x_1^tp_1^b+x_2^tp_1^b}\]

Índice ideal de Fisher

Fisher propone una media geométrica entre los dos índices como una alternativa a la sobrestimación y subestimación de las medidas.

\[I_F=\sqrt{I_L\cdot I_P}\]

Preguntas de repaso

1. ¿De que tratan las preferencias reveladas?

2. ¿Cuál es la diferencia entre preferencia revelada y preferencia?

3. ¿Que es un número índice?

4. ¿Como piensan Laspeyres y Paasche en la construcción de números índice?

Funciones de producción

La teoría de la empresa se enfoca a decribir las desiciones de una empresa que minimizan los costes, y como varían las característics del producto final con esta decisiones.

Los economistas entienden que una empresa es aquella organización capaz de convertir factores productivos en un producto, y modelan la combinación de estos factores en una función de producción.

\[q=f(k,l,m,...)\]

Donde:
\(q\) es la cantidad de producción.
\(k\) es la magnitud del capital.
\(l\) la cantidad de mano de obra.
\(m\) la magnitud de materias primas.

Para poder representar graficamente y simplicar el modelo, se usa solo dos variable para el análisis, tal que la función sea:

\[q=f(k,l)\]

Producto marginal

Es la variación en la producción provocada por la variación en una unidad de un factor productivo, se denota \(PMg_k\) producto marginal del capital o \(PMg_l\) producto marginal del trabajo.

Matemaáticamente, el producto marginal del factor \(i\) es:

\[PMg_i=\frac{\partial q}{\partial i}\]

Productividad marginal decreciente

Un factor productivo no puede aumentar indefinidamente su producto marginal sino que esta va disminuyendo su productividad marginal a medida que aumenta su cantidad.

Por lo tanto las segundas derivadas serán negativas si la productividad es decreciente.

\[\frac{\partial PMg_i}{\partial i}=\frac{\partial^2 q}{\partial i^2 }<0\]

Cabe señalar que las variaciones en el producto marginal de un factor no solo dependen de la cantidad que se emplea del factor, sino también de otros factores.

Productividad promedio

Es una medida empírica para medir la productividad de algún factor, evaluando la producción por unidad del factor, sin embargo, la productividad marginal es una mejor medida.

\[PMe_i=\frac{q}{l}=\frac{f(k,l)}{l}\]

Funciones de costos

Maximización de las ganancias

Los mercados competitivos de factores

Mercado competitivo de factores

• Gran número de compradores y vendedores
• Ningún agente influye en los precios
• Los agentes son precio-aceptantes

La demanda del factor competitivo

• Esta demanda la determinan las empresas

• La demanda depende de:

  • La producción de la empresa

    • \(q = f(K,L)\)
    • \(K\) capital (fijo en el corto plazo)
    • \(L\) trabajo

  • Los costes de los factores

    • \(w\) salario
    • \(r\) coste de alquiler del capital

Curva de demanda factorial de una empresa

Corto plazo

• En el corto plazo el factor K es fijo

• La empresa contrata a un trabajador si se cumple que:

  • El ingreso adicional por un trabajador es igual al coste adicional de su contratación

• Costo adicional = w (salario)

• Ingreso adicional = ingreso del producto adicional = \(IPM_L\) (ingreso obtenido por la venta de lo que produce el trabajador contratado)

• ingreso del producto adicional = Producto marginal del factor “L” * Ingreso marginal.

• \(IPM_L = PM_L*IM\)

• Como en un mercado competitivo el ingreso marginal es igual al precio \((IM = p)\) la ecuación se reduce a:

• \(IPM_L = PM_L*p\)

Entonces:

• La empresa contrata trabajadores si:

  • \(IPM_L > w\)
  • \(IPM_L = w\) (Maximiza sus beneficios)

• La empresa no contrata trabajadores si:

  • \(IPM_L < w\)

El costo marginal \(CM\) estará determinado por:

• \(\frac{Costo\ del\ factor\ trabajo}{Producto\ marginal\ del\ factor\ L}=Costo\ marginal\)
• \(\frac{w}{PM_L}=CM\)

Conclusión: La empresa en el corto plazo, contratará la cantidad de trabajadores en la que el ingreso del producto marginal del factor \(L\) es igual al salario o costo del factor trabajo \((IPM_L = w)\)
Imagen 1

Largo plazo

• En el largo plazo, tanto \(K\) como \(L\) son variables
• Cuando el factor \(K\) varía también varía la productividad marginal del factor \(L\), que implica que la curva de Ingreso del producto marginal del factor \(L\) \((IPM_L)\) se desplace a la izquierda o derecha según \(K\) disminuya o aumente, respectivamente. Imagen 2

Curva de demanda factorial de una industria

• Si solo hay un productor en la industria la demanda de esa empresa será la demanda de la industria

• Si hay más empresas debe analizarse como cambia el precio del factor productivo, ya que:

  • Afceta a la producción de la industria
  • Afecta al precio del producto

• Si w baja \(\downarrow\)

  • Las empresas contratan más del factor L \(\downarrow\)
  • Las empresas aumentan la producción \(\downarrow\)
  • La oferta del bien que producen se desplaza a la derechas \(\downarrow\)
  • Baja el precio de ese bien \(\downarrow\)
  • Disminuye el ingreso del producto marginal \(\downarrow\)
  • La curva del ingreso del producto marginal se desplaza a la izquierda \(\downarrow\)
  • Las empresas contratan menos del factor L Imagen 3

Por lo tanto, la curva de demanda de la industria es más inelástica que la curva de demanda que se obtendría si se supusiera que el precio del producto no varía.

Curva de demanda factorial del mercado

• Es la suma horizontal de las demandas de todas las industrias.

La oferta del factor competitivo

• La curva de oferta de la mayoría de factores productivos tienen pendiente positiva, es decir es creciente

• Sin embargo la curva de demanda del factor trabajo no siempre es creciente

• El individuo usa su tiempo en:

  • Horas de trabajo \(l\) remunerado con salario real \(w\)
  • Tiempo dedicado al ocio \(h\) con costo de oportunidad \(w\)

• Por lo tanto, las horas de dedicadas a trabajar y dedicar al ocio dependen de su utilidad \(U=U(l,h)\)

Un aumento del salario deriva en: - Efecto sustitución: preferir trabajar más horas, ya que el costo de oportunidad del ocio se vuelve más caro - Efecto renta: al aumentar el poder adquisitivo del individuo, este puede permitirse comprar más ocio lo que disminuye las horas de trabajo

Pueden ocurrir las situaciones:

Efecto ingreso y efecto sustitución

• El efecto sustitución domina al efecto renta \((e.s>e.r)\), que implica que el individuo dedique menos tiempo al ocio y más al trabajo
• El efecto renta domina al efecto sustitución \((e.r>e.s)\), que implica que el individuo dedique más tiempo al ocio y menos al trabajo

Imagen 4

Curva de oferta de trabajo

Imagen 5

Curva de oferta factorial del mercado

• Se obtiene sumando horizontalmente la oferta de todos los factores de las empresas

Curva de oferta factorial a la que se enfrenta una empresa

• Siempre es más elástica que la curva de oferta factorial del mercado
• En un mercado competitivo la curva es infinitamente elástica

Conceptos de la curva de oferta a la que se enfrenta una empresa

• Gasto medio \((GMe)\): Costo promedio de cada unidad de factor productivo que contrata la empresa
• Gasto marginal \((GM)\): Gasto adicional de una unidad adicional de factor productivo que contrata la empresa
• En un mercado competitivo el gato marginal será igual al costo de un factor productivo \((GM=w)\)

Imagen 6

El equilibrio en un mercado competitivo de factores

Decisión de la empresa sobre la contratación de factor

• La empresa contrata trabajadores si:

  • \(IPM_L > GM_L\)
  • \(IPM_L = GM_L\) (Maximiza sus beneficios)

• La empresa no contrata trabajadores si:

  • \(IPM_L < GM_L\)

Empresa que esta en un mercado competitivo de factores y vende en un mercado competitivo

Imagen 6b
- La empresa es precio aceptante, por lo que, toma el precio de mercado - La empresa eligirá la cantidad de trabajadores que satisfaga \(p*PM_L = w\)

Equilibrio en un mercado competitivo

Imagen 7.a

Empresa que esta en un mercado competitivo de factores y vende con poder de mercado

Imagen 7
- La empresa monopolística para determinar la cantidad que debe contratar de un factor iguala el Ingreso del producto marginal con el gasto marginal y cobra el precio de oferta.

Renta económica en el mercado de factores

En el mercado de trabajo: Imagen 8
- El pago recibido por los trabajadores dada la venta del factor productivo es \(w^**L^*\) - El mínimo pago necesario para contratar\(L^*\) unidades de trabajo es es área que esta debajo de la curva de oferta de trabajo - La renta económica que recibe el individuo es el triangulo azul. - Es equivalente al excedente del productor.

El poder de mercado en un mercado de factores

La decisión de la empresa en mercados de factores con poder de monopsonio

• Un agente tiene poder de mercado cuando sus decisiones afectan a los precios

• La curva de oferta a la que se enfrenta la empresa no es perfectamente elástica

• Se enfrenta a la curva de mercado

• La empresa monopsonista maximiza sus beneficios cuando

  • Ingreso del producto marginal = Gasto marginal
  • \(IPM_L=GM\)

• El gasto marginal \(GM\) es mayor al gasto medio \(GMe\), porque, cada vez cuesta más contratar trabajadores

• El gasto medio es igual a la curva de oferta de trabajo

Impacto de un salario mínimo en un mercado competitivo

Figura 1

• Si el salario mínimo es igual al salario donde la demanda y la oferta de trabajo son iguales(equilibrio), el mercado tiende a ser competitivo
• Si está por debajo del equilibrio, el monopsonista aún tiene poder de mercado
• Si está por encima del equilibrio, se genera desempleo

Las fuentes del poder de monopsonio

El poder de monopsonio:

• Depende de la elasticidad de la curva de oferta a la que se enfrenta la empresa

• Si es infinitamente elástica, no tiene poder. - Si es muy elastica, tiene poco poder. - si es muy inelasica, tiene bastante poder.

• Depende del número de compradores en el mercado

• Depende de la interacción de empresas que hay en el mercado

Los costes sociales del poder de monopsonio

Se analizan los costes sociales a partir de:
- los excedentes del monopsonista - las rentas económicas

Figura 3

Los mercados de factores con poder de monopolio

• Los sindicatos se comportan como monopolios de trabajo

• Un sindicato puede elegir, tanto el salario de sus trabajadores, como el número de trabajadores que desea emplear.

• Objetivos de un sindicato:

  • Maximizar la renta económica de sus trabajadores
  • Maximizar los salarios agregado de sus trabajadores
  • Maximizar la cantidad de trabajadores

• La renta económica se maximiza cuando se iguala el ingreso marginal de los trabajadores con el costo marginal

  • \(IM=CM\)
  • El costo marginal \(CM\) de contratar un trabajador extra es el salario que esta dispuesto a recibir por trabajar, descrito por la curva de oferta
  • Con esta medida se obtiene el salario máximo pero con menos trabajadores

• Los salarios agregados se maximizan al maximizar el ingreso, es decir igualar el ingreso marginal \(IM\) a cero.

  • \(IM=0\)
  • Con esta medida se obtiene mayor salario y más cantidad de trabajadores

• La cantidad de trabajadores se maximiza en el punto de equilibrio.

Trabajadores sindicados y no sindicados

• El sindicato sube el salario en el mercado X \(\rightarrow\) se reduce la cantidad de trabajadores en el mercado x \(\rightarrow\) los trabajadores se van a otro mercado y aumenta la cantidad de trabajadores \(\rightarrow\) se alcanza un nuevo precio de equilibro menor en el mercado y

Figura 4

Monopolio bilateral

¿Que pasa si hay monopolio en la venta de factores y monopsonio en la contratación de factores?

• Si tienen poder de mercado similares, el precio se asemeja a un precio competitivo.
• Si el monopolio tiene más poder que el monopsonio, el precio se aproxima al costo marginal
• si el monopsonio tiene más poder que el monopolio, el precio se aproxima al ingreso del producto marginal

Monopolio y monopsonio, operan en direcciones opuestas

Monopolios en cadena

• Monopolista que compra a monopolista

• Si hay monopolio en cadena:

  • El precio del producto final será demasiado elvado debido a la acumulación de margenes

• Un monopolio integrado, funciona mejor que uno en cadena

La fijación de precios con poder de mercado

La discriminación de precios

• Estrategia que consiste en cobrar precios distintos a consumidores diferentes por bienes iguales

• El objetivo es capturar el excedente del consumidor y transferirlo al productor

• Para cobrar precios diferentes a consumidores diferentes la empresa debe:

  • Identificar a los clientes (información sobre la demanda)
  • Conseguir que sus clientes paguen precios distintos

Imagen 1 - Por lo tanto, la demanda se puede dividir en segmentos - Cobrar precios más altos a los consumidores que están dispuestos a pagar más y viceversa - Le conviene bajar los precios hasta que la demanda se iguale con el costo marginal de la empresa. - La discriminación de precios requiere que no haya arbitraje

La discriminación de precios de primer grado

• También llamada discriminación perfecta de precios
• Práctica que consiste en cobrar a cada consumidor el precio que están dispuestos a pagar (precio de reserva)
• La política de la empresa debería ser: cobrar el precio de reserva a cada uno de sus clientes.
• Siempre y cuando la demanda sea superior al coste marginal, la empresa puede obtener mayores beneficios incrementando la producción.
• La empresa maximiza beneficios cuando la demanda es igual al costo marginal

La discriminación de precios de primer grado en la práctica

• En la práctica este tipo de estrategia es inviable por:

  • Desconocimiento del precio de reserva de cada consumidor (desconocer la demanda)
  • Imposibilidad de cobrar un precio diferente a cada consumidor (a menos que sean pocos)

Imagen 3

• En la práctica, las empresas pueden hacer discriminación de precios de acuerdo a:

  • Estimaciones de los precios de reserva
  • Nivel de vida que expresan los consumidores

• Si la discriminación de precios atrae suficientes clientes nuevos al mercado, el bienestar de los consumidores y productores puede aumentar

La discriminación de precios de segundo grado

• Practica que consiste en cobrar diferentes precios de acuerdo a la cantidad que se consume de un bien (el precio depende de la cantidad consumida)

• Se deben conocer:

  • La demanda de los consumidores
  • La disposición exacta a pagar de los individuos

Supongamos que hay 2 personas, una que está dispuesta a pagar menos por un bien y otra persona, que está dispuesta a pagar más por el mismo bien.

Imagen 3

• El monopolista discriminador debe:

  • Crear paquetes pensando en la disponibilidad a pagar de los individuos
  • Solo ofrecer conbinaciones cantidad-precio que deben ser diferentes
  • Inducir a los consumidores elegir la combinación que está pensada para ellos (autoseleccionarse)

Imagen 4

• Para que los consumidores se autoseleccionen:

  • Las combinaciones cantidad-precio deben ajustarse a su disposición a pagar
  • Las combinaciones de paquetes están determinadas por \(p_2(q_2)=2p_1(q_1)\) donde \(p_2\) es la demanda inversa de la persona con mayor disposición a pagar y \(p_1\) la de la persona con menor disposición a pagar.

• Por lo tanto se ofrece:

  • Un paquete con \(x_1^m\) unidades a un precio total del area A
  • Otro paquete con \(x_2^0\) unidades a un precio total del area A+C+D
  • El area \(B\) es el excedente del consumidor con mayor disposición a pagar
  • El consumidor con menor disposición a pagar no tiene excedente
  • El area \(D\) es la pérdida de eficiencia social, ya que el consumidor con menor disposición a pagar no puede acceder a más unidades del bien, al estar restringida su elección a solo 2 paquetes

La discriminación de precios de tercer grado

• Práctica consistente en dividir a los consumidores en dos o más grupos cuya curva de demanda es distinta y cobrar un precio diferente a cada grupo

El objetivo de la empresa será:

\(Max_{q_1,q_2} \ \ \ \pi=q_1p_1(q_1)+q_2p_2(q_2)-CT(q_1+q_2)\) \(\frac{\partial\pi}{\partial q_1}=IM_1(q_1)-CM(q_1+q_2)=0\) \(\frac{\partial\pi}{\partial q_2}=IM_2(q_2)-CM(q_1+q_2)=0\)

Por lo tanto la empresa elegirá \(q_1^*,q_2^*\) tal que:
\(IM_1(q_1)=IM_2(q_2)=CM(q_1+q_2)\)

Si:
- \(IM_1(q_1)>CM(q_1+q_2)\), debe aumentar la cantidad ofrecida en el mercado 1
- \(IM_1(q_1)<CM(q_1+q_2)\), debe disminuir la cantidad ofrecida en el mercado 1

o de otra forma:

• \(IM_1(q_1)>IM_2(q_2)\), debe transferir producción del mercado 2 al mercado 1
  
• \(IM_1(q_1)<IM_2(q_2)\), debe transferir producción del mercado 1 al mercado 2
  
• \(IM_1(q_1)=IM_2(q_2)>CM(q_1+q_2)\), debe aumentar la producción
  
• \(IM_1(q_1)=IM_2(q_2)<CM(q_1+q_2)\), debe disminuir la producción

Para determinar el precio se deben sustituir \(q_1^* \ y \ q_2^*\) en las funciones de demanda \(p_1^* \ y \ p_2^*\)

Dado que \(IM_i(q_i)=p_i(1+ \frac{1}{e_i})\)
Al igualar \(IM_i=IM_2\)
Se obtiene que:
\[\frac{p_1}{p_2}=\frac{1+\frac{1}{e_1}}{1+ \frac{1}{e_2}} \] De tal forma que:

• Si \(e_1<e_2\) entonces \(p_1<p_2\) (o en valor absoluto si \(|e_1|>|e_2|\) entonces \(p_1<p_2\)|)
• Si el monopolio no puede discriminar, elegirá un precio \(p^*\) tal que \(p_1<p^*<p_2\)
• Si no puede discriminar iguala su \(IM\) con su \(CM\) y cobra el precio de la demanda agregada

La tarifa de dos tramos

• Consiste en cobrar una tarifa de entrada \((T)\) y una tarifa de uso \((p)\)
• La demanda de entrada y la demanda de uso tienen que estas interrelacionadas
• El precio que se paga por entrar depende del precio por uso

Imagen 5

Si se fija un precio \(p^*\) se demandaran \(x^*\) unidades entonces:

• El excedente del consumidor mide la tarifa de entrada \((T)\)
• Y el precio de uso estará establecido por \(p^*\)

La política maximizadora del beneficio consiste en fijar un precio igual al coste marginal y una tarifa de entrada igual al excedente del consumidor resultante.

Imagen 6

La venta conjunta de bienes

• Práctica que consiste en vender conjuntamente 2 o más bienes

• Es necesario que las demandas sean heterogéneas y correlacionadas negativamente

• Cuando la empresa solo vende los bienes juntos, se le conoce como venta conjunta pura.

• Cuando la empresa vende conjuntamente y por separado, se le conoce como venta conjunta mixta.

• Una venta conjunta mixta requiere que:

  • Las demandas esta correlacionadas negativamente pero no perfectamente
  • Su costes de produccón sean altos

Imagen 7

Un análisis de equilibrio general: el intercambio

De un análisis de equilibrio parcial a un análisis de equilibrio general

• Los precios en realidad no solo dependen de la interacción de su oferta y su demanda, sino que también depende las ofertas y demandas de otros bienes.

• El precio de un bien, influye en la demanda de otros bienes, sean sustitutos o complementarios, asimismo influye en el poder adquisitivo de los consumidores y por tanto en la cantidad de bienes que puede comprar.

• Debido a que el análisis del equilibrio general es muy complejo, se adoptan supuestos como:

  • Analizar solo la conducta en mercados competitivos

  • Analizar el menor número posible de bienes y de consumidores

  • Análisis en dos fases

    • 1° Los individuos tienen dotaciones fijas de bienes, es decir no hay producción (intercambio puro)
    • 2° Análisis de la producción en el modelo de equilibrio general

La caja de Edgeworth

• Instrumento gráfico para analizar el intercambio de dos bienes entre dos personas

• Representa gráficamente:

  • Las curvas de indiferencia del individuo, es decir sus preferencias \(U_A=(x_A^1,x_A^2),U_B=(x_B^1,x_B^2)\)
  • Las dotaciones de los individuos examinados
  • Las cestas posibles de consumos o asignaciones viables

Llamemos \(X_A\) a la cesta de consumo del individuo \(A\), que consta de 2 bienes tal que; \(X_A=(x^1_A,x^2_A)\) donde \(X_A^1\) y \(X_A^2\) representan las cantidades de consumo del bien 1 y 2 respectivamente del individuo A, el análisis es similar con el individuo \(B\) con una canasta de consumo \(X_B=(x^1_B,x^2_B)\).

El par de cestas de consumo de \(A\) y \(B\), \(X_A\) y \(X_B\) se llama asignación.

Una asignación es viable cuando la cantidad utilizada de cada bien es igual a la cantidad disponible, o matemáticamente:

\[x^1_A+x^1_B=\omega^1_A+\omega^1_B \\x^2_A+x^2_B=\omega^2_A+\omega^2_B \] Donde:

\(\omega^i_j\) = es la dotación inicial del bien \(i\), que dispone el individuo \(j\)

Imagen 1

El comercio y las asignaciones eficientes en el sentido de Pareto

Dados dos conjuntos de bienes y de dotaciones:

• Los agentes buscan mejorar o maximizar su bienestar
• Para mejorar su bienestar los agentes intercambian bienes
• Por lo tanto; la persona \(A\) renuncia a \(|x_A^{1}- \omega _A^1|\) unidades del bien 1 y adquiere a cambio \(|x_A^{2}- \omega _A^2|\) unidades del 2, lo que significa que B adquiere \(|x_B^{1}- \omega _B^1|\) unidades del bien 1 y renuncia a \(|x_B^{2}- \omega _B^2|\) unidades del 2.

Imagen 2

• El comercio continúa hasta que no existe un intercambio que sea mejor para ambas partes
• Cualquier movimiento que mejore el bienestar de un agente, empeora necesariamente el bienestar del otro agente

Por lo tanto, se llega a una asignación en el sentido de Pareto, aquella en la que:

• No es posible mejorar el bienestar de las personas involucradas.
• No es posible mejorar el bienestar de una persona sin empeorar a otra.
• Se agotaron todas las ganancias derivadas del comercio
• No es posible realizar intercambio mutuamente ventajoso

Matemáticamente, para lograr una asignación eficiente en el sentido de Pareto, se requiere que las curvas de indiferencia de los individuos sean tangentes, es decir que sus pendientes sean iguales o:

\[RMS_A=RMS_B\] A partir de esta igualdad, veremos que existen muchas asignaciones eficientes en el sentido de Pareto

• El conjunto de puntos donde las asignaciones son eficiente, se denomina, conjunto de Pareto o curva de contrato
• La curva de contrato, describe todos los resultados posibles donde el intercambio es mutuamente ventajoso

Imagen 2

El equilibrio de mercado

• Igualar \(RMS_A=RMS_B\), no es suficiente para encontrar en punto óptimo de intercambio.
• Por lo que requerimos de un análisis no solo de las preferencias, sino de los precios de los bienes.
• Los precios determinarán la restricción presupuestaria de los individuos, tal que:

Recta presupuestaria del individuo A:

\[p_1*x_A^1+p_2*x_A^2=p_1*\omega _A^1+p_2*\omega _A^2\] Recta presupuestaria del individuo B:

\[p_1*x_B^1+p_2*x_B^2=p_1*\omega _B^1+p_2*\omega _B^2\] - Las rectas presupuestarias o poder adquisitivo de los individuos cualquiera que sea su cesta de consumo, debe ser igual a su poder adquisitivo inicial.

• Y la ya conocida igualdad para maximizar la utilidad de los individuos, también aplica aquí

\[RMS=\frac{p_1}{p_2}\] - Ahora, recordemos que para lograr una asignación eficiente las curvas de indiferencia deben ser tangentes, por lo tanto:

\[RMS_A=RMS_B=\frac{p_1}{p_2}\]

Conceptos de demanda

• Demanda bruta \((x_j^i)\), es la cantidad de bien \(i\), que desea el individuo \(j\).
• Demanda neta o Exceso de demanda \((e_j^i)\), es la cantidad de bien \(i\) que desea comprar o vender el individuo \(j\)
  
• Es la diferencia entre la cantidad que desea consumir menos la que tiene inicialmente

\(e_j^i=x_j^i-\omega _j^i\)

Donde:

\(\omega _j^i\), es la cantidad inicial de bien \(i\) que dispone el individuo \(j\)
\(x_j^i\), es la demanda bruta

Si: \(e_j^i\) es negativo, significa que el individuo vende unidades, si \(e_j^i\) es positivo, el individuo compra unidades, y en el caso de 2 agentes, necesariamente uno vende y otro compra un mismo bien.

Imagen 3

Si hay exceso de demanda el precio el precio subirá, y si hay exceso de oferta el precio bajará.

Imagen 4

El mercado se encuentra en equilibrio competitivo o walrasiano, si lo que compra el individuo A es exactamente igual a lo que vende el individuo B
Para ello definamos el exceso de demanda agregada, que es la suma de las demandas netas de los individuos:

\[z_1(p_1^*,p_2^*)=(x_A^1-\omega _A^1)+(x_B^1-\omega _B^2)\] \[z_1(p_1^*,p_2^*)=(e_A^1)+(e_B^2)\] \[z_1(p_1^*,p_2^*)=0\] \[z_2(p_1^*,p_2^*)=0\]

La ley de Walras

La ley de Walras afirma que:

\[p_1*z_1(p_1,p_2)+p_2*z_2(p_1,p_2)=0\] Demostración matemática

Sean las restricciones presupuestarias del individuo A y B:

\[p_1x_A^1+p_2x_A^2=p_1\omega _A^1+p_2\omega _A^2 \quad \dots \quad (1)\] \[p_1x_B^1+p_2x_B^2=p_1\omega _B^1+p_2\omega _B^2 \quad \dots \quad (2)\]

Despejando y factorizando (1) y (2)

\[p_1[x_A^1-\omega _A^1]+p_2[x_A^2-\omega _A^2]=0 \quad \dots \quad (4)\]

\[p_1[x_B^1-\omega _B^1]+p_2[x_B^2-\omega _B^2]=0 \quad \dots \quad (5)\] Reemplazando el exceso de demanda en las fórmulas respectivas

\[p_1[e_A^1]+p_2[e_A^2]=0 \quad \dots \quad (6)\]

\[p_1[e_B^1]+p_2[e_B^2]=0 \quad \dots \quad (7)\]

Sumando y factorizando las ecuaciones (6) y (7)

\[p_1[e_A^1+e_B^1]+p_2[e_A^2+e_B^2]=0 \quad \dots \quad (8)\] Reemplazando el exceso de demanda agregada en la ecuación 8

\[p_1z_1+p_2z_2=0\]

• Dado que en equilibrio competitivo o walrasiano, \(z_1\) y \(z_2\) son 0 la suma del producto de los precios con los excesos debe ser 0.
  
• En la caja de Edgeworth basta que un exceso de demanda agregada sea 0 (situación en el que el mercado del bien se encuentra en equilibrio) para que el otro exceso de demanda agregada sea también o (el mercado del bien está en equilibrio)
• En general, si hay mercados de k bienes, sólo necesitamos hallar un conjunto de precios al que k – 1 de los mercados se encuentren en equilibrio. La ley de Walras implica entonces que, en el mercado del bien k, la demanda será automáticamente igual a la oferta.

El primer teorema de la economía del bienestar

“Un mercado privado, en el que cada agente maximice su bienestar da lugar a una asignación eficiente en el sentido de pareto”

• Un supuesto de este toerema es que, al consumidor no le importa los que consumen los otros consumidores del mercado, sino solo lo que consume él, si le importara el consumo de otros, se produce la llamada externalidad del consumo, donde no necesariamente el equilibrio con esta externalidad es eficiente en el sentido de pareto.
• Como resultado de que cada agente quiere maximizar su utilidad, se crean mercados competitivos y son los mercados competitivos los que garantizan una asignación eficiente en el sentido de Pareto.
• Utilizar los mercados competitivos reduce la cantidad de información que requieren los agentes, ya que solo necesitan conocer el precio para tomar decisiones acerca de su consumo, así pues, este es un argumento importante al momento de defender la utilización de los mercados competitivos para la asignación de recursos.

El segundo teorema de la economía del bienestar

“Deben utilizarse los precios para reflejar la escasez y las transferencias de cantidades fijas de riqueza para alcanzar los objetivos distributivos.”
“En determinadas condiciones todas las asignaciones eficientes en el sentido de Pareto pueden lograrse mediante el mecanismo del equilibrio competitivo.”

• Redistribuir equitativamente o no el bienestar en la sociedad, se logra utilizando mercados competitivos y redistribuyendo la dotación inicial, de esa manera se alcanzaría una asignación eficiente en el sentido de Pareto.
• Las medidas que pretenden fijar precios por razones de equidad distributiva resultan siendo ineficientes, ya que esos precios no son los de equilibrio, la manera correcta de lograr equidad distributiva, es redistribuyendo las dotaciones iniciales de manera adecuada y dejar a los agentes alcanzar una asignación eficiente en el sentido de Pareto.
• Para redistribuir las dotaciones iniciales el estado puede grabar (cobrar impuestos) en función a las dotaciones iniciales y transferir ese dinero a otros y alcanzar la eficiencias
• Hay pérdida de eficiencia cuando los impuestos dependen de las decisiones que toman los individuos.

Bibliografía

Nicholson, W. (2008). Teoría microeconómica: Principios básicos y ampliaciones. Cengage Learning.

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1. La economía es el estudio de la asignación de recursos escasos entre usos alternativos↩︎

2. Algunos supuestos comunes en los modelos son; ceteris paribus “todo lo demás constante” y que los agentes que toman decisiones siempre buscan optimizar algo. (Nicholson, 2008)↩︎

3. Que el precio y la cantidad se mueven en dirección contraria cuando no cambian los demás factores↩︎

4. Es decir, no se estable una relación “clara” entre variable independiente y dependiente del tipo \(y=mx+b\)↩︎

5. Suponiendo que se cumplen las condiciones de segundo orden↩︎

6. Todas las funciones homogéneas son también homotéticas.↩︎

7. La utilidad se puede expresar en números, sin embargo, no tienen una unidad de medida y no es comparable entre individuos.↩︎

8. Recibe ese nombre porque muestra un conjunto de paquetes de consumo igual de satisfactorio o a los cuales el individuo es indiferente↩︎

9. Indica a cuanto del bien \(y\) esta dispuesto a renunciar el individuo por una unidad adicional de del bien \(x\) en un punto de la curva↩︎

10. Conocida también como senda de expansión de la renta↩︎

11. Despejando \(I\) de la función de demanda \(I=p_1x_1\)↩︎

12. También conocido como efecto ingreso↩︎

13. Tienen signo negativo, ya que un aumento en el precio reduce el poder adquisitivo.↩︎

14. Precio que está dispuesto a pagar el consumidor por cierta cantidad de un bien↩︎

15. Número que mediante sus variaciones indica aumentos o disminuciones de una magnitud no susceptible de medir (Edgeworth, 1925)↩︎