Un modelo Input-Output derivado de una función de producción agregada del tipo Coob Douglas
Francisco Parra
Introducción
Una tabla input-output no es un modelo económico en sí, es una representación analítica lo más completa posible de los flujos de bienes y servicios que se dan entre los actores en un sistema económico. Se habla de modelo de Leontief cuando se parte del hecho del sistema económico representado en la tabla es estacionario, es decir se reproduce de la misma manera año tras año, y ello implica que la fuerza de trabajo que emplea cada sector es fija, como también lo son los conocimientos técnicos o la tecnología que determina que para la producción de un bien determinado se necesiten ciertas cantidades de otros bienes. También requiere que las decisiones de consumo no varíen de año en año, los bienes sean adquiridos en los mismos mercados de origen, y que los empresarios se conformen con la misma tasa de beneficios.
El modelo de Leontief es pues una reelaboración analítica de una tabla input output (TIO), en concreto de una tabla input output simétrica que incluye las siguientes matrices independientes: la matriz de consumos intermedios interiores, la matriz de demanda final y la matriz de inputs primarios. La matriz de consumos intermedios contabiliza las relaciones de intercambio entre las distintas ramas productivas. La matriz de demanda final recoge la parte de la producción de bienes y servicios que se destina a los usuarios finales (demanda de consumo, demanda de inversión y demanda exterior de bienes producidos en la economía nacional). Y finalmente, la matriz de inputs primarios en donde se registran los pagos que realizan las empresas y las administraciones por utilizar los factores originarios de la producción (rentas del trabajo y excedentes empresariales). La matriz de inputs primarios, proporciona el Valor Añadido de cada rama que se obtiene deduciendo del valor de la producción el total de consumos intermedios. Cada elemento \(x_{ij}\) de la matriz de consumos intermedios recoge los consumos de productos de la rama i que hace la rama j. La producción que realiza una rama (\(X_j\)) se obtiene como suma de los elementos que figuran en cada columna: consumos intermedios de unidades residentes, importaciones y valor añadido (V). Por filas, aparecen los destinos de la producción interior (\(X_i\)). Estos destinos son la demanda intermedia (las compras que realizan otros sectores \(DI_i\)) y la demanda final (\(DF_i\)). A la relación entre los consumos intermedios y la producción final, se les denomina coeficientes técnicos:
\[a_{ij}=\frac {x_{ij}}{X_j}\] y constituyen la base del análisis input-output.
El modelo de Leontief parte del supuesto de que los coeficientes técnicos tienen una determinada estabilidad en el tiempo, lo que implica que los factores de producción utilizados serán empleados en proporciones fijas tecnológicamente predeterminadas, y sin que exista sustituibilidad entre ellos, representando un caso límite de la función de producción de elasticidad constante de sustitución. A esta función de producción del modelo de Leontief también se la denomina función de producción de proporciones fijas, cuya forma es:
\[q=min \Bigg [ \frac {z_1} a, \frac {z_2} b \Bigg ]\]
Donde \(q\) es la cantidad de producción, \(z_1\) y \(z_2\) son las cantidades utilizadas del input 1 e input 2 respectivamente, y \(a\) y \(b\) son constantes determinadas tecnológicamente.
En la función \(z_1\) y \(z_2\) son inputs que pueden tener el carácter de intermedios o primarios, ya que para lograr un bien se requiere el concurso tanto del trabajo y la maquinaria, como de los otros productos y servicios que incorpora materialmente dicho producto. Siendo las proporciones constantes en todos los bienes y servicios, la circularidad del proceso productivo dará como resultado final que:
\[q=min \Bigg [ \frac {L} {a^*}, \frac {K} {b^*} \Bigg ]\]
donde \(L\) es el factor trabajo y \(K\) es el factor capital.
Sin embargo, como se mostrará en las paginas siguientes, se puede elaborar un sistema input-output coherente con una función de producción de Coob-Douglas que admite una elasticidad de sustitución entre empleo y capital, y en consecuencia reflejar un sistema económico que bajo una óptica utilitarista remunera a los factores primarios con su productividad marginal. Para ello, estudiaremos las funciones de producción agregadas y su controversia, expondremos la estimación original que Coob-Douglas realizaron de la función de producción agregada para la economía americana en el periodo 1899-1922, construiremos una Tabla Input Output sobre la base de dicha función de producción y realizaremos algunas consideraciones para su dinamización temporal. Al tratarse de un ejercicio teórico consideraremos una economía de tan solo dos ramas o sectores productivos. Dicha tabla se analizará bajo la perspectiva de la Tabla Input Output en Tiempo de trabajo (TIOT) para disponer de un modelo de demanda de Leontief y otro modelo de precios de Leontief.
Función de producción agregada
La función de producción agregada se considera en economia como el punto de partida de cualquier teoría del crecimiento. Es la relación entre la producción agregada y los factores de producción. Relaciona varios niveles de producto con varias cantidades de insumos o factores productivos dado un cierto nivel tecnológico.
Durante los años cincuenta, sesenta y principios de los setenta, un grupo de economistas libró uno de los debates más importantes del siglo XX en la teoría económica, conocidos en la literatura como los debates de Cambridge-Cambridge, cuyo objetivo fue una discusión muy profunda sobre los fundamentos teóricos del concepto de función de producción agregada y las implicaciones de ésta, en particular como base de una teoría de la distribución del producto agregado; sin embargo, hacia finales de los años setenta, la controversia decayó y el tema se abandonó. (Felipe, J y McCombie, J.S.L.;2005).
Dado que Felipe, J y McCombie, J.S.L. (2005) exponen de una manera muy clara la cuestión, utilizo sus propias palabras:
Joan Robinson (1953-1954) hizo una pregunta que desató lo que se conoce hoy como los debates de Cambridge-Cambride sobre la teoría del capital: ¿en qué unidades se mide el capital? Robinson se refería al “capital” que los economistas neoclásicos utilizaban como argumento en funciones de producción agregadas del tipo Q=f(K, L), donde Q es el producto, L es el trabajo y K es el capital. En este modelo el producto físico (Q) es único y homogéneo. Partiendo de esta relación fundamental, la economía neoclásica llega a tres resultados fundamentales (Cohen y Harcourt, 2003, p. 201): i) la tasa de beneficio real del capital (la tasa de interés) esta determinada por las propiedades técnicas de la productividad marginal decreciente del capital; ii) una mayor cantidad de capital conlleva un menor producto marginal del capital adicional y, por tanto, una menor tasa de interés; iii) la distribución del producto entre trabajadores y capitalistas se explica por la abundancia relativa de los factores y por los productos marginales.
El motivo de la pregunta de Robinson fue el siguiente: los resultados del modelo neoclásico con un solo producto (resumidos en el párrafo anterior) dependen y necesitan de una noción del capital en términos físicos (y lo mismo para el trabajo) para que existan las relaciones causales unidireccionales señaladas (es decir, cambios en las cantidades físicas de los factores implican cambios inversos en los precios de los mismos). Pero, si la función de producción es una relación técnica entre las cantidades.físicas del producto y de los factores de producción, a nivel agregado el capital presenta un problema, pues los bienes de capital están constituidos por una serie de bienes heterogéneos que no se pueden expresar en términos de una sola unidad física homogénea.La única forma de expresarlos en una sola unidad a nivel agregado es en términos monetarios, lo que representa un problema si la cantidad monetaria se utiliza en la función de producción. El valor del capital puede ser medido bien en términos del costo de producción, el cual lleva tiempo, o en términos del valor actualizado del flujo del producto que genera. En cualquier caso, el tiempo juega un papel importante, y por tanto hay una tasa de interés que, como se ha indicado más arriba, está determinada causalmente por la cantidad de capital. En este punto el razonamiento degenera en un problema de circularidad. La conclusión es que los tres resultados fundamentales del modelo neoclásico señalados anteriormente no se cumplen más que en el caso muy especial del modelo de un solo producto.
Ante la controversia, Felipe, J y McCombie, J.S.L. (2005) se preguntan :
¿es legitimo, desde el punto de vista teórico, agregar productos (e insumos) del sector industrial, tales como el refinado de petróleo y la industria textil, y estimar una función de producción “agregada” que, de alguna forma, trata de representar los parámetros tecnológicos, tales como la elasticidad de sustitución, de este hipotético sector industrial agregado?“.
Si la respuesta a la pregunta es dudoso, como se concluyó durante los debates a los que aludimos más arriba, las siguientes preguntas lógicamente deben hacerse: i) ¿qué se estima estadísticamente cuando se utilizan datos agregados?; ii) ¿por qué la función de producción agregada continua siendo utilizada en análisis teóricos y empíricos?
Si se quiere profundizar en el tema recomiendo la lectura de su articulo: http://www.scielo.org.mx/pdf/ineco/v64n253/0185-1667-ineco-64-253-43.pdf
Son varias las versiones que se han elaborado de una teoría de la producción bajo la escuela de pensamiento marginalista, pero la que más se ha popularizado ha sido la simplificación que realiza Wicksell, que acabo denominada como función de producción de Cobb-Douglas.
La función producción de Cobb-Douglas parte de una relación entre Y, K y L de la forma:
\[Y=cL^{\alpha}K^{\beta}\] donde \(Y\) es el producto neto, \(L\) el trabajo, \(K\) el capital y \(c\), \(\alpha\) y \(\beta\) son constantes.
Esta relación no lineal puede transformarse en lineal tomando el logaritmo neperiano en cada lado de la ecuación:
\[log(Y)=c^*+\alpha log(L) +\beta log(K)\] donde \(c^*=log(c)\). De aquí, podemos comprobar que las productividades marginales del capital y del trabajo son proporcionales a las productividades medias \(\frac Y K\) e \(\frac Y L\):
\(\frac {\delta Y }{\delta L} = \alpha \frac Y L\) y \(\frac {\delta Y}{ \delta K} = \beta \frac Y K\).
de manera que vemos también que \(\alpha\) y \(\beta\) son las elasticidades de Y respecto de L y K.
\(\alpha= \frac {\delta Y}{\delta L} \frac L Y\) y \(\beta=\frac {\delta Y}{\delta K} \frac K Y\).
En general, se dice que una función de producción de la forma \(Y = F(K,L)\) presenta:
rendimientos constantes a escala si al multiplicar los factores por una constante \(c \neq 0\), el producto se multiplica también por la misma constante, \(F(cK,cL) = cF (k,L)\)
rendimientos crecientes a escala si, para \(c > 1\), \(F(cK,cL) > cF (k,L)\);
rendimientos decrecientes a escala si, para \(c > 1, F(cK,cL) < cF (k,L)\).
Para la función de producción Cobb-Douglas se cumple que \(F(cK,cL)=c^{\alpha + \beta}F(K,L)\), por lo que presentará:
rendimientos constantes a escala si \(\alpha+\beta = 1\);
rendimientos crecientes a escala si \(\alpha+\beta > 1\);
c)rendimientos decrecientes a escala si \(\alpha+\beta < 1\).
Bajo el supuesto de rendimientos constantes a escala, es como se obtiene la formulación que se conoce como función Coob-Douglas:
\[Y=cL^{\alpha}K^{1-\alpha}\]
A pesar de la controversia, los manuales de economía actuales, cuando abordan la teoría de la producción, aún se centran en el concepto de productividad. En Mankiv (2012), los factores que determinan la productividad son el capital físico, capital humano, recursos naturales y conocimiento tecnológico. Por capital físico se entiende el conjunto de equipos e infraestructuras necesarias para producir. El capital humano son los conocimientos y cualificaciones que adquiere los trabajadores por medio de la educación, la formación y la experiencia. Los factores de producción aportados por la naturaleza van a ser los recursos naturales, que van a ser de dos tipos: renovables y no renovables. Define como conocimientos tecnológicos la compresión de las mejores formas de producir bienes y servicios. En este contexto la función de producción PSI presentaría la siguiente expresión:
\[ Y=A F(L,K,H,N)\]
donde \(Y\), denota la cantidad producida,L,es la cantidad de trabajo,\(K\),la cantidad de capital físico,H,la cantidad de capital humano y \(N\),la cantidad de recursos naturales. \(F( )\) es una función que muestra la forma en la cual se combinan los insumos o factores para generar la producción, A, es la variable que refleja la tecnología de producción disponible. A medida que mejora la tecnología, A, aumenta, de manera que la economía genera más productos con cualquier combinación determinada de factores.
Si la función de producción tienen rendimientos constantes a escala, ocurre que dado un número positivo \(x\):
\[ xY=A F(xL,xK,xH,xN)\]
Si consideramos que \(x=\frac 1 L\), entonces:
\[ \frac Y L=A F(\frac K L, \frac H L, \frac N L)\]
\(\frac Y L\) es la producción por trabajador, que es una medida de la productividad. Según esta función la productividad del trabajo depende del capital físico por trabajador (\(\frac K L\)), del capital humano por trabajador (\(\frac H L\)), y de los recursos naturales por trabajador(\(\frac N L\)). La productividad también va a depender del estado de la tecnología que refleja la variable \(A\).
Otra formulación de la función de producción agregada, es la que se conoce como función de producción CES es un tipo de función de producción que muestra elasticidad de sustitución constante. La forma general de la función de producción CES es:
\[ Q=F \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{\frac {(s-1)}{s}}\right]^{\frac {s}{(s-1)}}\] donde
Q = Producción
F = Factor de la Productividad
\(a_{i}\)} = Ponderador i, \(\sum_{i=1}^{n}a_{i}=1\)
X = Factores de producción (i = 1,2…n)
s = elasticidad de sustitución.
Los factores de producción (capital y trabajo) en la función de producción CES fueron introducidos por Robert Solow, y su estimación empírica se encuentra en Kenneth Arrow, Hollis B. Chenery, Minhas y Solow (1961):
\[Q=F \left(a K^{r}+(1-a) L^{r}\right)^{\frac {1}{r}}\] donde
Q = Producción
F = Factor de la Productividad
a = parámetro de proporción
K, L = Factores de producción primarios
r = \(\frac {(s-1)}{s}\)
s = \(\frac {1}{(1-r)}\) = elasticidad de sustitución.
La función de producción de Leontief, la lineal y la Cobb-Douglas son casos especiales de la función de producción CES. Es decir, si \(r = 1\) tenemos una función lineal de 1, si \(r\) se aproxima a cero, en el límite que tienen la función de Cobb-Douglas, y conforme \(r\) tiende a infinito negativo se obtiene la función Leontief.
Uzawa H. (1962) mostró que las funciones de producción de n-factores, (\(n> 2\)) son sólo posibles con elasticidades parciales constantes de sustitución o bien requieren que todas las elasticidades entre pares de factores sean idénticas o difieran en su caso en la misma cantidad. Implica que el uso de la forma CES para más de 2 factores, generalmente, conduce a que no haya elasticidad de sustitución constante entre todos los factores ( https://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_de_sustituci%C3%B3n_constante).
Estimación empírica de las funciones de producción agregadas
Pese a la controversia señalada, las funciones de producción continúan siendo aplicadas en los trabajos teóricos y empíricos. Desde que Cobb y Douglas (1928) publicaran sus resultados empíricos, se ha argumentado que las funciones de producción tienden a dar “buenos resultados” (Felipe, J y McCombie, J.S.L;2005). Con ello se quiere decir que los coeficientes estimados se aproximan a las proporciones de los factores en el producto,sobre todo en el caso de la función Cobb-Douglas. La productividad marginal explica bien el salario, y el ajuste estadístico tiende a ser alto, especialmente cuando se utilizan datos de corte transversal. Estimaciones con series temporales tienden a producir resultados mucho peores.
Felipe, J y McCombie, J.S.L (2005) afirman que estos buenos resultados de las estimaciones de funciones de producción agregadas son consecuencia de la identidad contable del valor añadido, que por la vía de las rentas se obtiene sumando remuneración de asalariados, que se entiende como el producto del empleo (o horas trabajadas) por el salario, y los excedentes de explotación, que también puede entenderse como la tasa de beneficio que se aplica al stock de capital empleado. Y es a este propósito al que dedican el grueso de su disertación.
Argumentan que a nivel agregado, no se utilizan magnitudes físicas y lo que se utiliza para representar al producto y al capital total son medidas monetarias de valor expresadas en términos constantes, y este es un procedimiento cuyas implicaciones son tan profundas que impiden que la función de producción agregada pueda ser contrastada y, lo que es más importante, refutada empíricamente. Problema que fue expuesto por Simon H. A.. (1979, p. 497) en su discurso de aceptación del premio Nobel de economía cuando indicó que los buenos ajustes y la proximidad de las elasticidades estimadas a las proporciones de los factores producidos por la función Cobb-Douglas no pueden ser interpretados como evidencia empírica a favor de la teoría neo-clásica, ya que los mismos resultados se pueden obtener con datos generados, no por una función Cobb-Douglas, sino por la identidad contable que relaciona el valor agregado del producto con la suma de los salarios más los beneficios.
El articulo original de Coob-Douglasutiliza indices de valor unitario o constante del capital fijo para el periodo 1899-1922 relativas a la industria manufacturera (K), y el de las media anuales de empleo (L), obtiene una buena aproximación al indice de producción en volúmenes físicos de la industria manufacturera, mediante la expresión:
\[1.01L^{\frac 3 4}C^{\frac 1 4}\]
## P L C
## 1 100 100 100
## 2 101 105 107
## 3 112 110 114
## 4 122 117 122
## 5 124 122 131
## 6 122 121 138
## 7 143 125 149
## 8 152 134 163
## 9 151 140 176
## 10 126 123 185
## 11 155 143 198
## 12 159 147 208
## 13 153 148 216
## 14 177 155 226
## 15 184 156 236
## 16 169 152 244
## 17 189 156 266
## 18 225 183 298
## 19 227 198 335
## 20 223 201 366
## 21 218 196 387
## 22 231 194 407
## 23 179 146 417
## 24 240 161 431
En consecuencia:
La producción marginal del trabajo es \(\frac 3 4 \frac P L\)
La producción marginal del capital es \(\frac 1 4 \frac P C\)
La producción total del trabajo es \(\frac 3 4 P\)
La producción total del capital es \(\frac 1 4 P\)
La elasticidad del producto respecto a pequeños cambios del trabajo es \(\frac 3 4\)
La elasticidad del producto respecto a pequeños cambios del capital es \(\frac 3 4\)
Halling C. (2006) propone una estimación econométrica del modelo haciendo las siguientes transformaciones:
\(\ln (P)=\ln(b)+k\ln(L)+(1-k)\ln(c)\)
\(\ln (P)=\ln(b)+k\ln(L)+\ln(C)-k\ln(C)\)
\(\ln(P)-\ln(C)=\ln(b)+k[\ln(L)-\ln(C)]\)
Halling.lm <- lm(I(log(P) - log(C)) ~ I(log(L) - log(C)))
summary(Halling.lm)##
## Call:
## lm(formula = I(log(P) - log(C)) ~ I(log(L) - log(C)))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.087191 -0.036967 -0.008003 0.034166 0.140703
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.007044 0.020134 0.35 0.73
## I(log(L) - log(C)) 0.744606 0.042205 17.64 1.8e-14 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.05843 on 22 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.934, Adjusted R-squared: 0.931
## F-statistic: 311.3 on 1 and 22 DF, p-value: 1.801e-14# exponenciamos el coeficiente A
exp(coef(Halling.lm)[1])## (Intercept)
## 1.007069Otras estimaciones de las funciones de producción agregada a diferencia de la que realizaron Coob-Douglas utilizan en Valor Añadido en vez del Valor del producto, este es el caso de la función CES que estiman Arrow, K. J.; Chenery, H. B.; Minhas, B. S.; Solow, R. M. (1961).
La función Coob-Douglas en el marco del modelo Input-Output.
La función de Coob-Douglas puede integrarse en el análisis sectorial a través de una Tabla Input Output. A continuación vamos a desarrollar un ejemplo teórico, en el que se van a considerar, a efectos de simplificación, una economía de dos productos. Se supone que la producción agregada, en esta economía de tan solo dos productos o sectores, sigue una función como la descrita por Coob-Douglas en su formulación original, en donde las producciones marginales del trabajo y capital son las expuestas en el punto anterior (igualmente las totales y la elasticidad de sustitución del trabajo y capital). La producción de cada sector se valora en unidades monetarias, es decir producciones físicas por su valor, igual ocurre con el stock de capital. Al ser un ejercicio de datos de sección transversal, las valoraciones en índices de volumen, como la que se utiliza en la formulación original de Coob-Douglas, no son determinantes.
Se parte de una economía con dos sectores en los que se trabajan \(L_1=12\) y \(L_2=40\) unidades de horas respectivamente, la valoración actual del stock de capital que se emplea en cada sector en unidades monetarias es \(K_1=7500\) y \(K_2=1562.5\). La producción que se alcanza con una función de Coob-Douglas es:
L=matrix(c(12,40), nrow=1)
K=matrix(c(7500,1562.5), nrow=1)
Y=(L^(3/4))*(K^(1/4))
Y## [,1] [,2]
## [1,] 60 100Partimos de una tabla input-output en donde la matriz de coeficientes técnicos (\(A\)), calculados en valores, es:
A=matrix(c(0.166666667,0.666666667,0.2,0.1),nrow=2)
A## [,1] [,2]
## [1,] 0.1666667 0.2
## [2,] 0.6666667 0.1La matriz de la demanda intermedia será entonces:
DI=A%*%diag(c(Y))
DI## [,1] [,2]
## [1,] 10 20
## [2,] 40 10En este modelo la demanda final está determinado por la producción que se alcanza con la dotación de factores primarios y las demandas intermedias que incorpora la fabricación de cada bien y servicio:
DF=t(Y)-rowSums(DI)
DF## [,1]
## [1,] 30
## [2,] 50Si se remuneran los inputs según su productividad marginal, el valor de los inputs empleados en la producción será:
Pmg.L=(3/4)*Y/L
Pmg.L## [,1] [,2]
## [1,] 3.75 1.875Pmg.K=(1/4)*Y/K
Pmg.K## [,1] [,2]
## [1,] 0.002 0.016RA.I=Pmg.L*L
RA.I## [,1] [,2]
## [1,] 45 75EBE.I=Pmg.K*K
EBE.I## [,1] [,2]
## [1,] 15 25Se trata de remuneraciones integradas verticalmente, en el sentido que remuneran a todo el trabajo y stock de capital que incorpora la producción, bien sea a través del empleo directo de ambos factores o indirectamente a través de los usos intermedios.
Convertimos las matrices de \(DI\) y \(DF\) en horas trabajadas:
coef.L=L/Y
coef.L## [,1] [,2]
## [1,] 0.2 0.4DI.horas=DI*matrix(rep(coef.L,2),nrow=2)
DI.horas## [,1] [,2]
## [1,] 2 4
## [2,] 16 4DF.horas=DF*t(coef.L)
DF.horas## [,1]
## [1,] 6
## [2,] 20Se calcula el valor de estas horas en base a la productividad marginal del trabajo que se deduce de la función de la producción.
DI.trabajo=DI.horas*matrix(t(rep(Pmg.L,2)),nrow=2)
DI.trabajo## [,1] [,2]
## [1,] 7.5 15.0
## [2,] 30.0 7.5Dado el valor asignado a conjunto de horas empleadas en la producción en uno y otro sector, la remuneración de los asalariados asignada a cada sector se obtendrá por diferencias entre el valor del trabajo del sector y en el que se valoran los inputs que emplea:
RA=RA.I-colSums(DI.trabajo)
RA## [,1] [,2]
## [1,] 7.5 52.5De igual manera podemos proceder en relación al stock de capital empleado:
# coeficientes y matrices de capital
coef.K=K/Y
coef## function (object, ...)
## UseMethod("coef")
## <bytecode: 0x5603e3e1c4c0>
## <environment: namespace:stats>DI.K=DI*matrix(rep(coef.K,2),nrow=2)
DI.K## [,1] [,2]
## [1,] 1250 2500.00
## [2,] 625 156.25DF.K=DF*t(coef.K)
DF.K## [,1]
## [1,] 3750.00
## [2,] 781.25# valores de la matriz DI segun pmg
DI.capital=DI.K*matrix(t(rep(Pmg.K,2)),nrow=2)
DI.capital## [,1] [,2]
## [1,] 2.5 5.0
## [2,] 10.0 2.5# Calculo del EBE
EBE=EBE.I-colSums(DI.capital)
EBE## [,1] [,2]
## [1,] 2.5 17.5El valor añadido será la suma de las remuneraciones y excedentes de explotación calculados:
VA=RA+EBE
VA## [,1] [,2]
## [1,] 10 70En tanto que la valoración de la demanda intermedia será las suma de las matrices de la demanda intermedia valoradas según las dotaciones de trabajo y capital que emplean:
DI.valor=DI.trabajo+DI.capital
DI.valor## [,1] [,2]
## [1,] 10 20
## [2,] 40 10Se comprueba que se obtiene el mismo valor que el obtenido al calcular la demanda intermedia en base a la producción y los coeficientes técnicos.
En el sistema económico que resulta, se comprueba que la participación del trabajo en el valor añadido es \(3/4\):
sum(RA)/sum(VA)## [1] 0.75La Tabla Input Output coherente con la función de producción Coob-Douglas utilizada es la siguiente:
Cuadro nº 1 . Tabla input output del periodo 0 (unidades monetarias)
| \ | 1 | 2 | DF | U.M. | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 20 | 30 | 60 | |
| 2 | 40 | 10 | 50 | 100 | |
| RA | 7.5 | 52.5 | |||
| EBE | 2.5 | 17.5 | |||
| \(Y\) | 10 | 70 | |||
| TOTAL | 60 | 100 |
Esta tabla da lugar a un modelo de Tablas Input Output en tiempo de trabajo (TIOT) (Parra, F; 2010b):
\[A^h H + D^h = H\]
donde \(H\) son las horas trabajadas, \(D^h\) las horas empleadas en producir los bienes de demanda final, e \(A^h\) la matriz de coeficientes técnicos \(a^h_{ij}\) que se define como la relación entre la cantidad consumida de un input y el valor de producción de una rama, ambas valoradas en horas de trabajo:
\[\frac{x^h_{ij}}{H_j}\]
siendo, \(x^h_{ij}\) en consumo del bien i por el producto j valorado en horas de trabajo del bien i, y \(H_j\) las horas trabajadas en el sector j.
Esta TIOT se valora con el siguiente modelo de precios:
\[P_j=a^h_{1j}P_1+a^h_{2j}P_2+...+a^h_{nj}P_n+\frac {RA_j}{H_j}+\frac {EBE_j} {H_j}\]
En forma matricial, partiendo de la matriz identidad (\(I_{\pi}\)):
\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ . & . & ... & .\\ 0 & 0 & ... & 1 \end{bmatrix}\]
Se obtiene solución al modelo de precios sombra del trabajo:
\[P=(I-A^{h'})^{-1} \Bigg (\frac {RA}{H}+\frac {EBE}{H} \bigg) \] (1)
Hay que tener presente que las conversiones a las matrices de demanda intermedia (DI) y demanda final (DF) en horas de trabajo, se realizaron en el proceso de obtener las remuneraciones del trabajo en la obtención de la Tabla Input Output derivada de la función de Coob-Douglas.
# Modelo de precios TIOT
A.horas=DI.horas%*%diag(c(1/L),nrow=2)
A.horas## [,1] [,2]
## [1,] 0.1666667 0.1
## [2,] 1.3333333 0.1I=diag(rep(1,2),nrow=2)
B=I-t(A.horas)
B.inv=solve(B,diag(1,nrow=2))
B.inv## [,1] [,2]
## [1,] 1.4594595 2.162162
## [2,] 0.1621622 1.351351VA.horas=VA/L
VA.horas## [,1] [,2]
## [1,] 0.8333333 1.75P.horas=B.inv%*%t(VA.horas)
P.horas## [,1]
## [1,] 5.0
## [2,] 2.5El sistema pivota en las horas trabajadas, que se han distribuido entre usos y factores con los requerimientos técnicos que establece la función de producción, y aunque a las horas trabajadas y al capital se les da un valor a través de las productividades marginales de los factores y las relaciones entre capital y producto, el resultado es un precio sombra para la hora trabajada en cada sector, que acaba siendo: \(\frac {Y_1}{L_1}\) y \(\frac {Y_2}{L_2}\) .
La ecuación (1) puede reformularse:
\[P=(I-A^{h'})^{-1} \Bigg (Pmg_L+Pmg_K\frac {K}{L} \bigg) \]
Destacar, por último, que el sistema da una tasa de beneficio \(\pi = \frac {EBE}{K}\), que en este caso resulta diferente para cada sector:
EBE/K## [,1] [,2]
## [1,] 0.0003333333 0.0112Dinámica del modelo neo-clásico.
Los modelos neo-clásicos del crecimiento se inician Solow R. M. (1956) y Swan (1956). Solow R.M. (1956) acaba aceptando todos los supuestos del modelo de crecimiento de Harrod-Dormar, excepto el de las proporciones fijas. Su teoría se desenvuelve en el contexto de que “existe una sola mercancía que constituye su output total, y cuya tasa de producción se expresa por \(Y(t)\). Por lo tanto podemos hablar de forma inequívoca de renta real de la comunidad”(Solow, 1956). El stock de capital de la comunidad \(K(t)\) toma la forma de una acumulación del bien compuesto, en el sentido de que la mercancía que no se consume, es ahorrada y automáticamente pasa a formar parte del stock de capital.
- Existe una función de ahorro proporcional:
\[S=sY\] donde \(0<s<1\)
- La inversión es el incremento del stock de capital:
\[I=\dot K\] y puesto que la inversión es igual al ahorro resulta que:
\[\dot K=S\] \[\dot K=sY\] iii) La fuerza de trabajo crece a una tasa proporcional constante y exógena:
\[\frac {\dot L} L =n\] iiii) Las posibilidades técnicas de una economía se representan por una función de producción agregada continua y con rendimientos constantes a escala:
\[Y=F(K,L)\] El supuesto de rendimientos constantes equivale a reescribir la función:
\[y=f(k)\] (1)
donde \(y=\frac Y L\) y \(k = \frac K L\).
La función de producción satiface (Jones, 1975) las condiciones siguientes:
El producto marginal del capital \(f'(k)\) es positivo para todos los valores de la relación capital trabajo (\(k\))
El producto marginal del capital disminuye cuando el capital por trabajador aumenta (\(f''(k)<0\))
Partiendo de que el producto es consumido o invertido:
\[Y=C+I\] donde \(Y\) es la renta, \(C\) el consumo e \(I\) la inversión.
Resulta que:
\[\frac Y L (t)= \frac C L (t) + \frac I L (t)\]
que sustituyendo por (1) quedaría:
\[f(k(t))=\frac C L (t) + \frac I L (t)\] (2)
La tasa de crecimiento de la relación capital producto \(k\) ha de ser igual a la tasa de crecimiento del stock de capital menos la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo
\[\frac {\dot k} k = \frac {\dot K} K - \frac {\dot L} L = \frac {\dot K} K - n\] (3)
Operando con (3) se obtiene:
\(\dot k = \frac {\dot K} L - nk\) y \(\frac {\dot K} L = \dot k + nk\)
de manera que teniendo presente que \(\dot K=I\), partiendo de (2) y operando se acaba obteniendo la ecuación fundamental del crecimiento económico neoclásico:
\[f(k)=\frac C L + \dot k +nk\] \[\dot k=f(k) - \frac C L -nk\] (4)
dado que \(f(k)=y=\frac Y L\), una expresión equivalente a (4) es:
\[\dot k=\frac Y L - \frac C L -nk\]
siendo el ahorro la renta no consumida \(S=Y-C\) que hemos supuesto proporcional a la renta \(S=sY\) llegamos a la expresión de la ecuación fundamental del crecimiento económico del articulo de Solow (1956):
\(\dot k=\frac {sY} L - nK\) o \(\dot k=sf(k) - nk\)
Incorporamos estas ideas al modelo input-output anterior, para lo que necesitamos de definir la proporción de la renta disponible que se destina al ahorro. En una tabla input-output la renta disponible que va a los hogares, haciendo el supuesto de que todos los excedentes empresariales se distribuyen a los hogares es el valor añadido \(VA\):
VA=RA+EBE
sum(VA)## [1] 80Tomando la hipótesis de que \(s=0.40\), el ahorro en el modelo se cifra en:
s=0.40
S=s*sum(VA)
S## [1] 32El aumento del stock cápita es en consecuencia \(\dot K=32\) unidades monetarias, haría falta valorar el stock de capital a los precios actuales, una manera de hacerlo es obtener el valor actual a partir de la formula del interés compuesto, donde el rendimiento que se le espera \(A\) en el año \(t\) se descuenta al tipo de interés \(r\):
Valor actual de \(X=\frac A {(1+r)^t}\).
Suponemos que en nuestra economía solo hay un bien de capital al que se le esperan los mismos rendimientos, si el tipo de interés es \(0.01\), el valor actual del stock de capital del periodo inicial será:
t=1
r=0.01
K.1=K/((1+r)^t)
K.1## [,1] [,2]
## [1,] 7425.743 1547.03Ahora hay que incluir el stock de capital generado en el periodo. Dado que en el ejemplo que seguimos la tasa de beneficios del sector 2 es mayor que la tasa de beneficios del sector 1, cabe pensar que todo el stock de capital nuevo se destinará al sector 2, de manera que las nuevo stock de capital será:
K.1=K.1 + matrix(c(0,S),nrow=1)
K.1## [,1] [,2]
## [1,] 7425.743 1579.03El crecimiento de la fuerza de trabajo \(n\) vamos a cifrarlo en un 1 por mil, a fin de simplificar el ejercicio se va a suponer que el mercado de trabajo reparte las nuevas horas en base a la distribución de horas anterior:
n=0.001
L.1=L*(1+n)
L.1## [,1] [,2]
## [1,] 12.012 40.04La frontera técnica de la producción bajo estos supuestos:
Y.1=(L.1^(3/4))*(K.1^(1/4))
Y.1## [,1] [,2]
## [1,] 59.89581 100.3386Obtenemos la Tabla Input Output correspondiente al periodo 1
# Productividades
Pmg.L.1=(3/4)*Y.1/L.1
Pmg.L.1## [,1] [,2]
## [1,] 3.739749 1.87947Pmg.K.1=(1/4)*Y.1/K.1
Pmg.K.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.002016492 0.01588612RA.I.1=Pmg.L.1*L.1
RA.I.1## [,1] [,2]
## [1,] 44.92186 75.25397EBE.I.1=Pmg.K.1*K.1
EBE.I.1## [,1] [,2]
## [1,] 14.97395 25.08466# Calculo DI y DF
DI.1=A%*%diag(c(Y.1))
DI.1## [,1] [,2]
## [1,] 9.982636 20.06772
## [2,] 39.930542 10.03386DF.1=t(Y.1)-rowSums(DI.1)
DF.1## [,1]
## [1,] 29.84545
## [2,] 50.37422# Coeficientes de trabajo
coef.L.1=L.1/Y.1
coef.L.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.2005482 0.3990487DI.horas.1=DI.1*matrix(rep(coef.L.1,2),nrow=2)
DI.horas.1## [,1] [,2]
## [1,] 2.00200 4.024547
## [2,] 15.93423 4.004000DF.horas.1=DF.1*t(coef.L.1)
DF.horas.1## [,1]
## [1,] 5.985453
## [2,] 20.101768# DI en valor
DI.trabajo.1=DI.horas.1*matrix(t(rep(Pmg.L.1,2)),nrow=2)
DI.trabajo.1## [,1] [,2]
## [1,] 7.486977 15.050793
## [2,] 29.947907 7.525397# Calculo de RA
RA.1=RA.I.1-colSums(DI.trabajo.1)
RA.1## [,1] [,2]
## [1,] 7.486977 52.67778# Coeficientes de capital
coef.K.1=K.1/Y.1
coef.K.1## [,1] [,2]
## [1,] 123.9777 15.73701DI.K.1=DI.1*matrix(rep(coef.K.1,2),nrow=2)
DI.K.1## [,1] [,2]
## [1,] 1237.6238 2487.949
## [2,] 628.3873 157.903DF.K.1=DF.1*t(coef.K.1)
DF.K.1## [,1]
## [1,] 3700.1694
## [2,] 792.7395# valores de la matriz DI segun pmg
DI.capital.1=DI.K.1*matrix(t(rep(Pmg.K.1,2)),nrow=2)
DI.capital.1## [,1] [,2]
## [1,] 2.495659 5.016931
## [2,] 9.982636 2.508466# Calculo del EBE
EBE.1=EBE.I.1-colSums(DI.capital.1)
EBE.1## [,1] [,2]
## [1,] 2.495659 17.55926# Cacluco del VA
VA.1=RA.1+EBE.1
VA.1## [,1] [,2]
## [1,] 9.982635 70.23703# valor DI
DI.valor.1=DI.trabajo.1+DI.capital.1
DI.valor.1## [,1] [,2]
## [1,] 9.982636 20.06772
## [2,] 39.930542 10.03386Cuadro nº 2 . Tabla input output del periodo 1 (unidades monetarias)
| \ | 1 | 2 | DF | U.M. | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9.991436 | 20.08542 | 29.84545 | 59.89581 | |
| 2 | 39.965745 | 10.04271 | 50.37422 | 100.3386 | |
| RA | 7.493577 | 52.72422 | |||
| EBE | 2.497859 | 17.57474 | |||
| \(Y\) | 9.991436 | 70.29895 | |||
| TOTAL | 59.89581 | 100.3386 |
El precio sombra de la hora trabajada sería:
# Modelo de precios horas
A.horas.1=DI.horas.1%*%diag(c(1/L),nrow=2)
A.horas.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.1668333 0.1006137
## [2,] 1.3278527 0.1001000I=diag(rep(1,2),nrow=2)
B.1=I-t(A.horas.1)
B.1.inv=solve(B.1,diag(1,nrow=2))
B.1.inv## [,1] [,2]
## [1,] 1.4604817 2.155022
## [2,] 0.1632897 1.352178VA.horas.1=VA.1/L.1
VA.horas.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.8310552 1.754172P.horas.1=B.1.inv%*%t(VA.horas.1)
P.horas.1## [,1]
## [1,] 4.994020
## [2,] 2.507655Conclusiones
A la relación entre los consumos intermedios y la producción final, se les denomina coeficientes técnicos y constituyen la base del análisis input-output. El suponerse que estos coeficientes técnicos tienen una determinada estabilidad en el tiempo, a dado a identificar el modelo input-output con una tecnología de coeficientes fijos. Sin embargo, esta cuestion no es cierta, ya que se puede elaborar un sistema input-output coherente con una función de producción de Coob-Douglas.
Partiendo del articulo original de Coob-Douglas que utiliza indices de valor unitario o constante del capital fijo para el periodo 1899-1922 relativas a la industria manufacturera (K), y el de las media anuales de empleo (L), se realiza una aproximación al indice de producción en volúmenes físicos de la industria manufacturera, mediante la expresión:
\[1.01L^{\frac 3 4}C^{\frac 1 4}\]
Suponiendo una matriz de consumos interindistriales:
\[ A= \begin{pmatrix}0.1666667 & 0.2\\ 0.6666667 & 0.1 \end{pmatrix} \]
Y una dotacción de horas de trabajo y valor actual de capital de
\[ L= \begin{pmatrix} 12\\ 40 \end{pmatrix}, K=\begin{pmatrix} 7500\\ 1562.5 \end{pmatrix} \]
Se elabora la siguiente tabla input-output que figura en el cuadro nª1.
Utilizando los coeficientes técnicos valorados en horas trabajadas se obtiene solución al modelo de precios sombra del trabajo con la siguiente expresión matricial:
\[P=(I-A^{h'})^{-1} \Bigg (\frac {RA}{H}+\frac {EBE}{H} \bigg) \]
Este modelo se puede dinamizar en base a los supuestos que realiza la economía neoclásica:
- Existe una función de ahorro proporcional:
\[S=0.40Y\] La inversión es el incremento del stock de capital:
\[I=\dot K\]
La fuerza de trabajo crece a una tasa proporcional constante y exógena:
\[\frac {\dot L} L =0.001\] A las que se añade el supuesto que en nuestra economía solo hay un bien de capital al que se le esperan los mismos rendimientos, si el tipo de interés es \(0.01\).
Por otro lado, también se supone que las nuevas inversiones se dirigen al sector que presenta una mayor tasa de beneficio del capital.
De la dinámica presentada se deduce una Tabla Input Output que es la que figura en el cuadro nº 2, que además supone un cambio en los precios sobra de la hora trabajada. En el sector 1 se reduce de 5 um a 4.998423, en tanto que en el sector 2 aumentan de 2.5 a 2.509865.
Bibliografia
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Simon, H.A. (1979), “Rational Decision Making in Business Organizations”, American Economic Review, núm. 69, 1979, pp. 493-513.
Solow, R.M (1956). «A contribution to the theory of economic growth». The Quarterly Journal of Economics 70: 65-94.
Uzawa, H (1962). «Production functions with constant elasticities of substitution». Review of Economic Studies 9: 291-299.
Anexo: Modelo en Codigo R
# Frontera de producción
Y.1=(L.1^(3/4))*(K.1^(1/4))
Y.1## [,1] [,2]
## [1,] 59.89581 100.3386# Productividades
Pmg.L.1=(3/4)*Y.1/L.1
Pmg.L.1## [,1] [,2]
## [1,] 3.739749 1.87947Pmg.K.1=(1/4)*Y.1/K.1
Pmg.K.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.002016492 0.01588612RA.I.1=Pmg.L.1*L.1
RA.I.1## [,1] [,2]
## [1,] 44.92186 75.25397EBE.I.1=Pmg.K.1*K.1
EBE.I.1## [,1] [,2]
## [1,] 14.97395 25.08466# Calculo DI y DF
DI.1=A%*%diag(c(Y.1))
DI.1## [,1] [,2]
## [1,] 9.982636 20.06772
## [2,] 39.930542 10.03386DF.1=t(Y.1)-rowSums(DI.1)
DF.1## [,1]
## [1,] 29.84545
## [2,] 50.37422# Coeficientes de trabajo
coef.L.1=L.1/Y.1
coef.L.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.2005482 0.3990487DI.horas.1=DI.1*matrix(rep(coef.L.1,2),nrow=2)
DI.horas.1## [,1] [,2]
## [1,] 2.00200 4.024547
## [2,] 15.93423 4.004000DF.horas.1=DF.1*t(coef.L.1)
DF.horas.1## [,1]
## [1,] 5.985453
## [2,] 20.101768# DI en valor
DI.trabajo.1=DI.horas.1*matrix(t(rep(Pmg.L.1,2)),nrow=2)
DI.trabajo.1## [,1] [,2]
## [1,] 7.486977 15.050793
## [2,] 29.947907 7.525397# Calculo de RA
RA.1=RA.I.1-colSums(DI.trabajo.1)
RA.1## [,1] [,2]
## [1,] 7.486977 52.67778# Coeficientes de capital
coef.K.1=K.1/Y.1
coef.K.1## [,1] [,2]
## [1,] 123.9777 15.73701DI.K.1=DI.1*matrix(rep(coef.K.1,2),nrow=2)
DI.K.1## [,1] [,2]
## [1,] 1237.6238 2487.949
## [2,] 628.3873 157.903DF.K.1=DF.1*t(coef.K.1)
DF.K.1## [,1]
## [1,] 3700.1694
## [2,] 792.7395# valores de la matriz DI segun pmg
DI.capital.1=DI.K.1*matrix(t(rep(Pmg.K.1,2)),nrow=2)
DI.capital.1## [,1] [,2]
## [1,] 2.495659 5.016931
## [2,] 9.982636 2.508466# Calculo del EBE
EBE.1=EBE.I.1-colSums(DI.capital.1)
EBE.1## [,1] [,2]
## [1,] 2.495659 17.55926# Cacluco del VA
VA.1=RA.1+EBE.1
VA.1## [,1] [,2]
## [1,] 9.982635 70.23703# valor DI
DI.valor.1=DI.trabajo.1+DI.capital.1
DI.valor.1## [,1] [,2]
## [1,] 9.982636 20.06772
## [2,] 39.930542 10.03386# Modelo de precios horas
A.horas.1=DI.horas.1%*%diag(c(1/L),nrow=2)
A.horas.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.1668333 0.1006137
## [2,] 1.3278527 0.1001000I=diag(rep(1,2),nrow=2)
B.1=I-t(A.horas.1)
B.1.inv=solve(B.1,diag(1,nrow=2))
B.1.inv## [,1] [,2]
## [1,] 1.4604817 2.155022
## [2,] 0.1632897 1.352178VA.horas.1=VA.1/L.1
VA.horas.1## [,1] [,2]
## [1,] 0.8310552 1.754172P.horas.1=B.1.inv%*%t(VA.horas.1)
P.horas.1## [,1]
## [1,] 4.994020
## [2,] 2.507655