Metode Bagi Dua

Metode Bagidua merupakan Metode yang dirancang dalam menentukan akar-akar persamaan f(x) = 0 pada interval [a,b]. Dimana Metode ini membagi selang sampai sekecil mungkin sehingga menuju akar yang sebenarnya. Jadi dapat dikatakan bahwa metode ini merupakan suatu algoritma pencarian akar pada sebuah interval dimana dalam interval ini membagi menjadi 2 bagian, lalu memilih dari dua bagian ini bagian mana yang mengandung akar persamaan dan bagian mana yang tidak mengandung akar nantinya akan dibuang. Dimana hal ini dilakukan secara berulang hingga kita memperoleh akar persamaan atau yang mendekati akar persamaan.

Algoritma Metode Bagi Dua

Langkah-Langkah Dalam Menyelesaikan Metode BagiDua mencari akar persamaan \(f(x) = 0\)

• Memilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi pada selang interval dengan memeriksa apakah benar bahwa \(f(a)f(b)\ <\ 0\)

• Menaksir akar c diantara akar f(x)=0 dengan membagi dua diantara a dan b,

  \(c=\frac{a+b}{2}\)

• Menentukan daerah yang berisi akar fungsi,

  • Jika \(f(a)f(c)\ <\ 0\), maka akarnya berada diantara a dan c sehingga \(a=a\) dan \(b=c\).
    
  • Jika \(f(a)f(c)>0\), maka akarnya berada diantara c dan b sehingga \(a=a\) dan \(b=b\). .
  • Jika \(f(a)f(c)=0\), maka akarnya adalah c Jika Algoritma Komputasi akarnya sudah benar, maka dapat menghentikan langkahnya.

• Mencari taksiran baru dari akar persamaan \(c=\frac{a+b}{2}\), dimana dengan menggunakan Aproksimasi galat relatif : \(\left|\in_a\right|\mathrm{\ =\ }\left|\frac{c\ baru\mathrm{\ -\ }c\ lama}{c\ baru}\right|\mathrm{\ x\ 100}\) dimana, c baru = taksiran akar dari iterasi sekarang c lama = taksiran akar dari ietrasi sebelumnya

• Membandingkan approksimasi galat relatif mutlak dengan galat relatif singnifikansi . Jika , kembali ke langkah 3, selanjutnya hentikan algoritma jika terjadi sebaliknya.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

SOAL : Mencari akar dari \({x}^{3}+{{4}{x}}^{2}-\ {10}\ =\ {0}\) pada interval [1,2]

PENYELESAIANNYA :

func <- function(x) {
  x^3 + 4 * x^2 -10
}

bisection <- function(f, a, b, n = 1000, tol = 0.05) {
  # Jika tanda-tanda fungsi pada titik yang dievaluasi, a dan b, hentikan fungsi dan kembalikan pesan.
  if (!(f(a) < 0) && (f(b) > 0)) {
    stop('signs of f(a) and f(b) differ')
  } else if ((f(a) > 0) && (f(b) < 0)) {
    stop('signs of f(a) and f(b) differ')
  }
  
  for (i in 1:n) {
    c <- (a + b) / 2 # Menghitung Titik Tengah
    
    # Jika fungsi sama dengan 0 di titik tengah atau titik tengah di bawah toleransi yang diinginkan, 
    # fungsi dan kembalikan root.hentikan
    if ((f(c) == 0) || ((b - a) / 2) < tol) {
      return(c)
    }
    
    # Jika iterasi lain diperlukan,
    # periksa tanda-tanda fungsi pada titik c dan a dan tetapkan
    # a atau b sesuai sebagai titik tengah yang akan digunakan pada iterasi berikutnya
    ifelse(sign(f(c)) == sign(f(a)), 
           a <- c,
           b <- c)
  }
  # Jika jumlah maksimum iterasi tercapai dan tidak ada root yang ditemukan,
  # kembalikan pesan dan akhiri fungsi.
  print('Terlalu Banyak Iterasi')
}

bisection(func,1,2)

## [1] 1.34375

Metode Regula Falsi

Metode ini dikembangkan untuk menyempurnakan metode bagidua, dengan memperhitungkan besaran f(a) dan f(b), metode ini dikenal juga sebagai metode interpolasi linier. Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Gradien garis AB = Gradien garis BC

\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\ \frac{f(b)-0}{b-c}\)

Disederhanakan menjadi,

\(\mathrm{c\ }=b-\frac{f\left(b\right)\left(b-a\right)}{f\left(b\right)-f\left(a\right)}\)

Sehingga titik pendekatan c adalah nilai rata-rata range berdasarkan f(c)

Algoritma Metode Regula Falsi

• Menentukan Interval titik awal a dan b sehingga \(f(a)f(b)\ <\ 0\)
• Menghitung \(\mathrm{c\ }=b-\frac{f\left(b\right)\left(b-a\right)}{f\left(b\right)-f\left(a\right)}\)
• Lalu Memeriksa :
  • Jika \(f(a)f(c)\ <\ 0\), maka akarnya berada diantara a dan c sehingga \(a=a\) dan \(b=c\).
    
  • Jika \(f(a)f(c)>0\), maka akarnya berada diantara c dan b sehingga \(a=a\) dan \(b=b\). .
  • Jika \(f(a)f(c)=0\), maka akarnya adalah c
• Lalu mengulangi langkah-langkah tersebut sampai ketemu akar yang paling mendekati akar yang sebenarnya atau mempunyai error yang lebih kecil.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

SOAL : Menentukan akar dari \({x}^{3}-{7x+{1}\ =\{0}\) dengan menggunakan METODE REGULA FALSI, dengan a=2.5 dan b=2.6

PENYELESAIANNYA :

func1 <- function(x) { x^3 - 7 * x +1}

root_rf <- function(f, a, b, tol=0.05, N=100){
  iter <- 1
  fa <- f(a)
  fb <- f(b)
  x <- ((fb*a)-(fa*b))/(fb-fa)
  fx <- f(x)
  
  while(abs(fx)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N){
      warning("iterations maximum exceeded")
      break
    }
    if(fa*fx>0){
      a <- x
      fa <- fx
    } else{
      b <- x
      fb <- fx
    }
    x <- (fb*a-fa*b)/(fb-fa)
    fx <- f(x)
  }
  
  # iterasi nilai x sebagai return value
  root <- x
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

root_rf(func1,2.5,2.6)

## $`function`
## function(x) { x^3 - 7 * x +1}
## <bytecode: 0x0000000012de0b30>
## 
## $root
## [1] 2.569944
## 
## $iter
## [1] 1

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson ini merupakan metode seperti metode bagi dua dimana kesalahan posisi adalah dalam mencari akar persamaan non linier linier dari persamaan f(x) = 0 dimana membutuhkan selang akar yang dibatasi pada dua nilai awal. Metode ini juga konvergen pada interval diantara dua nilai awal, sampai mendekati titik nol dari akar – akar fungsi. Pada metode Newton-Raphson, akar tidak selalu di antara selang.

Algoritma Metode Newton-Raphson

• Mencari turunan pertama dari fungsi \(f(x)\)

• Menggunakan Nilai awal akar, xi, lalu menaksir nilai akar dari xi+1, yaitu: \(x_{i+1}\ =\ x_i\ -\ \frac{f(x_i)}{f\prime(x_i)}\)

• Mencari approksimasi nilai galat relative mutlak

  \(\left|\in_a\right|\ =\ \left|\frac{x_{i+1}-\ x_i}{x_{i+1}}\right|100\)

• Membandingkan \(\left|\in_a\right|\) dengan galat relatif toleransi,\(\in_s\) . Jika \(\left|\in_a\right|\) > \(\in_s\) , maka kembali ke langkah 2, selanjutnya Menghentikan algoritma jika memenuhi. Selanjutnya, Memeriksa jika bilangan dari iterasi melebihi nilai maksimum sebelumnya.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

SOAL : Menentukan salah satu akar dari persamaan \(x^3 - 2 x^2 +3x -6\) dengan menggunakan metode Newton Raphson dimana memiih nilai x0=3

func2 <- function(x) { x^3 - 2*x^2 +3*x -6}
func_t2 <- function(x) { 3*x^2 - 4*x+3}

root_newton <- function(f, fp, x0, tol=0.05, N=100){
  iter <- 0
  xold<-x0
  xnew <- xold + 10*tol
  
  while(abs(xnew-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N){
      stop("No solutions found")
    }
    xold<-xnew
    xnew <- xold - f(xold)/fp(xold)  
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}
root_newton(func2,func_t2,x0=3)

## $`function`
## function(x) { x^3 - 2*x^2 +3*x -6}
## <bytecode: 0x0000000014cf0668>
## 
## $root
## [1] 2.000078
## 
## $iter
## [1] 4

Metode Secant

Metode Secant merupakan penyelesaian persamaan nonlinier f(x)=0 menggunakan Metode Newtom-Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Maka dapat diketahui bahwa Metode Secant dalam memperoleh akar persamaan memerlukan 2 buah titik pendekatan dimana dirumuskan sebagai berikut:

\(x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)(x_i-x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})}\)

Dengan titik pendekatan kedua merupakan titik pendekatan pertama ditambah sepuluh kali nilai toleransi

\[x_i=\ x_0+10\ast tol\]

Algoritma Metode Secant

• Mendefinisikan \(f(x)\) dan \(f\prime(x)\)
• Menentukan nilai Toleransi e dan iterasi Maksimum (N)
• Menentukan tebakan awal x_i dan x_0
• Menghitung \(f\left(x_0\right)danf\left(x_i\right)\)
• Pada Iterasi i=1 sampai dengan N atau |f(x)|e, menghitung nilai x menggunakan persamaan

\(x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)(x_i-x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})}\)

• Maka akar persamaannya adalah nilai x yang terakhir.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

func3 <- function(x) { x^3 + x^2 -3*x -3}

root_secant <- function(f, x, tol=0.05, N=100){
  iter <- 0
  
  xold <- x
  fxold <- f(x)
  x <- xold+10*tol
  
  while(abs(x-xold)>tol){
    iter <- iter+1
    if(iter>N)
      stop("No solutions found")
    
    fx <- f(x)
    xnew <- x - fx*((x-xold)/(fx-fxold))
    xold <- x
    fxold <- fx
    x <- xnew
  }
  
  root<-xnew
  return(list(`function`=f, root=root, iter=iter))
}

root_secant(func3,1)

## $`function`
## function(x) { x^3 + x^2 -3*x -3}
## <bytecode: 0x000000001bfbea98>
## 
## $root
## [1] 1.728031
## 
## $iter
## [1] 3

Interpolasi Linier

Interpolasi Linier merupakan suatu cara mendapatkan nilai diantara dua data dimana didasarkan pada persamaan linear. Sehingga dapat dikatakan bahwa, Interpolasi Linier merupakan suatu metode dalam menentukan suatu nilai fungsi persamaan linier. Bentuk interpolasi yang paling mudah adalah menghubungkan dua buah titik data dengan sebuah garis lurus. Dimana dirumuskan dalam rumus berikut :

\[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\]

Dimana F(x) merupakan bahwa rumus ini merupakan sebuah polynomial interpolasi orde pertama sehingga ditulis :

\[f(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)\]

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

SOAL:

Menentukan Perkiraan Jumlah Penduduk pada Negara A pada tahun 1968 berdasarkan data berikut

PENYELESAIANNYA:

\[f(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)\] \[x=1968\\ x_1=1970\\ x_0=1960\\ f(x_1)=203.2\\ f(x_0)=179.3\\\]

$$ \[\begin{align} f(x)&=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)\\ f(1968)&=179,3+\frac{203,2-197,3}{1970-1960}(1968-1960)\\ f(1968)&=179,3+\frac{203,2-197,3}{10}(8)\\ f(1968)&=179,3+\frac{23,9}{10}(8)\\ f(1968)&=179,3+(2,39)(8)\\ f(1968)&=179,3+(19,12)\\ f(1968)&=198,42\\ \end{align}\]

$$ Dengan Galat :

\[ \begin{align} et&= \frac{23,9}{203,2}(100%) &= 11,7% \end{align} \]

Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Kudratik sering disebut juga Interpolasi Orde 2 dimana memerlukan 3 titik data dimana titik data tersebut adalah \({(x}_1,y_1),\ {(x}_2,y_2),\ {(x}_3,y_3)\) Dengan Benuk fungsinya : \(f(x)={ax}^{2\ }+bx+c\) Dimana dengan ketiga titik data tersebut, kita dapat memasukan nilai-nilainya sebagai berikut :

\[y_1={ax_1}^{2\ }+bx_1+c\\ y_2={ax_2}^{2\ }+bx_2+c\\ y_3={ax_3}^{2\ }+bx_3+c\\ \]

Lalu kita dapat menghitung nilai a,b,c dari rumus persamaan tersebut dengan metode Eliminasi Gauss Jordan

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

SOAL :

Diketahui titik ln(8.0)=2.0794, ln(9.0)=2.1972, dan ln(9.5)=2.2513. Menentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik

PENYELESAIAN

Sistem Persamaan Linier yang terbentuk adalah :

\[ 2.0794={a_0}+8.0a_1+64.00a_2\\ 2.1972={a_0}+9.0a_1+81.00a_2\\ 2.2513={a_0}+9.5a_1+90.25a_2\ \] Lalu Menggunakan dengan metode Eliminasi Gauss Jordan dengan perhitungan pada gambar

maka akan menghasilkan :

\[ \begin{align} a_0&=0.6762\\ a_1&=0.2266\\ a_2&=-0.0064\\ \end{align} \]

Maka Polinom Kuadratnya adalah :

\[ \begin{align} p_2(x)&= 0.6762+0.2266x-0.0064x^2\\ p_2(9.2) &= 0.6762+0.2266(9.2)-0.0064(9.2)^2\\ p_2(9.2) &= 0.6762+0.2266(9.2)-0.0064(84,64)\\ p_2(9.2) &= 0.6762+2.08472-0.541696\\ p_2(9.2) &= 2.219224\\ \end{align} \] Hasilnya sama dengan nilai sejatinya, maka itu berarti nilai galatnya adalah 0

Interpolasi Polinom Newton

Interpolasi Polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan polinom derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan polino derajat yang lebih tinggidalam program yang sama. Karena lasan itu, polinom Newton sering digunakan pada kasusdengan derajat polinom tidak diketahui. Dimana dalam Polinom Kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk

\(p_2(x)\ =\ p_1(x)+a_2(x-x_0)(x-x_1)\)

Lalu p_2(x) dapat dibentuk dari polinom sebelumnya, yaitu p_1(x). Sehingga Tahapan Pembentukan Polinom Newton adalah sebagai berikut:

\[ \begin{align} p_1(x)\ &=\ p_0(x)+a_1(x-x_0)\\ \ \ &=\ a_0+a_1(x-x_0)\\ p_2(x)\ &=\ p_1(x)+a_2(x-x_0)(x-x_1)\\ \ \ \ &=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\\ p_3(x)\ &=\ p_2(x)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\\ \ \ &=\ a_0+a_1(x-x_0)+a_2\left(x-x_0\right)(x-x_1)+\ a_3\left(x-x_0\right)(x-x_1)(x-x_2)\\ \end{align} \]

Sehingga akan menghasilkan :

\[ \begin{align} p_n(x)\ &=\ p_{n-1}(x)+a_n(x-x_0)(x-x_1)......(x-x_{n-1})\\ \ \ &=\ a_0+a_1(x-x_0)+\ a_2\left(x-x_0\right)(x-x_1)+\ a_3\left(x-x_0\right)(x-x_1)(x-x_2)+......+a_n\left(x-x_0\right)(x-x_1)(x-x_{n-1})\\ \end{align} \] Dimana nilai Konstanta a_0,a_1,a_2,…., a_n merupakan nilai selisih terbagi dengan masing-masing :

\[ \begin{align} a_0&=f\left(x_0\right)\\ a_1&=f\left({x_1,x}_0\right)\\ a_2&=f\left({x_2,x}_1,x_0\right)\\ a_n&=f\left(x_n,x_{n-1},...,{x_1,x}_0\ \right)\\ \end{align} \] Sehingga menghasilkan

\[ \begin{align} f\left({x_i,x}_j\right)&= \frac{f\left(x_i\right)-f\left(x_j\right)}{x_i-x_j}\\ f\left({x_i,x}_j,x_k\right)&= \frac{f\left({x_i,x}_j\right)-f\left({x_j,x}_k\right)}{x_i-x_k}\\ f\left(x_n,x_{n-1},...,{x_1,x}_0\ \right)&=\ \frac{f\left(x_n,x_{n-1},...,x_1\ \right)-f\left(x_{n-1},x_{n-2},...,x_0\right)}{x_n-x_0} \end{align} \]

Dikarenakan tetapan a_0,a_1,a_2,…., a_n merupakan nilai selisih terbagi, maka Polinom Newton disebut juga Polinom Interpolasi Selisih-Terbagi Newton.

Contoh Soal dan Penyelesaiaannya

SOAL

Menginterpretasikan Fungsi \(f(x)=cos x\) dari titik titik \(x_0=0.2\), \(x_1=0.3\), dan \(x_2=0.4\) dengan menggunakan Interpolasi Newton

PENYELESAIANNYA:

$$ \[\begin{align} a_0 = f(x_0)=f(0.2)&=cos(0.2)=0.98\\ a_1 =f(x_0,x_1)&=\frac{cos(0.3)-cos(0.2)}{0.3-0.2}\\ &=\frac{0.9553-0.98}{0.1}\\ &=\frac{-0.0247}{0.1}\\ &=-0.247\\ f(x_1,x_2)&=\frac{cos(0.4)-cos(0.3)}{0.4-0.3}\\ &=\frac{0.9211-0.9553}{0.1}\\ &=\frac{-0.0342}{0.1}\\ &=-0.342\\ a_2 =f(x_0,x_1,x_3)&=\frac{f(x_1,x_2)-f(x_0,x_1)}{x_2-x_0}\\ &=\frac{-0.342-(-0.247)}{0.4-0.2}\\ &=\frac{-0.095}{0.2}\\ &=-0.475\\ \\ Maka p_2(x):\\ p_2(x) &= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)\\ &= 0.98-0.247(x-0.2)-0.475(x-0.2)(x-0.3)\\ &= 0.98-0.247x+0.0494-0.475(x^2-0.5x+0.06)\\ &= 0.98-0.247x+0.0494-0.475x^2+0.2375x-0.0285\\ &=-0.475x^2-0.0095x+1.0009\\ \\ \\ Galatnya \space sebesar : E_3(x)=23,57% \end{align}\] $$

Interpolasi Polinom Lagrange

Interpolasi Polinom Lagrange hamper sama dengan Polinomial Newton, namun tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi Polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Interpolasi ini diterapkan dalam mendapatkan fungsi polynomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Bentuk Umum Interpolasi Polinomial Lagrange order n adalah :

\(f_n\left(x\right)=\sum_{i=0}^{n}{L_i\left(x\right)f\left(x_i\right)},dengan\ \ \ \ L_i\left(x\right)=\prod_{\begin{matrix}j=0\\j\neq i\\\end{matrix}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)

Dimana n = pangkat polinomial ke-n yang didekati dengan fungsi y = f(x) untuk setiap (n+1) titik data (x0,y0), (x1,y1),…,(xn-1,yn-1),(xn,yn) dan Li(x) = fungsi bobot (weighting function) untuk hasil ke (n-1) dimana untuk hasil j = i diabaikan

Sehingga bentuk interpolasi Polinomial Lagrange order 1 adalah

\(f_1\left(x\right)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}f\left(x_0\right)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}f\left(x_1\right)\)

Lalu untuk bentuk interpolasi Polinomial Lagrange order 2 adalah

\(f_2\left(x\right)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\frac{x-x_2}{x_0-x_2}f\left(x_0\right)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\frac{x-x_2}{x_1-x_2}f\left(x_1\right)+\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f\left(x_2\right)\)

Selanjutnya untuk bentuk interpolasi Polinomial Lagrange order 3 adalah

\[ \begin{align} f_3\left(x\right)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\frac{x-x_2}{x_0-x_2}\frac{x-x_3}{x_0-x_3}f\left(x_0\right)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\frac{x-x_3}{x_1-x_3}f\left(x_1\right)+\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\frac{x-x_3}{x_2-x_3}f\left(x_2\right)+\frac{x-x_0}{x_3-x_0}\frac{x-x_1}{x_3-x_1}\frac{x-x_2}{x_3-x_2}f\left(x_3\right) \end{align} \] Contoh Soal dan Penyelesaiannya

SOAL :

Dari data pada tabel, mencari nilai dari 9.2 menggunakan metode lagrange dimana mencari nilai orde 1,orde2,dan orde 3

Penyelesaiann:

https://colab.research.google.com/drive/12i9Im18ycSJpOHeZgVEFdCoEyeionzZy?usp=sharing

Interpolasi Polinom Gregory Maju

Polinom Newton Gregory merupakan kasus khusus dalam polynomial Newton dimana untuk titik titik yang berjarak sama. Untuk titik-titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhana, selain itu tabel selisih menjadi lebih mudah dibentuk. Polinom Newton Gregory memiliki 2 macam yaitu, Polinom Newton-Gregory Maju, dan Polinom Newton-Gregory Mundur. Disini kita akan membahas tentang Interpolasi Polinom Gregory Maju Rumus polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju. Tabel Selisih Maju adalah sebagai berikut :

Dimana lambang ∆ menyatakan selisih maju. Sehingga bentuk umumnya adalah

\(∆^{n+1}f_p=∆^nf_{p+1}-∆^nf_p\)

Sehingga perumusan Polinom Newton Gregory Maju didasarkan pada table, maka akan didapat

\(f\left(x_n,...,{x_1,x}_0\ \right)=\frac{∆^nf(x_0)}{n!h^n}=\frac{∆^nf_0}{n!h^n}\)

Dimana titik yang berjarak sama dinyatakan sebagai \(x_i=x_0+ih , i\ =\ 0,1,2,....,n\) , dan nilai x yang diinterpolasikan adalah \(x=x_0+sh\ ,\ \ \ s\in\ R\)

Maka Pembentukan rumus Polinom Newton-Gregory Maju ntuk titik yang berjarak sama dapat ditulis sebagai berikut :

$$ \[\begin{align} p_0(x)\ &=f_0\\ p_1\left(x\right)&=p_0(x)+\frac{s}{1!}∆f_0 \\ &=f_0+\frac{s}{1!}\ ∆f_0\\ p_2\left(x\right)&=p_1(x)+\frac{s(s-1)}{2!}\ ∆^2f_0\\ \ &=f_0+\frac{s}{1!}\ ∆f_0 +s(s-1)2! ∆^2f_0 \\ p_3\left(x\right)&=p_2(x)+\frac{s(s-1)(s-2)}{3!}\ ∆3f0 \\ \ &=f_0+\frac{s}{1!}\ ∆f_0 +\frac{s(s-1)}{2!} ∆^2f_0 +\frac{s(s-1)(s-2)}{3!} ∆^3f_0 \\ p_n(x)\ &=f_0+\frac{s}{1!}\ ∆f_0 +\frac{s(s-1)}{2!} ∆^2f_0 +\frac{s(s-1)(s-2)}{3!} ∆^3f_0 +.....+\frac{s(s-1)(s-2)....(s-n+1)}{n!} ∆^nf_0 \\ \end{align}\] $$

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

SOAL : Membuat Tabel Selisih untuk fungsi \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) didalam selang [0.000,0.625] dan h=0.125. Menghitung f(0.300) dengan Newton Gregory Maju derajat 3

PENYELESAIANNYA:

\[ \begin{align} x &= x_0 + sh\\ s &= \frac{x-x_0}{h}\\ &= \frac{0.300-0.125}{0.125}\\ &=1.4 \end{align} \]

Nilai f(0.300) dihitung dengan polinom Newton-Gregory Maju derajat tiga , dimana tabelnya

lalu perhitungannya adalah

\[ \begin{align} p_3\left(x\right)&=f_0+\frac{s}{1!}\ ∆f_0 +\frac{s(s-1)}{2!} ∆^2f_0 +\frac{s(s-1)(s-2)}{3!} ∆^3f_0 \\ &= 0.889+(1.4)(-0.089)+\frac{(1.4)(0.4)}{2}(0.016)+\frac{(1.4)(0.4)(-0.6)}{6}(-0.004)\\ &= 0.889-0.1246+0.00448+0.000224\\ &=0.769104\\ \end{align} \]

Sebagai Perbandingannya dapat menghitung nilai sejatinya f(0.300) adalah

\[ \begin{align} f(0.300) &=\frac{1}{0.300+1}\\ &=\frac{1}{1.300}\\ &=0.769 \end{align} \]