---

title: “CobbDouglas&ComparativePolynomial” author: “WMCarvajalHerradora” date: “17/2/2022” output: html_document toc: yes toc_dep: 2 —

Se compara dos modelos de ajuste sobre índices económicos observados: la función de producción propuesta en 1928, por Charles Cobb y Paul Douglas, y, un polinomio bivariante completo de grado dos. Se realiza la bondad de ajuste de cada modelo y luego, sujeto a restricciones en igualdad, se determina óptimos correspondientes por multiplicadores de Lagrange.

Anio = seq(1899, 1922, by = 1); # Índices de producción de la Economía de Estados Unidos (año base 1899).
P = c (100, 101, 112, 122, 124, 122, 143, 152, 151, 126, 155, 159, 153, 177, 184, 169, 189, 225, 227, 223, 218, 231, 179, 240); 
L = c (100, 105, 110, 117, 122, 121, 125, 134, 140, 123, 143, 147, 148, 155, 156, 152, 156, 183, 198, 201, 196, 194, 146, 161);
K = c (100, 107, 114, 122, 131, 138, 149, 163, 176, 185, 198, 208, 216, 226, 236, 244, 266, 298, 335, 366, 387, 407, 417, 431)

Función de producción Cobb y Douglas (CD): Charles Cobb y Paul Douglas (1928) proponen la función P(L, K) = AL^αK^β, bajo la condición α+β = 1, donde P es la producción total (el valor monetario de todos los bienes producidos en un año o período), L es el trabajo (el número total de horas-persona trabajadas en un año o período; α es nivel de elasticidad de este factor productivo), y K es capital invertido (valor monetario de maquinaria, equipo e infraestructura; β es nivel de elasticidad de este factor productivo). Para ajustar su modelo, Cobb y Douglas utilizaron datos económicos de EEUU de los años 1899 a 1922, calculando los índices de producción por año para cada variable (datos L, K y P, cargados de previo).

par(bg="AliceBlue"); plot(rep(Anio, 3), c(P, L, K), type="n", xlab="Año (año base 1899)", ylab="Dinero deflactado");
lines(Anio, P, col=1, type="b", lwd=2) ; text(1910, 220, "K");  lines(Anio, L, col=3, type="b",
lwd=2); text(1922, 250, "P"); lines(Anio, K, col=4, type="b", lwd=2) ; text(1922, 150, "L"); 
title("Economia de EE. UU.: Indices de produccion anual");
text(1910, 400, "P (negro) valor monetario de bienes producidos en un año"); 
text(1910, 380, "L (verde) cantidad laboral de personas-horas en un año)") ;
text(1910, 360, "K (azul) capital invertido (maquinaria, equipos y edificios)")

png

El ajuste no lineal, (función nls), para el modelo de Cobb y Douglas (PCD) con aquel conjunto de datos, la estimacion de los parametros A y a, de la funcion de produccion P(L, K)= AL^aK^(1-a). El modelo polinómico de grado dos P2, definido por P(L, K) = 𝑎_0 + 𝑎_1L + 𝑎_2K + b_1L^2 + b_2K^2 + b_3LK; se generan las variables L2 = LL, K2 = KK y KL = K*L; para aplicar regresión lineal múltiple (función lm).

La función de ajuste estimada de Cobb y Douglas (PCD), con ambos parámetros estimados (A y α) resultan ser significativos, y el error estándar residual RSE = 11.02. PCD: P(L, K) = 1.0066464L^0.7419597K^0.2580403.

modeloNLS = nls( P ~ A*L**a*K**(1-a) , start = list(A = 1, a = 0.5)) ;
a = coef(modeloNLS); summary(modeloNLS) # A=1.00665, a=0.74196, 1-a=0.25804 

Formula: P ~ A * L^a * K^(1 - a)

Parameters:
  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
A  1.00665    0.02784   36.16  < 2e-16 ***
a  0.74196    0.04882   15.20 3.77e-13 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 11.02 on 22 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 4 
Achieved convergence tolerance: 4.123e-07

Pf = function(L, K) a[1]*L**a[2]*K**(1-a[2]) 
XL = seq(100, 400, length=50) ; YK = seq(-300, 430, length=50) ; 
ZCD = outer(XL, YK, Pf);  par(mfrow = c(1, 3)) ; par(bg="AliceBlue") 
persp(XL, YK, ZCD) ; contour(XL, YK, ZCD, ylim=c(0, 400));  
curve( 850-2.5*x , add=TRUE , col = 2) ; points(252.2663, 219.3343, pch=15, col=2)

png

Modelo polinómico bivariante de grado 2 completo: para los datos de ejemplo se eliminan las variables LK y luego L; estos resultan no significativos, así queda el ajuste P2, dado a continuación, con los cuatro parámetros estimados significativos, y el error estándar residual RSE=10.39. P2(L, K) = -128.75496125+2.7738583L–0.00578167L^2 +0.00025307*K^2

L2 = L*L ; LK = L*K ; K2 = K*K ;   modeloRLM <- lm(P ~ L + L2 + K2 ) #Obviar modelos lm(P~ L+K+L2+K2+LK) y lm(P~ L+K+L2+K2)
summary(modeloRLM ) ;  b = modeloRLM$coef ;
P2 = function(L, K) b[1]+b[2]*L+b[3]*L**2+b[4]*K**2; XL=seq(100, 400, length=50);
YK=seq(-300, 430, length=50); ZP=outer(XL, YK, P2);  par(mfrow = c(1, 2)) ; par(bg="AliceBlue")
persp(XL, YK, ZP) ;   contour(XL, YK, ZP); arrows(240, 0, 240, 210, col=2) ;
curve( 850-2.5*x , add=TRUE , col = 2) ; points(202.1807, 344.5483, pch=15, col=2) 

Call:
lm(formula = P ~ L + L2 + K2)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-17.993  -5.523  -1.675   6.272  25.020 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -1.288e+02  5.546e+01  -2.321 0.030940 *  
L            2.774e+00  7.381e-01   3.758 0.001237 ** 
L2          -5.782e-03  2.382e-03  -2.428 0.024763 *  
K2           2.531e-04  6.072e-05   4.168 0.000475 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 10.39 on 20 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9509,    Adjusted R-squared:  0.9436 
F-statistic: 129.2 on 3 and 20 DF,  p-value: 2.931e-13

png

Para modelo P2, las derivadas parciales respecto de L y K, conllevan al punto crítico (L= 239.8838, K= 0). El discriminante en derivadas parciales evaluado en ese punto es D = P_LLP_KK–P_LKP_KL = (2b2)(2b1) – 00 = 4b1b2 = -1.4632e-06, resulta negativo, aunque ínfimo; por lo cual, no se alcanza máximo ni mínimo. Pero si fijamos K=0, la función cuadrática en P2(L), alcanza un máximo en L = 239.8838; y al fijar L=239.8838, la función cuadrática en P2(K) alcanza un mínimo en K=0; por lo tanto (L=239.8838, K=0) es un punto de silla o montura para P2(L, K), con valor P=203.9466.

titulo = "Observados y Ajustados por CD (+) y P2 (x) " ; par(bg="AliceBlue");
plot( P , Pf(L, K), pch=3, col=3, lwd=2, main = titulo) ; points(P, P2(L, K), pch=4, col=2, lwd=2) ;
abline(a = 0, b = 1, lty = 2, col = 8)# Comparación ambos ajustes con valores observados, y línea de 45 grados.

png

Al añadir a la función PCD, la restricción de pretender una renta de u0=8500, con precios de los bienes fijos en p_L= 25 y p_K = 10 respectivamente; se construye g(L, K) = 25L+10K = 8500. La solución es L* = u0α/p_L = 85000.7419597/25 = 252.2663; K* = u0β/p_K = 85000.2580403/10 = 219.3343, logrando P(L, K) = 1.0066464252.2663^0.7419597219.3343^0.2580403 = 244.9399. Se verifica resultar un máximo por condición de extremo local.

Para el modelo P2 P(L, K) = -128.75496125 + 2.7738583L – 0.00578167L^2 + 0.00025307K^2; al agregar la restricción g(L, K) = 25L+10K = 8500. Se optimiza la función 𝓛(L, K, λ)= P(L, K)+ λ(25L+10K–8500), resolviendo el sistema de ecuaciones {∂𝓛/∂X = 0; ∂𝓛/∂Y = 0; ∂𝓛/∂λ = 0}, se logra de forma directa y se obtiene la solución L= 202.1807, K=344.5483; el valor de la función objetivo es P(L, K) = 225.7709. El determinante de la matriz hessiana de 𝓛(X) es DH = -2* b_2*p_L, resulta negativo, por ello se alcanza un máximo.

Roger Fletcher (1987): “El campo de la optimización es una mezcla fascinante de la teoría y los cálculos, la heurística y el rigor”.

Conclusiones y recomendaciones: → La técnica de Multiplicadores de Lagrange, permite determinar los óptimos de una función objetivo, sujeta a una o más restricciones, lineales o no lineales. → Dado un conjunto de datos, la función de producción propuesta por Cobb-Douglas, debe estimarse por métodos iterativos que requieren mayor tiempo computacional para la estimación de parámetros, mientras que una función polinómica bivariante de grado dos, completa, puede resolverse de forma directa y aun manualmente y de forma rápida la estimación de parámetros. → Al restringir una función objetivo por al menos una ecuación lineal, se resuelve de forma directa para determinar la solución y el valor óptimo, tanto para la propuesta de Cobb-Douglas como para el polinomio bivariante de grado dos completo; pero se logra más fácil para la propuesta por aquellos dos autores. Si se da la misma función de restricción, se logran óptimos distintos debido a la forma de las superficies de cada función de ajuste. → Se recomienda a parte de calcular los índices, centrar cada variable regresora sean datos longitudinales o transversales, para así ajustar valores medios de la variable respuesta. → Se insta analizar restricciones de tipo cuadrática, y otras funciones de producción, tal como la ecuación de producción generalizada, propuesta por Zellner y Revankar (1969). → Sobre cuál modelo resultara mejor o más conveniente de ajustar, refiramos como conclusiva la frase de George E. Pelham Box: “All models are wrong, but some are useful”.

Referencias Bibliográficas [0] James Stewart (2001), Calculus Concepts and Contexts. Second Edition. [1] Par J. L. Lagrange (1811), MÉCANIQUE ANALYTIQUE. Nouvelle édition, Revue et augmentée par l´auteur, Paris. Oeubres de Lagrange. T. 11.
[2] Ioan, Catalin & Ioan, Gina. (2015). The Complete Theory of Cobb-Douglas Production Function. Acta Universitatis Danubius. Oeconomica. 11. 74-114.