Obs: Para a geração de números aleatórios vamos utilizar a matrícula como raiz aleatória.

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matricula <- 3016

Distribuição Binomial

Introdução

A distribuição binomial é um um modelo probabilístico resultante do binômio de Newton utilizado para identificar a probabilidade de um determinado evento ocorrer dentro de uma sequência limitada de tentativas. Cada tentativa pode ter dois resultados possíveis, como por exemplo, sucesso e falha. E devem ser independentes uns dos outros.

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Binomial(n,p),\) calcule:

(Exercício 1) \(n=10\) e \(p=0.5\)

n=10
set.seed(matricula)
(p <- round(runif(1,0.3,0.7), digits = 2))

## [1] 0.34

\(P(X=2)\)

dbinom(x=2, size = n, prob = p)

## [1] 0.1872931

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==2, "2", "outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X = 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

\(P(X<2)\)

prob1 <- pbinom(q=1, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)+dbinom(x=1, size = n, prob = p)

## [1] 0.09647648

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X < 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(X\) ser menor do que 2 é igual a 0.0964765

\(P(X>2)\)

prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)

sum(dbinom(x=3:10, size = n, prob = p))

## [1] 0.7162304

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X > 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

\(P(X\leq 2)\)

prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:2, size = n, prob = p))

## [1] 0.2837696

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

(Exercício 2) \(n=15\) e \(p=??\)

n=15
set.seed(matricula)
(p=round(runif(1,0.3,0.7),2))

## [1] 0.34

a)\(P(X=3)\)

prob1 <- dbinom(x=3, size = n, prob = p)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==3, "3", "outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X = 3",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 3)=\) 0.122173

b)\(P(X=5)\)

prob1 <- dbinom(x=5, size = n, prob = p)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==5, "5", "outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X = 5",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 5)=\) 0.2139879

c)\(P(X\geq 5)\)

prob1 <- pbinom(q=5, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)

sum(dbinom(x=5:n, size = n, prob = p))

## [1] 0.6171439

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 5, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X maior ou igual a 5",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\geq 5)=\) 0.403156

d)\(P(X\leq 4)\)

prob1 <- pbinom(q=4, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:4, size = n, prob = p))

## [1] 0.3828561

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 4, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 4",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\leq 4)=\) 0.3828561

e)\(P(X=0)\)

prob1 <- dbinom(x=0, size = n, prob = p)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==0, "0", "outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X = 0",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 0)=\) 0.0019641

f)\(P(6<X<9)\)

prob1 <- pbinom(q=8, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)-pbinom(q=6, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=7:8, size = n, prob = p))

## [1] 0.1843778

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7) | (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de 6<X<9",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Dessa forma, obtemos que \(P(6<X<9)=\) 0.1843778

g)\(P(10<X<14)\)

prob1 <- pbinom(q=13, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)-pbinom(q=10, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=11:13, size = n, prob = p))

## [1] 0.002167208

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos > 10) & (NSucessos < 14), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de 10<X<14",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(10 < X > 14)=\) 0.0021672

h)\(P(X<11)\)

prob1 <- pbinom(q=10, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:10, size = n, prob = p))

## [1] 0.99783

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X < 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X < 11)=\) 0.99783

i)\(P(X\leq 11)\)

prob1 <- pbinom(q=11, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:11, size = n, prob = p))

## [1] 0.9996479

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\leq 11)=\) 0.9996479

j)\(P(X\geq 11)\)

prob1 <- pbinom(q=11, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)

sum(dbinom(x=11:n, size = n, prob = p))

## [1] 0.002170032

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X maior ou igual a 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\geq 11)=\) 3.5210526^{-4}

k)\(P(10<X<12)\)

prob1 <- pbinom(q=11, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)-pbinom(q=10, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=11, size = n, prob = p))

## [1] 0.001817927

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 11), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de 10<X<12",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(10 < X < 12)=\) 0.0018179

l)\(P(X<15)\)

prob1 <- pbinom(q=14, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:14, size = n, prob = p))

## [1] 0.9999999

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X < 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

m)\(P(X=15)\)

prob1 <- dbinom(x=15, size = n, prob = p)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==15, "15", "outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X = 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 15)=\) 9.3795879^{-8}

n)\(P(X>15)\)

prob1 <- pbinom(q=16, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)

sum(dbinom(x=16, size = n, prob = p))

## [1] 0

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X > 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X > 15)=\) 0

Distribuição de Poisson

Introdução

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento. A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838.

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Poisson(\lambda),\) calcule:

(Exercício 3) \(\lambda = 2\)

n=10
lambda=2

\(P(X=2)\)

prob1 <- dpois(x=2, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 2, "2", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Logo, \(P(X=2)=\) 0.2706706

\(P(X\leq 2)\)

ppois(q=2, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.6766764

sum(dpois(x=0:2, lambda = lambda))

## [1] 0.6766764

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

\(P(X>2)\)

1-ppois(q=2, lambda = lambda)

## [1] 0.3233236

ppois(q = 2, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.3233236

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X>2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

\(P(X<2)\)

prob1 <- ppois(q=1, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Dessa forma \(P(X<2)=\) 0.4060058

(Exercício 4) \(lambda=??\)

n=20
set.seed(matricula)
(lambda=round(runif(1,1,5),2))

## [1] 1.43

a)\(P(X=3)\)

prob1 <- dpois(x=3, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 3, "3", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=3",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 3)=\) 0.1166315

b)\(P(X=5)\)

prob1 <- dpois(x=5, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 5, "5", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=5",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 5)=\) 0.011925

c)\(P(X\geq 5)\)

ppois(q=5, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.003545705

prob1 <- sum(dpois(x=5:n, lambda = lambda))

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 5, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X>=5",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P( X\geq 5)=\) 0.0154707

d)\(P(X\leq 4)\)

ppois(q=4, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.9845293

prob1 <- sum(dpois(x=0:4, lambda = lambda))

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 4, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<=4",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\leq 4)=\) 0.9845293

e)\(P(X=0)\)

prob1 <- dpois(x=0, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 0, "0", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=0",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 5)=\) 0.2393089

f)\(P(6<X<9)\)

sum(dpois(7:8, lambda = lambda))

## [1] 0.0006843879

prob1 <- ppois(q=8, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
  ppois(q=6, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)


df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7)| (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X =7 ou X=8",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Assim, temos que \(P(6<X<9)=\) 6.843879^{-4}

g)\(P(10<X<14)\)

sum(dpois(11:13, lambda = lambda))

## [1] 3.470975e-07

prob1 <- ppois(q=13, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
         ppois(q=10, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)


df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos >= 10) & (NSucessos <= 13), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X > 10 e X < 14",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(10 < X > 14)=\) 3.4709751^{-7}

h)\(P(X<11)\)

prob1 <- ppois(q=10, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X < 11)=\) 0.9999997

i)\(P(X\leq 11)\)

ppois(q=11, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

## [1] 1

prob1 < -sum(dpois(x=0:11, lambda = lambda))

## [1] FALSE

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<=11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\leq 11)=\) 0.9999997

j)\(P(X\geq 11)\)

ppois(q=11, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)

## [1] 4.100213e-08

prob1 <- sum(dpois(x=11:n, lambda = lambda))

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X>=11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\geq 11)=\) 3.475509^{-7}

k)\(P(10<X<12)\)

prob1 <- dpois(x=11, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 11, "11", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade 10 < X > 12",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(10 < X < 12)=\) 3.0654877^{-7}

l)\(P(X<15)\)

prob1 <- ppois(q=15, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X < 15)=\) 1

m)\(P(X=15)\)

prob1 <- dpois(x=15, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 15, "15", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 15)=\) 3.9129098^{-11}

n)\(P(X>15)\)

1-ppois(q=15, lambda = lambda)

## [1] 3.816614e-12

prob1 <- ppois(q = 2, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X>15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X > 15)=\) 0.1737979

Distribuição Normal

Introdução

A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma curva simétrica em torno do seu ponto médio. A curva de distribuição normal representa o comportamento de muitos fenômenos comuns, como por exemplo, altura ou peso de uma população.

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Normal(\mu, \sigma^2),\) calcule:

(Exercício 5) \(\mu = 5, \sigma=2\)

mu=5
sigma=2

\(P(X<2)\)

pnorm(q=2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.0668072

pnormGC(2, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.0668072

\(P(X>2)\)

1-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.9331928

pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.9331928

pnormGC(2, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9331928

\(P(2<X<11)\)

pnorm(11, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.9318429

pnormGC(c(2,11), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9318429

\(P(X>8)\)

pnorm(8, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.0668072

pnormGC(8, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.0668072

(Exercício 6) \(\mu = ??, \sigma=??\)

set.seed(matricula)
(mu <- 5)

## [1] 5

(sigma <- round(runif(1,2,10), digits = 0))

## [1] 3

a)\(P(X\leq 3)\)

pnorm(q=3, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.2524925

pnormGC(3, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.2524925

b)\(P(X=5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0

pnormGC(c(5,5), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0

c)\(P(X\geq 5)\)

pnorm(q=5, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.5

pnormGC(5, region="above", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.5

d)\(P(X\leq 4)\)

pnorm(q=4, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.3694413

pnormGC(4, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.3694413

e)\(P(X=0)\)

pnorm(0, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(0, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0

pnormGC(c(0,0), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0

f)\(P(3<X<5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(3, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.2475075

pnormGC(c(3,5), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.2475075

g)\(P(2<X<6)\)

pnorm(6, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.4719034

pnormGC(c(2,6), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.4719034

h)\(P(X<4)\)

pnorm(q=4, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.3694413

pnormGC(4, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.3694413

i)\(P(X\leq 7)\)

pnorm(q=7, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.7475075

pnormGC(7, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.7475075

j)\(P(X\geq 7)\)

pnorm(q=7, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.7475075

pnormGC(7, region="above", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.2524925

k)\(P(3<X<4)\)

pnorm(4, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(3, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.1169488

pnormGC(c(3,4), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.1169488

l)\(P(X<6)\)

pnorm(q=6, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.6305587

pnormGC(6, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.6305587

m)\(P(X=15)\)

pnorm(15, mean = mu, sd=sigma)- pnorm(15, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0

pnormGC(c(15,15), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0

n)\(P(X>5)\)

1-pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.5

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.5

pnormGC(5, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.5

Exercícios Práticos

(Retirado de Rpubs) Considere nascimentos de 4 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter:

Construa um gráfico de probabilidades

femeas <- 0:4
prob <- dbinom(x=femeas, # Quantidade de sucessos
               size = 4, # Quantidade de nascimento
               prob=5/8) # Probabilidade a priori de sucesso

prob

## [1] 0.01977539 0.13183594 0.32958984 0.36621094 0.15258789

plot(femeas, prob, 
     type='h',   # Desenha uma linha vertical
     col='red',   # Cor da linha
     lwd=3)      # Espessura da linha/ponto

Qual a probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas.

prob <- pbinom(q=2,         # Quantidade de fêmeas
        size=4,      # Quantidade total de filhores
        prob=5/8,    # Probabilidade inicial de fêmea
        lower.tail = FALSE #P[X> x]
        )

A probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas é dada por 0.5187988

Exercício Prático de Binomial (Acrescentar)

Fonte: Exercicio 79: https://www.ufjf.br/introducaoestatistica/files/2019/04/7_Exerc%c3%adcios_extras_cap%c3%adtulo3.pdf

(modifiquei pra caber no grafico)

Um artigo no Los Angeles Times (3 de dezembro de 1993) relata que 55 em 200 pessoas possui o gene recessivo que causa câncer de cólon hereditário. Em uma amostra de 10 indivíduos, qual é a distribuição aproximada do número dos que possuem o gene? Use essa distribuição para calcular a probabilidade aproximada de:

n=10
p = 55/200

Entre 2 e 5 (inclusive) possuírem o gene.

prob1 <- pbinom(q=5, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)-pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=2:5, size = n, prob = p))

## [1] 0.7763179

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos >= 2) & (NSucessos <= 5), "Possui o Gene", "Não Possui o Gene"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de 6<X<9",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Possui o Gene (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(5\leq X\leq 8)=\) 0.5165522

Ao menos 3 possuírem o gene.

prob1 <- pbinom(q=3, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:3, size = n, prob = p))

## [1] 0.7148252

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos <= 3), "Possui o Gene", "Não Possui o Gene"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2.5,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X <= 3",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Possui o Gene (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X\leq 8)=\) 0.7148252

Exercício Prático de Poisson (Acrescentar)

Fonte: https://docs.ufpr.br/~jomarc/resolvidos%20bpnormal.pdf Exercicio 2, Distribuição de poisson

(Meyer,2000) Suponha que Xt, o nº de partículas emitidas em t horas por uma fonte radioativa, tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 20t.

n=30 #minutos
lambda=20 #20t

a)Qual será a probabilidade de que um partículas sejam emitidas durante um período de 15 min?

prob1 <- dpois(x=15, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 15, "15 min", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,3), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(X = 15)=\) 0.0516489

a)Qual será a probabilidade de que uma partículas sejam emitidas durante um período de 12 a 20 min?

sum(dpois(12:20, lambda = lambda))

## [1] 0.5377058

prob1 <- ppois(q=20, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
  ppois(q=11, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)


df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos >= 12) & (NSucessos <= 20), "Liberado", "Não Liberado"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 2,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de 15 >= X <= 20",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Liberado (x)",
       y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(P(12\leq X\leq 8)=\) 0.5377058

Exercício Prático de Normal (Acrescentar)

Fonte: https://docs.ufpr.br/~jomarc/resolvidos%20bpnormal.pdf Exercicio 5, Distribuição normal

As notas dos alunos de Estatística de uma Universidade distribuem-se normalmente com média de 6,4 e desvio padrão de 0,8. Em uma classe de 80 alunos, quantos terão nota:

mu=6.4
sigma=0.8

Menor que 5.

pnorm(q=5, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.04005916

pnormGC(5, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.04005916

Entre 5 e 7.

pnorm(7, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.7333135

pnormGC(c(5,7), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.7333135

Relatório II

Marcos Veniciu de sa barbalho

09/03/2022

Distribuição Binomial

Introdução

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Binomial(n,p),\) calcule:

(Exercício 1) \(n=10\) e \(p=0.5\)

(Exercício 2) \(n=15\) e \(p=??\)

Distribuição de Poisson

Introdução

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Poisson(\lambda),\) calcule:

(Exercício 3) \(\lambda = 2\)

(Exercício 4) \(lambda=??\)

Distribuição Normal

Introdução

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Normal(\mu, \sigma^2),\) calcule:

(Exercício 5) \(\mu = 5, \sigma=2\)

(Exercício 6) \(\mu = ??, \sigma=??\)

Exercícios Práticos

(Retirado de Rpubs) Considere nascimentos de 4 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter:

Exercício Prático de Binomial (Acrescentar)

Exercício Prático de Poisson (Acrescentar)

Exercício Prático de Normal (Acrescentar)