Taller 1: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Primer Ejercicio: PVI

1) En los problemas 3 a 6, \(y = 1/(x^2 + c)\) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ED de primer orden \(y´=2xy^2 =0\). Determine una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada. Dé el intervalo I más largo en el cual está defi nida la solución

  • Sabiendo que:

\(y(2)=\frac{1}{3}\)

  • Sustituimos el punto en la función: \(y = 1/(x^2 + c)\)

\[\frac{1}{3}= \frac{1}{2^2+c} \\ \Rightarrow (4+c)*\frac{1}{3}=1 \\ \Rightarrow 4 + c = 3 \\ \Rightarrow c= 3-4 \\ \Rightarrow c=-1\]

  • Obtenemos, de la familia uniparamétrica de funciones, la solución:

\[y = 1/(x^2 -1)\]

Conclusión: El Intervalo (I) para el que la función solución está determinada es aquel en el que \(x\neq -1 \lor 1\), es decir el intervalo \((-\infty, -1) \land (1, +\infty)\)

Segundo Ejercicio: PVI con sistemas de ecuaciones.

2) En los problemas 7 a 10, \(x=c1cos(t)+ c2sen(t)\) es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden \(x´´+ x= 0\). Determine una solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas.

  • Sabiendo que:

\(x(\pi/6)=\frac{1}{2};x´(\pi/6)=0\)

  • Sustituiomos los puntos tanto en la función como en su primera derivada: \(x=c_1cos(t)+ c_2sen(t)\land x´=-c_1sen(t)+ c_2cos(t)\)

\[x=c_1cos(\pi/6)+ c2sen(\pi/6)=\frac{1}{2} \\ x´=-c_1sen(\pi/6)+ c_2cos(\pi/6)=0\] * Sabiendo que:

\(sen(\pi/6)=\frac{1}{2} \land cos(\pi/6)= \frac{\sqrt{3}}{2}\)

  • Reemplazamos en el sistema de ecuaciones y multiplico la primera ecuación por \(-\sqrt{3}\) :

\[-\sqrt{3}*c_1\frac{\sqrt{3}}{2}+ c_2\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \\ -c_1\frac{1}{2}+ c_2\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \\ \Rightarrow -c_1\frac{3}{2}- c_2\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -c_1\frac{1}{2}+ c_2\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \\ \Rightarrow -2c_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow c_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\]

  • Reemplazando \(c1\) en la ecuación \(c_1\frac{\sqrt{3}}{2}+ c_2\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\) y multiplicando toda la expresió por 2, tenemos:

\[2* \frac{\sqrt{3}}{4}*\frac{\sqrt{3}}{2}+ c_2\frac{1}{2}=2*\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2*\frac{3}{4}+c_2=2*1\\ \Rightarrow 2*\frac{3}{2}+2c_2=2*2 \\ \Rightarrow 3+4c_2= 4 \\ \Rightarrow 4c_2= 4-3 \\ \Rightarrow c_2=\frac{1}{4}\]

  • COn \(c_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\) y \(c_2=\frac{1}{4}\), obtenemos, de las familias biparamétrcia, la siguiente expresión:

\[x=\frac{\sqrt{3}}{4}cos(\pi/6)+ \frac{1}{4}sen(\pi/6)=\frac{1}{2}\] Conclusión:Las funciones seno y coseno están definidas en todos los Relaes. Intervalo (I): \((-\infty, +\infty)\)

Tercer Ejercicio: PVI con sistema de ecuaciones.

3) En los problemas 27 a 30, \(y=c1e^{3x}+c2e^{-x}-2x\) es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden \(y''–2y'-3y=6x+4\). Determine una solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y en las condiciones iniciales dadas

  • Tenemos los puntos para la función: \(y(1)=4\). Y para la primera derivada de la función: \(y(1)=-2\)

  • Obtenemos La primera derivada de la función: \(y'= 3c_1e^{3x}-c_2e^{-x}-2\)

  • Reemplazamos los puntos en la función y la derivada. Organizando un sistema de ecuaciones:

\[c_1e^3+c_2e^{-1}=6 \\ 3c_1e^3-c_2e^{-1}=0 \\ \Rightarrow 4c_1e^3=6 \\ \Rightarrow c_1=\frac{6}{4}*e^{-3}\\ \Rightarrow c_1=\frac{3}{2}*e^{-3}\] * Reemplazamos el valor de \(c1\) en la ecuación \(c_1e^3+c_2e^{-1}=6\):

\[\Rightarrow 2*\frac{3}{2}*e^{3-3}+c_2e^{-1}=2*6 \\ \Rightarrow 3 +2c_2e^{-1} =12\\ \Rightarrow 2c_2e^{-1} =12-3 \\ \Rightarrow c_2 = \frac{9}{2}*e \]

  • Con \(c_1=\frac{3}{2}*e^{-3}\) y \(c_2 = \frac{9}{2}*e\), obtenemos, de las familias biparamétrcia, la siguiente expresión:

\[y=\frac{3}{2}*e^{3x-3}+\frac{9}{2}*e^{1-x}-2x\]

Cuarto Ejercicio: PVI

4) En los problemas 27 a 30, \(y=c1e^{3x}+c2e^{-x}-2x\) es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden \(y''–2y'-3y=6x+4\). Determine una solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y en las condiciones iniciales dadas

  • Tenemos los puntos para la función: \(y(-1)=0\). Y para la primera derivada de la función: \(y(-1)=1\)

  • Obtenemos La primera derivada de la función: \(y'= 3c_1e^{3x}-c_2e^{-x}-2\)

  • Reemplazamos los puntos en la función y la derivada. Organizando un sistema de ecuaciones:

\[c_1e^{-3}+c_2e=-2\\ 3c_1e^{-3}-c_2e=3 \\ \Rightarrow 4c_1e^{-3}=1 \\ \Rightarrow c_1=\frac{1}{4}*e^{3}\\ \]

  • Reemplazamos el valor de \(c1\) en la ecuación \(c_1e^{-3}+c_2e=-2\):

\[\Rightarrow 4*(\frac{1}{4}*e^{3-3}+c_2e)=-2*4 \\ \Rightarrow 1+4c_2e=-8\\ \Rightarrow 4c_2e=-8-1 \\ \Rightarrow c_2=-\frac{9}{4}*e^{-1} \]

  • Con \(c_1=\frac{1}{4}*e^{3}\) y \(c_2=-\frac{9}{4}*e^{-1}\), obtenemos, de las familias biparamétrcia, la siguiente expresión:

\[y=\frac{1}{4}*e^{3x+3}- \frac{9}{4}*e^{-1-x}-2x\]

Quinto Ejercicio: Ganancia de Peso (No logistico)

Un becerro que pesa 60 libras gana peso a razón de:

\[\frac{dw}{dt} =k(1200-w) \] * Donde:

\(w=peso\) y \(t=tiempo\)

  • Se pide:
  1. Solucionar la ecuación Diferencial
  2. Si el animal alcanza 800 libras de peso, encontrar el tiempo de venta en los \(k=0.8;0.9;1\)
  • Solución por separación.

\[ \frac{dw}{(1200-w)} =kdt \\ \Rightarrow \int \frac{dw}{(1200-w)} =k \int dt \\ \Rightarrow -(-ln(1200-w))=-(kt+c) \\ \Rightarrow ln(1200-w)=-(kt+c) \\ \Rightarrow e^{ln(1200-w)}= e^{-(kt+c)} \\ \Rightarrow -(1200-w) = -e^{-(kt+c)} \\ \Rightarrow w= 1200 - e^{-(kt+c)}\] * Con \(w=800\), \(k=0.8, 0.9, 1\) y Suponiendo que \(c=0\), tenemos:

\[800= 1200 - e^{-(kt+c)} \\ \Rightarrow 1200-800 = e^{-(kt+c)} \\ \Rightarrow 400= e^{-(kt+c)}\\ \Rightarrow ln(400)= lne^{-(kt+c)} \\ \Rightarrow -ln(400) =-(-(kt+c)) \\ \Rightarrow t= \frac{1}{(k*ln(400))} \\ \Rightarrow t=\frac{1}{(0.8*ln(400))}= 0.20 \\ \Rightarrow t=\frac{1}{(0.9*ln(400))}= 0.18 \\ \Rightarrow t=\frac{1}{(1*ln(400))}=0.16\] t= unidades de tiempo

Conclusión: El becerro se venderá en las fracciones de tiempo halladas.