matricula <- 4190

Distribuição Binomial

Introdução

A distribuição binomial, também conhecida como experimento de Bernoulli é um modelo de probabilidade que foi construído com base no modelo do binômio de Isaac Newton. As variáveis são do tipo discreta pois possuem valores definidos. Como característica pode-se exemplificar que esses valores serão mutuamente exclusivos, ou seja, “sucesso” ou “fracasso”. Cada resultado de uma séria de ensaios independentes resulta em apenas 01 (um) valor final definido.

A função de probabilidade binomial é dada por: P(X=x)=(np)px(1−p)n−x,x=0,1,…,n

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Binomial(n,p),\) calcule:

(Exercício 1) \(n=10\) e \(p=0.5\)

n=10
set.seed(matricula)
(p <- round(runif(1,0.3,0.7), digits = 2))
## [1] 0.36
  1. \(P(X=2)\)
dbinom(x=2, size = n, prob = p)
## [1] 0.1641562
###Banco de Dados
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==2, "2", "Outro"))

###Gráfico:
ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário:
De acordo com a demosntração acima, a probabilidade de \(X\) ser igual a 2 é igual a 0,16416.
—

  1. \(P(X<2)\)
prob1 <- pbinom(q=1, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)+dbinom(x=1, size = n, prob = p)
## [1] 0.07638105
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X < 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário:

De acordo com a demosntração acima, a probabilidade de \(X\) ser menor que 2 é igual a 0.076381.


  1. \(P(X>2)\)
prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)

sum(dbinom(x=3:10, size = n, prob = p))
## [1] 0.7594627
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X > 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário:
A probabilidade de \(X\) ser maior que 2 é 0,7594627.


  1. \(P(X\leq 2)\)
prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:2, size = n, prob = p))
## [1] 0.2405373
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 2)\) é 0,24054. — ### (Exercício 2) \(n=15\) e \(p=?\)

n=15
set.seed(matricula)
(p=round(runif(1,0.3,0.7),2))
## [1] 0.36

a)\(P(X=3)\)

dbinom(x=3, size = n, prob = p)
## [1] 0.1002487
###Banco de Dados

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==3, "3", "Outro"))

###Gráfico:

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 3",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X=3)\) é 0,1002487.

b)\(P(X=5)\)

dbinom(x=5, size = n, prob = p)
## [1] 0.2093474
###Banco de Dados

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==5, "5", "Outro"))

###Gráfico:

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 5",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X=5)\) é 0,2093474. / —

c)\(P(X\geq 5)\)

sum(dbinom(x=5:15, size = n, prob = p))
## [1] 0.677771
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 5, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X maior ou igual a 5",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) é 0,67778. —

d)\(P(X\leq 4)\)

sum(dbinom(x=0:4, size = n, prob = p))
## [1] 0.322229
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 4, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 4",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 4)\) é 0,32222

/

e)\(P(X=0)\)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)
## [1] 0.00123794
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==0, "0", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 0",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X=0)\) é 0,00123794.
—

f)\(P(6<X<9)\)

sum(dbinom(x=7:8, size = n, prob = p))
## [1] 0.2217818
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7) | (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 4), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de 6<X<9",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário:
De acordo com a demomstração acima, pode-se perceber que a probabilidade de \(P(6<X<9)=\) é 0,2217818.

g)\(P(10<X<14)\)

sum(dbinom(x=11:13, size = n, prob = p))
## [1] 0.003652792
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 11) | (NSucessos == 13), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de 10<X<14",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(10<X<14)\)=0,003652792. —

h)\(P(X<11)\)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)+dbinom(x=10, size = n, prob = p)
## [1] 0.01302703
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 4), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X < 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X<11)\) é 0,01302703. —

i)\(P(X\leq 11)\)

sum(dbinom(x=0:11, size = n, prob = p))
## [1] 0.9993553
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 11)\) é 0,9993553.

j)\(P(X\geq 11)\)

sum(dbinom(x=11:15, size = n, prob = p))
## [1] 0.003658909
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 4), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X maior ou igual a 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 11)\) = 0,003658909. —

k)\(P(10<X<12)\)

dbinom(x=11, size = n, prob = p)
## [1] 0.003014255
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==11, "11", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(10<X<12)\)=0,003014255.
— l)\(P(X<15)\)

sum(dbinom(x=0:14, size = n, prob = p))
## [1] 0.9999998
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X < 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X<15)\) é 0,99998. —


m)\(P(X=15)\)

dbinom(x=15, size = n, prob = p)
## [1] 2.210739e-07
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==15, "15", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X=15)\) = 2.210739e-07. —

n)\(P(X>15)\)

dbinom(x=16, size = n, prob = p)
## [1] 0
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==16, "16", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X maior que 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X>15)\) é 0. —

Distribuição de Poisson

Introdução

A distribuição de Poisson foi descoberta por Siméon Denis Poisson e está associada a eventos raros. Esse tipo de distribuição se torna aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior do que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. Os resultados devem ocorrer de forma aleatória, ou seja, totalmente por acaso e da probabilidade de ocorrência não deve ser afectado por se ou não os resultados ocorrido anteriormente, de modo que as ocorrências são independentes.

Sua função é dada por: (X=x)=e−λλx/x!,x=0,1,…

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Poisson(\lambda),\) calcule:

(Exercício 3) \(\lambda = 2\)

n=10
lambda=2
  1. \(P(X=2)\)
prob1 <- dpois(x=2, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 2, "2", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X=2)\) é 0,27067.

  1. \(P(X\leq 2)\)
ppois(q=2, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.6766764
sum(dpois(x=0:2, lambda = lambda))
## [1] 0.6766764
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 2)\)=0,6766764.

  1. \(P(X>2)\)
1-ppois(q=2, lambda = lambda)
## [1] 0.3233236
df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior que 2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X>2)\) é 0,3233236.

  1. \(P(X<2)\)
prob1 <- ppois(q=1, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor que 2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: Dessa forma \(P(X<2)=\) 0.4060058

(Exercício 4) \(lambda=?\)

n=20
set.seed(matricula)
(lambda=round(runif(1,1,5),2))
## [1] 1.63

a)\(P(X=3)\)

prob1 <- dpois(x=3, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 3, "3", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=3",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X=3)\) é 0,14142.

b)\(P(X=5)\)

prob1 <- dpois(x=5, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 5, "5", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=5",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X=5)\) é 0,01879.

c)\(P(X\geq 5)\)

1-ppois(q=5, lambda = lambda)
## [1] 0.006586624
df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 5, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior ou igual a 5",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) é 0.006586624.

d)\(P(X\leq 4)\)

ppois(q=4, lambda = lambda)
## [1] 0.9746264
df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 4, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor ou igual a 2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 4)\) é 0.9746264.

e)\(P(X=0)\)

prob1 <- dpois(x=0, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 0, "0", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=0",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de \(P(X=0)\) é 0,19593. —

f)\(P(6<X<9)\)

sum(dpois(7:8, lambda = lambda))
## [1] 0.001430603
prob1 <- ppois(q=8, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
  ppois(q=6, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7)| (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X =7 ou X=8",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: Assim, temos que \(P(6<X<9)=\) 0.0014306.

g)\(P(10<X<14)\)

sum(dpois(11:13, lambda = lambda))
## [1] 1.221199e-06
prob1 <- ppois(q=13, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
  ppois(q=10, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)


df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 11)| (NSucessos == 13), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X = 11 ou X = 13",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: Assim, temos que \(P(10<X<14)\)=1.221199e-06.

h)\(P(X<11)\)

prob1 <- ppois(q=10, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor que 11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

i)\(P(X\leq 11)\)

prob1 <- ppois(q=10, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor ou igual a 11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: Assim, temos que \(P(X\leq 11)\)=0.9999988.

j)\(P(X\geq 11)\)

1-ppois(q=11, lambda = lambda)
## [1] 1.642799e-07
df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior ou igual a 11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")



Comentário: Assim, temos que \(P(X\geq 11)\) é 0.9999988.

k)\(P(10<X<12)\)

prob1 <- dpois(x=11, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 11, "11", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: Assim, temos que \(P(10<X<12)\)=1.0592731^{-6}.

l)\(P(X<15)\)

prob1 <- ppois(q=14, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor que 15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

m)\(P(X=15)\)

prob1 <- dpois(x=15, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 15, "15", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: Assim, temos que \(P(X=15)\) é igual a 2.2825193^{-10}.

n)\(P(X>15)\)

1-ppois(q=15, lambda = lambda)
## [1] 2.570344e-11
df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior que 15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: Assim, temos que \(P(X>15)\) é igual a 2.2825193^{-10}.

Distribuição Normal

Introdução

A distribuição normal também é chamada distribuição gaussiana, distribuição de Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss, em referência aos matemáticos, físicos e astrônomos francês Pierre–Simon Laplace. O papel central da distribuição normal decorre do fato de ser o limite de um grande número de distribuições de probabilidade como mostra o teorema central do limite, o qual permite estudar probabilisticamente a média das variáveis independentes de uma amostra aleatória simples de tamanho grande. A distribuição normal corresponde ao comportamento do efeito agregado de experiências aleatórias independentes e semelhantes em certas circunstâncias quando o número de experiências é muito alto.

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Normal(\mu, \sigma^2),\) calcule:

(Exercício 5) \(\mu = 5, \sigma=2\)

mu=5
sigma=2
  1. \(P(X<2)\)
pnorm(q=2, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.0668072
pnormGC(2, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.0668072


Comentário: A probabilidade de \(P(X<2)\) é igual a 0,0668072.

  1. \(P(X>2)\)
1-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.9331928
pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.9331928
pnormGC(2, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9331928


Comentário: A probabilidade de \(P(X>2)\) é 0,9331928. —

  1. \(P(2<X<11)\)
pnorm(11, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.9318429
pnormGC(c(2,11), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9318429


Comentário: A probabilidade de \(P(2<X<11)\) é 0,9318429.

  1. \(P(X>8)\)
pnorm(8, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0668072
pnormGC(8, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.0668072


Comentário: A probabilidade de \(P(X>8)\) é 0,0668072. —

(Exercício 6) \(\mu = ??, \sigma=??\)

set.seed(matricula)
(mu <- 5)
## [1] 5
(sigma <- round(runif(1,2,10), digits = 0))
## [1] 3

a)\(P(X\leq 3)\)

pnorm(q=3, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.2524925
pnormGC(3, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.2524925


Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 3)\) é 0,2524925.

b)\(P(X=5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0
pnormGC(c(5,5), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0


Comentário: A probabilidade de \(P(X=5)\) é 0.

c)\(P(X\geq 5)\)

1-pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.5
pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.5
pnormGC(5, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.5


Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) é igual a 0,5.

d)\(P(X\leq 4)\)

pnorm(q=4, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.3694413
pnormGC(4, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.3694413


Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) 0,3694413.

e)\(P(X=0)\)

pnorm(0, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(0, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0
pnormGC(c(0,0), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0


Comentário: A probabilidade de \(P(X=0)\) é 0.

f)\(P(3<X<5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(3, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.2475075
pnormGC(c(3,5), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.2475075


Comentário: A probabilidade de \(P(3<X<5)\) é 0,2475.

g)\(P(2<X<6)\)

pnorm(6, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.4719034
pnormGC(c(2,6), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.4719034


Comentário: A probabilidade de \(P(2<X<6)\) é 0,4719034.
—

h)\(P(X<4)\)

pnorm(q=4, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.3694413
pnormGC(4, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.3694413


Comentário: A probabilidade de \(P(X<4)\) é 0,3694.

i)\(P(X\leq 7)\)

pnorm(q=7, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.7475075
pnormGC(7, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.7475075


Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 7)\) é 0,7475.

j)\(P(X\geq 7)\)

pnorm(7, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2524925
pnormGC(7, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.2524925


Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 7)\) é 0,2525.

k)\(P(3<X<4)\)

pnorm(4, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(3, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.1169488
pnormGC(c(3,4), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.1169488


Comentário: A probabilidade de \(P(3<X<4)\) é 0,1169.

l)\(P(X<6)\)

pnorm(q=6, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.6305587
pnormGC(6, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.6305587


Comentário: A probabilidade de \(P(X<6)\) é 0,6306.

m)\(P(X=15)\)

pnorm(15, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(15, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0
pnormGC(c(15,15), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0


Comentário: A probabilidade de \(P(X=15)\) é 0.

n)\(P(X>5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.5
pnormGC(5, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.5


Comentário: A probabilidade de \(P(X>5)\) é 0,5.

Exercícios Práticos

Exercício Binomial Prático 01)

Em um laboratório clínico são estudadas constantemente fórmulas de novas vacinas. A probabilidade de sucesso das vacinas é de 0,25 nesse laboratório. Um certo dia foram fabricadas 15 vacinas com fórumas diferenciadas.

Letra a)

Tendo em vista a descrição acima, considere que uma amostra de 15 vacinas foram inspecionadas. Quais as chances de serem produzidas, pelo menos, 2 vacinas eficazes?

\(n=15 e P=0.25\)

\(X=2\)

knitr::kable((dbinom(2,#número de vacinas eficazes
                     15,#quantidade de peças totais
                     0.25)))#probabilidade de sucesso
x
0.155907


Comentário: A probabilidade de 2 vacinas serem eficazes é de 0.155907.

Letra b)

Faça um gráfico expressando a probabilidade de mais de 4 vacinas possuírem eficácia.

\(P(X\geq 4)\)

vacinas <- 5:15

prob <- dbinom(vacinas,15,0.25)

prob
##  [1] 1.651460e-01 9.174777e-02 3.932047e-02 1.310682e-02 3.398065e-03
##  [6] 6.796131e-04 1.029717e-04 1.144130e-05 8.800998e-07 4.190952e-08
## [11] 9.313226e-10
plot(vacinas, prob,
     type='h',
     col='blue',
     lwd=2)

Exercício Prático de Poisson 2)

O laboratório clínico que confecciona e testa novas vacinas todos os dias conta com a chegada de 20 vidrarias novas para a realização de experimentos em soluções.

Letra a)

Qual a probabilidade de chegarem 15 ou menos vidrarias novas?

lambda=15

\(P(X\leq 15)\)

prob1 <- ppois(q=15, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

sum(dpois(x=0:20, lambda = lambda))
## [1] 0.9170291
df <- data.frame(NSucessos = 0:20, 
                 prob = dpois(x = 0:20, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<=15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de chegarem 15 novas vidrarias ou menos é de 0.5680896.

Letra b)

Qual a probabilidade de chegarem mais de 15 novas vidrarias novas:

\((X>15)\)

1-ppois(q=15, lambda = lambda)
## [1] 0.4319104
df <- data.frame(NSucessos = 0:20, 
                 prob = dpois(x = 0:20, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior que 15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


A probabilidade de chegarem mais de 15 novas vidrarias ao laboratório é de 0,34893. —

Letra c)

Qual a probabilidade de chegarem mais de 20 vidrarias novas?

\((X>20)\)

1-ppois(q=20, lambda = lambda)
## [1] 0.08297091
df <- data.frame(NSucessos = 0:20, 
                 prob = dpois(x = 0:20, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 20, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior que 20",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")


Comentário: A probabilidade de chegarem mais de 20 vidrarias é 0 porque o máximo de encomendas que o laboratório recebe são 20 novas embalagens laboratoriais.

Exercício Prático de Normal

No laboratório clínico de estudo para novas vacinas, em média, as fórmulas dos componentes duram em até 2 anos, ou seja, tempo em que uma solução pode ficar armazenada. Na pandemia, novos ingredientes foram produzidos e resultando em uma variação do tempo de armazenagem. Agora, as soluções podem ficar guardadas até 5 anos.

Letra a)

Qual a probabilidade de uma solução aleatória ser escolhida e que esteja armazenada no laboratório em até 1 ano?

(mu=2)
## [1] 2
sigma=5

a)\(P(X\leq 1)\)

pnorm(q=1, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.4207403
pnormGC(1, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.4207403


Comentário: A probabilidade que uma solução do laboratório esteja armazenada em até 1 ano é de 0,4207.

Letra b)

Qual a probabilidade que uma vacina aleatória esteja armazenada no interior do laboratório entre 2 e 5 anos?

\(P(2<X<5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)
## [1] 0.2257469
pnormGC(c(2,5), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.2257469


Comentário: A probabilidade de uma vacina estar neste laboaratório neste intervalo de tempo é de 0,2257.

Letra c)

Qual a chance desse laboratório armazanar uma solução vacina a mais de 10 anos?

\(P(X>10)\)

pnorm(10, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.05479929
pnormGC(10, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.05479929


Comentário: As chances são de 0,0548.

Conclusão

A partir da construção desse relatório, nota-se como as distribuições trabalhadas são de extrema importância e amplitude para diversas áreas de estudo. Além de trazer praticidade, organização e demonstrações práticas nesse projeto, vale ressaltar como a estatística se aplica à todas as áreas da vida.