Relatório II
Gabriel
10/03/2022
matricula = 2938Distribuição Binomial
A distribuição binomial pode ser caracterizada como um modelo de probabilidade discreto, ela é utilizada em experimentos repetidos quando queremos determinar a probabilidade de certa ocorrência em situações onde existem apenas dois possíveis resultados. Desse modo, dentro da Binomial encontramos um espaço amostral finito no qual cada tentativa será um fracasso ou sucesso. Além disso, todas as tentativas possuem possibilidade igual de ocorência, ou seja, existe uma probabilidade de sucesso e fracasso constante e as tentativas são independentes. Exemplificando, uma aplicação conhecida em que utilizamos a distribuição binomial é para determinar o número de itens defeituosos em n itens produzidos. Por fim, o modelo da distribuição binomial é dado pela seguinte função:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \:\:\Rightarrow\:\:\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Binomial(n,p),\) calcule:
(Exercício 1) \(n=10\) e \(p=0.5\)
- \(P(X=2)\)
## [1] 0.04394531
A probabilidade de \(X\) ser igual a 2 é 0.0439453
- \(P(X<2)\)
## [1] 0.01074219
A probabilidade de \(X\) ser menor do que 2 é igual a 0.0107422
- \(P(X>2)\)
## [1] 0.9453125
A probabilidade de \(X\) ser maior do que 2 é igual a 0.9453125
- \(P(X\leq 2)\)
## [1] 0.0546875
A probabilidade de \(X\) ser menor ou igual a 2 é 0.0546875
(Exercício 2) \(n=15\) e \(p=0.41\)
a)\(P(X=3)\)
## [1] 0.05579395
A probabilidade de \(P(X=3)=\) 0.0557939
b)\(P(X=5)\)
## [1] 0.1778258
A probabilidade de \(P(X=5)=\) 0.1778258
c)\(P(X\geq 5)\)
## [1] 0.8051873
A probabilidade de \(P(X\geq 5)=\) 0.8051873
d)\(P(X\leq 4)\)
## [1] 0.1948127
A probabilidade de \(P(X\leq 4)=\) 0.1948127
e)\(P(X=0)\)
## [1] 0.0003654098
A probabilidade de \(P(X=0)=\) 3.6540979^{-4}
f)\(P(6<X<9)\)
## [1] 0.3118887
Desse modo, encontramos que \(P(6<X<9)=\) 0.3118887
g)\(P(10<X<14)\)
## [1] 0.01154918
Desse modo, encontramos que \(P(10<X<14)=\) 0.0115492
h)\(P(X<11)\)
## [1] 0.9884157
Desse modo, encontramos que \(P(X<11)=\) 0.9884157
i)\(P(X\leq 11)\)
## [1] 0.9975182
Desse modo, encontramos que \(P(X\leq 11)=\) 0.9975182
j)\(P(X\geq 11)\)
## [1] 0.0115843
Desse modo, encontramos que \(P(X\geq 11)=\) 0.0115843
k)\(P(10<X<12)\)
## [1] 0.009102551
Desse modo, encontramos que \(P(10<X<12)=\) 0.0091026
l)\(P(X<15)\)
## [1] 0.9999984
Desse modo, encontramos que \(P(X<15)=\) 0.9999984
m)\(P(X=15)\)
## [1] 1.555098e-06
Desse modo, encontramos que \(P(X=15)=\) 1.5550983^{-6}
n)\(P(X>15)\)
Desse modo, encontramos que \(P(X>15)=\) 0
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson pode ser caracterizada como um modelo de probabilidade discreto, ela expressa a probabilidade de ocorrência de determinado evento em um intervalo de tempo específico. Além disso, as ocorrências em um intervalo não são dependentes de outras, ou seja, os eventos são independentes entre si e a probabilidade do evento ocorrer é a mesma para cada período. A distribuição de Poisson é utilizada para modelar diversos problemas físicos, por exemplo, o números de carros que chegam a um estacionamento com o decorrer do tempo. Por fim, encontramos seu modelo definido pela seguinte função:
\[ f(x)=\frac{e^{-\lambda }.\lambda ^x}{x!} \]
Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Poisson(\lambda)\), calcule:
(Exercício 3) \(\lambda = 2\)
- \(P(X=2)\)
Logo, \(P(X=2)=\) 0.2706706
- \(P(X\leq 2)\)
## [1] 0.6766764
Assim, \(P(X\leq 2)=\) 0.6766764
- \(P(X>2)\)
## [1] 0.3233236
Assim, \(P(X>2)=\) 0.3233236
- \(P(X<2)\)
Assim, \(P(X<2)=\) 0.4060058
(Exercício 4) \(lambda=2.14\)
a)\(P(X=3)\)
Assim, \(P(X=3)=\) 0.1921763
b)\(P(X=5)\)
Assim, \(P(X=5)=\) 0.0440045
c)\(P(X\geq 5)\)
## [1] 0.06616708
Assim, \(P(X\geq 5)=\) 0.0661671
d)\(P(X\leq 4)\)
## [1] 0.9338329
Assim, \(P(X\leq 4)=\) 0.9338329
e)\(P(X=0)\)
Assim, \(P(X=0)=\) 0.1176548
f)\(P(6<X<9)\)
## [1] 0.006081681
Assim, \(P(6<X<9)=\) 0.0060817
g)\(P(10<X<14)\)
## [1] 1.534479e-05
Assim, \(P(10<X<14)=\) 1.5344791^{-5}
h)\(P(X<11)\)
## [1] 0.9999846
Assim, \(P(X<11)=\) 0.9999846
i)\(P(X\leq 11)\)
## [1] 0.9999973
Assim, \(P(X\leq 11)=\) 0.9999973
j)\(P(X\geq 11)\)
## [1] 1.541118e-05
Assim, \(P(X\geq 11)=\) 1.5411184^{-5}
k)\(P(10<X<12)\)
Assim, \(P(10<X<12)=\) 1.2705905^{-5}
l)\(P(X<15)\)
## [1] 1
Assim, \(P(X<15)=\) 1
m)\(P(X=15)\)
Assim, \(P(X=15)=\) 8.1342365^{-9}
n)\(P(X>15)\)
## [1] 1.243221e-09
Assim, \(P(X>15)=\) 1.243243^{-9}
Distribuição Normal
A distribuição normal pode ser caracterizada como um modelo de probabilidade contínuo e uma aproximação da distribuição binomial quando se trata de um experimento com um número muito elevado de tentativas. Além disso, observaram que uma grande quantidade de fenômenos naturais apresenta sua distribuição de probabilidade tão proximamente normal e por isso essa distribuição é uma das distribuições de probabilidade mais conhecidas e utilizadas atualmente. Sua formulação é construída através de dois parâmetros, a média para determinar o centro da distribuição e a virância que indica a dispersão do conjunto de dados. Por fim, seu modelo é definido da seguinte maneira:
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{\!2}\,\right) \]
Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Normal(\mu, \sigma^2),\) calcule:
(Exercício 5) \(\mu = 5, \sigma=2\)
- \(P(X<2)\)
## [1] 0.0668072## [1] 0.0668072
- \(P(X>2)\)
## [1] 0.9331928## [1] 0.9331928
- \(P(2<X<11)\)
## [1] 0.9318429## [1] 0.9318429
- \(P(X>8)\)
## [1] 0.0668072## [1] 0.0668072
(Exercício 6) \(\mu = 5, \sigma=4\)
a)\(P(X\leq 3)\)
## [1] 0.3085375
Então, encontramos que \(P(X\leq 3)=\) 0.3085375
b)\(P(X=5)\)
Como estamos utilizando a distribuição normal que é um modelo contínuo, só é possível determinar valores para X que estiverem dentro de um intervalo. Desse modo, \(P(X=5)\) = 0
c)\(P(X\geq 5)\)
## [1] 0.5
Então, encontramos que \(P(X\geq 5)=\) 0.5
d)\(P(X\leq 4)\)
## [1] 0.4012937
Então, encontramos que \(P(X\leq 4)=\) 0.4012937
e)\(P(X=0)\)
Como estamos utilizando a distribuição normal que é um modelo contínuo, só é possível determinar valores para X que estiverem dentro de um intervalo. Desse modo, \(P(X=0)\) = 0
f)\(P(3<X<5)\)
## [1] 0.1914625
Então, encontramos que \(P(3<X<5)=\) 0.1914625
g)\(P(2<X<6)\)
## [1] 0.372079
Então, encontramos que \(P(2<X<6)=\) 0.372079
h)\(P(X<4)\)
## [1] 0.4012937
Então, encontramos que \(P(X<4)=\) 0.4012937
i)\(P(X\leq 7)\)
## [1] 0.6914625
Então, encontramos que \(P(X\leq 7)=\) 0.6914625
j)\(P(X\geq 7)\)
## [1] 0.3085375
Então, encontramos que \(P(X\geq 7)=\) 0.3085375
k)\(P(3<X<4)\)
## [1] 0.09275614
Então, encontramos que \(P(3<X<4)=\) 0.0927561
l)\(P(X<6)\)
## [1] 0.5987063
Então, encontramos que \(P(X<6)=\) 0.5987063
m)\(P(X=15)\)
Como estamos utilizando a distribuição normal que é um modelo contínuo, só é possível determinar valores para X que estiverem dentro de um intervalo. Desse modo, \(P(X=15)\) = 0
n)\(P(X>5)\)
## [1] 0.5
Então, encontramos que \(P(X>5)=\) 0.5
Exercícios Práticos
Considere nascimentos de 4 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter:
- Construa um gráfico de probabilidades
## [1] 0.01977539 0.13183594 0.32958984 0.36621094 0.15258789
- Qual a probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas.
A probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas é dada por 0.5187988
Exercício Prático de Binomial
O sistema de uma empresa apresenta 8 componenetes e cada um deles tem probabilidade 3/10 de falhar durante um dia. Se mais que 3 componentes falharem durante o dia, o sistema da empresa fica fora do ar e todas as atividades precisam ser suspensas . Sendo X o número de componentes que falharam e utilizando a distribuição binomial:
- Qual a probabilidade do sistema da empresa ficar fora do ar?
A probabilidade do sistema ficar fora do ar é igual a \(P(X>3)=\) 0.1941043
- Qual a probabilidade do sistema ficar ativo?
## [1] 0.8058957Como vimos pelo gráfico anterior, o sistema fica ativo quando \(X\) menor ou igual a 3, então a probabilidade do sistema ficar ativo é \(P(X\leq3)=\) 0.8058957
Exercício Prático de Poisson
A quantidade de clientes que chegam a uma lanchonete ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de 2 clientes a cada 15 minutos. Levando em conta, que a lanchonete consegue atender no máximo 15 clientes por hora e sendo \(X\) o número de clientes que chegam a lonchonete dentro de um período de 1 hora:
- Encontre a probabilidade de o lanchonete receber no mínimo 10 clientes dentro de 1 hora.
## [1] 0.2833757
Então, a probabilidade da lanchonete receber no mínimo 10 clientes é \(P(X\geq10)=\) 0.2833757
- Encontre a probabilidade da lanchonete atingir seu limite de funcionamento.
## [1] 0.009025979
a probabilidade da lanchonete atingir seu limite de funcionamento é igual a \(P(X=15)=\) 0.009026
Exercício Prático de Normal
Em uma fábrica de geleia, cada pote tem em média 180g com um desvio padrão de 20g. Após cada produção é feito um teste de qualidade, pois a quantidade de geleia de cada pote necessita ficar entre 165g e 195g. Sendo X o número de potes de geleia e utilizando a distribuição Normal:
- Calcule a probabilidade de potes de geleia que podem ultrapassar o limite superior de qualidade.
## [1] 0.2266274
Então, temos que a probabilidade de potes de geleia que podem ultrapassar o limite superior de qualidade é igual a \(P(X>195)=\) 0.2266274
- Calcule a probabilidade de potes que estarão dentro do limite de qualidade.
## [1] 0.5467453
Então, a probabilidade de potes que estarão dentro do limite de qualidade é igual a \(P(165<X<195)=\) 0.5467453