1 Objetivo

Realizar operaciones de conjunto y con el resultado estimar e interpretar probabilidades.

2 Descripción

  • Se cargan las librerías necesarias para ejecutar funciones

  • Generar conjuntos de datos

  • Construir todo el espacio muestral llamado S.muestra

  • Realizar operaciones de conjuntos

  • Estimar probabilidades con los conjuntos.

  • Interpretar probabilidades

3 Marco teórico

3.1 Operación Union U.

El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B.

En la unión si hay elementos repetidos sólo se deja uno de ellos.

3.2 Operación intersección ∩

El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B se llama la intersección de A y B y se escribe A ∩ B.

3.3 Operación diferencia -

El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llama la diferencia de A y B y se escribe A – B.

3.4 Operación complemento [C ó ´]

Son todos los conjuntos con los elementos que no están en A y se escribe A’ ó C A. Son todos los elementos que faltan y que no están en A para complementar todo el espacio muestral.

4 Desarrollo

Cargar librerías

# install.packages("dplyr")
library(dplyr)

Crear vectores en R con los conjuntos de datos de nombres de personas que participan en actividades deportivas y culturales.

Los vectores en R, representan los conjuntos, luego, se hacen operaciones sobre los mismos, finalmente se determina probabilidades que representan probabilidades de acuerdo a los resultados de las operaciones con los conjuntos.

  • B Basquetbol

  • F Futbol

  • K Karate

  • D Danza

  • R Rondalla

B <- c("Hugo", "Paty", "Paco", "Luis","Raúl","Ernesto","Pablo","Sara","Yolanda")
F <- c("Guadalupe", "Luis", "Javier", "Marco", "Aurelio","Raquel","Eunice","Alejandra","Carolina","Azucena")
K <- c("Marco", "Mary", "Lucy","Raúl","Daniel","Noemi","Raquel","Danna")
D <- c("Lucy", "Mary","Azucena","Henry","Arturo","Aurelio","Danna","Karla","Raúl")
R <- c("Carlos", "Lola", "José", "Ernesto", "Andrea", "Sergio", "Lucy", "Luis","Karla","Alejandra","Jorge","Julia","Fernanda")

Mostrar los vectores a manera de conjuntos

B
## [1] "Hugo"    "Paty"    "Paco"    "Luis"    "Raúl"    "Ernesto" "Pablo"  
## [8] "Sara"    "Yolanda"
F
##  [1] "Guadalupe" "Luis"      "Javier"    "Marco"     "Aurelio"   "Raquel"   
##  [7] "Eunice"    "Alejandra" "Carolina"  "Azucena"
K
## [1] "Marco"  "Mary"   "Lucy"   "Raúl"   "Daniel" "Noemi"  "Raquel" "Danna"
D
## [1] "Lucy"    "Mary"    "Azucena" "Henry"   "Arturo"  "Aurelio" "Danna"  
## [8] "Karla"   "Raúl"

4.1 Construir el espacio muestral

Con todos los elementos de todos los conjuntos determinar el espacio muestral. Con la función unique() se eliminan los repetidos y con la función c() de concatenar se integran todos los nombres a un solo conjunto de datos.

S.muestral <- unique(c(B, F, K, D))
S.muestral
##  [1] "Hugo"      "Paty"      "Paco"      "Luis"      "Raúl"      "Ernesto"  
##  [7] "Pablo"     "Sara"      "Yolanda"   "Guadalupe" "Javier"    "Marco"    
## [13] "Aurelio"   "Raquel"    "Eunice"    "Alejandra" "Carolina"  "Azucena"  
## [19] "Mary"      "Lucy"      "Daniel"    "Noemi"     "Danna"     "Henry"    
## [25] "Arturo"    "Karla"
N <- length(S.muestral)
N
## [1] 26

4.2 Unión entre conjuntos

La unión entre conjuntos se representa por la literal U.

4.2.1 Union Basquetbol y Karate

BUK <- union(B, K)
BUK
##  [1] "Hugo"    "Paty"    "Paco"    "Luis"    "Raúl"    "Ernesto" "Pablo"  
##  [8] "Sara"    "Yolanda" "Marco"   "Mary"    "Lucy"    "Daniel"  "Noemi"  
## [15] "Raquel"  "Danna"

BUK es a unión de los conjuntos Basquetbol con Karate y n es la cantidad de eventos de ese conjunto resultante.

n <- length(BUK)
n
## [1] 16

Determinando la probabilidad de BUK.

P.BUK <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de BUK, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  16  elementos de BUK,   lo que representa la probabilidad de  61.54 %"

4.2.2 Karate union con Danza

KUD es la unión de Karate con Danza y n es la cantidad de eventos de ese conjunto

KUD <- union(K, D)
n <- length(KUD)
n
## [1] 13

Determinando la probabilidad

P.KUD <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de KUD, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  13  elementos de KUD,   lo que representa la probabilidad de  50 %"

4.3 Intersección entre conjuntos

La intersección entre conjuntos representa por el símbolo matemático ∩ y con la letra I de instersección.

4.3.1 Intersección de Basquetbol con Futbol

¿Cuáles y cuántas personas juegan Basquetbol y Futbol y que probabilidad representan?

BIF <- intersect(B, F)
BIF
## [1] "Luis"
n <- length(BIF)
n
## [1] 1

Determinando la probabilidad del conjunto BIF

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  1  personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de  26  lo que representa el  3.85 %"

4.3.2 Intersección de Karate con Danza

¿Cuáles y cuántas personas practican Krate y Danza y que probabilidad representan?

KID <- intersect(K, D)
KID
## [1] "Mary"  "Lucy"  "Raúl"  "Danna"
n <- length(KID)
n
## [1] 4

Determinando la probabilidad del conjunto KID

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Karate y Danza, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  4  personas que juegan Karate y Danza, de un total de  26  lo que representa el  15.38 %"

4.4 Diferencia entre conjuntos

La operación de diferencia se representa matemáticamente con el símbolo de “-” y en código de R se usarán la frase símbolo “dif” como parte de la variable.

4.4.1 Basquetbol menos Futbol

BdifF <- setdiff(B, F)
BdifF
## [1] "Hugo"    "Paty"    "Paco"    "Raúl"    "Ernesto" "Pablo"   "Sara"   
## [8] "Yolanda"
n <- length(BdifF)
n
## [1] 8

Determinando la probabilidad del conjunto BdifF

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  8  personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de  26  lo que representa el  30.77 %"

4.4.2 Basquetbol menos Karate

BdifK <- setdiff(B, K)
BdifK
## [1] "Hugo"    "Paty"    "Paco"    "Luis"    "Ernesto" "Pablo"   "Sara"   
## [8] "Yolanda"
n <- length(BdifK)
n
## [1] 8

Determinando la probabilidad del conjunto BdifK

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  8  personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de  26  lo que representa el  30.77 %"

4.5 Complemento entre conjuntos

Significa determinar los elementos que no están en un conjunto para complementar otro conjunto o de todo el espacio muestral.

En R se rerpesentará con la letra C

4.5.1 Completo de Basquetbol

Todos los que no están en Basquetbol CB. Para encontrar el complemento se reutiliza la función setdiff() que en realidad encuentra aquellos que no están en otro subconjunto.

CB <- setdiff(S.muestral, B)
CB
##  [1] "Guadalupe" "Javier"    "Marco"     "Aurelio"   "Raquel"    "Eunice"   
##  [7] "Alejandra" "Carolina"  "Azucena"   "Mary"      "Lucy"      "Daniel"   
## [13] "Noemi"     "Danna"     "Henry"     "Arturo"    "Karla"
n <- length(CB)
n
## [1] 17
paste ("El complemento de Basquetbol tiene", n , " elementos que representan ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "El complemento de Basquetbol tiene 17  elementos que representan  65.38 %"

La probabilidad de complemento de un conjunto es restar su probabilidad a 1:

\[ Complemento.Basquetbol = 1 - P(Basquetbol) \]

paste("Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol)", 1 - length(B) / N, " representando el ", (1 - length(B) / N) * 100, "%") 
## [1] "Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol) 0.653846153846154  representando el  65.3846153846154 %"

5 Interpretación

5.1 ¿Qué representa cada operación de las vistas en el caso?

La Unión es cuando juntamos todos los elementos de todos los conjuntos, pero aquellos que se repitan en ambos solo deben repetirse una vez.

La intersección son aquellos elementos que tienen en común ambos operandos (conjuntos).

La operación diferencia son los elementos que pertenecen a un conjunto y que no pertenecen al segundo conjunto.

La operación complemento son los elementos que hacen falta para completar el universo, son aquellos elementos del universo que no aparecen en un conjunto.

5.2 ¿Para qué usar operaciones de conjuntos en términos de probabilidad?

Usando operaciones de conjuntos nos permite identificar la frecuencia de ciertos eventos, ya sean lo que usan operadores lógicos “o,” “y,” “no,” y así poder usarlos para sacar la probabilidad dividiendo la frecuencia del evento entre la cantidad de elementos del universo \(\frac{n}{N}\)

5.3 Qué es mas probable:

5.3.1 ¿Que exista una persona que participe en Karate o Fútbol (unión) o que exista una persona de la diferencia entre Fútbol menos Danza?.

# Pendiente
n <- length(union(K, F)) 
PKUF <- n/N
paste("PROBABILIDAD KARATE O FÚTBOL: ")
## [1] "PROBABILIDAD KARATE O FÚTBOL: "
PKUF
## [1] 0.6153846
n <- length(setdiff(F, D))
PFdifD<- n/N
paste("PROBABILIDAD DE FÚTBOL MENOS DANZA")
## [1] "PROBABILIDAD DE FÚTBOL MENOS DANZA"
PFdifD
## [1] 0.3076923
paste("Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza")
## [1] "Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza"

5.3.2 ¿Que existe una persona en el complemento de Danza o que exista una persona en la unión de Danza y Karate?

n <- length(setdiff(S.muestral, D)) 
CD <- n/N
paste("PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA NO PRACTIQUE DANZA: ")
## [1] "PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA NO PRACTIQUE DANZA: "
CD
## [1] 0.6538462
n <- length(union(D, K))
paste("PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE DANZA O KARATE: ")
## [1] "PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE DANZA O KARATE: "
DUK<- n/N
DUK
## [1] 0.5
paste("Es MÁS probable que NO haya una persona que participe en DANZA que una persona que participe en DANZA Y KARATE. 
")
## [1] "Es MÁS probable que NO haya una persona que participe en DANZA que una persona que participe en DANZA Y KARATE. \n"

5.3.3 ¿Existe probabilidad de que hay personas que practiquen Basquetbol y Karate?, de cuánto?

n <- length(intersect(B,K))
BIK <- n/N
paste(n, "personas")
## [1] "1 personas"
paste("LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA PERSONAS EN BASQUETBOL Y KARATE ES DE: ", BIK)
## [1] "LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA PERSONAS EN BASQUETBOL Y KARATE ES DE:  0.0384615384615385"

5.3.4 ¿Cuántos y cuál es la probabilidad de personas que practiquen Rondalla y Danza?

n <- length(intersect(R,D))
paste("SON ",n," PERSONAS QUE PRACTICAN RONDALLA Y DANZA")
## [1] "SON  2  PERSONAS QUE PRACTICAN RONDALLA Y DANZA"
RID <- n/N
paste("LA PROBABILIDAD ES DE: ", RID)
## [1] "LA PROBABILIDAD ES DE:  0.0769230769230769"

5.3.5 ¿Qué es más probable: personas que practiquen Danza y Rondalla o Basquetbol y Karate y Danza?

n <- length(intersect(D,R))
DIR <- n/N
paste("PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE DANZA Y RONDALLA: ")
## [1] "PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE DANZA Y RONDALLA: "
DIR
## [1] 0.07692308
n <- intersect(B,K)
m <- length(intersect(n,D))
BIKID <- m/N
paste("PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE BASQUETBOL, KARATE Y DANZA: ")
## [1] "PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE BASQUETBOL, KARATE Y DANZA: "
BIKID
## [1] 0.03846154
paste("ES MÁS PROBABLE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE DANZA Y RONDALLA QUE UNA PERSONA PRACTIQUE TANTO BASQUETBOL COMO KARATE Y DANZA A LA VEZ")
## [1] "ES MÁS PROBABLE QUE UNA PERSONA PRACTIQUE DANZA Y RONDALLA QUE UNA PERSONA PRACTIQUE TANTO BASQUETBOL COMO KARATE Y DANZA A LA VEZ"

Lipschutz, S., & Ceballos, J. M. C. (1970). Teoría y problemas de teoría de conjuntos y temas afines (No. 511.322 511.322 L5T4 L5T47). McGraw-Hill.

Muñoz, J. (2012). Introducción a la teoría de conjuntos. Universidad Nacional de Colombia.

Castillo, C. I. (1999). Lógica y teoría de conjuntos. CI Castillo, Lógica y teoría de conjuntos.