Tarea 3. Método de Newton Raphson y de la secante.

Ejercicio 1

Usa el método de Newton paso por paso para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado.

1. \(x^3-2x^2-5=0\), \([1,4]\)

## [1] 2.871783

2. \(x-cosx=0\), \([0, \pi/2]\)

## [1] 0.7390851

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de cuatro iteraciones es 0.7390851

Ejercicio 2

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y compáralo con las soluciones obtenidas por medio del método de la bisección (ejercicio 3 de la tarea 2).

1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

newtonRaphson(f_2a,0,df_2a)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 8.131176e-09

bisect(f_2a,0,1)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

newtonRaphson(f_2b, 0, df_2b)

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.665238e-12

bisect(f_2b,0,1)

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

3. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

newtonRaphson(f_2c,-3,df_2c)

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] -1.856085e-08
## 
## $niter
## [1] 15
## 
## $estim.prec
## [1] 4.640211e-09

bisect(f_2c,-3,-2)

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] -3.108624e-15
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

newtonRaphson(f_2c,-1,df_2c)

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] -3.220438e-08
## 
## $niter
## [1] 22
## 
## $estim.prec
## [1] 8.051095e-09

bisect(f_2c,-1,0)

## $root
## [1] -0.79816
## 
## $f.root
## [1] 4.857226e-17
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

4. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

newtonRaphson(f_2c,-0.2,df_2c)

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] 2.346462e-08
## 
## $niter
## [1] 29
## 
## $estim.prec
## [1] 5.866156e-09

newtonRaphson(f_2c,-1.2,df_2c)

## Warning in newtonRaphson(f_2c, -1.2, df_2c): Maximum number of iterations
## 'maxiter' was reached.

## $root
## [1] -10341.16
## 
## $f.root
## [1] -106911826
## 
## $niter
## [1] 501
## 
## $estim.prec
## [1] 3488.496

bisect(f_2c, -1.2, 1.3)

## $root
## [1] -0.79816
## 
## $f.root
## [1] 4.857226e-17
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Ejercicio 3

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y de la secante.

1. \(e^x+2^{-x}+2\,cos\,x-6=0\), para \(1\leq x\leq 2\).

newtonRaphson(f_3a, 1, df_3a)

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 8.881784e-16
## 
## $niter
## [1] 8
## 
## $estim.prec
## [1] 5.786101e-10

secant(f_3a, 1, 2)

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 2.306688e-11
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 2.559105e-07

2. \(log(x-1)+cos(x-1)=0\) para \(1.3\leq x \leq 2\).

## Warning in log(x - 1): Se han producido NaNs

newtonRaphson(f_3b, 1.3, df_3b)

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] 2.220446e-16
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.651129e-13

secant(f_3b, 1.3, 2)

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] -2.376654e-12
## 
## $iter
## [1] 8
## 
## $estim.prec
## [1] 6.395966e-08

3. \(2x\,cos\,2x-(x-2)^2=0\) para \(2\leq x \leq 3\) y \(3\leq x \leq 4\).

newtonRaphson(f_3c, 2, df_3c)

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 1.720846e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.970602e-15

secant(f_3c, 2, 3)

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 3.376466e-13
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.939082e-08

4. \(e^x-3x^2=0\) para \(0\leq x \leq 1\) y \(3\leq x \leq 5\).

newtonRaphson(f_3d, 1, df_3c)

## $root
## [1] 0.9100076
## 
## $f.root
## [1] -9.359533e-09
## 
## $niter
## [1] 34
## 
## $estim.prec
## [1] 8.247578e-09

secant(f_3d, 0, 1)

## $root
## [1] 0.9100076
## 
## $f.root
## [1] 2.827174e-09
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.22289e-06

secant(f_3d, 3, 5)

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] -2.557954e-13
## 
## $iter
## [1] 10
## 
## $estim.prec
## [1] 5.375394e-09