matricula <- 4190

Distribuição Binomial

Introdução

A distribuição binomial, também conhecida como experimento de Bernoulli é um modelo de probabilidade que foi construído com base no modelo do binômio de Isaac Newton. As variáveis são do tipo discreta pois possuem valores definidos. Como característica pode-se exemplificar que esses valores serão mutuamente exclusivos, ou seja, “sucesso” ou “fracasso”. Cada resultado de uma séria de ensaios independentes resulta em apenas 01 (um) valor final definido.

A função de probabilidade binomial é dada por: P(X=x)=(np)px(1−p)n−x,x=0,1,…,n

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Binomial(n,p),\) calcule:

(Exercício 1) \(n=10\) e \(p=0.5\)

n=10
set.seed(matricula)
(p <- round(runif(1,0.3,0.7), digits = 2))

## [1] 0.36

\(P(X=2)\)

dbinom(x=2, size = n, prob = p)

## [1] 0.1641562

###Banco de Dados
df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==2, "2", "Outro"))

###Gráfico:
ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário:
De acordo com a demosntração acima, a probabilidade de \(X\) ser igual a 2 é igual a 0,16416.

\(P(X<2)\)

prob1 <- pbinom(q=1, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)+dbinom(x=1, size = n, prob = p)

## [1] 0.07638105

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X < 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário:

De acordo com a demosntração acima, a probabilidade de \(X\) ser menor que 2 é igual a 0.076381.

\(P(X>2)\)

prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)

sum(dbinom(x=3:10, size = n, prob = p))

## [1] 0.7594627

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X > 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário:
A probabilidade de \(X\) ser maior que 2 é 0,7594627.

\(P(X\leq 2)\)

prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:2, size = n, prob = p))

## [1] 0.2405373

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 2)\) é 0,24054.

(Exercício 2) \(n=15\) e \(p=?\)

n=15
set.seed(matricula)
(p=round(runif(1,0.3,0.7),2))

## [1] 0.36

a)\(P(X=3)\)

dbinom(x=3, size = n, prob = p)

## [1] 0.1002487

###Banco de Dados

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==3, "3", "Outro"))

###Gráfico:

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 3",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X=3)\) é 0,1002487.

b)\(P(X=5)\)

dbinom(x=5, size = n, prob = p)

## [1] 0.2093474

###Banco de Dados

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==5, "5", "Outro"))

###Gráfico:

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 5",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X=5)\) é 0,2093474. / —

c)\(P(X\geq 5)\)

sum(dbinom(x=5:15, size = n, prob = p))

## [1] 0.677771

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 5, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X maior ou igual a 5",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) é 0,67778. —

d)\(P(X\leq 4)\)

sum(dbinom(x=0:4, size = n, prob = p))

## [1] 0.322229

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 4, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 4",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 4)\) é 0,32222

e)\(P(X=0)\)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)

## [1] 0.00123794

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==0, "0", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 0",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X=0)\) é 0,00123794.
—

f)\(P(6<X<9)\)

sum(dbinom(x=7:8, size = n, prob = p))

## [1] 0.2217818

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7) | (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 4), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de 6<X<9",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário:
De acordo com a demomstração acima, pode-se perceber que a probabilidade de \(P(6<X<9)=\) é 0,2217818.

g)\(P(10<X<14)\)

sum(dbinom(x=11:13, size = n, prob = p))

## [1] 0.003652792

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 11) | (NSucessos == 13), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de 10<X<14",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(10<X<14)\)=0,003652792. —

h)\(P(X<11)\)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)+dbinom(x=10, size = n, prob = p)

## [1] 0.01302703

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 4), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X < 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X<11)\) é 0,01302703. —

i)\(P(X\leq 11)\)

sum(dbinom(x=0:11, size = n, prob = p))

## [1] 0.9993553

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 11)\) é 0,9993553.

j)\(P(X\geq 11)\)

sum(dbinom(x=11:15, size = n, prob = p))

## [1] 0.003658909

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 4), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X maior ou igual a 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 11)\) = 0,003658909. —

k)\(P(10<X<12)\)

dbinom(x=11, size = n, prob = p)

## [1] 0.003014255

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==11, "11", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 11",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(10<X<12)\)=0,003014255.
— l)\(P(X<15)\)

sum(dbinom(x=0:14, size = n, prob = p))

## [1] 0.9999998

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5), 
  y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X < 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X<15)\) é 0,99998. —

m)\(P(X=15)\)

dbinom(x=15, size = n, prob = p)

## [1] 2.210739e-07

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==15, "15", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X = 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X=15)\) = 2.210739e-07. —

n)\(P(X>15)\)

dbinom(x=16, size = n, prob = p)

## [1] 0

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  
mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==16, "16", "Outro"))


ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(aes(label = round(prob, 5),
  y = prob+0.01),
  
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) + 
  
  labs (title = "Probabilidade de X maior que 15",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X>15)\) é 0. —

Distribuição de Poisson

Introdução

A distribuição de Poisson foi descoberta por Siméon Denis Poisson e está associada a eventos raros. Esse tipo de distribuição se torna aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior do que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. Os resultados devem ocorrer de forma aleatória, ou seja, totalmente por acaso e da probabilidade de ocorrência não deve ser afectado por se ou não os resultados ocorrido anteriormente, de modo que as ocorrências são independentes.

Sua função é dada por: (X=x)=e−λλx/x!,x=0,1,…

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Poisson(\lambda),\) calcule:

(Exercício 3) \(\lambda = 2\)

n=10
lambda=2

\(P(X=2)\)

prob1 <- dpois(x=2, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 2, "2", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

/ Comentário: A probabilidade de \(P(X=2)\) é 0,27067.

\(P(X\leq 2)\)

ppois(q=2, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.6766764

sum(dpois(x=0:2, lambda = lambda))

## [1] 0.6766764

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 2)\)=0,6766764.

\(P(X>2)\)

1-ppois(q=2, lambda = lambda)

## [1] 0.3233236

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior que 2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X>2)\) é 0,3233236.

\(P(X<2)\)

prob1 <- ppois(q=1, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor que 2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Dessa forma \(P(X<2)=\) 0.4060058

(Exercício 4) \(lambda=?\)

n=20
set.seed(matricula)
(lambda=round(runif(1,1,5),2))

## [1] 1.63

a)\(P(X=3)\)

prob1 <- dpois(x=3, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 3, "3", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=3",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X=3)\) é 0,14142.

b)\(P(X=5)\)

prob1 <- dpois(x=5, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 5, "5", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=5",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X=5)\) é 0,01879.

c)\(P(X\geq 5)\)

1-ppois(q=5, lambda = lambda)

## [1] 0.006586624

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 5, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior ou igual a 5",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) é 0.006586624.

d)\(P(X\leq 4)\)

ppois(q=4, lambda = lambda)

## [1] 0.9746264

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 4, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor ou igual a 2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 4)\) é 0.9746264.

e)\(P(X=0)\)

prob1 <- dpois(x=0, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 0, "0", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=0",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: A probabilidade de \(P(X=0)\) é 0,19593. —

f)\(P(6<X<9)\)

sum(dpois(7:8, lambda = lambda))

## [1] 0.001430603

prob1 <- ppois(q=8, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
  ppois(q=6, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7)| (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X =7 ou X=8",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Assim, temos que \(P(6<X<9)=\) 0.0014306.

g)\(P(10<X<14)\)

sum(dpois(11:13, lambda = lambda))

## [1] 1.221199e-06

prob1 <- ppois(q=13, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
  ppois(q=10, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)


df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 11)| (NSucessos == 13), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X = 11 ou X = 13",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Assim, temos que \(P(10<X<14)\)=1.221199e-06.

h)\(P(X<11)\)

prob1 <- ppois(q=10, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor que 11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

i)\(P(X\leq 11)\)

prob1 <- ppois(q=10, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor ou igual a 11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Assim, temos que \(P(X\leq 11)\)=0.9999988.

j)\(P(X\geq 11)\)

1-ppois(q=11, lambda = lambda)

## [1] 1.642799e-07

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos >= 11, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior ou igual a 11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Assim, temos que \(P(X\geq 11)\) é 0.9999988.

k)\(P(10<X<12)\)

prob1 <- dpois(x=11, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 11, "11", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=11",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Assim, temos que \(P(10<X<12)\)=1.0592731^{-6}.

l)\(P(X<15)\)

prob1 <- ppois(q=14, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X menor que 15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

m)\(P(X=15)\)

prob1 <- dpois(x=15, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 15, "15", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Assim, temos que \(P(X=15)\) é igual a 2.2825193^{-10}.

n)\(P(X>15)\)

1-ppois(q=15, lambda = lambda)

## [1] 2.570344e-11

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 15, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X maior que 15",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Comentário: Assim, temos que \(P(X>15)\) é igual a 2.2825193^{-10}.

Distribuição Normal

Introdução

A distribuição normal também é chamada distribuição gaussiana, distribuição de Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss, em referência aos matemáticos, físicos e astrônomos francês Pierre–Simon Laplace. O papel central da distribuição normal decorre do fato de ser o limite de um grande número de distribuições de probabilidade como mostra o teorema central do limite, o qual permite estudar probabilisticamente a média das variáveis independentes de uma amostra aleatória simples de tamanho grande. A distribuição normal corresponde ao comportamento do efeito agregado de experiências aleatórias independentes e semelhantes em certas circunstâncias quando o número de experiências é muito alto.

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Normal(\mu, \sigma^2),\) calcule:

(Exercício 5) \(\mu = 5, \sigma=2\)

mu=5
sigma=2

\(P(X<2)\)

pnorm(q=2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.0668072

pnormGC(2, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.0668072

Comentário: A probabilidade de \(P(X<2)\) é igual a 0,0668072.

\(P(X>2)\)

1-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.9331928

pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.9331928

pnormGC(2, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9331928

Comentário: A probabilidade de \(P(X>2)\) é 0,9331928.

\(P(2<X<11)\)

pnorm(11, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.9318429

pnormGC(c(2,11), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9318429

Comentário: A probabilidade de \(P(2<X<11)\) é 0,9318429.

\(P(X>8)\)

pnorm(8, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.0668072

pnormGC(8, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.0668072

Comentário: A probabilidade de \(P(X>8)\) é 0,0668072. —

(Exercício 6) \(\mu = ??, \sigma=??\)

set.seed(matricula)
(mu <- 5)

## [1] 5

(sigma <- round(runif(1,2,10), digits = 0))

## [1] 3

a)\(P(X\leq 3)\)

pnorm(q=3, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.2524925

pnormGC(3, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.2524925

Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 3)\) é 0,2524925.

b)\(P(X=5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0

pnormGC(c(5,5), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0

Comentário: A probabilidade de \(P(X=5)\) é 0.

c)\(P(X\geq 5)\)

1-pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.5

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.5

pnormGC(5, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.5

Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) é igual a 0,5.

d)\(P(X\leq 4)\)

pnorm(q=4, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.3694413

pnormGC(4, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.3694413

Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 5)\) 0,3694413.

e)\(P(X=0)\)

pnorm(0, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(0, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0

pnormGC(c(0,0), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0

Comentário: A probabilidade de \(P(X=0)\) é 0.

f)\(P(3<X<5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(3, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.2475075

pnormGC(c(3,5), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.2475075

Comentário: A probabilidade de \(P(3<X<5)\) é 0,2475.

g)\(P(2<X<6)\)

pnorm(6, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.4719034

pnormGC(c(2,6), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.4719034

Comentário: A probabilidade de \(P(2<X<6)\) é 0,4719034.
—

h)\(P(X<4)\)

pnorm(q=4, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.3694413

pnormGC(4, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.3694413

Comentário: A probabilidade de \(P(X<4)\) é 0,3694.

i)\(P(X\leq 7)\)

pnorm(q=7, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.7475075

pnormGC(7, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.7475075

Comentário: A probabilidade de \(P(X\leq 7)\) é 0,7475.

j)\(P(X\geq 7)\)

pnorm(7, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.2524925

pnormGC(7, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.2524925

Comentário: A probabilidade de \(P(X\geq 7)\) é 0,2525.

k)\(P(3<X<4)\)

pnorm(4, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(3, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.1169488

pnormGC(c(3,4), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.1169488

Comentário: A probabilidade de \(P(3<X<4)\) é 0,1169.

l)\(P(X<6)\)

pnorm(q=6, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.6305587

pnormGC(6, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.6305587

Comentário: A probabilidade de \(P(X<6)\) é 0,6306.

m)\(P(X=15)\)

pnorm(15, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(15, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0

pnormGC(c(15,15), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0

Comentário: A probabilidade de \(P(X=15)\) é 0.

n)\(P(X>5)\)

pnorm(5, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.5

pnormGC(5, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.5

Comentário: A probabilidade de \(P(X>5)\) é 0,5.

Exercícios Práticos

(Retirado de Rpubs) Considere nascimentos de 4 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter:

Construa um gráfico de probabilidades

femeas <- 0:4
prob <- dbinom(x=femeas, # Quantidade de sucessos
               size = 4, # Quantidade de nascimento
               prob=5/8) # Probabilidade a priori de sucesso

prob

## [1] 0.01977539 0.13183594 0.32958984 0.36621094 0.15258789

plot(femeas, prob, 
     type='h',   # Desenha uma linha vertical
     col='red',   # Cor da linha
     lwd=3)      # Espessura da linha/ponto

Qual a probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas.

prob <- pbinom(q=2,         # Quantidade de fêmeas
        size=4,      # Quantidade total de filhores
        prob=5/8,    # Probabilidade inicial de fêmea
        lower.tail = FALSE #P[X> x]
        )

A probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas é dada por 0.5187988

Exercício Prático de Binomial (Acrescentar)

Tem que ter pelo menos dois itens

Exercício Prático de Poisson (Acrescentar)

Tem que ter pelo menos dois itens

Exercício Prático de Normal (Acrescentar)

Tem que ter pelo menos dois itens

###Conclusão

Relatório 2

Emily Santiago

05/03/2022

Distribuição Binomial

Introdução

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Binomial(n,p),\) calcule:

(Exercício 1) \(n=10\) e \(p=0.5\)

(Exercício 2) \(n=15\) e \(p=?\)

Distribuição de Poisson

Introdução

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Poisson(\lambda),\) calcule:

(Exercício 3) \(\lambda = 2\)

(Exercício 4) \(lambda=?\)

Distribuição Normal

Introdução

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Normal(\mu, \sigma^2),\) calcule:

(Exercício 5) \(\mu = 5, \sigma=2\)

(Exercício 6) \(\mu = ??, \sigma=??\)

Exercícios Práticos

(Retirado de Rpubs) Considere nascimentos de 4 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter:

Exercício Prático de Binomial (Acrescentar)

Exercício Prático de Poisson (Acrescentar)

Exercício Prático de Normal (Acrescentar)