Variograma

Los variogramas son elementales para definir la autocorrelación espacial. Podemos utilizar el conocimiento de esto dentro de formulaciones de interpolación como el kriging.

Antes de definir el concepto de variograma, plateemos el concepto de semivarianza y semivariorgama:

Supongamos que disponemos de puntos que representan la precipitación de la ciudad de Quito:



Teniendo en cuenta la primera ley de Tobler, las cosas que estan más cerca se parecen más que aquellas que están distantes. Por tanto, es de esperar que, en téminos generales, los puntos que presenten valores altos de precipitación estén rodeados por otros que también tiene valores altos. No obstante, conforme nos vayamos alejando, la similaridad irá decreciendo y, por tanto, totalmente distintos y esto no dependerá de la distancia o no puede ser explicado por la distancia, ya que estos valores pueden ser distintos por varios factores externos. En el caso de la precipitación, por ejemplo calentamiento global o que Ecuador este en la linea ecuatorial.



Para poder medir estas distancias se utiliza la semivarianza, la cual es una medida de autocorrelación espacial de una variable \(x\) entre dos puntos \(i,j\) y viene expresada por:

\[γ(xi,xj)=1/2(zi−zj)2\]

El cuadrado de las varianzas se multiplica por \(1/2\) debido a que \(γ(xi,xj)=γ(xj,xi)\). de ahí el uso del prefijo semi.

Dado que pueden calcularse la distancia entre dichos puntos, pueden representarse los valores de \(γ\) frente a distancias \(h\). Se obtiene una nube de puntos (nuve variograma).



A partir de lo anterior, se puede construir un variograma, dado que estos toman un conjunto de semivarianzas por medio de una distancia \(h\) y las agrupan.

El variograma agrupa las semivarianzas por medio de la siguiente expresión:



Para hacer una analogía es lo mismo que sucede con un histograma, este puede cambiar en el ancho de las barras dependiendo el análisis que se desarrolla.

En R se obtiene:



El variograma tiene tres componentes:



SILL

Es el valor en el que la semivariancia converge, y conceptualmente las similaridades o diferencias entre puntos en el espacio dejan de ser explicadas por la distancia.

RANGE

Distancia a la que el modelo se aplana por primera vez.

NUGGE

El valor en el que el semivariograma (casi) intercepta el valor Y.

Cuando se supera el valor de rango la autocorrelación espacial tiende a converger a ser nula, se tiene que los datos recogidos en una serie de puntos son independientes entre sí y no se afectan mutuamente, si que tenga influencia de la distancia.