Caso 7 Combinaciones
Dulce Carolina Niebla Soto
5/3/2022
1 OBJETIVO
Construir combinaciones de conjuntos de datos de personas y de nombres de equipos deportivos.
2 DESCRIPCIÓN
A partir de conjuntos datos (valores individuales) realizar combinaciones para conocer el número de las mismas y el acomodo de los valores para su interpretación en términos de probabilidad.
Cargar librerías
Cargar los datos
Identificar fórmula de factorial
Identificar fórmula de combinaciones
Determinar probabilidades a partir del espacio muestral de las combinaciones
Encontrar probabilidad con base en frecuencia o contabilizar eventos específicos del espacio muestral
Interpretar el caso
2.1 Cargar librerías
Se van a utilizar funciones de la librería “gtools” por lo que se necesario instalarla previamente: install.packages(“gtools”).
Esta librería permitirá hacer combinaciones y permutaciones.
library(gtools)3 MARCO CONCEPTUAL
Para hacer combinaciones es necesario identificar la importancia del valor factorial de un número.
3.1
Factorial
El factorial de un número es el producto de \(n\) por todos los naturales menores que el y se representa con el \(!n\), entonces \(n!=n×(n−1)...×1\).
La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008) .
La función factorial es una fórmula matemática representada por el signo de exclamación \(!\). En la fórmula Factorial se deben multiplicar todos los números enteros y positivos que hay entre el número que aparece en la fórmula y el número \(1\). (Walpole, Myers, and Myers 2012).
Ejemplo: hallar el factorial de 6 o se sea \(6!=6×5×4×3×2×1=720\)
3.2 Combinaciones
La regla de conteo de combinaciones permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en rr objetos de un conjunto (usualmente mayor) de nn objetos.
El número de combinaciones distintas de nn objetos distintos que se pueden formar, tomando rr de ellos a un tiempo. (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2010)
3.2.1 Fórmulas de combinaciones
$$
S=Cn = \S \Cn \ \ n \ r
$$
3.3 Ejemplo 1. Nombres de personas
Se trata de hacer combinaciones con los nombres de cuatro personas: “Oscar,” “Paco,” “Paty,” “Laura” … … (otros nombres) en grupos de 2. Entonces \(n=17\), porque hay dieciciete nombres o elementos y \(r=2\) porque se trata de agrupar de dos en dos.
¿Cuántas combinaciones deberá haber?
Oscar y Paco
Oscar y Paty
Oscar y Laura
Paco y Paty
… …
Paty y Laura
nombres <- c("Oscar", "Paco", "Paty", "Laura", "Rubén", "Luis", "Lucy", "Alberto", "Juan", "Alejandro", "Diego", "Carolina", "Dulce", "Liliana", "Hugo", "Víctor", "Martha") n <- length(nombres) r <- 2 # ¿cómo agrupar? Cn <- factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r)) paste("Existen ", Cn , " posibles combinaciones del total de ", n , " nombres ", " en grupos de ", r ," en ", r)## [1] "Existen 136 posibles combinaciones del total de 17 nombres en grupos de 2 en 2"
3.4 Ejemplo 2. Nombres de equipos de fútbol en México.
Se trata de hacer combinaciones con los nombres de seis equipos de fútbol: “Atlas,” “Guadalajara,” “Monterrey,” “América,” “Cruz Azul,” “Santos” en grupos de 3. Entonces \(n=13\), porque hay trece equipos o elementos y \(r=4\) porque se trata de agrupar de tres en tres.
¿Cuántas combinaciones deberá haber?
equipos <- c("Atlas", "Guadalajara", "Monterrey", "América", "Cruz Azul", "Santos", "Mazatlán", "Tijuana", "León", "Pachuca", "Querétaro", "Club León", "Puebla")
n <- length(equipos)
r <- 5 # ¿cómo agrupar?
Cn <- factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r))
paste("Existen ", Cn , " posibles combinaciones del total de ", n , " equipos ", " en grupos de ", r ," en ", r)## [1] "Existen 1287 posibles combinaciones del total de 13 equipos en grupos de 5 en 5"4 DESARROLLO
Hacer combinaciones con nombres de personas
Si bien la fórmula de combinaciones indica el número de combinaciones posibles de un conjunto de elementos pero lo que se desea conocer es ¿cómo se forman las combinaciones o cómo se verían los grupos formados?.
Se utiliza la función combination().
4.1 Combinaciones de nombres.
Se utiliza la función combinations() y se requiere por lo menos tres atributos:
La cantidad de elementos n
Los grupos de cuanto en cuanto se forman r
y los elementos, o sea en este caso el vector v
4.1.1 Nombres de personas
Se muestran las posibles combinaciones de los nombres de personas. Las función combinations() ordena los valores alfabéticamente y luego construye las combinaciones.
nombres## [1] "Oscar" "Paco" "Paty" "Laura" "Rubén" "Luis"
## [7] "Lucy" "Alberto" "Juan" "Alejandro" "Diego" "Carolina"
## [13] "Dulce" "Liliana" "Hugo" "Víctor" "Martha"Cn.nombres <- combinations(n = length(nombres), r= 2, v= nombres)
Cn.nombres## [,1] [,2]
## [1,] "Alberto" "Alejandro"
## [2,] "Alberto" "Carolina"
## [3,] "Alberto" "Diego"
## [4,] "Alberto" "Dulce"
## [5,] "Alberto" "Hugo"
## [6,] "Alberto" "Juan"
## [7,] "Alberto" "Laura"
## [8,] "Alberto" "Liliana"
## [9,] "Alberto" "Lucy"
## [10,] "Alberto" "Luis"
## [11,] "Alberto" "Martha"
## [12,] "Alberto" "Oscar"
## [13,] "Alberto" "Paco"
## [14,] "Alberto" "Paty"
## [15,] "Alberto" "Rubén"
## [16,] "Alberto" "Víctor"
## [17,] "Alejandro" "Carolina"
## [18,] "Alejandro" "Diego"
## [19,] "Alejandro" "Dulce"
## [20,] "Alejandro" "Hugo"
## [21,] "Alejandro" "Juan"
## [22,] "Alejandro" "Laura"
## [23,] "Alejandro" "Liliana"
## [24,] "Alejandro" "Lucy"
## [25,] "Alejandro" "Luis"
## [26,] "Alejandro" "Martha"
## [27,] "Alejandro" "Oscar"
## [28,] "Alejandro" "Paco"
## [29,] "Alejandro" "Paty"
## [30,] "Alejandro" "Rubén"
## [31,] "Alejandro" "Víctor"
## [32,] "Carolina" "Diego"
## [33,] "Carolina" "Dulce"
## [34,] "Carolina" "Hugo"
## [35,] "Carolina" "Juan"
## [36,] "Carolina" "Laura"
## [37,] "Carolina" "Liliana"
## [38,] "Carolina" "Lucy"
## [39,] "Carolina" "Luis"
## [40,] "Carolina" "Martha"
## [41,] "Carolina" "Oscar"
## [42,] "Carolina" "Paco"
## [43,] "Carolina" "Paty"
## [44,] "Carolina" "Rubén"
## [45,] "Carolina" "Víctor"
## [46,] "Diego" "Dulce"
## [47,] "Diego" "Hugo"
## [48,] "Diego" "Juan"
## [49,] "Diego" "Laura"
## [50,] "Diego" "Liliana"
## [51,] "Diego" "Lucy"
## [52,] "Diego" "Luis"
## [53,] "Diego" "Martha"
## [54,] "Diego" "Oscar"
## [55,] "Diego" "Paco"
## [56,] "Diego" "Paty"
## [57,] "Diego" "Rubén"
## [58,] "Diego" "Víctor"
## [59,] "Dulce" "Hugo"
## [60,] "Dulce" "Juan"
## [61,] "Dulce" "Laura"
## [62,] "Dulce" "Liliana"
## [63,] "Dulce" "Lucy"
## [64,] "Dulce" "Luis"
## [65,] "Dulce" "Martha"
## [66,] "Dulce" "Oscar"
## [67,] "Dulce" "Paco"
## [68,] "Dulce" "Paty"
## [69,] "Dulce" "Rubén"
## [70,] "Dulce" "Víctor"
## [71,] "Hugo" "Juan"
## [72,] "Hugo" "Laura"
## [73,] "Hugo" "Liliana"
## [74,] "Hugo" "Lucy"
## [75,] "Hugo" "Luis"
## [76,] "Hugo" "Martha"
## [77,] "Hugo" "Oscar"
## [78,] "Hugo" "Paco"
## [79,] "Hugo" "Paty"
## [80,] "Hugo" "Rubén"
## [81,] "Hugo" "Víctor"
## [82,] "Juan" "Laura"
## [83,] "Juan" "Liliana"
## [84,] "Juan" "Lucy"
## [85,] "Juan" "Luis"
## [86,] "Juan" "Martha"
## [87,] "Juan" "Oscar"
## [88,] "Juan" "Paco"
## [89,] "Juan" "Paty"
## [90,] "Juan" "Rubén"
## [91,] "Juan" "Víctor"
## [92,] "Laura" "Liliana"
## [93,] "Laura" "Lucy"
## [94,] "Laura" "Luis"
## [95,] "Laura" "Martha"
## [96,] "Laura" "Oscar"
## [97,] "Laura" "Paco"
## [98,] "Laura" "Paty"
## [99,] "Laura" "Rubén"
## [100,] "Laura" "Víctor"
## [101,] "Liliana" "Lucy"
## [102,] "Liliana" "Luis"
## [103,] "Liliana" "Martha"
## [104,] "Liliana" "Oscar"
## [105,] "Liliana" "Paco"
## [106,] "Liliana" "Paty"
## [107,] "Liliana" "Rubén"
## [108,] "Liliana" "Víctor"
## [109,] "Lucy" "Luis"
## [110,] "Lucy" "Martha"
## [111,] "Lucy" "Oscar"
## [112,] "Lucy" "Paco"
## [113,] "Lucy" "Paty"
## [114,] "Lucy" "Rubén"
## [115,] "Lucy" "Víctor"
## [116,] "Luis" "Martha"
## [117,] "Luis" "Oscar"
## [118,] "Luis" "Paco"
## [119,] "Luis" "Paty"
## [120,] "Luis" "Rubén"
## [121,] "Luis" "Víctor"
## [122,] "Martha" "Oscar"
## [123,] "Martha" "Paco"
## [124,] "Martha" "Paty"
## [125,] "Martha" "Rubén"
## [126,] "Martha" "Víctor"
## [127,] "Oscar" "Paco"
## [128,] "Oscar" "Paty"
## [129,] "Oscar" "Rubén"
## [130,] "Oscar" "Víctor"
## [131,] "Paco" "Paty"
## [132,] "Paco" "Rubén"
## [133,] "Paco" "Víctor"
## [134,] "Paty" "Rubén"
## [135,] "Paty" "Víctor"
## [136,] "Rubén" "Víctor"4.1.2 Nombres de equipos de fútbol
Se muestran las posibles combinaciones de los nombres de equipos de fútbol.
equipos## [1] "Atlas" "Guadalajara" "Monterrey" "América" "Cruz Azul"
## [6] "Santos" "Mazatlán" "Tijuana" "León" "Pachuca"
## [11] "Querétaro" "Club León" "Puebla"Cn.equipos <- combinations(n = length(equipos), r = 4, v= equipos)
Cn.equipos## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "América" "Atlas" "Club León" "Cruz Azul"
## [2,] "América" "Atlas" "Club León" "Guadalajara"
## [3,] "América" "Atlas" "Club León" "León"
## [4,] "América" "Atlas" "Club León" "Mazatlán"
## [5,] "América" "Atlas" "Club León" "Monterrey"
## [6,] "América" "Atlas" "Club León" "Pachuca"
## [7,] "América" "Atlas" "Club León" "Puebla"
## [8,] "América" "Atlas" "Club León" "Querétaro"
## [9,] "América" "Atlas" "Club León" "Santos"
## [10,] "América" "Atlas" "Club León" "Tijuana"
## [11,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Guadalajara"
## [12,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "León"
## [13,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Mazatlán"
## [14,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Monterrey"
## [15,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Pachuca"
## [16,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Puebla"
## [17,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Querétaro"
## [18,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Santos"
## [19,] "América" "Atlas" "Cruz Azul" "Tijuana"
## [20,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "León"
## [21,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [22,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Monterrey"
## [23,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Pachuca"
## [24,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Puebla"
## [25,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Querétaro"
## [26,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Santos"
## [27,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Tijuana"
## [28,] "América" "Atlas" "León" "Mazatlán"
## [29,] "América" "Atlas" "León" "Monterrey"
## [30,] "América" "Atlas" "León" "Pachuca"
## [31,] "América" "Atlas" "León" "Puebla"
## [32,] "América" "Atlas" "León" "Querétaro"
## [33,] "América" "Atlas" "León" "Santos"
## [34,] "América" "Atlas" "León" "Tijuana"
## [35,] "América" "Atlas" "Mazatlán" "Monterrey"
## [36,] "América" "Atlas" "Mazatlán" "Pachuca"
## [37,] "América" "Atlas" "Mazatlán" "Puebla"
## [38,] "América" "Atlas" "Mazatlán" "Querétaro"
## [39,] "América" "Atlas" "Mazatlán" "Santos"
## [40,] "América" "Atlas" "Mazatlán" "Tijuana"
## [41,] "América" "Atlas" "Monterrey" "Pachuca"
## [42,] "América" "Atlas" "Monterrey" "Puebla"
## [43,] "América" "Atlas" "Monterrey" "Querétaro"
## [44,] "América" "Atlas" "Monterrey" "Santos"
## [45,] "América" "Atlas" "Monterrey" "Tijuana"
## [46,] "América" "Atlas" "Pachuca" "Puebla"
## [47,] "América" "Atlas" "Pachuca" "Querétaro"
## [48,] "América" "Atlas" "Pachuca" "Santos"
## [49,] "América" "Atlas" "Pachuca" "Tijuana"
## [50,] "América" "Atlas" "Puebla" "Querétaro"
## [51,] "América" "Atlas" "Puebla" "Santos"
## [52,] "América" "Atlas" "Puebla" "Tijuana"
## [53,] "América" "Atlas" "Querétaro" "Santos"
## [54,] "América" "Atlas" "Querétaro" "Tijuana"
## [55,] "América" "Atlas" "Santos" "Tijuana"
## [56,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Guadalajara"
## [57,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "León"
## [58,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Mazatlán"
## [59,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Monterrey"
## [60,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Pachuca"
## [61,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Puebla"
## [62,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Querétaro"
## [63,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Santos"
## [64,] "América" "Club León" "Cruz Azul" "Tijuana"
## [65,] "América" "Club León" "Guadalajara" "León"
## [66,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [67,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Monterrey"
## [68,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Pachuca"
## [69,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Puebla"
## [70,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Querétaro"
## [71,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Santos"
## [72,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Tijuana"
## [73,] "América" "Club León" "León" "Mazatlán"
## [74,] "América" "Club León" "León" "Monterrey"
## [75,] "América" "Club León" "León" "Pachuca"
## [76,] "América" "Club León" "León" "Puebla"
## [77,] "América" "Club León" "León" "Querétaro"
## [78,] "América" "Club León" "León" "Santos"
## [79,] "América" "Club León" "León" "Tijuana"
## [80,] "América" "Club León" "Mazatlán" "Monterrey"
## [81,] "América" "Club León" "Mazatlán" "Pachuca"
## [82,] "América" "Club León" "Mazatlán" "Puebla"
## [83,] "América" "Club León" "Mazatlán" "Querétaro"
## [84,] "América" "Club León" "Mazatlán" "Santos"
## [85,] "América" "Club León" "Mazatlán" "Tijuana"
## [86,] "América" "Club León" "Monterrey" "Pachuca"
## [87,] "América" "Club León" "Monterrey" "Puebla"
## [88,] "América" "Club León" "Monterrey" "Querétaro"
## [89,] "América" "Club León" "Monterrey" "Santos"
## [90,] "América" "Club León" "Monterrey" "Tijuana"
## [91,] "América" "Club León" "Pachuca" "Puebla"
## [92,] "América" "Club León" "Pachuca" "Querétaro"
## [93,] "América" "Club León" "Pachuca" "Santos"
## [94,] "América" "Club León" "Pachuca" "Tijuana"
## [95,] "América" "Club León" "Puebla" "Querétaro"
## [96,] "América" "Club León" "Puebla" "Santos"
## [97,] "América" "Club León" "Puebla" "Tijuana"
## [98,] "América" "Club León" "Querétaro" "Santos"
## [99,] "América" "Club León" "Querétaro" "Tijuana"
## [100,] "América" "Club León" "Santos" "Tijuana"
## [101,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "León"
## [102,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [103,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Monterrey"
## [104,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Pachuca"
## [105,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Puebla"
## [106,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Querétaro"
## [107,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Santos"
## [108,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Tijuana"
## [109,] "América" "Cruz Azul" "León" "Mazatlán"
## [110,] "América" "Cruz Azul" "León" "Monterrey"
## [111,] "América" "Cruz Azul" "León" "Pachuca"
## [112,] "América" "Cruz Azul" "León" "Puebla"
## [113,] "América" "Cruz Azul" "León" "Querétaro"
## [114,] "América" "Cruz Azul" "León" "Santos"
## [115,] "América" "Cruz Azul" "León" "Tijuana"
## [116,] "América" "Cruz Azul" "Mazatlán" "Monterrey"
## [117,] "América" "Cruz Azul" "Mazatlán" "Pachuca"
## [118,] "América" "Cruz Azul" "Mazatlán" "Puebla"
## [119,] "América" "Cruz Azul" "Mazatlán" "Querétaro"
## [120,] "América" "Cruz Azul" "Mazatlán" "Santos"
## [121,] "América" "Cruz Azul" "Mazatlán" "Tijuana"
## [122,] "América" "Cruz Azul" "Monterrey" "Pachuca"
## [123,] "América" "Cruz Azul" "Monterrey" "Puebla"
## [124,] "América" "Cruz Azul" "Monterrey" "Querétaro"
## [125,] "América" "Cruz Azul" "Monterrey" "Santos"
## [126,] "América" "Cruz Azul" "Monterrey" "Tijuana"
## [127,] "América" "Cruz Azul" "Pachuca" "Puebla"
## [128,] "América" "Cruz Azul" "Pachuca" "Querétaro"
## [129,] "América" "Cruz Azul" "Pachuca" "Santos"
## [130,] "América" "Cruz Azul" "Pachuca" "Tijuana"
## [131,] "América" "Cruz Azul" "Puebla" "Querétaro"
## [132,] "América" "Cruz Azul" "Puebla" "Santos"
## [133,] "América" "Cruz Azul" "Puebla" "Tijuana"
## [134,] "América" "Cruz Azul" "Querétaro" "Santos"
## [135,] "América" "Cruz Azul" "Querétaro" "Tijuana"
## [136,] "América" "Cruz Azul" "Santos" "Tijuana"
## [137,] "América" "Guadalajara" "León" "Mazatlán"
## [138,] "América" "Guadalajara" "León" "Monterrey"
## [139,] "América" "Guadalajara" "León" "Pachuca"
## [140,] "América" "Guadalajara" "León" "Puebla"
## [141,] "América" "Guadalajara" "León" "Querétaro"
## [142,] "América" "Guadalajara" "León" "Santos"
## [143,] "América" "Guadalajara" "León" "Tijuana"
## [144,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey"
## [145,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca"
## [146,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla"
## [147,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro"
## [148,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos"
## [149,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Tijuana"
## [150,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Pachuca"
## [151,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Puebla"
## [152,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Querétaro"
## [153,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Santos"
## [154,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Tijuana"
## [155,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Puebla"
## [156,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Querétaro"
## [157,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Santos"
## [158,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Tijuana"
## [159,] "América" "Guadalajara" "Puebla" "Querétaro"
## [160,] "América" "Guadalajara" "Puebla" "Santos"
## [161,] "América" "Guadalajara" "Puebla" "Tijuana"
## [162,] "América" "Guadalajara" "Querétaro" "Santos"
## [163,] "América" "Guadalajara" "Querétaro" "Tijuana"
## [164,] "América" "Guadalajara" "Santos" "Tijuana"
## [165,] "América" "León" "Mazatlán" "Monterrey"
## [166,] "América" "León" "Mazatlán" "Pachuca"
## [167,] "América" "León" "Mazatlán" "Puebla"
## [168,] "América" "León" "Mazatlán" "Querétaro"
## [169,] "América" "León" "Mazatlán" "Santos"
## [170,] "América" "León" "Mazatlán" "Tijuana"
## [171,] "América" "León" "Monterrey" "Pachuca"
## [172,] "América" "León" "Monterrey" "Puebla"
## [173,] "América" "León" "Monterrey" "Querétaro"
## [174,] "América" "León" "Monterrey" "Santos"
## [175,] "América" "León" "Monterrey" "Tijuana"
## [176,] "América" "León" "Pachuca" "Puebla"
## [177,] "América" "León" "Pachuca" "Querétaro"
## [178,] "América" "León" "Pachuca" "Santos"
## [179,] "América" "León" "Pachuca" "Tijuana"
## [180,] "América" "León" "Puebla" "Querétaro"
## [181,] "América" "León" "Puebla" "Santos"
## [182,] "América" "León" "Puebla" "Tijuana"
## [183,] "América" "León" "Querétaro" "Santos"
## [184,] "América" "León" "Querétaro" "Tijuana"
## [185,] "América" "León" "Santos" "Tijuana"
## [186,] "América" "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca"
## [187,] "América" "Mazatlán" "Monterrey" "Puebla"
## [188,] "América" "Mazatlán" "Monterrey" "Querétaro"
## [189,] "América" "Mazatlán" "Monterrey" "Santos"
## [190,] "América" "Mazatlán" "Monterrey" "Tijuana"
## [191,] "América" "Mazatlán" "Pachuca" "Puebla"
## [192,] "América" "Mazatlán" "Pachuca" "Querétaro"
## [193,] "América" "Mazatlán" "Pachuca" "Santos"
## [194,] "América" "Mazatlán" "Pachuca" "Tijuana"
## [195,] "América" "Mazatlán" "Puebla" "Querétaro"
## [196,] "América" "Mazatlán" "Puebla" "Santos"
## [197,] "América" "Mazatlán" "Puebla" "Tijuana"
## [198,] "América" "Mazatlán" "Querétaro" "Santos"
## [199,] "América" "Mazatlán" "Querétaro" "Tijuana"
## [200,] "América" "Mazatlán" "Santos" "Tijuana"
## [201,] "América" "Monterrey" "Pachuca" "Puebla"
## [202,] "América" "Monterrey" "Pachuca" "Querétaro"
## [203,] "América" "Monterrey" "Pachuca" "Santos"
## [204,] "América" "Monterrey" "Pachuca" "Tijuana"
## [205,] "América" "Monterrey" "Puebla" "Querétaro"
## [206,] "América" "Monterrey" "Puebla" "Santos"
## [207,] "América" "Monterrey" "Puebla" "Tijuana"
## [208,] "América" "Monterrey" "Querétaro" "Santos"
## [209,] "América" "Monterrey" "Querétaro" "Tijuana"
## [210,] "América" "Monterrey" "Santos" "Tijuana"
## [211,] "América" "Pachuca" "Puebla" "Querétaro"
## [212,] "América" "Pachuca" "Puebla" "Santos"
## [213,] "América" "Pachuca" "Puebla" "Tijuana"
## [214,] "América" "Pachuca" "Querétaro" "Santos"
## [215,] "América" "Pachuca" "Querétaro" "Tijuana"
## [216,] "América" "Pachuca" "Santos" "Tijuana"
## [217,] "América" "Puebla" "Querétaro" "Santos"
## [218,] "América" "Puebla" "Querétaro" "Tijuana"
## [219,] "América" "Puebla" "Santos" "Tijuana"
## [220,] "América" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"
## [221,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Guadalajara"
## [222,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "León"
## [223,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Mazatlán"
## [224,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Monterrey"
## [225,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Pachuca"
## [226,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Puebla"
## [227,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Querétaro"
## [228,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Santos"
## [229,] "Atlas" "Club León" "Cruz Azul" "Tijuana"
## [230,] "Atlas" "Club León" "Guadalajara" "León"
## [231,] "Atlas" "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [232,] "Atlas" "Club León" "Guadalajara" "Monterrey"
## [233,] "Atlas" "Club León" "Guadalajara" "Pachuca"
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## [242,] "Atlas" "Club León" "León" "Querétaro"
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## [566,] "Cruz Azul" "Mazatlán" "Puebla" "Tijuana"
## [567,] "Cruz Azul" "Mazatlán" "Querétaro" "Santos"
## [568,] "Cruz Azul" "Mazatlán" "Querétaro" "Tijuana"
## [569,] "Cruz Azul" "Mazatlán" "Santos" "Tijuana"
## [570,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Pachuca" "Puebla"
## [571,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Pachuca" "Querétaro"
## [572,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Pachuca" "Santos"
## [573,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Pachuca" "Tijuana"
## [574,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Puebla" "Querétaro"
## [575,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Puebla" "Santos"
## [576,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Puebla" "Tijuana"
## [577,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Querétaro" "Santos"
## [578,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Querétaro" "Tijuana"
## [579,] "Cruz Azul" "Monterrey" "Santos" "Tijuana"
## [580,] "Cruz Azul" "Pachuca" "Puebla" "Querétaro"
## [581,] "Cruz Azul" "Pachuca" "Puebla" "Santos"
## [582,] "Cruz Azul" "Pachuca" "Puebla" "Tijuana"
## [583,] "Cruz Azul" "Pachuca" "Querétaro" "Santos"
## [584,] "Cruz Azul" "Pachuca" "Querétaro" "Tijuana"
## [585,] "Cruz Azul" "Pachuca" "Santos" "Tijuana"
## [586,] "Cruz Azul" "Puebla" "Querétaro" "Santos"
## [587,] "Cruz Azul" "Puebla" "Querétaro" "Tijuana"
## [588,] "Cruz Azul" "Puebla" "Santos" "Tijuana"
## [589,] "Cruz Azul" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"
## [590,] "Guadalajara" "León" "Mazatlán" "Monterrey"
## [591,] "Guadalajara" "León" "Mazatlán" "Pachuca"
## [592,] "Guadalajara" "León" "Mazatlán" "Puebla"
## [593,] "Guadalajara" "León" "Mazatlán" "Querétaro"
## [594,] "Guadalajara" "León" "Mazatlán" "Santos"
## [595,] "Guadalajara" "León" "Mazatlán" "Tijuana"
## [596,] "Guadalajara" "León" "Monterrey" "Pachuca"
## [597,] "Guadalajara" "León" "Monterrey" "Puebla"
## [598,] "Guadalajara" "León" "Monterrey" "Querétaro"
## [599,] "Guadalajara" "León" "Monterrey" "Santos"
## [600,] "Guadalajara" "León" "Monterrey" "Tijuana"
## [601,] "Guadalajara" "León" "Pachuca" "Puebla"
## [602,] "Guadalajara" "León" "Pachuca" "Querétaro"
## [603,] "Guadalajara" "León" "Pachuca" "Santos"
## [604,] "Guadalajara" "León" "Pachuca" "Tijuana"
## [605,] "Guadalajara" "León" "Puebla" "Querétaro"
## [606,] "Guadalajara" "León" "Puebla" "Santos"
## [607,] "Guadalajara" "León" "Puebla" "Tijuana"
## [608,] "Guadalajara" "León" "Querétaro" "Santos"
## [609,] "Guadalajara" "León" "Querétaro" "Tijuana"
## [610,] "Guadalajara" "León" "Santos" "Tijuana"
## [611,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca"
## [612,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Puebla"
## [613,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Querétaro"
## [614,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Santos"
## [615,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Tijuana"
## [616,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Puebla"
## [617,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Querétaro"
## [618,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Santos"
## [619,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Tijuana"
## [620,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla" "Querétaro"
## [621,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla" "Santos"
## [622,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla" "Tijuana"
## [623,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro" "Santos"
## [624,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro" "Tijuana"
## [625,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos" "Tijuana"
## [626,] "Guadalajara" "Monterrey" "Pachuca" "Puebla"
## [627,] "Guadalajara" "Monterrey" "Pachuca" "Querétaro"
## [628,] "Guadalajara" "Monterrey" "Pachuca" "Santos"
## [629,] "Guadalajara" "Monterrey" "Pachuca" "Tijuana"
## [630,] "Guadalajara" "Monterrey" "Puebla" "Querétaro"
## [631,] "Guadalajara" "Monterrey" "Puebla" "Santos"
## [632,] "Guadalajara" "Monterrey" "Puebla" "Tijuana"
## [633,] "Guadalajara" "Monterrey" "Querétaro" "Santos"
## [634,] "Guadalajara" "Monterrey" "Querétaro" "Tijuana"
## [635,] "Guadalajara" "Monterrey" "Santos" "Tijuana"
## [636,] "Guadalajara" "Pachuca" "Puebla" "Querétaro"
## [637,] "Guadalajara" "Pachuca" "Puebla" "Santos"
## [638,] "Guadalajara" "Pachuca" "Puebla" "Tijuana"
## [639,] "Guadalajara" "Pachuca" "Querétaro" "Santos"
## [640,] "Guadalajara" "Pachuca" "Querétaro" "Tijuana"
## [641,] "Guadalajara" "Pachuca" "Santos" "Tijuana"
## [642,] "Guadalajara" "Puebla" "Querétaro" "Santos"
## [643,] "Guadalajara" "Puebla" "Querétaro" "Tijuana"
## [644,] "Guadalajara" "Puebla" "Santos" "Tijuana"
## [645,] "Guadalajara" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"
## [646,] "León" "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca"
## [647,] "León" "Mazatlán" "Monterrey" "Puebla"
## [648,] "León" "Mazatlán" "Monterrey" "Querétaro"
## [649,] "León" "Mazatlán" "Monterrey" "Santos"
## [650,] "León" "Mazatlán" "Monterrey" "Tijuana"
## [651,] "León" "Mazatlán" "Pachuca" "Puebla"
## [652,] "León" "Mazatlán" "Pachuca" "Querétaro"
## [653,] "León" "Mazatlán" "Pachuca" "Santos"
## [654,] "León" "Mazatlán" "Pachuca" "Tijuana"
## [655,] "León" "Mazatlán" "Puebla" "Querétaro"
## [656,] "León" "Mazatlán" "Puebla" "Santos"
## [657,] "León" "Mazatlán" "Puebla" "Tijuana"
## [658,] "León" "Mazatlán" "Querétaro" "Santos"
## [659,] "León" "Mazatlán" "Querétaro" "Tijuana"
## [660,] "León" "Mazatlán" "Santos" "Tijuana"
## [661,] "León" "Monterrey" "Pachuca" "Puebla"
## [662,] "León" "Monterrey" "Pachuca" "Querétaro"
## [663,] "León" "Monterrey" "Pachuca" "Santos"
## [664,] "León" "Monterrey" "Pachuca" "Tijuana"
## [665,] "León" "Monterrey" "Puebla" "Querétaro"
## [666,] "León" "Monterrey" "Puebla" "Santos"
## [667,] "León" "Monterrey" "Puebla" "Tijuana"
## [668,] "León" "Monterrey" "Querétaro" "Santos"
## [669,] "León" "Monterrey" "Querétaro" "Tijuana"
## [670,] "León" "Monterrey" "Santos" "Tijuana"
## [671,] "León" "Pachuca" "Puebla" "Querétaro"
## [672,] "León" "Pachuca" "Puebla" "Santos"
## [673,] "León" "Pachuca" "Puebla" "Tijuana"
## [674,] "León" "Pachuca" "Querétaro" "Santos"
## [675,] "León" "Pachuca" "Querétaro" "Tijuana"
## [676,] "León" "Pachuca" "Santos" "Tijuana"
## [677,] "León" "Puebla" "Querétaro" "Santos"
## [678,] "León" "Puebla" "Querétaro" "Tijuana"
## [679,] "León" "Puebla" "Santos" "Tijuana"
## [680,] "León" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"
## [681,] "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca" "Puebla"
## [682,] "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca" "Querétaro"
## [683,] "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca" "Santos"
## [684,] "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca" "Tijuana"
## [685,] "Mazatlán" "Monterrey" "Puebla" "Querétaro"
## [686,] "Mazatlán" "Monterrey" "Puebla" "Santos"
## [687,] "Mazatlán" "Monterrey" "Puebla" "Tijuana"
## [688,] "Mazatlán" "Monterrey" "Querétaro" "Santos"
## [689,] "Mazatlán" "Monterrey" "Querétaro" "Tijuana"
## [690,] "Mazatlán" "Monterrey" "Santos" "Tijuana"
## [691,] "Mazatlán" "Pachuca" "Puebla" "Querétaro"
## [692,] "Mazatlán" "Pachuca" "Puebla" "Santos"
## [693,] "Mazatlán" "Pachuca" "Puebla" "Tijuana"
## [694,] "Mazatlán" "Pachuca" "Querétaro" "Santos"
## [695,] "Mazatlán" "Pachuca" "Querétaro" "Tijuana"
## [696,] "Mazatlán" "Pachuca" "Santos" "Tijuana"
## [697,] "Mazatlán" "Puebla" "Querétaro" "Santos"
## [698,] "Mazatlán" "Puebla" "Querétaro" "Tijuana"
## [699,] "Mazatlán" "Puebla" "Santos" "Tijuana"
## [700,] "Mazatlán" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"
## [701,] "Monterrey" "Pachuca" "Puebla" "Querétaro"
## [702,] "Monterrey" "Pachuca" "Puebla" "Santos"
## [703,] "Monterrey" "Pachuca" "Puebla" "Tijuana"
## [704,] "Monterrey" "Pachuca" "Querétaro" "Santos"
## [705,] "Monterrey" "Pachuca" "Querétaro" "Tijuana"
## [706,] "Monterrey" "Pachuca" "Santos" "Tijuana"
## [707,] "Monterrey" "Puebla" "Querétaro" "Santos"
## [708,] "Monterrey" "Puebla" "Querétaro" "Tijuana"
## [709,] "Monterrey" "Puebla" "Santos" "Tijuana"
## [710,] "Monterrey" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"
## [711,] "Pachuca" "Puebla" "Querétaro" "Santos"
## [712,] "Pachuca" "Puebla" "Querétaro" "Tijuana"
## [713,] "Pachuca" "Puebla" "Santos" "Tijuana"
## [714,] "Pachuca" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"
## [715,] "Puebla" "Querétaro" "Santos" "Tijuana"¿Para qué sirve encontrar el número de combinaciones y la forma en que se agrupan?
Eso sería el espacio muestral que ya construído éste, permite hacer interpretaciones en términos probabilísticos.
5 INTERPRETACIÓN
El resultado de las combinaciones permite construir un espacio muestral que ofrece la oportunidad de conocer en términos de probabilidad, la cantidad de ocasiones y lo que representa un evento conforme a todo el espacio muestral, es decir frecuencia y frecuencia porcentual.
5.1 Preguntas sobre espacio muestral nombres de personas
¿En cuántas ocasiones aparece el nombre de Laura en combinaciones de dos en dos?. Aparece en 17 ocasiones ¿En cuántas ocasiones aparece el nombre de Oscar en las combinaciones de dos en dos?, Aparece en 17 ocasiones
length(nombres == "Laura")## [1] 17length(nombres == "Oscar")## [1] 17En las combinaciones de nombres de dos en dos, ¿en cuántas ocasiones existe Laura y Oscar juntos o contiguos y en ese orden?.
Existe solamente una ocasión en la que Laura y Oscar estan juntos en ese orden, lo que equivale a 1/136 = 0.73%
subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Laura" & Cn.nombres[,2] == "Oscar")## [,1] [,2]
## [1,] "Laura" "Oscar"La nominación [ , ] significa acceder al valor de un data frame por la primer columna y [ ,2] la segunda columna.
En las combinaciones de nombres de dos en dos, ¿en cuántas ocasiones existe Oscar en la primer columna de todo el espacio muestral? En 4 ocasiones se encuentra Oscar en la primera columna, esto equivale a 4/136 = 0.29411 = 2.94%
subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Oscar")## [,1] [,2]
## [1,] "Oscar" "Paco"
## [2,] "Oscar" "Paty"
## [3,] "Oscar" "Rubén"
## [4,] "Oscar" "Víctor"En cuántas ocasiones aparece en primera columna Oscar y Paco o Paty en segunda columna En dos ocasiones aparece en la primera columna Oscar y Paco o Paty en la segunda esto igual a 2/136 = 0.0147 =1.47%
subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Oscar" & (Cn.nombres[,2] == "Paco" | Cn.nombres[,2] == "Paty"))## [,1] [,2]
## [1,] "Oscar" "Paco"
## [2,] "Oscar" "Paty"5.2 Preguntas sobre espacio muestral equipos
En cuántas ocasiones aparece de manera contigua y en este orden los equipos de América y Guadalajara en primera y segunda columna respectivamente. En 28 ocasiones aparece de manera continua los equipos América en la primer columna y Guadalajara en la segunda columna, esto equivale a 28/715 =0.0391 = 3.91%
subset(Cn.equipos, Cn.equipos[,1] == "América" & Cn.equipos[,2] =="Guadalajara" )## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "América" "Guadalajara" "León" "Mazatlán"
## [2,] "América" "Guadalajara" "León" "Monterrey"
## [3,] "América" "Guadalajara" "León" "Pachuca"
## [4,] "América" "Guadalajara" "León" "Puebla"
## [5,] "América" "Guadalajara" "León" "Querétaro"
## [6,] "América" "Guadalajara" "León" "Santos"
## [7,] "América" "Guadalajara" "León" "Tijuana"
## [8,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey"
## [9,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca"
## [10,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla"
## [11,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro"
## [12,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos"
## [13,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Tijuana"
## [14,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Pachuca"
## [15,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Puebla"
## [16,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Querétaro"
## [17,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Santos"
## [18,] "América" "Guadalajara" "Monterrey" "Tijuana"
## [19,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Puebla"
## [20,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Querétaro"
## [21,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Santos"
## [22,] "América" "Guadalajara" "Pachuca" "Tijuana"
## [23,] "América" "Guadalajara" "Puebla" "Querétaro"
## [24,] "América" "Guadalajara" "Puebla" "Santos"
## [25,] "América" "Guadalajara" "Puebla" "Tijuana"
## [26,] "América" "Guadalajara" "Querétaro" "Santos"
## [27,] "América" "Guadalajara" "Querétaro" "Tijuana"
## [28,] "América" "Guadalajara" "Santos" "Tijuana"En cuántas ocasiones aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Atlas y Guadalajara en primera y segunda columna respectivamente. En 28 ocasiones aparece de manera contigua los equipos Atlas en la primera columna y Guadalajara en la segunda columna, esto equivale a 28/715 =0.0391 = 3.91%
subset(Cn.equipos, Cn.equipos[,1] == "Atlas" & Cn.equipos[,2] =="Guadalajara" )## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "Atlas" "Guadalajara" "León" "Mazatlán"
## [2,] "Atlas" "Guadalajara" "León" "Monterrey"
## [3,] "Atlas" "Guadalajara" "León" "Pachuca"
## [4,] "Atlas" "Guadalajara" "León" "Puebla"
## [5,] "Atlas" "Guadalajara" "León" "Querétaro"
## [6,] "Atlas" "Guadalajara" "León" "Santos"
## [7,] "Atlas" "Guadalajara" "León" "Tijuana"
## [8,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey"
## [9,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca"
## [10,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla"
## [11,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro"
## [12,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos"
## [13,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Tijuana"
## [14,] "Atlas" "Guadalajara" "Monterrey" "Pachuca"
## [15,] "Atlas" "Guadalajara" "Monterrey" "Puebla"
## [16,] "Atlas" "Guadalajara" "Monterrey" "Querétaro"
## [17,] "Atlas" "Guadalajara" "Monterrey" "Santos"
## [18,] "Atlas" "Guadalajara" "Monterrey" "Tijuana"
## [19,] "Atlas" "Guadalajara" "Pachuca" "Puebla"
## [20,] "Atlas" "Guadalajara" "Pachuca" "Querétaro"
## [21,] "Atlas" "Guadalajara" "Pachuca" "Santos"
## [22,] "Atlas" "Guadalajara" "Pachuca" "Tijuana"
## [23,] "Atlas" "Guadalajara" "Puebla" "Querétaro"
## [24,] "Atlas" "Guadalajara" "Puebla" "Santos"
## [25,] "Atlas" "Guadalajara" "Puebla" "Tijuana"
## [26,] "Atlas" "Guadalajara" "Querétaro" "Santos"
## [27,] "Atlas" "Guadalajara" "Querétaro" "Tijuana"
## [28,] "Atlas" "Guadalajara" "Santos" "Tijuana"¿En cuántas ocasiones aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Guadalajara y Mazatlán en cualquier columna uno y dos, dos y tres o tres y cuatro?
En 45 ocasiones aparece de manera contigua los equipos Guadalajara y Mazatlán en cualquier columna, ya sea 1 y 2, 2 y 3 o 3 y 4, esto equivale a 45/715 =0.06293 = 6.29%
subset(Cn.equipos, (Cn.equipos[,1] == "Guadalajara" & Cn.equipos[,2] == "Mazatlán")
| (Cn.equipos[,2] == "Guadalajara" & Cn.equipos[,3] == "Mazatlán")
|
(Cn.equipos[,3] == "Guadalajara" & Cn.equipos[,4] == "Mazatlán") )## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "América" "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [2,] "América" "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [3,] "América" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [4,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey"
## [5,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca"
## [6,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla"
## [7,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro"
## [8,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos"
## [9,] "América" "Guadalajara" "Mazatlán" "Tijuana"
## [10,] "Atlas" "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [11,] "Atlas" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [12,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey"
## [13,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca"
## [14,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla"
## [15,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro"
## [16,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos"
## [17,] "Atlas" "Guadalajara" "Mazatlán" "Tijuana"
## [18,] "Club León" "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán"
## [19,] "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey"
## [20,] "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca"
## [21,] "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla"
## [22,] "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro"
## [23,] "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos"
## [24,] "Club León" "Guadalajara" "Mazatlán" "Tijuana"
## [25,] "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey"
## [26,] "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca"
## [27,] "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla"
## [28,] "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro"
## [29,] "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos"
## [30,] "Cruz Azul" "Guadalajara" "Mazatlán" "Tijuana"
## [31,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Pachuca"
## [32,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Puebla"
## [33,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Querétaro"
## [34,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Santos"
## [35,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Monterrey" "Tijuana"
## [36,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Puebla"
## [37,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Querétaro"
## [38,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Santos"
## [39,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Pachuca" "Tijuana"
## [40,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla" "Querétaro"
## [41,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla" "Santos"
## [42,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Puebla" "Tijuana"
## [43,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro" "Santos"
## [44,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Querétaro" "Tijuana"
## [45,] "Guadalajara" "Mazatlán" "Santos" "Tijuana"6 BIBLIOGRAFÍA
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Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.