Relatório II

Obs: Para a geração de números aleatórios vamos utilizar a matrícula como raiz aleatória.

• Entregar até dia 13/03/2022 às 23h59min

matricula <- 8978

Distribuição Binomial

Introdução

Descreva a distribuição binomial e conte um pouco de sua história

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Binomial(n,p),\) calcule:

(Exercício 1) \(n=10\) e \(p=0.5\)

n=10
set.seed(matricula)
(p <- round(runif(1,0.3,0.7), digits = 2))

## [1] 0.65

1. \(P(X=2)\)

dbinom(x=2, size = n, prob = p)

## [1] 0.004281378

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos ==2, "2", "outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X = 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

---

2. \(P(X<2)\)

prob1 <- pbinom(q=1, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

dbinom(x=0, size = n, prob = p)+dbinom(x=1, size = n, prob = p)

## [1] 0.0005398871

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X < 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

A probabilidade de \(X\) ser menor do que 2 é igual a 5.3988712^{-4}

3. \(P(X>2)\)

prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)

sum(dbinom(x=3:10, size = n, prob = p))

## [1] 0.9951787

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X > 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

---

4. \(P(X\leq 2)\)

prob1 <- pbinom(q=2, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=0:2, size = n, prob = p))

## [1] 0.004821265

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de X menor ou igual a 2",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

(Exercício 2) \(n=15\) e \(p=??\)

n=15
set.seed(matricula)
(p=round(runif(1,0.3,0.7),2))

## [1] 0.65

---

a)\(P(X=3)\)

b)\(P(X=5)\)

c)\(P(X\geq 5)\)

d)\(P(X\leq 4)\)

e)\(P(X=0)\)

f)\(P(6<X<9)\)

prob1 <- pbinom(q=8, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)-pbinom(q=6, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

sum(dbinom(x=7:8, size = n, prob = p))

## [1] 0.2029637

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dbinom(x=0:n, size = n, prob = p)) %>% 
  mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7) | (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) + 
  geom_col() + 
  geom_text(
    aes(label = round(prob, 5), y = prob+0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) + 
  labs (title = "Probabilidade de 6<X<9",
        subtitle = paste0("Binomial(",n,p,")"),
        x = "Sucessos (X)",
        y = "Probabilidade")

Dessa forma, obtemos que \(P(6<X<9)=\) 0.2029637

---

g)\(P(10<X<14)\)

h)\(P(X<11)\)

i)\(P(X\leq 11)\)

j)\(P(X\geq 11)\)

k)\(P(10<X<12)\)

l)\(P(X<15)\)

m)\(P(X=15)\)

n)\(P(X>15)\)

---

Distribuição de Poisson

Introdução

Descreva a distribuição de Poisson e conte um pouco de sua história

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Poisson(\lambda),\) calcule:

(Exercício 3) \(\lambda = 2\)

n=10
lambda=2

1. \(P(X=2)\)

prob1 <- dpois(x=2, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos == 2, "2", "Outro"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Logo, \(P(X=2)=\) 0.2706706

2. \(P(X\leq 2)\)

ppois(q=2, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.6766764

sum(dpois(x=0:2, lambda = lambda))

## [1] 0.6766764

df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos <= 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<=2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

---

3. \(P(X>2)\)

1-ppois(q=2, lambda = lambda)

## [1] 0.3233236

ppois(q = 2, lambda = lambda, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.3233236

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos > 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X>2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

---

4. \(P(X<2)\)

prob1 <- ppois(q=1, lambda = lambda)

df <- data.frame(NSucessos = 0:10, 
                 prob = dpois(x = 0:10, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse(NSucessos < 2, "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade X<2",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Dessa forma \(P(X<2)=\) 0.4060058

---

(Exercício 4) \(lambda=??\)

n=20
set.seed(matricula)
(lambda=round(runif(1,1,5),2))

## [1] 4.52

---

a)\(P(X=3)\)

b)\(P(X=5)\)

c)\(P(X\geq 5)\)

d)\(P(X\leq 4)\)

e)\(P(X=0)\)

---

f)\(P(6<X<9)\)

sum(dpois(7:8, lambda = lambda))

## [1] 0.1303292

prob1 <- ppois(q=8, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)-
  ppois(q=6, lambda = lambda, lower.tail = TRUE)


df <- data.frame(NSucessos = 0:n, 
                 prob = dpois(x = 0:n, lambda = lambda)) %>%
      mutate(Resultados = ifelse((NSucessos == 7)| (NSucessos == 8), "Sucesso", "Fracasso"))

ggplot(df, aes(x = factor(NSucessos), y = prob, fill = Resultados)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,5), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X =7 ou X=8",
       subtitle = paste0("Poisson(",lambda,")"),
       x = "Sucessos (x)",
       y = "Probabilidade")

Assim, temos que \(P(6<X<9)=\) 0.1303292

---

g)\(P(10<X<14)\)

h)\(P(X<11)\)

i)\(P(X\leq 11)\)

j)\(P(X\geq 11)\)

k)\(P(10<X<12)\)

l)\(P(X<15)\)

m)\(P(X=15)\)

n)\(P(X>15)\)

---

Distribuição Normal

Introdução

Descreva a distribuição normal e conte um pouco de sua história

Suponha que \(X\) tenha distribuição \(Normal(\mu, \sigma^2),\) calcule:

(Exercício 5) \(\mu = 5, \sigma=2\)

mu=5
sigma=2

---

1. \(P(X<2)\)

pnorm(q=2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.0668072

pnormGC(2, region="below", mean=mu,
        sd=sigma, graph=TRUE)

## [1] 0.0668072

2. \(P(X>2)\)

1-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.9331928

pnorm(2, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.9331928

pnormGC(2, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9331928

---

3. \(P(2<X<11)\)

pnorm(11, mean = mu, sd=sigma)-pnorm(2, mean = mu, sd=sigma)

## [1] 0.9318429

pnormGC(c(2,11), region="between", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.9318429

4. \(P(X>8)\)

pnorm(8, mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.0668072

pnormGC(8, region="above", mean=mu,
        sd=sigma,graph=TRUE)

## [1] 0.0668072

---

(Exercício 6) \(\mu = ??, \sigma=??\)

set.seed(matricula)
(mu <- 5)

## [1] 5

(sigma <- round(runif(1,2,10), digits = 0))

## [1] 9

---

a)\(P(X\leq 3)\)

b)\(P(X=5)\)

c)\(P(X\geq 5)\)

d)\(P(X\leq 4)\)

e)\(P(X=0)\)

f)\(P(3<X<5)\)

g)\(P(2<X<6)\)

h)\(P(X<4)\)

i)\(P(X\leq 7)\)

j)\(P(X\geq 7)\)

k)\(P(3<X<4)\)

l)\(P(X<6)\)

m)\(P(X=15)\)

n)\(P(X>5)\)

Exercícios Práticos

(Retirado de Rpubs) Considere nascimentos de 4 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial obter:

1. Construa um gráfico de probabilidades

femeas <- 0:4
prob <- dbinom(x=femeas, # Quantidade de sucessos
               size = 4, # Quantidade de nascimento
               prob=5/8) # Probabilidade a priori de sucesso

prob

## [1] 0.01977539 0.13183594 0.32958984 0.36621094 0.15258789

plot(femeas, prob, 
     type='h',   # Desenha uma linha vertical
     col='red',   # Cor da linha
     lwd=3)      # Espessura da linha/ponto

2. Qual a probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas.

prob <- pbinom(q=2,         # Quantidade de fêmeas
        size=4,      # Quantidade total de filhores
        prob=5/8,    # Probabilidade inicial de fêmea
        lower.tail = FALSE #P[X> x]
        )

A probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas é dada por 0.5187988

Exercício Prático de Binomial (Acrescentar)

Tem que ter pelo menos dois itens

Exercício Prático de Poisson (Acrescentar)

Tem que ter pelo menos dois itens

Exercício Prático de Normal (Acrescentar)

Tem que ter pelo menos dois itens

Para finalizar, não deixe o relatório sem explicar o que são distribuições binomiais, de Poisson e Normal.