Estadistica Inferencial Taller 1
Esteban Babativa - Diego Vega
2022-02-24
Estadistica Inferencial
Taller 1
library(tigerstats)- Si \(X\) es una variable aleatoria de una distribucion \(N(\mu,\sigma^2)\), hallar : \(P(\mu -3\sigma \leq X \leq \mu +3\sigma)\)
pnorm(q = 3,mean = 0,sd = 1,lower.tail = TRUE)- pnorm(q = -3,mean = 0,sd = 1,lower.tail = TRUE)## [1] 0.9973002pnormGC(c(-3,3),region = "between",mean = 0,sd = 1,graph = TRUE)
## [1] 0.9973002- En una distribución normal de media 4 y varianza 4, calcular el valor de a para que: \(P(4−a \leq x \leq 4+a) = 0,5934\) Si \[ Z= \frac {X-\mu}{\sigma}\] entonces : \[P(4−a \leq x \leq 4+a) = P(\frac{(4-a)-4}{2}\leq\frac {X-\mu}{\sigma}\leq\frac{(4+a)-4}{2})=0.5934\]
\[P(\frac{-a}{2}\leq Z\leq\frac{a}{2})=0.5934\] \[P(0\leq Z\leq\frac{a}{2})=\frac{0.5934}{2}\] \[P(0\leq Z\leq\frac{a}{2})=0.2967\] \[P(Z\leq\frac{a}{2})-P(Z\leq0)=0.2967\]
pnorm(q = 0,mean = 0,sd = 1,lower.tail = TRUE)## [1] 0.5\[P(Z\leq\frac{a}{2})-0.5=0.2967\] \[P(Z\leq\frac{a}{2})=0.2967+0.5\] \[P(Z\leq\frac{a}{2})=0.7967\]
qnorm(p = 0.7967,mean = 0,sd = 1,lower.tail = TRUE)## [1] 0.8298917\[\frac{a}{2}=0.8298917\] \[a=0.8298917*2\] \[a= 1.659783\] \[P(4−1.659783 \leq x \leq 4+1.659783) = 0,5934\] \[P(X\leq 5.659783)-P(X\leq2.340216)\]
pnormGC(c(2.340216,5.659783),region = "between",mean = 4,sd = 2,graph = TRUE)
## [1] 0.5934- Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio?
\[P(X>24.5)\] \[si \ Z=\frac{x-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt(n)}}\] \[Entonces \ Z=\frac{24.5-24}{\frac{3}{\sqrt(100)}}\] \[Z=\frac{0.5}{\frac{3}{10}}\] \[Z=1.6666\]
pnormGC(bound = 1.6666,region = "above",mean = 0,sd = 1,graph = TRUE)
## [1] 0.04779698la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio es de aproximadamente el 4.78 %
- Sea T una variable aleatoria que sigue una distribucioón t-student con 8 grados de libertad, calcular la probabilidad de que:
*a) T sea menor que 1.3968
ptGC(1.3968,region = "below",df = 8, graph = TRUE)
## [1] 0.8999978*b) T exceda 0.5459
ptGC(0.5459,region = "above",df = 8, graph = TRUE)
## [1] 0.3000111*c) T esté entre 0.8889 y 2.3060
ptGC(c(2.3060,0.8889),region = "between",df = 8, graph = TRUE)
## [1] 0.1749972*d) T esté entre -0.8889 y -0.7064
ptGC(c(-0.8889,-0.7064),region = "between",df = 8, graph = TRUE)
## [1] 0.04999871*e) T exceda -3.3554
ptGC(-3.3554,region = "above",df = 8, graph = TRUE)
## [1] 0.9950001*f) T sea como máximo -1.3968
ptGC(-1.3968,region = "below",df = 8, graph = TRUE)
## [1] 0.1000022- Un análisis estadístico determinó que el tiempo promedio de atención a un cliente en una sucursal de un importante banco nacional se distribuye normalmente con una media de 17 minutos. La gerente de la sucursal considerando los últimos 15 clientes atendidos desea corroborar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. La gerente considera la estimación de la desviaciónn típica obtenida en el estudio realizado, que fue de 3.78 minutos.
*a) El asesor comercial estrella afirrma que la probabilidad de que en promedio la atención de un cliente dure más de 22 minutos es muy baja.
\[n = 15, μ = 17, S = 3,78\] \[P(X > 22=P\frac{X-\mu}{\frac{s}{\sqrt(n)}}\thicksim t(n-1)\] \[P(\frac{22-17}{\frac{3.78}{\sqrt(15)}})\] \[P(\frac{5}{\frac{3.78}{3.87}})\] \[P(\frac{5}{0.976})= 5.122994\]
ptGC(bound = 5.122994,"above" ,df = 14, graph = TRUE)
## [1] 7.749775e-05\[La \ afirmacion \ es \ correcta\] *b) La nueva asesora comercial afirrma que existe una alta probabilidad de que en promedio la atención de un cliente dure entre 14 y 20 minutos.
\[Z = P(\frac{X-\mu}{\frac{s}{\sqrt(n)}})\]
\[P[\frac{14-17}{\frac{3.78}{\sqrt(15)}}\leq Z \leq \frac{20-17}{\frac{3.78}{\sqrt(15)}} ]\] \[P[\frac{-3}{0.976}\leq Z \leq \frac{3}{0.976}]\] \[P(-3.073770\leq Z \leq 3.073770)\] \[P(3.073770)- P(-3.073770)\]
ptGC(c(-3.073770,3.073770),region = "between",df = 14, graph = TRUE)
## [1] 0.9917488\[La \ afirmacion \ es \ correcta\] *c) El director de atención al cliente afirrma que es muy probable que la atención de un cliente en promedio dure menos de 15 minutos.
\[P(X\leq 15)\] \[Z = P(\frac{X-\mu}{\frac{s}{\sqrt(n)}})\]
\[P(\frac{15-17}{\frac{3.78}{\sqrt(15)}}\leq Z) \]
ptGC(-2.049180,region = "below",df = 14, graph = TRUE)
## [1] 0.0298346\[La \ afirmacion \ es \ falsa\] - 6. Considere una variable aleatoria X con distribucion χ2 de 16 grados de libertad. Cual es la probabilidad de que
- X sea menor que 32?
pchisqGC(32,region = "below",df = 16, graph = TRUE)
## [1] 0.9900002- X esté entre 20.47 y 36.46?
pchisq(q = 36.46, df = 16, lower.tail = T) - pchisq(q = 20.47, df = 16, lower.tail = T)## [1] 0.1972972- X esté entre 13.31 y 18.42?
pchisq(q = 18.42, df = 16, lower.tail = T) - pchisq(q = 13.31, df = 16, lower.tail = T)## [1] 0.3500883- Considere una variable aleatoria X con distribución χ2 de 21 grados de libertad. Determine cuál es la probabilidad de que *a) X sea menor que 20.34
pchisqGC(bound = 20.34,region = "below",df = 21, graph = TRUE)
## [1] 0.5001739*b) X exceda 29.62
pchisqGC(29.62,region = "above",df = 21, graph = TRUE)
## [1] 0.09989424*c) X esté entre 17.98 y 32.67
pchisq(q = 32.62, df = 21, lower.tail = T) - pchisq(q = 17.98, df = 21, lower.tail = T)## [1] 0.5996653*d) X esté entre 26.17 y 38.93
pchisq(38.93, df = 21, lower.tail = T) - pchisq(26.17, df = 21, lower.tail = T)## [1] 0.190035*e) X exceda 18.77
pchisqGC(18.77,region = "above",df = 21, graph = TRUE)
## [1] 0.5998916- Un guardabosque, que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pinos en el sureste, está interesado en estimar el promedio de área de la base de los pinos. Al estudiar áreas basales de pinos similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) están distribuidas normalmente con desviación estándar aproximada de 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosque muestrea \(n = 9\) árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional.
\[P(−2\leq X−\mu\leq2)=P(\frac{−2}{1.333}\leq \frac{X−\mu}{1.333} \leq \frac{2}{1.333})\] \[P(−2\leq X−\mu\leq2)=P(\frac{−2}{1.333}\leq Z \leq \frac{2}{1.333})\] \[P(1.5\leq Z \leq \ 1.5)\]
pnormGC(c(1.5,-1.5),region = "between", mean = 0, sd=1, graph = TRUE)
## [1] 0.8663856\[La \ probabilidad \ es \ aproximadamente \ del \ 86.64\%\] - 9. La Environmental Protection Agency se ocupa del problema de establecer criterios para las cantidades de sustancias químicas tóxicas permitidas en lagos y ríos de agua dulce. Una medida común de toxicidad para cualquier contaminante es la concentración de éste que mataría a la mitad de la especie de prueba en un tiempo determinado (por lo general 96 horas para especies de peces). Esta medida se denomina CL50 (concentración letal que mata 50% de la especie de prueba). En muchos estudios, los valores contenidos en el logaritmo natural de mediciones del CL50 están distribuidos normalmente y, en consecuencia, el análisis está basado en datos del ln(CL50). Estudios de los efectos del cobre en cierta especie de peces (por ejemplo la especie A) muestran que la varianza de mediciones de ln(CL50) es alrededor de 0.4 con mediciones de concentración en miligramos por litro. Si han de completarse n = 10 estudios sobre el CL50 para cobre, encuentre la probabilidad de que la media muestral de ln(CL50) diéra de la verdadera media poblacional en no más de 0.5
\[\sigma^2 = 0.4 ,n=10 \] \[ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt(n)}}\] \[P(|\bar{x}-\mu|<0.5)=P(\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt(n)}}< \frac{0.5}{\frac{\sqrt(0.4)}{\sqrt(10)}})\] \[P(|Z|<2.5)\] \[P(-2.5<Z<2.5)\] \[P(Z<2.5)-P(Z<-2.5)\]
pnormGC(c(-2.5,2.5),region = "between",mean = 0,sd = 1,graph = TRUE)
## [1] 0.9875807- Si en el Ejercicio anterior deseamos que la media muestral difiera de la media poblacional en no mas de 0.5 con probabilidad 0.95 ¿Cuantas pruebas deben realizarse? 2 \[P(X<\mu−0.5)=0.025\] \[P({X<-\frac {\sqrt{n}0.5}{\sqrt{0.4}}}=0.025\]
\[k=−\frac {\sqrt{n}0.5}{\sqrt{0.4}}\] \[P(X<k)=0.025\]
qnorm(0.025)## [1] -1.959964\[-1.959964=−\frac {\sqrt{n}0.5}{\sqrt{0.4}}\] \[Despejamos \ n\] \[n= ({\frac{1.959964\sqrt{0.4}}{0.5}})^2 \] \[n=6.14633\] \[Se \ tendrian \ que \ realzar \ 6 \ \ pruebas\ aproximadamente\]
pnormGC(c(-1.959964,1.959964),region = "between",mean = 0,sd = 1,graph = TRUE)
## [1] 0.95