Caso de Estudio - Esperanza de Vida en EU (1970)
En el presente documento se analizarán datos estadísticos sobre información relacionada a las ciudades de Estados Unidos en el año 1970.
Dicha información proviene de: * U.S. Department of Commerce, Bureau of the Census (1977) Statistical Abstract of the United States.
U.S. Department of Commerce, Bureau of the Census (1977) County and City Data Book.
References Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole.
La cual contiene información sobre: * Habitantes. * Analfabetismo. * Ingresos. * Esperanza de vida. * Asesinatos. * Universitarios. * Heladas. * Área. * Densidad poblacional.
Esta se encuentra almacenada dentro de los datasets de R.
Objetivo
En este caso de estudio se busca generar un modelo que nos permita predecir la esperanza de vida media de los habitantes, estableciendo cuales son las variables que más efecto tienen en ella; tomando en cuenta los datos que tenemos, nuestra hipótesis sugiere que la esperanza de vida se puede calcular en función de del ingreso per cápita, la cantidad de universitarios y los asesinatos; las primeras dos nos pueden sugerir que al tener estudios universitarios y un buen ingreso, las personas son menos propensas a morir por enfermedades que no puedan atender, desnutrición o falta de un refugio, y la última puede hacer que nuestra esperanza de vida varie en función de la edad promedio de las personas asesinadas.
El modelo que generaremos a partir del análisis de los datos será a utilizando la Regresión Lineal Múltiple y al final mostraremos la función que nos permitirá predecir la esperanza de vida media de los habitantes en una ciudad.
Concepto de Regresión Lineal Múltiple
La regresión lineal múltiple nos permite generar un modelo lineal dónde el valor de la variable dependiente es determinado a partir de un conjunto de variables independientes llamadas predictores (esto último se debe que analizar con cautela para no malinterpretar causa-efecto).
Los modelos lineales múltiples siguen la siguiente ecuación:
\[ Y_{i}=(\beta_{0}+\beta_{1}X_{1i}+\beta_{2}X_{2i}+\cdots+\beta_{n}X_{ni})+e_{i} \]
\(\beta_{0}\) : es la ordenada en el origen, el valor de la variable dependiente Y cuando todos los predictores son cero.
\(\beta_{i}\) : es el efecto promedio que tiene el incremento en una unidad de la variable predictora Xi sobre la variable dependiente Y manteniéndose constantes el resto de las variables. Se conocen como coeficientes parciales de regresión.
\(e_{i}\) : es el residuo o error, la diferencia entre el valor observado y el estimado por el modelo.
Esperanza de Vida
Introducción
La esperanza de vida es un término utilizado para referirnos al indicador utilizado en la rama de las matemáticas con el fin de medir el promedio de años que se esperaría que una persona o grupo de personas viva desde su nacimiento hasta su muerte. Esto puede ser medido a nivel local, estatal, nacional y global, sin embargo, el análisis de la esperanza de vida de una población es conveniente notar las diferentes variables que afecten este problema, con el fin de conseguir una mayor certeza de lo que se realizará.
Concepto
La definición formal de este término es la siguiente: “Años que un recién nacido puede esperar vivir si los patrones de mortalidad por edades imperantes en el momento de su nacimiento siguieran siendo los mismos a lo largo de toda su vida”.
Significado Real de “Esperanza de Vida”
Si un niño nace hoy en un país donde la esperanza de vida es de 75 años, puede esperar vivir hasta los 75… ¿verdad?
No exactamente.
El indicador sobre “Esperanza de vida” en realidad se refiere a la cantidad de años que viviría un recién nacido si los patrones de mortalidad vigentes al momento de su nacimiento no cambian a lo largo de la vida del infante.
Importancia
La esperanza de vida es una medida que resume la mortalidad de un país; permitiéndonos comparar por generaciones y analizar tendencias. Su interpretación y significado es aún mucho más rica y puede aportarnos información clave sobre el nivel de desarrollo del estado de bienestar de un país.
Este indicador resulta tan importante para describir las condiciones de una población que, junto con el índice de educación y el índice del Producto Interior Bruto (PIB) conforma el Índice de Desarrollo Humano que utiliza el Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo (PNUD). Y es que tener una vida larga y saludable es el mejor indicativo del desarrollo social de un país.
Factores que influyen en la esperanza de vida
La esperanza de vida depende de muchos factores, de entre los cuales la Organización Mundial de la Salud (OMS) destaca:
- Abuso del alcohol.
- Potabilidad del agua.
- Desnutrición infantil.
- Hipertensión arterial.
- Mejorías de la higiene.
- Prácticas sexuales de riesgo.
- Acceso a servicios sanitarios.
- Diabetes mellitus.
- Obesidad y sobrepeso.
- Catástrofes naturales.
- Conflictos bélicos.
- Contaminación y polución del aire.
Análisis de los Datos
Para la elaboración del presente análisis y modelo, utilizaremos datos que están contenidos en los datasets de R y utilizaremos algunas librerías para eficientar el análisis.
Paquetes
Las librerías que se utilizarón durante todo el documento se encuentran a continuación:
library(pacman)
p_load("prettydoc", "DT", "xfun", "dplyr", "psych", "GGally", "ggplot2","readr","stringr","vembedr", "xfun","gridExtra","corrplot")Datos
Los datos utilizados ya se encuentran dentro de las librerías de R (state.x77).
Se dispone de información de cada estado de EU sobre:
Habitantes: Población estimada a 1 de Julio de 1975
Ingresos: Ingreso per capita (1974)
Analfabetismo: Analfabetismo (1970, Porcentaje de la población)
Esperanza de Vida: Esperanza de vida en los años (1969–71)
Asesinatos: Ratio de asesinatos por cada 100,000 habitantes (1976)
Universitarios: Porcentaje de universitarios (1970)
Heladas: Media de días con temperaturas mínimas menores a 0°C (1930-1960) en la Capital.
Área: Territorio en millas cuadradas
Para una mejor perspectiva de los datos, se mostrarán en la siguiente tabla, ordenados por Estados.
datos <- as.data.frame(state.x77)
datatable(datos)- –> En el gráfico 1.0 se muestran una tabla con todos los datos acerca de la esperanza de vida en todos los estados del país US en el año de 1970.
Renombrando las variables y estableciendo la Densidad Poblacional
Con el fin de trabajar con datos más entendibles, se renombrarán las variables a español, además, se establecerá la densidad poblacional utilizando la siguiente fórmula: densidad_pobl = habitantes * 1000 / area.
datos <- rename(habitantes = Population, analfabetismo = Illiteracy,
ingresos = Income, esp_vida = `Life Exp`, asesinatos = Murder,universitarios = `HS Grad`, heladas = Frost, area = Area,.data = datos)
datos <- mutate(.data=datos, densidad_pobl = habitantes * 1000 / area)Análisis de Correlación
El análisis de correlación es utilizado para determinar la relación entre las variables en estudio, a continuación se realizará el análisis de correlación utilizando el método “Pearson”.
round(cor(x = datos, method="pearson"), 3)## habitantes ingresos analfabetismo esp_vida asesinatos
## habitantes 1.000 0.208 0.108 -0.068 0.344
## ingresos 0.208 1.000 -0.437 0.340 -0.230
## analfabetismo 0.108 -0.437 1.000 -0.588 0.703
## esp_vida -0.068 0.340 -0.588 1.000 -0.781
## asesinatos 0.344 -0.230 0.703 -0.781 1.000
## universitarios -0.098 0.620 -0.657 0.582 -0.488
## heladas -0.332 0.226 -0.672 0.262 -0.539
## area 0.023 0.363 0.077 -0.107 0.228
## densidad_pobl 0.246 0.330 0.009 0.091 -0.185
## universitarios heladas area densidad_pobl
## habitantes -0.098 -0.332 0.023 0.246
## ingresos 0.620 0.226 0.363 0.330
## analfabetismo -0.657 -0.672 0.077 0.009
## esp_vida 0.582 0.262 -0.107 0.091
## asesinatos -0.488 -0.539 0.228 -0.185
## universitarios 1.000 0.367 0.334 -0.088
## heladas 0.367 1.000 0.059 0.002
## area 0.334 0.059 1.000 -0.341
## densidad_pobl -0.088 0.002 -0.341 1.000Gráfico 1.1 | Correlacion Pearson>
- –> Para tener un enfoque más dinámico de las distribuciones y dispersiones de los datos se procederá a realizar un Análisis con histogramas y un Análisis de dispersión con ggplot y ggally.
Análisis con histogramas
Los histogramas son gráficos que indican la frecuencia de un hecho mediante una distribución de los datos. Por lo tanto para tener un mejor enfoque de las variables se procedera a realizar este analis debido a que estos utilizan variables para su elaboración.
multi.hist( x = datos, dcol = c("red","green"), dlty = c("dotted", "solid")
)
- –> En el gráfico 1.2, podemos observar como relacionan cada uno de los datos obtenidos, esto con el fin de tener una mejor perspectiva de lo que se busca comprobar.
Análisis de Dispersión de los datos con ggplot y ggally
La función ggpairs() del paquete GGally que se ejecutara a continuación nos permite la construcción de una matriz de diagramas de dispersión. La cual contiene en su parte izquierda los diagramas de dispersión de cada par de variables, mientras que la a correlación de Pearson que se realizo anteriormente en este caso ahora se presenta en la parte derecha.
ggpairs(datos, lower = list(continuous ="smooth"),
diag = list (continuos = "barDiag"), axisLabels = "none")
–> Como se menciono anteriormente, esta es la representacion de los datos pero con la utilización de graficas de dispersión de puntos con su línea de tendencia con la cual se compara que tan lejos están los datos del promedio, ademas nos muestra la correlación de estos mismos con cada par de variables.
–> Con los análisis realizados por medio de las gráficas, podemos llegar o establecer unas conclusiones preliminares.
–> Las variables que tienen una mayor relación lineal con la esperanza de vida en este caso de estudio son las siguientes: asesinatos (r= -0.78), analfabetismo (r= -0.59) y universitarios (r= 0.58).
–> Asesinatos y analfabetismo están sumamente correlacionados (r = 0.7), por lo que no sera útil utilizar ambas variables para la elaboación de los modelos a realizar..
Modelo general de correalación
Ahora, vamos a revisar la relación entre la esperanza de vida y una de sus variables predictoras con el fin de ver que tanto influye la variable, en este caso el número de asesinatos, ya que esta variable es la influye mas en la esperanza de vida.
modelo <- lm(esp_vida ~ asesinatos, data=datos)
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = esp_vida ~ asesinatos, data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.81690 -0.48139 0.09591 0.39769 2.38691
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 72.97356 0.26997 270.30 < 2e-16 ***
## asesinatos -0.28395 0.03279 -8.66 2.26e-11 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.8473 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.6097, Adjusted R-squared: 0.6016
## F-statistic: 74.99 on 1 and 48 DF, p-value: 2.26e-11- –> Como podemos observar, los asesinatos influyen de gran manera en la esperanza de vida; por si sola, nos permite predecir la esperanza de vida con un 60% de exactitud, lo cual es bastante alto. También observamos que el valor de significancia (p) es bajísimo, mucho menor a 0.05, lo que nos permite plantear que la esperanza de vida se relaciona mucho con los asesinatos.
La ecuación de la recta de los mínimos cuadrados, para la evaluación del modelo quedaría de la siguiente manera:
\[ y=72.97356−0.28395x \]
Ahora se procederá a evaluar el modelo, de acuerdo con la formula anteriormente realizada.
y = 72.97356 - (0.28395*11.5)
y## [1] 69.70814Para conocer el residuo según, solamente se procederá a realizar una resta utilizando el valor dado por el modelo y uno real.
y - 69.03## [1] 0.678135En este caso al modelo solamente le faltan 0.678135 para llegar a el valor de 69.03, por lo tanto se está subestimando, pero el residuo resulta ser bajo, por lo que podemos pensar que realmente esta variable nos permite predecir la esperanza de vida.
Ahora se procederá a evaluar el modelo gráficamente.
plot(datos$asesinatos, datos$esp_vida, xlab = "Asesinatos" , ylab = "Esperanza de Vida")
abline(modelo)
- –> En el gráfico 1.5, se muestra como los datos de esperanza de vida y Asesinatos se correlacionan. Se realizó una prueba especificamento con Asesinatos, ya que era una variable que tiene una fuerte relación. Como podemos observar, los datos que se obtuvieron no son tan atípicos.
Primer modelo de regresión lineal múltiple
A continuación, se evaluará el modelo utilizando todas las variables como predictoras, de esta manera podremos saber cuales se consideran más significativas para representar la esperanza de vida.
modelo2 <- (lm(formula = esp_vida ~ habitantes +ingresos+analfabetismo+ asesinatos + universitarios + heladas+area+densidad_pobl, data = datos))
summary(modelo2) ##
## Call:
## lm(formula = esp_vida ~ habitantes + ingresos + analfabetismo +
## asesinatos + universitarios + heladas + area + densidad_pobl,
## data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.47514 -0.45887 -0.06352 0.59362 1.21823
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 6.995e+01 1.843e+00 37.956 < 2e-16 ***
## habitantes 6.480e-05 3.001e-05 2.159 0.0367 *
## ingresos 2.701e-04 3.087e-04 0.875 0.3867
## analfabetismo 3.029e-01 4.024e-01 0.753 0.4559
## asesinatos -3.286e-01 4.941e-02 -6.652 5.12e-08 ***
## universitarios 4.291e-02 2.332e-02 1.840 0.0730 .
## heladas -4.580e-03 3.189e-03 -1.436 0.1585
## area -1.558e-06 1.914e-06 -0.814 0.4205
## densidad_pobl -1.105e-03 7.312e-04 -1.511 0.1385
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.7337 on 41 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7501, Adjusted R-squared: 0.7013
## F-statistic: 15.38 on 8 and 41 DF, p-value: 3.787e-10- –> Podemos observar que nuestro modelo con todas sus variables puede describir con un 70% de exactitud la esperanza de vida con un error de 0.733, esto resulta en un muy buen modelo, pero estamos utilizando absolutamente todas las variables como predictoras, algunas de las cuales podrían meter ruido o no ser tan significativas para calcular la esperanza de vida. Para revisar nuestro modelo y hacer los ajustes necesarios utilizaremos el criterio de Akaike.
Evaluacion General del modelo(AIC)
El criterio de información de Akaike (AIC) es una medida de la calidad relativa de un modelo estadístico, para un conjunto dado de datos. Como tal, el AIC proporciona un medio para la selección del modelo. AIC maneja un trade-off entre la bondad de ajuste del modelo y la complejidad del modelo. Por lo tanto se procederá a evaluar el modelo anteriormente realizado, con el fin de que este nos proporcione cuales serían las mejores variables para la realización de un nuevo modelo.
step(object = modelo2, direction = "both", trace = 1)## Start: AIC=-22.89
## esp_vida ~ habitantes + ingresos + analfabetismo + asesinatos +
## universitarios + heladas + area + densidad_pobl
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## - analfabetismo 1 0.3050 22.373 -24.208
## - area 1 0.3564 22.425 -24.093
## - ingresos 1 0.4120 22.480 -23.969
## <none> 22.068 -22.894
## - heladas 1 1.1102 23.178 -22.440
## - densidad_pobl 1 1.2288 23.297 -22.185
## - universitarios 1 1.8225 23.891 -20.926
## - habitantes 1 2.5095 24.578 -19.509
## - asesinatos 1 23.8173 45.886 11.707
##
## Step: AIC=-24.21
## esp_vida ~ habitantes + ingresos + asesinatos + universitarios +
## heladas + area + densidad_pobl
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## - area 1 0.1427 22.516 -25.890
## - ingresos 1 0.2316 22.605 -25.693
## <none> 22.373 -24.208
## - densidad_pobl 1 0.9286 23.302 -24.174
## - universitarios 1 1.5218 23.895 -22.918
## + analfabetismo 1 0.3050 22.068 -22.894
## - habitantes 1 2.2047 24.578 -21.509
## - heladas 1 3.1324 25.506 -19.656
## - asesinatos 1 26.7071 49.080 13.072
##
## Step: AIC=-25.89
## esp_vida ~ habitantes + ingresos + asesinatos + universitarios +
## heladas + densidad_pobl
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## - ingresos 1 0.132 22.648 -27.598
## - densidad_pobl 1 0.786 23.302 -26.174
## <none> 22.516 -25.890
## - universitarios 1 1.424 23.940 -24.824
## + area 1 0.143 22.373 -24.208
## + analfabetismo 1 0.091 22.425 -24.093
## - habitantes 1 2.332 24.848 -22.962
## - heladas 1 3.304 25.820 -21.043
## - asesinatos 1 32.779 55.295 17.033
##
## Step: AIC=-27.6
## esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios + heladas +
## densidad_pobl
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## - densidad_pobl 1 0.660 23.308 -28.161
## <none> 22.648 -27.598
## + ingresos 1 0.132 22.516 -25.890
## + analfabetismo 1 0.061 22.587 -25.732
## + area 1 0.043 22.605 -25.693
## - habitantes 1 2.659 25.307 -24.046
## - heladas 1 3.179 25.827 -23.030
## - universitarios 1 3.966 26.614 -21.529
## - asesinatos 1 33.626 56.274 15.910
##
## Step: AIC=-28.16
## esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios + heladas
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## <none> 23.308 -28.161
## + densidad_pobl 1 0.660 22.648 -27.598
## + ingresos 1 0.006 23.302 -26.174
## + analfabetismo 1 0.004 23.304 -26.170
## + area 1 0.001 23.307 -26.163
## - habitantes 1 2.064 25.372 -25.920
## - heladas 1 3.122 26.430 -23.877
## - universitarios 1 5.112 28.420 -20.246
## - asesinatos 1 34.816 58.124 15.528##
## Call:
## lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios +
## heladas, data = datos)
##
## Coefficients:
## (Intercept) habitantes asesinatos universitarios heladas
## 7.103e+01 5.014e-05 -3.001e-01 4.658e-02 -5.943e-03- –> En el gráfico 1.7 nos muestra la prueba del modelo de Akaike, el cual ya mencionado anteriormente, nos permite conocer cuales variables son las que mejor se correlacionan con esperanza de vida. Podemos ver que los resultados muestran que habitantes, asesinatos, universitarios y heladas son las variables que mas impacto tienen de acuerdo a la esperanza de vida, así mismo, eliminando las que no tiene tanta importancia en el modelo.
Modelo Ajustado
Como resultado del proceso AIC nos muestra el modelo ajustado que quita la variable Área, Analfabetismo y Ingreso del modelo, esto por considerarlas no tan significativas para nuestro modelo.
Ahora vamos a revisar nuestro modelo ajustado.
modelo3 <- (lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios + heladas, data = datos))
summary(modelo3)##
## Call:
## lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios +
## heladas, data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.47095 -0.53464 -0.03701 0.57621 1.50683
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 7.103e+01 9.529e-01 74.542 < 2e-16 ***
## habitantes 5.014e-05 2.512e-05 1.996 0.05201 .
## asesinatos -3.001e-01 3.661e-02 -8.199 1.77e-10 ***
## universitarios 4.658e-02 1.483e-02 3.142 0.00297 **
## heladas -5.943e-03 2.421e-03 -2.455 0.01802 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.7197 on 45 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.736, Adjusted R-squared: 0.7126
## F-statistic: 31.37 on 4 and 45 DF, p-value: 1.696e-12- –> Como podemos observar, el nuevo modelo ajustado es capaz de describir la esperanza de vida con un 71% de exactitud, esto supone una mejora del 1% con respecto al modelo en el que se utilizaban todas las variables, es decir, podemos predecir mejor la esperanza de vida, utilizando menos variables.
Intervalo de Confianza de los coeficientes
El intervalo de confianza para los coeficientes parciales de regresión se puede observar en la siguiente tabla:
confint(lm(formula = esp_vida ~ habitantes + asesinatos + universitarios +
heladas, data = datos))## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) 6.910798e+01 72.9462729104
## habitantes -4.543308e-07 0.0001007343
## asesinatos -3.738840e-01 -0.2264135705
## universitarios 1.671901e-02 0.0764454870
## heladas -1.081918e-02 -0.0010673977- –> Aquí podemos mobervar los intervalos de confianza de cada uno de las variables. Teniendo un IC(95%).
Análisis de residuales
plot1 <- ggplot(data = datos, aes(habitantes, modelo$residuals)) +
geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
theme_bw()
plot2 <- ggplot(data = datos, aes(asesinatos, modelo$residuals)) +
geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
theme_bw()
plot3 <- ggplot(data = datos, aes(universitarios, modelo$residuals)) +
geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
theme_bw()
plot4 <- ggplot(data = datos, aes(heladas, modelo$residuals)) +
geom_point() + geom_smooth(color = "firebrick") + geom_hline(yintercept = 0) +
theme_bw()
grid.arrange(plot1, plot2, plot3, plot4)## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
–> Parte 1 - (Habitantes): existe una gran concentración de los datos entre 0 y 7500, por lo cual no se tomarán los otros datos ya que pueden generar un mayor margen de error, con lo cual nos dice la zona de estudio es principal de una población de entre 0 a 7500 habitantes por ciudad.
–> Parte 2 - (Asesinatos): al tener los datos muy concentrados entre -1 y 1 nos dice que la tendencia de los asesinatos de las ciudades de EU en 1970, era que los fenómenos donde se llevara un asesinato, solo fuera un evento aislado, además de donde se disminuía el fenómeno es el mismo caso, son eventos asilados a excepción de unos pocos, haciendo que los eventos fueran algo constante.
–> Parte 3 - (Universitarios): esta nos dice que la población de universitarios fue en incremento de 1970 – 1980, lo cual nos dice que en esos 10 años se generó un interés mayor por estudio entre la población.
–> Parte 4 - (Heladas): Los datos están dispersos, pero siguen un orden en común que la tendencia a disminuir entre más tiempo pasa, esto se puede deber a que las heladas solo ocurren en cierto tiempo del año, por lo que pueden resultar significativas en invierno, casi nada en verano.
Distribución normal de los residuos
¿Qué es una distribución normal de los residuos? Normal QQ-Plot: Es una forma de comparar la distribución de probabilidad normal con la distribución de probabilidad de los residuos de nuestro modelo lineal, si estos forman una línea recta, este es un indicador de que los residuos están distribuidos de forma normal. Por lo tanto se aplicara esta distribución al último modelo que se ha realizado esto con el fin observar los residuos de este modelo, que en este caso fue el mejor que nos proporcionó el método AIC, al aplicarlo a todas las variables en relación a la esperanza de vida.
qqnorm(modelo3$residuals)
qqline(modelo3$residuals)
- –> En el grafico 2.1, podemos obervar que la comparación de la distribución de probabilidad normal con la distribución de probabilidad de los residuos de nuestro modelo lineal si forman en la mayoria de la gráfica una linea recta, lo cual indica que los datos de los residuos estan distribuidos de manera normal.
Prueba de normalidad de Shapiro-wilk
Se hizo un análisis de Shapiro-wilk con los valores teóricos vs los valores de las muestras, con lo que se pude llegar a observar que la mayoría de los datos si están tocando la línea de tendencia, lo que nos dice la teoría que se maneja es correcta con respecto a los datos recolectados.
shapiro.test(modelo3$residuals)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: modelo3$residuals
## W = 0.97935, p-value = 0.525- –> En la pruba anterioir, como el p valor (0.525) es mayor a alfa (0,05), no se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto, los datos presentan un comportamiento normal o paramétrico.
Comparación de los valores ajustados vs los valores residuales
ggplot(data = datos, aes(modelo$fitted.values, modelo$residuals)) +
geom_point() +
geom_smooth(color = "firebrick", se = FALSE) +
geom_hline(yintercept = 0) +
theme_bw()## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
- –> Es requerido no tomar en cuenta los valores extremos, con lo que nos dice que los valores ajustados y los residuales, contienen un nivel de dispersión no muy grande, teniendo un buen porcentaje de aceptabilidad de la realidad en base a la teoría.
Variabilidad constante de los residuos (homocedasticidad)
Para observar la homocedasticidad de los residuos se procedera a utilizar la función corrplot la cual nos realizará una grafica para una mejor interpretación. Matriz de correlación.
corrplot(cor(dplyr::select(datos, habitantes,asesinatos,universitarios,heladas,esp_vida)),
method = "number", tl.col = "black")
- –> Como podemos observar en la gráfica 2.4, la variabilidad constante de los residuos como matriz de correlación nos muestran las relaciones que existen entre cada una de las variable. El color rojo nos indica que tiene un mayor impacto cuando se correlacionan.
Conclusion
En conclusión y según nuestro modelo ajustado de regresión lineal múltiple podemos decir que la esperanza de vida se puede predecir por medio de la cantidad de habitantes, el número de asesinatos por cada 100,000 habitantes, el porcentaje de universitarios y el promedio de heladas en una ciudad.
Esto resulta ligeramente a nuestra hipótesis, pues las heladas también afectan a la esperanza de vida, lo cual puede ser ocasionado por personas perdiendo la vida a causa de las heladas por diversos factores como lo son enfermedades, falta de refugio, etc.
La fórmula del modelo sería la siguiente:
\[ Esperanza Vida = (7.103e + 5.014e^-5 * Habitantes -3.001e^-1 * Asesinatos + 4.658e^-2 * Universitarios -5.943e^-3 * Heladas)+0.7197 \]
Sin embargo, hay que recordar que el modelo aplica mejor para datos del año 1970, donde la forma de vida de los habitantes era diferente ya sea por parte de la alimentación que se llevaba, sus hábitos, la educación, entre otras cosas. Por el contrario, hoy en día realizar un modelo para este tipo de caso las variables serian aún más, debido a que han pasado 40 años, en los cuales la sociedad en términos buenos ha avanzado, pero trayendo consigo nuevas problemáticas que afectan la esperanza de vida.