Übung 1

Sie sehen hier die Schlafdauer von 10 Personen aus New York (die Stadt, die nie schläft…):

sleep <- c(7.0, 8.6, 7.6, 7.7, 6.4, 7.2, 9.6, 8.2, 8.3, 8.0)
print(sleep)
##  [1] 7.0 8.6 7.6 7.7 6.4 7.2 9.6 8.2 8.3 8.0

Aufgabe

Besteht aus diesen Daten Evidenz dagegen, dass New Yorker im Durchschnitt 8 Stunden pro Nacht schlafen?

  1. Formulieren Sie die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese HA
  2. Berechnen Sie das 95%-Vertrauensintervall für die Schlafdauer der New Yorker.
  3. Prüfen Sie ihre Hypothese mit einem statistischen Test.
  4. Fassen Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen zusammen.

Lösung

  1. Formulieren Sie die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese HA:
  • H0: Die durchschnittliche Schlafdauer von New Yorkern beträgt 8 Std. –> μ = 8
  • HA: Die durchschnittliche Schlafdauer von New Yorkern beträgt nicht 8 Std. –> μ ≠ 8
  1. Berechnen Sie das 95%-Vertrauensintervall für die Schlafdauer der New Yorker.

Zuerst wird der Mittelwert, die Standardabweichung, das n und der Standardfehler berechnet:

m <- round(mean(sleep),3)
s <- round(sd(sleep),3)
n <- length(sleep)
se <- round(s/sqrt(n),3)

\(\bar{x} = 7.86\)
\(s = 0.901\)
\(n = 10\)
\(SE = s/\sqrt{n} = 0.901/\sqrt{10} = 0.285\)

Dann wird auf der t-Tabelle für n-1 Freiheitsgerade das 97.5ste Quantil gesucht (damit links und rechts noch 2.5% bleiben).

t <- round(qt(0.975, n-1),3)

ggplot(NULL, aes(c(-3,3))) +
  geom_area(stat = "function", fun = dnorm, fill = "#00998a", xlim = c(-3, t)) +
  geom_area(stat = "function", fun = dnorm, fill = "grey80", xlim = c(t, 3)) +
  labs(x = paste("t, df = ", n-1), y = "") +
  scale_y_continuous(breaks = NULL) +
  scale_x_continuous(breaks = t)

\(t_{0.975, df = 9} = 2.262\)

Nun können wir die untere und obere Schranke des 95% CI’s berechnen:

ll <- round(m - t * se, 3)
ul <- round(m + t * se,3)

\(Untere Schranke = \bar{x} - t * se = 7.215\)
\(Obere Schranke = \bar{x} + t * se = 8.505\)

  1. Prüfen Sie ihre Hypothese mit einem statistischen Test.

Zuerst den t-Wert berechnen.

t2 <- round((m-8)/se,3)

\(t = (\bar{x}-8)/se = -0.491\)

Den kritischen t-Wert für einen zweiseitigen Test (df = 9) kennen wir von oben schon. Dieser beträgt 2.262. Weil der von uns berechnete Wert kleiner ist, fällt er in den Nicht-Verwerfungsbereich. Da der p-Wert somit > .05 ist, haben wir keine Evidenz dafür, dass sich die durchschnittliche Schlafdauer von New Yorkern von 8 Stunden unterscheidet und verwerfen die H0 nicht.

Mit Statistikprogrammen liesse sich noch der genaue p-Wert berechnen.

p <- 2*round(pt(t2, n-1), 3)

Dieser beträgt 0.636.

  1. Fassen Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen zusammen.

Die durchschnittliche Schlafdauer von New Yorkern beträgt 7.86 [7.215, 8.505] Stunden und unterscheidet sich nicht von den erwarteten 8 Stunden, t = -0.491, p = 0.636.

So könnte der Output für einen Einstichproben t-Test einer Statistiksoftware aussehen:

t.test(sleep, mu = 8)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  sleep
## t = -0.49144, df = 9, p-value = 0.6349
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 8
## 95 percent confidence interval:
##  7.215561 8.504439
## sample estimates:
## mean of x 
##      7.86

Wir haben gleich gut wie die Statistiksoftware gerechnet :-)

Übung 2

Patientenedukation nimmt in der medizinischen Behandlung eine immer wichtigere Rolle ein. In einer Studie wurde untersucht, ob bei Personen mit einem neu diagnostizierten Diabetes mellitus Typ II ein Edukationsvideo das Wissen der Patient:innen rund um ihre Krankheit beeinflusst. Alle Studienteilnehmer:innen haben vor und vier Wochen nach einen Edukationsvideo einen Wissenstest zum Thema “Diabetes Typ II” absolviert. Maximal konnten 100 Punkte erreicht werden.

Hier sehen sie den Datensatz:

ID <- c(1:15)
Score_pre <- c(41, 41, 29, 47, 34, 41, 43, 29, 18, 30, 40, 37, 60, 38, 39)
Score_post <- c(47, 48, 41, 34, 35, 57, 61, 54, 27, 43, 63, 48, 57, 43, 54)
DM <- data.frame(ID, Score_pre, Score_post)
DM %>% 
  kable() %>%
  kable_styling()
ID Score_pre Score_post
1 41 47
2 41 48
3 29 41
4 47 34
5 34 35
6 41 57
7 43 61
8 29 54
9 18 27
10 30 43
11 40 63
12 37 48
13 60 57
14 38 43
15 39 54

Aufgabe

  1. Formulieren Sie die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese HA.
  2. Berechnen Sie das 95%-Vertrauensintervall für die Veränderung des mittleren Test-Scores.
  3. Prüfen Sie ihre Hypothese mit einem statistischen Test.
  4. Fassen Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen zusammen.

Lösung

  1. Formulieren Sie die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese HA.
  • H0: Die mittlere Differenz der Testscores beträgt 0 –> μ = 0
  • HA: Die mittlere Differenz der Testscores beträgt nicht 0 –> μ ≠ 0
  1. Berechnen Sie das 95%-Vertrauensintervall für die Veränderung des mittleren Test-Scores.

Als erstes müssen die Differenzen berechnet werden. Hier wird Der Score vor dem Video vom Score nach dem Video subtrahiert. Eine positive Zahl bedeutet somit eine Verbesserung im Test.

DM$difference <- DM$Score_post-DM$Score_pre
DM %>% 
  kable() %>%
  kable_styling()
ID Score_pre Score_post difference
1 41 47 6
2 41 48 7
3 29 41 12
4 47 34 -13
5 34 35 1
6 41 57 16
7 43 61 18
8 29 54 25
9 18 27 9
10 30 43 13
11 40 63 23
12 37 48 11
13 60 57 -3
14 38 43 5
15 39 54 15

Zuerst wird die mittlere Differenz, die Standardabweichung der Differenzen, das n und der Standardfehler der mittleren Differenz berechnet:

m <- round(mean(DM$difference),3)
s <- round(sd(DM$difference),3)
n <- length(DM$difference)
se <- round(s/sqrt(n),3)

\(\bar{x} = 9.667\)
\(s = 9.861\)
\(n = 15\)
\(SE = s/\sqrt{n} = 9.861/\sqrt{15} = 2.546\)

Dann wird auf der t-Tabelle für n-1 Freiheitsgerade das 97.5ste Quantil gesucht (damit links und rechts noch 2.5% bleiben)

t <- round(qt(0.975, n-1),3)

ggplot(NULL, aes(c(-3,3))) +
  geom_area(stat = "function", fun = dnorm, fill = "#00998a", xlim = c(-3, t)) +
  geom_area(stat = "function", fun = dnorm, fill = "grey80", xlim = c(t, 3)) +
  labs(x = paste("t, df = ", n-1), y = "") +
  scale_y_continuous(breaks = NULL) +
  scale_x_continuous(breaks = t)

\(t_{0.975, df = 14} = 2.145\)

Nun können wir die untere und obere Schranke des 95% CI’s berechnen:

ll <- round(m - t * se, 3)
ul <- round(m + t * se,3)

\(Untere Schranke = \bar{x} - t * se = 4.206\)
\(Obere Schranke = \bar{x} + t * se = 15.128\)

  1. Prüfen Sie ihre Hypothese mit einem statistischen Test.

Zuerst den t-Wert berechnen.

t2 <- round((m-0)/se,3)

\(t = (\bar{x}-0)/se = 3.797\)

Den kritischen t-Wert für einen zweiseitigen Test (df = 14) kennen wir von oben schon. Dieser beträgt 2.145. Weil der von uns berechnete Wert grösser ist, fällt er in den Verwerfungsbereich. Da der p-Wert somit < .05 ist, haben wir Evidenz dafür, dass sich die mittlere Differenz der Testscores von 0 unterscheidet und verwerfen H0.

Mit Statistikprogrammen liesse sich noch der genaue p-Wert berechnen.

p <- 2*round(pt(-t2, n-1,), 3)

Dieser beträgt 0.002.

  1. Fassen Sie ihr Resultat in ein bis zwei Sätzen zusammen.

Die mittlere Differenz der Testscores beträgt 9.667 [4.206, 15.128] Punkte und unterscheidet sich sognifikant von 0, t = 3.797, p = 0.002.

So könnte der Output für einen Einstichproben t-Test einer Statistiksoftware aussehen:

t.test(DM$difference, mu = 0)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  DM$difference
## t = 3.7967, df = 14, p-value = 0.001964
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   4.205861 15.127472
## sample estimates:
## mean of x 
##  9.666667

Wir haben gleich gut wie die Statistiksoftware gerechnet :-)