taller

#ESTADISTICA INFERENCIAL

##Taller 1

• Si x es una variable aleatoria de una distribucion N(\(\mu\),\(\sigma^2\)), hallar: P(\(\mu \leq\) -3\(\sigma\) X \(\leq \mu\) +3\(\sigma\))

library(tigerstats)

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P(-3 \(\leq\) X \(\leq\) 3) = P(X \(\leq\) 3) - P(X \(\leq\) -3)

pnormGC(c(-3,3),region = "between", mean = 0, sd=1, graph = TRUE)

## [1] 0.9973002

Respuesta: aproximadamente el 99.73% de los valores de x estan a menos de 3 desviaciones tipicas de la media.

• En una distribucion normal de media 4 y varianza 4, calcular el valor de a para que P(4-a \(\leq\) X \(\leq\) 4+a) = 0,5934

\[Z= \frac{X - \mu}{\sigma}\] \[P((4-a \leq X \leq 4+a) = P(\frac{(4 - a)-4}{2} \leq \frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{(4 - a)-4}{2}) = 0.5934\] \[P(\frac{- a}{2} \leq Z \leq \frac{a}{2}) = 0.5934\] \[2P(0 \leq Z \leq \frac{a}{2}) = 0.5934\] \[P(0 \leq Z \leq \frac{a}{2}) = \frac{0.5934}{2}\] \[P(Z \leq \frac{a}{2}) - P(Z \leq 0) = \frac{0.5934}{2}\]

pnorm(0,0,1,lower.tail = T)

## [1] 0.5

\[P(Z \leq \frac{a}{2}) = \frac{0.5934}{2} + 0.5\]

(0.5934/2)+0.5

## [1] 0.7967

\[P(Z \leq \frac{a}{2}) = 0.7967\]

qnorm(0.7967,0,1,lower.tail = T)

## [1] 0.8298917

0.8298927*2

## [1] 1.659785

\[\frac{a}{2} = 0.8298917\] Respuesta: \[a \rightarrow 1.659785\]

• Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio?

\[\mu = 24\] \[\sigma = 3\] \[n = 100\] \[P(X > 24.5)\] \[Z= \frac{x - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\] \[Z= \frac{24.5 - 24}{\frac{3}{\sqrt{100}}}\]

sqrt(100)

## [1] 10

(24.5-24)/(3/10)

## [1] 1.666667

1-pnormGC(1.66667,region="above", mean =0, sd=1, graph = TRUE)

## [1] 0.95221

Respuesta: La probabilidad es del 0.0478

• Sea T una variable aleatoria que sigue una distribucioón t-student con 8 grados de libertad, calcular la probabilidad de que

1. T sea menor que 1.3968

ptGC(1.3968,region = "below",df = 8, graph = TRUE)

## [1] 0.8999978

2. T exceda 0.5459

ptGC(0.5459,region = "above",df = 8, graph = TRUE)

## [1] 0.3000111

3. T esté entre 0.8889 y 2.3060

ptGC(c(2.3060,0.8889),region = "between",df = 8, graph = TRUE)

## [1] 0.1749972

4. T esté entre -0.8889 y -0.7064

ptGC(c(-0.7064,-0.8889),region = "between",df = 8, graph = TRUE)

## [1] 0.04999871

5. T exceda -3.3554

ptGC(-3.3554,region = "above",df = 8, graph = TRUE)

## [1] 0.9950001

6. T sea como máximo -1.3968

ptGC(-1.3968,region = "below",df = 8, graph = TRUE)

## [1] 0.1000022

• Un análisis estadístico determinó que el tiempo promedio de atención a un cliente en una sucursal de un importante banco nacional se distribuye normalmente con una media de 17 minutos. La gerente de la sucursal considerando los últimos 15 clientes atendidos desea corroborar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. La gerente considera la estimación de la desviación típica obtenida en el estudio realizado, que fue de 3.78 minutos.

1. El asesor comercial estrella afirrma que la probabilidad de que en promedio la atención de un cliente dure más de 22 minutos es muy baja.

\(n = 15\), \(\mu = 17\), \(\mathcal{s} = 3.78\)

\[P(x > 22) = P(\frac{X - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}) \sim t(n-1)\] \[P(\frac{22 - 17}{\frac{3.78}{\sqrt{15}}}) = 5.122994 \] `

((22-17)/(3.78/sqrt(15)))

## [1] 5.122994

ptGC(5.122994,region = "above",df = 14, graph = TRUE)

## [1] 7.749775e-05

Respuesta: correcta

2. La nueva asesora comercial afirrma que existe una alta probabilidad de que en promedio la atención de un cliente dure entre 14 y 20 minutos.

ptGC(c(20,14),region = "between",df = 14, graph = TRUE)

## [1] 6.263362e-10

Respuesta: incorrecta

3. El director de atención al cliente afirma que es muy probable que la atención de un cliente en promedio dure menos de 15 minutos.

ptGC(15,region = "below",df = 14, graph = TRUE)

## [1] 1

Respuesta: correcta

• Considere una variable aleatoria X con distribucion \(X^2\) de 16 grados de libertad. Cual es la probabilidad de que

1. X sea menor que 32?

pchisqGC(32,region = "below",df = 16, graph = TRUE)

## [1] 0.9900002

2. X esté entre 20.47 y 36.46?

pchisq(36.46, df = 16, lower.tail = T) - pchisq(20.47, df = 16, lower.tail = T)

## [1] 0.1972972

3. X esté entre 13.31 y 18.42?

pchisq(18.42, df = 16, lower.tail = T) - pchisq(13.31, df = 16, lower.tail = T)

## [1] 0.3500883

• Considere una variable aleatoria X con distribución \(χ^2\) de 21 grados de libertad. Determine cuál es la probabilidad de que

1. X sea menor que 20.34

pchisqGC(20.34,region = "below",df = 21, graph = TRUE)

## [1] 0.5001739

2. X exceda 29.62

pchisqGC(29.62,region = "above",df = 21, graph = TRUE)

## [1] 0.09989424

3. X esté entre 17.98 y 32.67

pchisq(32.62, df = 21, lower.tail = T) - pchisq(17.98, df = 21, lower.tail = T)

## [1] 0.5996653

4. X esté entre 26.17 y 38.9

pchisq(38.9, df = 21, lower.tail = T) - pchisq(26.17, df = 21, lower.tail = T)

## [1] 0.1899523

5. X exceda 18.77

pchisqGC(18.77,region = "above",df = 21, graph = TRUE)

## [1] 0.5998916

• Un guardabosque, que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pinos en el sureste, está interesado en estimar el promedio de área de la base de los pinos. Al estudiar áreas basales de pinos similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) están distribuidas normalmente con desviación estándar aproximada de 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosque muestrea n = 9 árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional.

\(\sigma^2 = 2\), \(n = 9\)

\[Z= \frac{x - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\] \[P(-2\leq x - \mu \leq 2) =P(\frac{-2}{1.333} \leq \frac{X - \mu}{1.333} \leq \frac{-2}{1.333})\] \[P(\frac{-2}{1.333} \leq Z \leq \frac{2}{1.333})\] \[P(-1.5 \leq Z \leq 1.5)\]

pnormGC(c(1.5,-1.5),region = "between", mean = 0, sd=1, graph = TRUE)

## [1] 0.8663856

Respuesta: La probabilidad es de 0.8664

• La Environmental Protection Agency se ocupa del problema de establecer criterios para las cantidades de sustancias químicas tóxicas permitidas en lagos y ríos de agua dulce. Una medida común de toxicidad para cualquier contaminante es la concentración de éste que mataría a la mitad de la especie de prueba en un tiempo determinado (por lo general 96 horas para especies de peces). Esta medida se denomina CL50 (concentración letal que mata 50 % de la especie de prueba). En muchos estudios, los valores contenidos en el logaritmo natural de mediciones del CL50 están distribuidos normalmente y, en consecuencia, el análisis está basado en datos del ln(CL50).

Estudios de los efectos del cobre en cierta especie de peces (por ejemplo la especie A) muestran que la varianza de mediciones de ln(CL50) es alrededor de 0.4 con mediciones de concentración en miligramos por litro. Si han de completarse n = 10 estudios sobre el CL50 para cobre, encuentre la probabilidad de que la media muestral de ln(CL50) diéra de la verdadera media poblacional en no más de 0.5

\(\sigma^2 = 0.4\), \(n = 10\)

\[P= \shortmid x - \mu \shortmid < 0.5 = P(\frac{-0.5}{\frac{0.02}{\sqrt{10}}} < \frac{x - \mu}{\frac{0.02}{\sqrt{10}}}< \frac{0.5}{\frac{0.02}{\sqrt{10}}})\]

((-0.5)/(0.02/sqrt(10)))

## [1] -79.05694

((0.5)/(0.02/sqrt(10)))

## [1] 79.05694

\[P(-79.05694 < Z < 79.05694)\]

pnormGC(c(79.05694,-79.05694),region = "between", mean = 0, sd=1, graph = TRUE)

## [1] 1

• Si en el Ejercicio anterior deseamos que la media muestral difiera de la media poblacional en no mas de 0.5 con probabilidad 0.95 ¿Cuantas pruebas deben realizarse?