Punto 1:

Si \(x\) es una variable aletoria de una distribucion \(N(\mu,\sigma^2)\), hallar:\(P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma)\).

Utilizando la normal estandar con \(\mu = 0\) y \(\sigma=1\) tenemos: \[P(-3\leq X \leq 3) = P(X \leq 3) - P(X \leq -3)\]

pnorm(3)-pnorm(-3)
## [1] 0.9973002

Punto 2:

En una distribucion normal de media 4 y varianza 4, calcular el valor de a para que:\(P(4 - a \leq x \leq 4+a) = 0.5934\). \[P(4 - a \leq x \leq 4+a) = P(X \leq 4+ a) - P(X \leq 4-a)\] Estandarizando la variable \(k_1=4-a\) y \(k_2=4+a\) se tiene lo siguiente:

\[P\left(\frac{4-a-4}{2} \leq z \leq \frac{4+a-4}{2} \right)=0.5934\] \[P\left(\frac{-a}{2} \leq z \leq \frac{a}{2} \right)=0.5934\] \[P \left(z \leq-\frac{a}{2} \right) = \frac{1-0.5934}{2} = 0.2033 \]

qnorm(0.2033)
## [1] -0.8298917

\[-\frac{a}{2}=-0.8298917 ~~~~ a=1.6597834\] Comprobación:

pnorm(4+1.6597834,4,2) - pnorm(4-1.6597834,4,2)
## [1] 0.5934

Punto 3:

Si la vida media de operacion de una pila de linterna es de 24 horas y esta distribuida normalmente con una desviacion de 3 horas. ¿Cual es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvie por mas de 30 minutos del promedio?.

la Muestra distribuye de forma \(N~(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

\[P(\bar{X}>24.5)=1-P(\bar{X}<24.5)\] Calculamos el z de la medias muestral :

library(tigerstats)

pnormGC(24.5,region = "above",mean = 24,sd = 3/sqrt(100),graph = T)

## [1] 0.04779035

Punto 4:

Sea T una variable aleatoria que sigue una distribucioón t-student con 8 grados de libertad, calcular la probabilidad de que:

  1. T sea menor que 1.3968
pt(1.3968,8)
## [1] 0.8999978
  1. T exceda 0.5459
pt(0.5459,8,lower.tail = F)
## [1] 0.3000111
  1. T esté entre 0.8889 y 2.3060
pt(2.3060,8)-pt(0.8889,8)
## [1] 0.1749972
  1. T esté entre -0.8889 y -0.7064
pt(-0.7064,8)-pt(-0.8889,8)
## [1] 0.04999871
  1. T exceda -3.3554
pt(-3.3554,8,lower.tail = F)
## [1] 0.9950001
  1. T sea como máximo -1.3968
pt(-1.3968,8)
## [1] 0.1000022

Punto 5:

Un análisis estadístico determinó que el tiempo promedio de atención a un cliente en una sucursal de un importante banco nacional se distribuye normalmente con una media de 17 minutos. La gerente de la sucursal considerando los últimos 15 clientes atendidos desea corroborar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta.La gerente considera la estimación de la desviaciónn típica obtenida en el estudio realizado, que fue de 3.78 minutos.

  1. El asesor comercial estrella afirma que la probabilidad de que en promedio la atención de un cliente dure más de 22 minutos es muy baja. \[\mu = 17 ,~S=3.79,~\bar{X}=22\]
t.tes = function(media_muestral,Media_poblacional,sd_muestral,n){
  z = (media_muestral - Media_poblacional)/(sd_muestral/sqrt(n))}

z2 <- t.tes(22,17,3.79,15) # 1. Estadistico de t para 22
print(pt(z2 ,df = 14 , lower.tail = F))
## [1] 7.944887e-05

Verdadero

  1. La nueva asesora comercial afirma que existe una alta probabilidad de que en promedio la atención de un cliente dure entre 14 y 20 minutos.
z3 <- t.tes(20,17,3.79,15)
z4 <- t.tes(14,17,3.79,15)
print(pt(z3,14)-pt(z4,14))
## [1] 0.9916153

Verdadero.

  1. El director de atención al cliente afirrma que es muy probable que la atención de un cliente en promedio dure menos de 15 minutos.
z5 <- t.tes(15,17,3.79,15)
print(pt(z5,14))
## [1] 0.03013125

Falso.

Punto 6:

Considere una variable aleatoria X con distribucion X^2 de 16 grados de libertad. Cual es la probabilidad de que:

  1. \(P(x \leq 32)\)
pchisq(32,16)
## [1] 0.9900002
  1. \(P(20.47 \leq X \leq 36.46)\)
pchisq(36.46,16)-pchisq(20.47,16)
## [1] 0.1972972
  1. \(P(13.31 \leq X \leq 18.42)\)
pchisq(18.42,16)-pchisq(13.31,16)
## [1] 0.3500883

Punto 7:

Considere una variable aleatoria X con distribución X^2 de 21 grados de libertad. Determine cuál es la probabilidad de que :

  1. \(P(X\leq 20.34)\)
pchisq(20.34,21)
## [1] 0.5001739
  1. \(P(X 26.62\)
pchisq(26.62,21,lower.tail = F)
## [1] 0.1837878
  1. \(P(17.39\leq X \leq 32.67)\)
pchisq(32.67,21)-pchisq(17.39,21)
## [1] 0.6372044
  1. \(P(26.17 \leq X \leq 38.93 )\)
pchisq(38.93,21) - pchisq(26.17,21)
## [1] 0.190035
  1. \(P(X \geq 18.77)\)
pchisq(18.77 , 21 , lower.tail = F)
## [1] 0.5998916

Punto 8:

Un guardabosque, que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pinos en el sureste, está interesado en estimar el promedio de área de la base de los pinos. Al estudiar áreas basales de pinos similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) están distribuidas normalmente con desviación estándar aproximada de 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosque muestrea n = 9 árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional.


\[P(\bar{X}\leq \mu+2)-P(\bar{X}\leq \mu -2)\]
\[P\left(\bar{X}\leq \frac{\mu+2-\mu}{4/3} \right)-P\left(\bar{X}\leq \frac{\mu-2-\mu}{4/3} \right)\]
\[P\left(\bar{X} \leq \frac{3}{2} \right)-P\left(\bar{X}\leq -\frac{3}{2} \right)\]

pnormGC(c(3/2,-3/2),region = "between",graph = T)

## [1] 0.8663856

Punto 9:

La Environmental Protection Agency se ocupa del problema de establecer criterios para las cantidades de sustancias químicas tóxicas permitidas en lagos y ríos de agua dulce. Una medida común de toxicidad para cualquier contaminante es la concentración de éste que mataría a la mitad de la especie de prueba en un tiempo determinado (por lo general 96 horas para especies de peces). Esta medida se denomina CL50 (concentración letal que mata 50 % de la especie de prueba). En muchos estudios, los valores contenidos en el logaritmo natural de mediciones del CL50 están distribuidos normalmente y, en consecuencia, el análisis está basado en datos del ln(CL50). Estudios de los efectos del cobre en cierta especie de peces (por ejemplo la especie A) muestran que la varianza de mediciones de ln(CL50) es alrededor de 0.4 con mediciones de concentración en miligramos por litro. Si han de completarse n = 10 estudios sobre el CL50 para cobre, encuentre la probabilidad de que la media muestral de ln(CL50) diéra de la verdadera media poblacional en no más de 0.5 \[(\mu-0.5<\bar{X}<\mu+0.5)=P(\bar{X}<\mu+0.5)-P(\bar{X}<\mu-0.5)\] \[(\mu-0.5<\bar{X}<\mu+0.5) = P\left(X<\frac{0.5}{\frac{\sqrt{0.4}}{\sqrt10}}\right) - P\left(X<-\frac{0.5}{\frac{\sqrt{0.4}}{\sqrt10}}\right)\] \[(\mu-0.5<\bar{X}<\mu+0.5) = \left(\bar{X}\leq \frac{5}{2}\right)- \left(\bar{X}\leq- \frac{5}{2}\right)\]

pnorm(5/2)-pnorm(-5/2)
## [1] 0.9875807

Punto 10:

Si en el Ejercicio anterior deseamos que la media muestral difiera de la media poblacional en no mas de 0.5 con probabilidad 0.95 ¿Cuantas pruebas deben realizarse?.

\[P(X<\mu - 0.5) = 0.025\] \[P\left(X< - \frac{ \sqrt{n}0.5 }{\sqrt{0.4}} \right) = 0.025\] \[k=-\frac{ \sqrt{n}0.5 }{\sqrt{0.4}} \] \[P(X< k) = 0.025\]

qnorm(0.025)
## [1] -1.959964

\[-\frac{ \sqrt{n}0.5 }{\sqrt{0.4}} = -1.959964\] Despejando \(n\).

\[n=\left( \frac{ 1.959964\sqrt{0.4} }{0.5} \right)^2\] \[n=6.14633 = 7\] Comprobación:

pnorm(1.959963329) - pnorm(-1.959963329)
## [1] 0.9499999