CASO 4 Medidas de dispersion
Estefania Gonzalez Galindo
25/2/2022
Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016a].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto. [@devore2016].
Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
Desarrollo
Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficosDatos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(500)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )edades1
Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 56 44 58 48 59 35 21 36 59 29 55 59 49 19 39 29 55 26 23 55 23 50 44 54 59
## [26] 18 31 60 25 40 59 46 38 42 45 43 47 41 25 54 26 56 22 56 21 45 49 57 55 28
## [51] 33 41 25 24 21 52 59 55 52 27 34 35 22 23 40 45 47 56 46 58 47 26 40 42 27
## [76] 28 44 35 24 19 27 30 54 47 55 43 22 58 52 27 25 43 32 50 26 46 45 56 41 60
## [101] 53 58 30 48 19 36 55 41 39 32 50 48 34 44 20 19 60 42 33 51 44 47 37 36 25
## [126] 39 39 26 43 51 26 54 59 50 20 51 41 25 58 34 57 26 32 56 37 28 43 56 28 23
## [151] 23 29 47 21 26 38 52 45 51 30 42 39 48 36 42 18 39 30 44 18 47 31 52 57 35
## [176] 30 33 57 38 33 30 41 31 51 51 37 22 51 28 47 19 32 45 50 47 21 28 19 39 24Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 20 0.10 10.0 20 10.0
## [22.57,27.33) 26 0.13 13.0 46 23.0
## [27.33,32.08) 22 0.11 11.0 68 34.0
## [32.08,36.83) 15 0.07 7.5 83 41.5
## [36.83,41.59) 22 0.11 11.0 105 52.5
## [41.59,46.34) 25 0.12 12.5 130 65.0
## [46.34,51.09) 27 0.14 13.5 157 78.5
## [51.09,55.85) 17 0.09 8.5 174 87.0
## [55.85,60.6) 26 0.13 13.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
edades2
Crear y mostrrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 17 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23
## [26] 23 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [51] 26 26 26 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [126] 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35
## [176] 35 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 39 40 40 42 42Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.63## [1] 29.6Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 56 39.63 16.37 267.9769
## 2 44 39.63 4.37 19.0969
## 3 58 39.63 18.37 337.4569
## 4 48 39.63 8.37 70.0569
## 5 59 39.63 19.37 375.1969
## 6 35 39.63 -4.63 21.4369
## 7 21 39.63 -18.63 347.0769
## 8 36 39.63 -3.63 13.1769
## 9 59 39.63 19.37 375.1969
## 10 29 39.63 -10.63 112.9969
## 11 55 39.63 15.37 236.2369
## 12 59 39.63 19.37 375.1969
## 13 49 39.63 9.37 87.7969
## 14 19 39.63 -20.63 425.5969
## 15 39 39.63 -0.63 0.3969
## 16 29 39.63 -10.63 112.9969
## 17 55 39.63 15.37 236.2369
## 18 26 39.63 -13.63 185.7769
## 19 23 39.63 -16.63 276.5569
## 20 55 39.63 15.37 236.2369
## 21 23 39.63 -16.63 276.5569
## 22 50 39.63 10.37 107.5369
## 23 44 39.63 4.37 19.0969
## 24 54 39.63 14.37 206.4969
## 25 59 39.63 19.37 375.1969
## 26 18 39.63 -21.63 467.8569
## 27 31 39.63 -8.63 74.4769
## 28 60 39.63 20.37 414.9369
## 29 25 39.63 -14.63 214.0369
## 30 40 39.63 0.37 0.1369
## 31 59 39.63 19.37 375.1969
## 32 46 39.63 6.37 40.5769
## 33 38 39.63 -1.63 2.6569
## 34 42 39.63 2.37 5.6169
## 35 45 39.63 5.37 28.8369
## 36 43 39.63 3.37 11.3569
## 37 47 39.63 7.37 54.3169
## 38 41 39.63 1.37 1.8769
## 39 25 39.63 -14.63 214.0369
## 40 54 39.63 14.37 206.4969
## 41 26 39.63 -13.63 185.7769
## 42 56 39.63 16.37 267.9769
## 43 22 39.63 -17.63 310.8169
## 44 56 39.63 16.37 267.9769
## 45 21 39.63 -18.63 347.0769
## 46 45 39.63 5.37 28.8369
## 47 49 39.63 9.37 87.7969
## 48 57 39.63 17.37 301.7169
## 49 55 39.63 15.37 236.2369
## 50 28 39.63 -11.63 135.2569
## 51 33 39.63 -6.63 43.9569
## 52 41 39.63 1.37 1.8769
## 53 25 39.63 -14.63 214.0369
## 54 24 39.63 -15.63 244.2969
## 55 21 39.63 -18.63 347.0769
## 56 52 39.63 12.37 153.0169
## 57 59 39.63 19.37 375.1969
## 58 55 39.63 15.37 236.2369
## 59 52 39.63 12.37 153.0169
## 60 27 39.63 -12.63 159.5169
## 61 34 39.63 -5.63 31.6969
## 62 35 39.63 -4.63 21.4369
## 63 22 39.63 -17.63 310.8169
## 64 23 39.63 -16.63 276.5569
## 65 40 39.63 0.37 0.1369
## 66 45 39.63 5.37 28.8369
## 67 47 39.63 7.37 54.3169
## 68 56 39.63 16.37 267.9769
## 69 46 39.63 6.37 40.5769
## 70 58 39.63 18.37 337.4569
## 71 47 39.63 7.37 54.3169
## 72 26 39.63 -13.63 185.7769
## 73 40 39.63 0.37 0.1369
## 74 42 39.63 2.37 5.6169
## 75 27 39.63 -12.63 159.5169
## 76 28 39.63 -11.63 135.2569
## 77 44 39.63 4.37 19.0969
## 78 35 39.63 -4.63 21.4369
## 79 24 39.63 -15.63 244.2969
## 80 19 39.63 -20.63 425.5969
## 81 27 39.63 -12.63 159.5169
## 82 30 39.63 -9.63 92.7369
## 83 54 39.63 14.37 206.4969
## 84 47 39.63 7.37 54.3169
## 85 55 39.63 15.37 236.2369
## 86 43 39.63 3.37 11.3569
## 87 22 39.63 -17.63 310.8169
## 88 58 39.63 18.37 337.4569
## 89 52 39.63 12.37 153.0169
## 90 27 39.63 -12.63 159.5169
## 91 25 39.63 -14.63 214.0369
## 92 43 39.63 3.37 11.3569
## 93 32 39.63 -7.63 58.2169
## 94 50 39.63 10.37 107.5369
## 95 26 39.63 -13.63 185.7769
## 96 46 39.63 6.37 40.5769
## 97 45 39.63 5.37 28.8369
## 98 56 39.63 16.37 267.9769
## 99 41 39.63 1.37 1.8769
## 100 60 39.63 20.37 414.9369
## 101 53 39.63 13.37 178.7569
## 102 58 39.63 18.37 337.4569
## 103 30 39.63 -9.63 92.7369
## 104 48 39.63 8.37 70.0569
## 105 19 39.63 -20.63 425.5969
## 106 36 39.63 -3.63 13.1769
## 107 55 39.63 15.37 236.2369
## 108 41 39.63 1.37 1.8769
## 109 39 39.63 -0.63 0.3969
## 110 32 39.63 -7.63 58.2169
## 111 50 39.63 10.37 107.5369
## 112 48 39.63 8.37 70.0569
## 113 34 39.63 -5.63 31.6969
## 114 44 39.63 4.37 19.0969
## 115 20 39.63 -19.63 385.3369
## 116 19 39.63 -20.63 425.5969
## 117 60 39.63 20.37 414.9369
## 118 42 39.63 2.37 5.6169
## 119 33 39.63 -6.63 43.9569
## 120 51 39.63 11.37 129.2769
## 121 44 39.63 4.37 19.0969
## 122 47 39.63 7.37 54.3169
## 123 37 39.63 -2.63 6.9169
## 124 36 39.63 -3.63 13.1769
## 125 25 39.63 -14.63 214.0369
## 126 39 39.63 -0.63 0.3969
## 127 39 39.63 -0.63 0.3969
## 128 26 39.63 -13.63 185.7769
## 129 43 39.63 3.37 11.3569
## 130 51 39.63 11.37 129.2769
## 131 26 39.63 -13.63 185.7769
## 132 54 39.63 14.37 206.4969
## 133 59 39.63 19.37 375.1969
## 134 50 39.63 10.37 107.5369
## 135 20 39.63 -19.63 385.3369
## 136 51 39.63 11.37 129.2769
## 137 41 39.63 1.37 1.8769
## 138 25 39.63 -14.63 214.0369
## 139 58 39.63 18.37 337.4569
## 140 34 39.63 -5.63 31.6969
## 141 57 39.63 17.37 301.7169
## 142 26 39.63 -13.63 185.7769
## 143 32 39.63 -7.63 58.2169
## 144 56 39.63 16.37 267.9769
## 145 37 39.63 -2.63 6.9169
## 146 28 39.63 -11.63 135.2569
## 147 43 39.63 3.37 11.3569
## 148 56 39.63 16.37 267.9769
## 149 28 39.63 -11.63 135.2569
## 150 23 39.63 -16.63 276.5569
## 151 23 39.63 -16.63 276.5569
## 152 29 39.63 -10.63 112.9969
## 153 47 39.63 7.37 54.3169
## 154 21 39.63 -18.63 347.0769
## 155 26 39.63 -13.63 185.7769
## 156 38 39.63 -1.63 2.6569
## 157 52 39.63 12.37 153.0169
## 158 45 39.63 5.37 28.8369
## 159 51 39.63 11.37 129.2769
## 160 30 39.63 -9.63 92.7369
## 161 42 39.63 2.37 5.6169
## 162 39 39.63 -0.63 0.3969
## 163 48 39.63 8.37 70.0569
## 164 36 39.63 -3.63 13.1769
## 165 42 39.63 2.37 5.6169
## 166 18 39.63 -21.63 467.8569
## 167 39 39.63 -0.63 0.3969
## 168 30 39.63 -9.63 92.7369
## 169 44 39.63 4.37 19.0969
## 170 18 39.63 -21.63 467.8569
## 171 47 39.63 7.37 54.3169
## 172 31 39.63 -8.63 74.4769
## 173 52 39.63 12.37 153.0169
## 174 57 39.63 17.37 301.7169
## 175 35 39.63 -4.63 21.4369
## 176 30 39.63 -9.63 92.7369
## 177 33 39.63 -6.63 43.9569
## 178 57 39.63 17.37 301.7169
## 179 38 39.63 -1.63 2.6569
## 180 33 39.63 -6.63 43.9569
## 181 30 39.63 -9.63 92.7369
## 182 41 39.63 1.37 1.8769
## 183 31 39.63 -8.63 74.4769
## 184 51 39.63 11.37 129.2769
## 185 51 39.63 11.37 129.2769
## 186 37 39.63 -2.63 6.9169
## 187 22 39.63 -17.63 310.8169
## 188 51 39.63 11.37 129.2769
## 189 28 39.63 -11.63 135.2569
## 190 47 39.63 7.37 54.3169
## 191 19 39.63 -20.63 425.5969
## 192 32 39.63 -7.63 58.2169
## 193 45 39.63 5.37 28.8369
## 194 50 39.63 10.37 107.5369
## 195 47 39.63 7.37 54.3169
## 196 21 39.63 -18.63 347.0769
## 197 28 39.63 -11.63 135.2569
## 198 19 39.63 -20.63 425.5969
## 199 39 39.63 -0.63 0.3969
## 200 24 39.63 -15.63 244.2969Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 30792.62varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 154.7368Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 154.7368## [1] 25.29648desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.43932## [1] 5.029561Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3138866CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1699176Interpretación
Se tomaron 200 edades de un grupo de personas entre 18 y 60 años
edades1 se genero de manera aleatoria, donde la media fue de 39.63 y su varianza 154.73
y edades2 con la función de distribucion normal, donde la media fue de 29.6 y su varianza de 25.29