Caso 4.Medidas de Dispersion
Edgar Sebastian Rios Morales
24/2/2022
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016a].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto. [@devore2016].
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(03022919)Se generan 300 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 300
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 30 19 44 56 37 49 55 23 57 22 48 45 26 58 43 34 41 28 45 35 26 45 21 32 20
## [26] 28 26 37 54 36 26 30 44 38 37 36 24 33 56 55 36 33 46 20 22 41 21 42 53 54
## [51] 47 23 20 20 51 24 22 29 58 32 56 43 19 42 53 28 55 24 44 46 24 55 36 55 47
## [76] 36 36 29 60 31 34 23 39 48 25 39 47 19 35 59 23 54 26 49 43 31 18 33 31 36
## [101] 19 46 47 23 21 45 27 59 57 24 60 26 34 25 40 51 24 52 36 35 23 56 51 29 54
## [126] 28 60 57 52 48 37 40 43 33 40 22 23 45 52 50 52 53 58 19 33 56 39 27 42 42
## [151] 24 20 26 19 19 22 55 28 36 27 41 35 50 27 45 38 58 54 28 35 21 20 32 25 32
## [176] 59 54 35 49 41 24 60 52 56 29 25 32 38 55 19 23 47 20 33 44 56 25 37 51 23
## [201] 22 59 30 30 60 48 58 58 39 25 18 52 24 51 45 22 23 41 42 30 25 33 42 25 27
## [226] 60 32 57 32 23 50 44 54 32 30 35 34 59 48 49 44 22 37 36 46 23 37 25 48 49
## [251] 30 39 19 27 54 59 44 50 47 23 37 36 39 26 40 26 44 25 39 24 35 39 58 40 60
## [276] 38 35 43 18 25 53 37 58 28 37 24 19 35 50 24 32 32 51 54 56 20 55 30 25 334.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=300\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.1) 33 0.11 11.00 33 11.00
## [22.1,26.38) 46 0.15 15.33 79 26.33
## [26.38,30.65) 25 0.08 8.33 104 34.67
## [30.65,34.93) 25 0.08 8.33 129 43.00
## [34.93,39.21) 43 0.14 14.33 172 57.33
## [39.21,43.49) 21 0.07 7.00 193 64.33
## [43.49,47.77) 25 0.08 8.33 218 72.67
## [47.77,52.04) 28 0.09 9.33 246 82.00
## [52.04,56.32) 29 0.10 9.67 275 91.67
## [56.32,60.6) 25 0.08 8.33 300 100.00Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 17 17 17 19 20 20 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23
## [26] 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
## [51] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27
## [76] 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [101] 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [126] 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31
## [151] 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
## [176] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [201] 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34
## [226] 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
## [251] 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37
## [276] 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 40 40 41 42 42 44 454.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 37.83333## [1] 30.44.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 30 37.83333 -7.8333333 61.36111111
## 2 19 37.83333 -18.8333333 354.69444444
## 3 44 37.83333 6.1666667 38.02777778
## 4 56 37.83333 18.1666667 330.02777778
## 5 37 37.83333 -0.8333333 0.69444444
## 6 49 37.83333 11.1666667 124.69444444
## 7 55 37.83333 17.1666667 294.69444444
## 8 23 37.83333 -14.8333333 220.02777778
## 9 57 37.83333 19.1666667 367.36111111
## 10 22 37.83333 -15.8333333 250.69444444
## 11 48 37.83333 10.1666667 103.36111111
## 12 45 37.83333 7.1666667 51.36111111
## 13 26 37.83333 -11.8333333 140.02777778
## 14 58 37.83333 20.1666667 406.69444444
## 15 43 37.83333 5.1666667 26.69444444
## 16 34 37.83333 -3.8333333 14.69444444
## 17 41 37.83333 3.1666667 10.02777778
## 18 28 37.83333 -9.8333333 96.69444444
## 19 45 37.83333 7.1666667 51.36111111
## 20 35 37.83333 -2.8333333 8.02777778
## 21 26 37.83333 -11.8333333 140.02777778
## 22 45 37.83333 7.1666667 51.36111111
## 23 21 37.83333 -16.8333333 283.36111111
## 24 32 37.83333 -5.8333333 34.02777778
## 25 20 37.83333 -17.8333333 318.02777778
## 26 28 37.83333 -9.8333333 96.69444444
## 27 26 37.83333 -11.8333333 140.02777778
## 28 37 37.83333 -0.8333333 0.69444444
## 29 54 37.83333 16.1666667 261.36111111
## 30 36 37.83333 -1.8333333 3.36111111
## 31 26 37.83333 -11.8333333 140.02777778
## 32 30 37.83333 -7.8333333 61.36111111
## 33 44 37.83333 6.1666667 38.02777778
## 34 38 37.83333 0.1666667 0.02777778
## 35 37 37.83333 -0.8333333 0.69444444
## 36 36 37.83333 -1.8333333 3.36111111
## 37 24 37.83333 -13.8333333 191.36111111
## 38 33 37.83333 -4.8333333 23.36111111
## 39 56 37.83333 18.1666667 330.02777778
## 40 55 37.83333 17.1666667 294.69444444
## 41 36 37.83333 -1.8333333 3.36111111
## 42 33 37.83333 -4.8333333 23.36111111
## 43 46 37.83333 8.1666667 66.69444444
## 44 20 37.83333 -17.8333333 318.02777778
## 45 22 37.83333 -15.8333333 250.69444444
## 46 41 37.83333 3.1666667 10.02777778
## 47 21 37.83333 -16.8333333 283.36111111
## 48 42 37.83333 4.1666667 17.36111111
## 49 53 37.83333 15.1666667 230.02777778
## 50 54 37.83333 16.1666667 261.36111111
## 51 47 37.83333 9.1666667 84.02777778
## 52 23 37.83333 -14.8333333 220.02777778
## 53 20 37.83333 -17.8333333 318.02777778
## 54 20 37.83333 -17.8333333 318.02777778
## 55 51 37.83333 13.1666667 173.36111111
## 56 24 37.83333 -13.8333333 191.36111111
## 57 22 37.83333 -15.8333333 250.69444444
## 58 29 37.83333 -8.8333333 78.02777778
## 59 58 37.83333 20.1666667 406.69444444
## 60 32 37.83333 -5.8333333 34.02777778
## 61 56 37.83333 18.1666667 330.02777778
## 62 43 37.83333 5.1666667 26.69444444
## 63 19 37.83333 -18.8333333 354.69444444
## 64 42 37.83333 4.1666667 17.36111111
## 65 53 37.83333 15.1666667 230.02777778
## 66 28 37.83333 -9.8333333 96.69444444
## 67 55 37.83333 17.1666667 294.69444444
## 68 24 37.83333 -13.8333333 191.36111111
## 69 44 37.83333 6.1666667 38.02777778
## 70 46 37.83333 8.1666667 66.69444444
## 71 24 37.83333 -13.8333333 191.36111111
## 72 55 37.83333 17.1666667 294.69444444
## 73 36 37.83333 -1.8333333 3.36111111
## 74 55 37.83333 17.1666667 294.69444444
## 75 47 37.83333 9.1666667 84.02777778
## 76 36 37.83333 -1.8333333 3.36111111
## 77 36 37.83333 -1.8333333 3.36111111
## 78 29 37.83333 -8.8333333 78.02777778
## 79 60 37.83333 22.1666667 491.36111111
## 80 31 37.83333 -6.8333333 46.69444444
## 81 34 37.83333 -3.8333333 14.69444444
## 82 23 37.83333 -14.8333333 220.02777778
## 83 39 37.83333 1.1666667 1.36111111
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## 85 25 37.83333 -12.8333333 164.69444444
## 86 39 37.83333 1.1666667 1.36111111
## 87 47 37.83333 9.1666667 84.02777778
## 88 19 37.83333 -18.8333333 354.69444444
## 89 35 37.83333 -2.8333333 8.02777778
## 90 59 37.83333 21.1666667 448.02777778
## 91 23 37.83333 -14.8333333 220.02777778
## 92 54 37.83333 16.1666667 261.36111111
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## 94 49 37.83333 11.1666667 124.69444444
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## 96 31 37.83333 -6.8333333 46.69444444
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## 98 33 37.83333 -4.8333333 23.36111111
## 99 31 37.83333 -6.8333333 46.69444444
## 100 36 37.83333 -1.8333333 3.36111111
## 101 19 37.83333 -18.8333333 354.69444444
## 102 46 37.83333 8.1666667 66.69444444
## 103 47 37.83333 9.1666667 84.02777778
## 104 23 37.83333 -14.8333333 220.02777778
## 105 21 37.83333 -16.8333333 283.36111111
## 106 45 37.83333 7.1666667 51.36111111
## 107 27 37.83333 -10.8333333 117.36111111
## 108 59 37.83333 21.1666667 448.02777778
## 109 57 37.83333 19.1666667 367.36111111
## 110 24 37.83333 -13.8333333 191.36111111
## 111 60 37.83333 22.1666667 491.36111111
## 112 26 37.83333 -11.8333333 140.02777778
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## 115 40 37.83333 2.1666667 4.69444444
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## 129 52 37.83333 14.1666667 200.69444444
## 130 48 37.83333 10.1666667 103.36111111
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## 135 40 37.83333 2.1666667 4.69444444
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## 275 60 37.83333 22.1666667 491.36111111
## 276 38 37.83333 0.1666667 0.02777778
## 277 35 37.83333 -2.8333333 8.02777778
## 278 43 37.83333 5.1666667 26.69444444
## 279 18 37.83333 -19.8333333 393.36111111
## 280 25 37.83333 -12.8333333 164.69444444
## 281 53 37.83333 15.1666667 230.02777778
## 282 37 37.83333 -0.8333333 0.69444444
## 283 58 37.83333 20.1666667 406.69444444
## 284 28 37.83333 -9.8333333 96.69444444
## 285 37 37.83333 -0.8333333 0.69444444
## 286 24 37.83333 -13.8333333 191.36111111
## 287 19 37.83333 -18.8333333 354.69444444
## 288 35 37.83333 -2.8333333 8.02777778
## 289 50 37.83333 12.1666667 148.02777778
## 290 24 37.83333 -13.8333333 191.36111111
## 291 32 37.83333 -5.8333333 34.02777778
## 292 32 37.83333 -5.8333333 34.02777778
## 293 51 37.83333 13.1666667 173.36111111
## 294 54 37.83333 16.1666667 261.36111111
## 295 56 37.83333 18.1666667 330.02777778
## 296 20 37.83333 -17.8333333 318.02777778
## 297 55 37.83333 17.1666667 294.69444444
## 298 30 37.83333 -7.8333333 61.36111111
## 299 25 37.83333 -12.8333333 164.69444444
## 300 33 37.83333 -4.8333333 23.36111111Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 46943.67varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 157.0022Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 157.0022## [1] 25.85284desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.53005## [1] 5.0845694.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3311908CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.16725565 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 15.33% de valores que están en un rango o intervalo entre 22.1 y 26.38.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 31.14 y 34.002 que representan el 24.3%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 37.8333333, la desviación es de: 12.5300531.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.4, la desviación es de: 5.0845691.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3311908y el CV de edades2 es de: 0.1672556
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades2 con respecto a edades1 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.