Caso 4. Medidas de dispersión
Daniel Bañuelos Olivas
24/2/2022
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016a].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto. [@devore2016].
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(2021)Se generan 300 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 300
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 24 55 56 29 23 55 55 22 56 58 40 29 35 20 57 43 53 54 39 48 51 36 21 39 22
## [26] 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25 36 20 19 34 57
## [51] 58 48 26 46 44 28 53 55 32 35 26 36 33 51 54 59 39 55 44 30 50 38 42 48 28
## [76] 26 40 60 39 53 47 24 46 18 36 53 26 26 27 18 54 60 46 33 22 36 29 46 24 28
## [101] 20 37 40 18 32 49 40 44 18 21 18 30 23 47 38 56 30 54 27 28 39 47 25 36 36
## [126] 24 18 41 19 38 38 60 54 30 22 25 30 28 46 52 36 22 36 40 39 31 48 39 39 36
## [151] 30 30 46 46 43 20 56 23 21 56 55 54 58 36 52 23 54 37 57 41 60 41 39 58 27
## [176] 55 40 28 49 18 60 41 41 25 25 33 20 37 26 45 24 48 48 35 45 60 46 51 60 32
## [201] 34 45 41 43 25 59 47 44 26 31 26 30 23 54 33 47 24 21 40 23 44 55 49 51 22
## [226] 33 50 19 52 57 49 37 34 60 41 57 30 51 26 40 56 34 40 25 36 54 31 25 22 60
## [251] 43 27 43 45 39 53 51 21 23 47 22 55 18 21 24 42 24 43 50 29 29 26 43 42 24
## [276] 59 42 51 28 47 60 40 20 34 34 55 55 23 25 52 43 37 20 52 41 46 18 32 54 374.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=300\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.1) 34 0.11 11.33 34 11.33
## [22.1,26.38) 39 0.13 13.00 73 24.33
## [26.38,30.65) 25 0.08 8.33 98 32.67
## [30.65,34.93) 22 0.07 7.33 120 40.00
## [34.93,39.21) 39 0.13 13.00 159 53.00
## [39.21,43.49) 31 0.10 10.33 190 63.33
## [43.49,47.77) 26 0.09 8.67 216 72.00
## [47.77,52.04) 26 0.09 8.67 242 80.67
## [52.04,56.32) 35 0.12 11.67 277 92.33
## [56.32,60.6) 23 0.08 7.67 300 100.00Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges", col = "orange" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='blue') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 15 15 17 18 18 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22
## [26] 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24
## [51] 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [76] 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28
## [101] 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29
## [126] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30
## [151] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31
## [176] 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32
## [201] 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [226] 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35
## [251] 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37
## [276] 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 42 44 45 534.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades2)) / k
h## [1] 4.222222tabla.edades2 <- fdt(x = edades2, breaks="Sturges")
tabla.edades2## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [14.85,18.718) 5 0.02 1.67 5 1.67
## [18.718,22.586) 26 0.09 8.67 31 10.33
## [22.586,26.454) 47 0.16 15.67 78 26.00
## [26.454,30.322) 96 0.32 32.00 174 58.00
## [30.322,34.19) 73 0.24 24.33 247 82.33
## [34.19,38.058) 38 0.13 12.67 285 95.00
## [38.058,41.926) 11 0.04 3.67 296 98.67
## [41.926,45.794) 3 0.01 1.00 299 99.67
## [45.794,49.662) 0 0.00 0.00 299 99.67
## [49.662,53.53) 1 0.00 0.33 300 100.00Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges", col = "orange") 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='blue') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.55667## [1] 29.683334.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 24 38.55667 -14.5566667 211.8965444
## 2 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 3 56 38.55667 17.4433333 304.2698778
## 4 29 38.55667 -9.5566667 91.3298778
## 5 23 38.55667 -15.5566667 242.0098778
## 6 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 7 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 8 22 38.55667 -16.5566667 274.1232111
## 9 56 38.55667 17.4433333 304.2698778
## 10 58 38.55667 19.4433333 378.0432111
## 11 40 38.55667 1.4433333 2.0832111
## 12 29 38.55667 -9.5566667 91.3298778
## 13 35 38.55667 -3.5566667 12.6498778
## 14 20 38.55667 -18.5566667 344.3498778
## 15 57 38.55667 18.4433333 340.1565444
## 16 43 38.55667 4.4433333 19.7432111
## 17 53 38.55667 14.4433333 208.6098778
## 18 54 38.55667 15.4433333 238.4965444
## 19 39 38.55667 0.4433333 0.1965444
## 20 48 38.55667 9.4433333 89.1765444
## 21 51 38.55667 12.4433333 154.8365444
## 22 36 38.55667 -2.5566667 6.5365444
## 23 21 38.55667 -17.5566667 308.2365444
## 24 39 38.55667 0.4433333 0.1965444
## 25 22 38.55667 -16.5566667 274.1232111
## 26 26 38.55667 -12.5566667 157.6698778
## 27 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 28 35 38.55667 -3.5566667 12.6498778
## 29 60 38.55667 21.4433333 459.8165444
## 30 23 38.55667 -15.5566667 242.0098778
## 31 39 38.55667 0.4433333 0.1965444
## 32 23 38.55667 -15.5566667 242.0098778
## 33 32 38.55667 -6.5566667 42.9898778
## 34 51 38.55667 12.4433333 154.8365444
## 35 39 38.55667 0.4433333 0.1965444
## 36 33 38.55667 -5.5566667 30.8765444
## 37 32 38.55667 -6.5566667 42.9898778
## 38 41 38.55667 2.4433333 5.9698778
## 39 34 38.55667 -4.5566667 20.7632111
## 40 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 41 54 38.55667 15.4433333 238.4965444
## 42 37 38.55667 -1.5566667 2.4232111
## 43 21 38.55667 -17.5566667 308.2365444
## 44 47 38.55667 8.4433333 71.2898778
## 45 25 38.55667 -13.5566667 183.7832111
## 46 36 38.55667 -2.5566667 6.5365444
## 47 20 38.55667 -18.5566667 344.3498778
## 48 19 38.55667 -19.5566667 382.4632111
## 49 34 38.55667 -4.5566667 20.7632111
## 50 57 38.55667 18.4433333 340.1565444
## 51 58 38.55667 19.4433333 378.0432111
## 52 48 38.55667 9.4433333 89.1765444
## 53 26 38.55667 -12.5566667 157.6698778
## 54 46 38.55667 7.4433333 55.4032111
## 55 44 38.55667 5.4433333 29.6298778
## 56 28 38.55667 -10.5566667 111.4432111
## 57 53 38.55667 14.4433333 208.6098778
## 58 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 59 32 38.55667 -6.5566667 42.9898778
## 60 35 38.55667 -3.5566667 12.6498778
## 61 26 38.55667 -12.5566667 157.6698778
## 62 36 38.55667 -2.5566667 6.5365444
## 63 33 38.55667 -5.5566667 30.8765444
## 64 51 38.55667 12.4433333 154.8365444
## 65 54 38.55667 15.4433333 238.4965444
## 66 59 38.55667 20.4433333 417.9298778
## 67 39 38.55667 0.4433333 0.1965444
## 68 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 69 44 38.55667 5.4433333 29.6298778
## 70 30 38.55667 -8.5566667 73.2165444
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## 72 38 38.55667 -0.5566667 0.3098778
## 73 42 38.55667 3.4433333 11.8565444
## 74 48 38.55667 9.4433333 89.1765444
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## 88 26 38.55667 -12.5566667 157.6698778
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## 90 18 38.55667 -20.5566667 422.5765444
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## 98 46 38.55667 7.4433333 55.4032111
## 99 24 38.55667 -14.5566667 211.8965444
## 100 28 38.55667 -10.5566667 111.4432111
## 101 20 38.55667 -18.5566667 344.3498778
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## 103 40 38.55667 1.4433333 2.0832111
## 104 18 38.55667 -20.5566667 422.5765444
## 105 32 38.55667 -6.5566667 42.9898778
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## 107 40 38.55667 1.4433333 2.0832111
## 108 44 38.55667 5.4433333 29.6298778
## 109 18 38.55667 -20.5566667 422.5765444
## 110 21 38.55667 -17.5566667 308.2365444
## 111 18 38.55667 -20.5566667 422.5765444
## 112 30 38.55667 -8.5566667 73.2165444
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## 149 39 38.55667 0.4433333 0.1965444
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## 178 28 38.55667 -10.5566667 111.4432111
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## 183 41 38.55667 2.4433333 5.9698778
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## 185 25 38.55667 -13.5566667 183.7832111
## 186 33 38.55667 -5.5566667 30.8765444
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## 190 45 38.55667 6.4433333 41.5165444
## 191 24 38.55667 -14.5566667 211.8965444
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## 193 48 38.55667 9.4433333 89.1765444
## 194 35 38.55667 -3.5566667 12.6498778
## 195 45 38.55667 6.4433333 41.5165444
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## 199 60 38.55667 21.4433333 459.8165444
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## 203 41 38.55667 2.4433333 5.9698778
## 204 43 38.55667 4.4433333 19.7432111
## 205 25 38.55667 -13.5566667 183.7832111
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## 210 31 38.55667 -7.5566667 57.1032111
## 211 26 38.55667 -12.5566667 157.6698778
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## 249 22 38.55667 -16.5566667 274.1232111
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## 267 24 38.55667 -14.5566667 211.8965444
## 268 43 38.55667 4.4433333 19.7432111
## 269 50 38.55667 11.4433333 130.9498778
## 270 29 38.55667 -9.5566667 91.3298778
## 271 29 38.55667 -9.5566667 91.3298778
## 272 26 38.55667 -12.5566667 157.6698778
## 273 43 38.55667 4.4433333 19.7432111
## 274 42 38.55667 3.4433333 11.8565444
## 275 24 38.55667 -14.5566667 211.8965444
## 276 59 38.55667 20.4433333 417.9298778
## 277 42 38.55667 3.4433333 11.8565444
## 278 51 38.55667 12.4433333 154.8365444
## 279 28 38.55667 -10.5566667 111.4432111
## 280 47 38.55667 8.4433333 71.2898778
## 281 60 38.55667 21.4433333 459.8165444
## 282 40 38.55667 1.4433333 2.0832111
## 283 20 38.55667 -18.5566667 344.3498778
## 284 34 38.55667 -4.5566667 20.7632111
## 285 34 38.55667 -4.5566667 20.7632111
## 286 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 287 55 38.55667 16.4433333 270.3832111
## 288 23 38.55667 -15.5566667 242.0098778
## 289 25 38.55667 -13.5566667 183.7832111
## 290 52 38.55667 13.4433333 180.7232111
## 291 43 38.55667 4.4433333 19.7432111
## 292 37 38.55667 -1.5566667 2.4232111
## 293 20 38.55667 -18.5566667 344.3498778
## 294 52 38.55667 13.4433333 180.7232111
## 295 41 38.55667 2.4433333 5.9698778
## 296 46 38.55667 7.4433333 55.4032111
## 297 18 38.55667 -20.5566667 422.5765444
## 298 32 38.55667 -6.5566667 42.9898778
## 299 54 38.55667 15.4433333 238.4965444
## 300 37 38.55667 -1.5566667 2.4232111Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 46468.04varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 155.4115Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 155.4115## [1] 29.21377desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.46641## [1] 5.4049764.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3233271CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.18208795 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
-Con ayuda de las tablas de frecuencia podemos representar las clases y la cantidad de veces que aparecen (frecuencia) estas clases, además de que nos permite ver los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
-Con respecto a edades1 existe un 13.00% de valores que están en un rango o intervalo entre 22.1 y 26.38 y otro rango que cuenta con ese mismo 13.00% que va de 34.93 a 39.21.
-En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 26.454 y 30.322 que representan el 32%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
-Del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 38.5566667, la desviación es de: 12.4664146.
-Del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.6833333, la desviación es de: 5.4049762.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
-El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3233271y el CV de edades2 es de: 0.1820879
-Con la ayuda de las graficas de dispersión, nos podemos hacer una mejor idea de como es que edades1 tiene mayor cantidad de dispersión en comparación con las edades2.
-De nuevo, el uso de la programación para el desarrollo de casos estadisticos, es una gran área de oportunidades, puesto que no solo nos permite hacer cálculos más rápidos y precisos, si no que nos permite ver una representación gráfica, la cual se genera de manera inmediata y fácilita la comprensión de todo a un mejor nivel.
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016b. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.
———. 2016a. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.