Ejercicio 1

Sea \(f(x)=\sqrt{x}-\cos x\). Usa el método de la bisección para encontrar \(x\in [0,1]\) tal que \(f(x)=0\).

f_1 <- function(x){sqrt(x)-cos(x)} #Defino función

x_1 <- seq(0, 1.5, by=0.01) #Defino elementos del dominio e la función (vector de números)
y_1 <- f_1(x_1) #Aplico la función f_a a los elementos del vector x_a

graf_1 <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje x
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="dashed")+ #eje y
  geom_line(aes(x=x_1, y=y_1), color="purple", size=1)+
  #coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
  labs(x="x", y="f(x)", title="Método de bisección")+
  theme_bw()

#plot(graf_1)

ggplotly(graf_1)

Ejercicio 2

Usa el método de la bisección para encontrar una raíz con una precisión de \(10^{-2}\) para \(x^3-7x^2+14x-6=0\) en cada intervalo.

\[\begin{equation} a) [0,1]\qquad\qquad b) [1, 3.2]\qquad\qquad c)[3.2, 4] \end{equation}\]

  1. \([0, 1]\)
metodo_biseccion(f_2, 0, 1, 10^(-2), 100)
## $aprox
## [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.5625000 0.5937500 0.5781250 0.5859375
## 
## $precision
## [1] 0.0078125
## 
## $iteraciones
## [1] 7

b)\([1, 3.2]\)

metodo_biseccion(f_2, 1, 3.2, 10^(-2), 100)
## $aprox
## [1] 2.100000 2.650000 2.925000 3.062500 2.993750 3.028125 3.010938 3.002344
## 
## $precision
## [1] 0.00859375
## 
## $iteraciones
## [1] 8
  1. \([3.2, 4]\)
metodo_biseccion(f_2, 3.2, 4, 10^(-2), 100)
## $aprox
## [1] 3.60000 3.40000 3.50000 3.45000 3.42500 3.41250 3.41875
## 
## $precision
## [1] 0.00625
## 
## $iteraciones
## [1] 7
bisect(f_2, 3.2, 4)
## $root
## [1] 3.414214
## 
## $f.root
## [1] -2.131628e-14
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

Ejercicio 3

Usa el metodo de la bisección para encontrar las soluciones con una precisión de \(10^{-5}\) para los siguientes problemas.

  1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)
metodo_biseccion(f_3a, 0, 1, 10^-5, 100)
## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6411133 0.6413574 0.6412354 0.6411743
## [15] 0.6412048 0.6411896 0.6411819
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17
bisect(f_3a,0,1)
## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16
  1. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)
metodo_biseccion(f_3b, 0, 1, 10^-5, 100)
## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.2500000 0.3750000 0.3125000 0.2812500 0.2656250 0.2578125
##  [8] 0.2539062 0.2558594 0.2568359 0.2573242 0.2575684 0.2574463 0.2575073
## [15] 0.2575378 0.2575226 0.2575302
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17
bisect(f_3b,0,1)
## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17
  1. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)
metodo_biseccion(f_3c, -3, -2, 10^-5, 100)
## $aprox
##  [1] -2.500000 -2.250000 -2.125000 -2.187500 -2.218750 -2.203125 -2.195312
##  [8] -2.191406 -2.189453 -2.190430 -2.190918 -2.191162 -2.191284 -2.191345
## [15] -2.191315 -2.191299 -2.191307
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17
metodo_biseccion(f_3c, -1, 0, 10^-5, 100)
## $aprox
##  [1] -0.5000000 -0.7500000 -0.8750000 -0.8125000 -0.7812500 -0.7968750
##  [7] -0.8046875 -0.8007812 -0.7988281 -0.7978516 -0.7983398 -0.7980957
## [13] -0.7982178 -0.7981567 -0.7981873 -0.7981720 -0.7981644
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17
  1. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)
metodo_biseccion(f_3d, 0.2, 0.3, 10^-5, 100)
## $aprox
##  [1] 0.2500000 0.2750000 0.2875000 0.2937500 0.2968750 0.2984375 0.2976563
##  [8] 0.2972656 0.2974609 0.2975586 0.2975098 0.2975342 0.2975220 0.2975281
## 
## $precision
## [1] 6.103516e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 14
metodo_biseccion(f_3d, 1.2, 1.3, 10^-5, 100)
## $aprox
##  [1] 1.250000 1.275000 1.262500 1.256250 1.259375 1.257812 1.257031 1.256641
##  [9] 1.256445 1.256543 1.256592 1.256616 1.256628 1.256622
## 
## $precision
## [1] 6.103516e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 14

Ejercicio 4

Considera las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=2 \sin x\). Usa el método de la bisección para encontrar una aproximación con una precisión de \(10^{-5}\) para el primer valor positivo \(x\) tal que \(f(x)=g(x)\).

Ejercicio 5

Sea \(f(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)^3(x-2)\). ¿A cuál raíz de \(f\) converge el método de la bisección cuando se aplica a los siguientes intervalos?

\[\begin{equation} a) [-3,2.5]\qquad \qquad b) [-2.5, 3]\qquad\qquad c)[-1.75, 1.5]\qquad\qquad d) [-1.5, 1.75] \end{equation}\]

Ejercicio 6

En cada una de las siguientes ecuaciones, determina un intervalo \([a,b]\) en que convergerá la iteración de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una exactitud de \(10^{-5}\) y realiza los cálculos.

it_pf <- function(g, q0, pr=1e-5, N=100){
  cond <- 1
  it <- 1
  q <- q0
  while(cond==1){
    if(it<=N){
      q[it+1] = g(q[it]) # iteración de la función 
      pr_it <- abs(q[it+1]-q[it]) # precisión en la iteración 
       if(pr_it<pr){
          resultados <- list(sucesion=q, precision=pr_it, iteraciones=it)
          return(resultados)
          cond <- 0
          }#final del segundo if
        else{it <- it+1}
    }#final del primer if
    else{
      print("Se alcanzo el maximo de iteraciones")
      cond <- 0
    }#fin del else
  }#final del while
}# final de la función
  1. \(\quad x=\frac{2-e^{x}+x^{2}}{3}\)
  1. \(\quad x=\frac{5}{x^{2}}+2\)
  1. \(\quad x=\left(e^{x} / 3\right)^{1 / 2}\)
  1. \(\quad x=5^{-x}\)
  1. \(\quad x=6^{-x}\)
  1. \(\quad x=0.5(\sin x+\cos x)\)