Medidas de dispersion 21041235
Michael David Delgadillo Donaldson
2/24/2022
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016a].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más pequeña de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más grande y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto. [@devore2016].
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(5465123)Se generan 300 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 300
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 36 58 34 38 48 18 43 48 56 20 53 54 41 33 19 58 47 43 25 31 44 53 57 24 53
## [26] 25 46 28 39 22 44 38 33 18 19 59 18 29 20 28 28 45 25 43 34 60 29 27 46 35
## [51] 47 40 46 35 45 35 35 54 29 26 36 42 20 24 19 59 39 52 40 51 21 38 57 32 32
## [76] 30 50 44 53 56 57 45 50 32 40 56 59 53 25 20 58 20 19 51 24 47 48 21 36 27
## [101] 36 56 45 38 59 44 40 38 52 32 24 45 44 40 51 25 33 59 49 42 39 42 21 34 26
## [126] 60 36 52 36 34 58 27 42 52 49 32 26 31 47 40 24 33 19 19 32 23 55 22 29 38
## [151] 22 33 23 58 22 42 23 58 45 48 54 24 20 27 23 49 25 54 32 44 43 41 56 30 18
## [176] 26 32 58 37 47 26 34 18 51 58 34 56 59 56 51 28 30 22 40 51 49 25 54 52 39
## [201] 57 34 43 50 30 33 45 46 42 59 34 45 24 57 35 37 26 59 33 20 58 25 44 18 59
## [226] 22 18 26 44 49 26 26 21 52 55 53 19 32 38 50 50 22 28 22 55 57 40 55 45 55
## [251] 47 42 21 20 54 45 47 57 24 57 18 25 45 39 37 18 40 49 55 53 35 25 26 60 21
## [276] 19 49 33 40 21 48 40 34 30 38 55 60 44 32 37 22 24 51 52 26 59 58 37 53 414.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=300\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.1) 41 0.14 13.67 41 13.67
## [22.1,26.38) 34 0.11 11.33 75 25.00
## [26.38,30.65) 18 0.06 6.00 93 31.00
## [30.65,34.93) 29 0.10 9.67 122 40.67
## [34.93,39.21) 30 0.10 10.00 152 50.67
## [39.21,43.49) 26 0.09 8.67 178 59.33
## [43.49,47.77) 31 0.10 10.33 209 69.67
## [47.77,52.04) 31 0.10 10.33 240 80.00
## [52.04,56.32) 28 0.09 9.33 268 89.33
## [56.32,60.6) 32 0.11 10.67 300 100.00Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 13 17 18 19 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24
## [26] 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
## [51] 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [76] 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27
## [101] 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29
## [126] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [151] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [176] 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
## [201] 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [226] 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35
## [251] 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
## [276] 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 38 38 38 39 39 40 41 41 42 43 44 454.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.86667## [1] 30.014.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 36 38.86667 -2.8666667 8.21777778
## 2 58 38.86667 19.1333333 366.08444444
## 3 34 38.86667 -4.8666667 23.68444444
## 4 38 38.86667 -0.8666667 0.75111111
## 5 48 38.86667 9.1333333 83.41777778
## 6 18 38.86667 -20.8666667 435.41777778
## 7 43 38.86667 4.1333333 17.08444444
## 8 48 38.86667 9.1333333 83.41777778
## 9 56 38.86667 17.1333333 293.55111111
## 10 20 38.86667 -18.8666667 355.95111111
## 11 53 38.86667 14.1333333 199.75111111
## 12 54 38.86667 15.1333333 229.01777778
## 13 41 38.86667 2.1333333 4.55111111
## 14 33 38.86667 -5.8666667 34.41777778
## 15 19 38.86667 -19.8666667 394.68444444
## 16 58 38.86667 19.1333333 366.08444444
## 17 47 38.86667 8.1333333 66.15111111
## 18 43 38.86667 4.1333333 17.08444444
## 19 25 38.86667 -13.8666667 192.28444444
## 20 31 38.86667 -7.8666667 61.88444444
## 21 44 38.86667 5.1333333 26.35111111
## 22 53 38.86667 14.1333333 199.75111111
## 23 57 38.86667 18.1333333 328.81777778
## 24 24 38.86667 -14.8666667 221.01777778
## 25 53 38.86667 14.1333333 199.75111111
## 26 25 38.86667 -13.8666667 192.28444444
## 27 46 38.86667 7.1333333 50.88444444
## 28 28 38.86667 -10.8666667 118.08444444
## 29 39 38.86667 0.1333333 0.01777778
## 30 22 38.86667 -16.8666667 284.48444444
## 31 44 38.86667 5.1333333 26.35111111
## 32 38 38.86667 -0.8666667 0.75111111
## 33 33 38.86667 -5.8666667 34.41777778
## 34 18 38.86667 -20.8666667 435.41777778
## 35 19 38.86667 -19.8666667 394.68444444
## 36 59 38.86667 20.1333333 405.35111111
## 37 18 38.86667 -20.8666667 435.41777778
## 38 29 38.86667 -9.8666667 97.35111111
## 39 20 38.86667 -18.8666667 355.95111111
## 40 28 38.86667 -10.8666667 118.08444444
## 41 28 38.86667 -10.8666667 118.08444444
## 42 45 38.86667 6.1333333 37.61777778
## 43 25 38.86667 -13.8666667 192.28444444
## 44 43 38.86667 4.1333333 17.08444444
## 45 34 38.86667 -4.8666667 23.68444444
## 46 60 38.86667 21.1333333 446.61777778
## 47 29 38.86667 -9.8666667 97.35111111
## 48 27 38.86667 -11.8666667 140.81777778
## 49 46 38.86667 7.1333333 50.88444444
## 50 35 38.86667 -3.8666667 14.95111111
## 51 47 38.86667 8.1333333 66.15111111
## 52 40 38.86667 1.1333333 1.28444444
## 53 46 38.86667 7.1333333 50.88444444
## 54 35 38.86667 -3.8666667 14.95111111
## 55 45 38.86667 6.1333333 37.61777778
## 56 35 38.86667 -3.8666667 14.95111111
## 57 35 38.86667 -3.8666667 14.95111111
## 58 54 38.86667 15.1333333 229.01777778
## 59 29 38.86667 -9.8666667 97.35111111
## 60 26 38.86667 -12.8666667 165.55111111
## 61 36 38.86667 -2.8666667 8.21777778
## 62 42 38.86667 3.1333333 9.81777778
## 63 20 38.86667 -18.8666667 355.95111111
## 64 24 38.86667 -14.8666667 221.01777778
## 65 19 38.86667 -19.8666667 394.68444444
## 66 59 38.86667 20.1333333 405.35111111
## 67 39 38.86667 0.1333333 0.01777778
## 68 52 38.86667 13.1333333 172.48444444
## 69 40 38.86667 1.1333333 1.28444444
## 70 51 38.86667 12.1333333 147.21777778
## 71 21 38.86667 -17.8666667 319.21777778
## 72 38 38.86667 -0.8666667 0.75111111
## 73 57 38.86667 18.1333333 328.81777778
## 74 32 38.86667 -6.8666667 47.15111111
## 75 32 38.86667 -6.8666667 47.15111111
## 76 30 38.86667 -8.8666667 78.61777778
## 77 50 38.86667 11.1333333 123.95111111
## 78 44 38.86667 5.1333333 26.35111111
## 79 53 38.86667 14.1333333 199.75111111
## 80 56 38.86667 17.1333333 293.55111111
## 81 57 38.86667 18.1333333 328.81777778
## 82 45 38.86667 6.1333333 37.61777778
## 83 50 38.86667 11.1333333 123.95111111
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## 275 21 38.86667 -17.8666667 319.21777778
## 276 19 38.86667 -19.8666667 394.68444444
## 277 49 38.86667 10.1333333 102.68444444
## 278 33 38.86667 -5.8666667 34.41777778
## 279 40 38.86667 1.1333333 1.28444444
## 280 21 38.86667 -17.8666667 319.21777778
## 281 48 38.86667 9.1333333 83.41777778
## 282 40 38.86667 1.1333333 1.28444444
## 283 34 38.86667 -4.8666667 23.68444444
## 284 30 38.86667 -8.8666667 78.61777778
## 285 38 38.86667 -0.8666667 0.75111111
## 286 55 38.86667 16.1333333 260.28444444
## 287 60 38.86667 21.1333333 446.61777778
## 288 44 38.86667 5.1333333 26.35111111
## 289 32 38.86667 -6.8666667 47.15111111
## 290 37 38.86667 -1.8666667 3.48444444
## 291 22 38.86667 -16.8666667 284.48444444
## 292 24 38.86667 -14.8666667 221.01777778
## 293 51 38.86667 12.1333333 147.21777778
## 294 52 38.86667 13.1333333 172.48444444
## 295 26 38.86667 -12.8666667 165.55111111
## 296 59 38.86667 20.1333333 405.35111111
## 297 58 38.86667 19.1333333 366.08444444
## 298 37 38.86667 -1.8666667 3.48444444
## 299 53 38.86667 14.1333333 199.75111111
## 300 41 38.86667 2.1333333 4.55111111Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 49114.67varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 164.2631Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 164.2631## [1] 23.54171desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.81652## [1] 4.851984.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.329756CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.16167885 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 13.67% de valores que están en un rango o intervalo entre 17.82 y 22.1.
Dentro del histograma de las edades2 se puede observar claramente una mayor frecuencia de datos en los rangos de edades de 25 a 30 años de edad.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 38.8666667, la desviación es de: 12.8165167.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.01, la desviación es de: 4.8519796.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.329756y el CV de edades2 es de: 0.1616788