Caso 4. Medidas de dispersión. Varianza, Desviación y Coeficiente de variación.
Carlos David Bustamante Pacheco
23/2/2022
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. (Devore 2016a).
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (xixi) y la media x¯x¯ (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \] siendo μμ la media poblacional y NN el total de los datos de la población.
Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \] siendo x¯x¯ la media muestral y nn el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea ςς para denotar la desviación estándar muestral y σσ para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias##
## Attaching package: 'fdth'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## sd, varlibrary(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(2022)Se generan 400 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 400
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 53 31 28 21 23 31 45 58 31 24 46 39 22 18 49 18 51 56 46 29 32 23 56 39 22
## [26] 28 45 60 37 25 20 21 46 19 51 25 59 56 50 48 36 18 36 58 58 20 49 27 50 52
## [51] 43 37 43 33 40 48 22 33 59 19 41 41 34 29 32 35 22 23 50 59 40 57 57 43 46
## [76] 32 50 48 29 40 28 26 52 52 37 52 49 55 33 19 25 34 45 33 32 50 46 25 34 26
## [101] 56 19 36 46 20 21 53 55 22 18 37 43 30 43 39 51 18 33 59 21 30 20 59 18 45
## [126] 49 24 21 58 30 22 59 48 40 32 59 36 18 31 28 57 55 28 35 19 28 31 52 20 58
## [151] 22 23 22 35 37 43 51 36 54 36 20 31 20 34 36 18 44 31 49 25 49 56 32 19 55
## [176] 55 26 59 48 40 28 47 35 27 44 32 21 30 38 44 37 33 23 50 53 57 31 34 47 58
## [201] 30 55 27 45 33 33 52 54 43 27 20 19 18 40 46 31 48 33 45 46 60 52 54 53 59
## [226] 31 35 24 37 59 50 25 56 27 59 48 42 56 26 25 23 18 56 35 49 49 41 23 42 33
## [251] 56 25 20 38 33 56 59 56 60 45 48 48 38 25 31 54 30 33 21 19 57 37 18 43 34
## [276] 20 19 47 33 41 60 52 35 60 38 58 28 58 34 59 39 57 26 48 26 36 26 33 45 52
## [301] 57 47 54 50 32 36 24 23 59 23 58 28 52 37 27 33 35 47 58 48 21 35 25 56 40
## [326] 46 34 50 36 26 46 33 18 27 41 25 39 51 35 26 42 36 55 58 34 43 59 31 59 35
## [351] 47 30 42 46 26 19 53 36 50 51 19 50 18 27 21 59 34 31 22 40 23 55 29 22 56
## [376] 32 36 29 32 30 36 60 37 18 49 27 55 55 28 47 27 50 58 29 33 43 31 48 51 454.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por:
\[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]
Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par n=200n=200 de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 10La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.2tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.1) 54 0.14 13.50 54 13.50
## [22.1,26.38) 35 0.09 8.75 89 22.25
## [26.38,30.65) 34 0.09 8.50 123 30.75
## [30.65,34.93) 51 0.13 12.75 174 43.50
## [34.93,39.21) 44 0.11 11.00 218 54.50
## [39.21,43.49) 27 0.07 6.75 245 61.25
## [43.49,47.77) 30 0.07 7.50 275 68.75
## [47.77,52.04) 50 0.12 12.50 325 81.25
## [52.04,56.32) 33 0.08 8.25 358 89.50
## [56.32,60.6) 42 0.10 10.50 400 100.00Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.1.5 edades2
4.2.1.6 Crear y mostrrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))4.2.1.7 Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 13 15 16 18 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23
## [26] 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
## [51] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26
## [76] 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27
## [101] 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28
## [126] 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [151] 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [176] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [201] 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [226] 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [251] 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
## [276] 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [301] 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34
## [326] 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36
## [351] 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 37
## [376] 37 37 38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 40 40 40 40 40 41 41 42 43 44 494.2.1.8 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.1.9 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.10 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.2.1.11 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.2.2 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.54## [1] 29.88754.2.3 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 53 38.54 14.46 209.0916
## 2 31 38.54 -7.54 56.8516
## 3 28 38.54 -10.54 111.0916
## 4 21 38.54 -17.54 307.6516
## 5 23 38.54 -15.54 241.4916
## 6 31 38.54 -7.54 56.8516
## 7 45 38.54 6.46 41.7316
## 8 58 38.54 19.46 378.6916
## 9 31 38.54 -7.54 56.8516
## 10 24 38.54 -14.54 211.4116
## 11 46 38.54 7.46 55.6516
## 12 39 38.54 0.46 0.2116
## 13 22 38.54 -16.54 273.5716
## 14 18 38.54 -20.54 421.8916
## 15 49 38.54 10.46 109.4116
## 16 18 38.54 -20.54 421.8916
## 17 51 38.54 12.46 155.2516
## 18 56 38.54 17.46 304.8516
## 19 46 38.54 7.46 55.6516
## 20 29 38.54 -9.54 91.0116
## 21 32 38.54 -6.54 42.7716
## 22 23 38.54 -15.54 241.4916
## 23 56 38.54 17.46 304.8516
## 24 39 38.54 0.46 0.2116
## 25 22 38.54 -16.54 273.5716
## 26 28 38.54 -10.54 111.0916
## 27 45 38.54 6.46 41.7316
## 28 60 38.54 21.46 460.5316
## 29 37 38.54 -1.54 2.3716
## 30 25 38.54 -13.54 183.3316
## 31 20 38.54 -18.54 343.7316
## 32 21 38.54 -17.54 307.6516
## 33 46 38.54 7.46 55.6516
## 34 19 38.54 -19.54 381.8116
## 35 51 38.54 12.46 155.2516
## 36 25 38.54 -13.54 183.3316
## 37 59 38.54 20.46 418.6116
## 38 56 38.54 17.46 304.8516
## 39 50 38.54 11.46 131.3316
## 40 48 38.54 9.46 89.4916
## 41 36 38.54 -2.54 6.4516
## 42 18 38.54 -20.54 421.8916
## 43 36 38.54 -2.54 6.4516
## 44 58 38.54 19.46 378.6916
## 45 58 38.54 19.46 378.6916
## 46 20 38.54 -18.54 343.7316
## 47 49 38.54 10.46 109.4116
## 48 27 38.54 -11.54 133.1716
## 49 50 38.54 11.46 131.3316
## 50 52 38.54 13.46 181.1716
## 51 43 38.54 4.46 19.8916
## 52 37 38.54 -1.54 2.3716
## 53 43 38.54 4.46 19.8916
## 54 33 38.54 -5.54 30.6916
## 55 40 38.54 1.46 2.1316
## 56 48 38.54 9.46 89.4916
## 57 22 38.54 -16.54 273.5716
## 58 33 38.54 -5.54 30.6916
## 59 59 38.54 20.46 418.6116
## 60 19 38.54 -19.54 381.8116
## 61 41 38.54 2.46 6.0516
## 62 41 38.54 2.46 6.0516
## 63 34 38.54 -4.54 20.6116
## 64 29 38.54 -9.54 91.0116
## 65 32 38.54 -6.54 42.7716
## 66 35 38.54 -3.54 12.5316
## 67 22 38.54 -16.54 273.5716
## 68 23 38.54 -15.54 241.4916
## 69 50 38.54 11.46 131.3316
## 70 59 38.54 20.46 418.6116
## 71 40 38.54 1.46 2.1316
## 72 57 38.54 18.46 340.7716
## 73 57 38.54 18.46 340.7716
## 74 43 38.54 4.46 19.8916
## 75 46 38.54 7.46 55.6516
## 76 32 38.54 -6.54 42.7716
## 77 50 38.54 11.46 131.3316
## 78 48 38.54 9.46 89.4916
## 79 29 38.54 -9.54 91.0116
## 80 40 38.54 1.46 2.1316
## 81 28 38.54 -10.54 111.0916
## 82 26 38.54 -12.54 157.2516
## 83 52 38.54 13.46 181.1716
## 84 52 38.54 13.46 181.1716
## 85 37 38.54 -1.54 2.3716
## 86 52 38.54 13.46 181.1716
## 87 49 38.54 10.46 109.4116
## 88 55 38.54 16.46 270.9316
## 89 33 38.54 -5.54 30.6916
## 90 19 38.54 -19.54 381.8116
## 91 25 38.54 -13.54 183.3316
## 92 34 38.54 -4.54 20.6116
## 93 45 38.54 6.46 41.7316
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## 363 18 38.54 -20.54 421.8916
## 364 27 38.54 -11.54 133.1716
## 365 21 38.54 -17.54 307.6516
## 366 59 38.54 20.46 418.6116
## 367 34 38.54 -4.54 20.6116
## 368 31 38.54 -7.54 56.8516
## 369 22 38.54 -16.54 273.5716
## 370 40 38.54 1.46 2.1316
## 371 23 38.54 -15.54 241.4916
## 372 55 38.54 16.46 270.9316
## 373 29 38.54 -9.54 91.0116
## 374 22 38.54 -16.54 273.5716
## 375 56 38.54 17.46 304.8516
## 376 32 38.54 -6.54 42.7716
## 377 36 38.54 -2.54 6.4516
## 378 29 38.54 -9.54 91.0116
## 379 32 38.54 -6.54 42.7716
## 380 30 38.54 -8.54 72.9316
## 381 36 38.54 -2.54 6.4516
## 382 60 38.54 21.46 460.5316
## 383 37 38.54 -1.54 2.3716
## 384 18 38.54 -20.54 421.8916
## 385 49 38.54 10.46 109.4116
## 386 27 38.54 -11.54 133.1716
## 387 55 38.54 16.46 270.9316
## 388 55 38.54 16.46 270.9316
## 389 28 38.54 -10.54 111.0916
## 390 47 38.54 8.46 71.5716
## 391 27 38.54 -11.54 133.1716
## 392 50 38.54 11.46 131.3316
## 393 58 38.54 19.46 378.6916
## 394 29 38.54 -9.54 91.0116
## 395 33 38.54 -5.54 30.6916
## 396 43 38.54 4.46 19.8916
## 397 31 38.54 -7.54 56.8516
## 398 48 38.54 9.46 89.4916
## 399 51 38.54 12.46 155.2516
## 400 45 38.54 6.46 41.7316Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 65803.36varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 164.9207Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 164.9207## [1] 23.39333desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.84215## [1] 4.8366654.2.4 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.333216CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1618295 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 15.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 38.61, la desviación es de: 12.5216556.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.605, la desviación es de: 5.1820113.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3243112y el CV de edades2 es de: 0.1750384
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.
Has una breve Explicación sobre el caso:
En el caso número 4 se pide la Varianza, la desviación y el coeficiente de variación de un rango de 400 edades entre 18 y 60 años.
¿Cuántos grupos de edades se piden en el caso?
En este caso se pide la edad de 400 personas en 2 conjuntos que serán llamados edades1 y edades2.
¿Cuál es la Media aritmética del conjunto de edades1?
La media aritmética de este conjunto es de 40.37.
¿Cuál es la media aritmética de conjunto edades2?
La media aritmética obtenida del conjunto edades2 es de 30.2525.
¿Cuál es la varianza de este caso?
La varianza obtenida de este caso es de 164.920701.
Menciona las varianzas obtenidas de los conjuntos edades1 y edades2.
Las Varianzas de los 2 conjuntos son de:
Edades1. 164.902701754386
Edades2. 23.3933270676692
Menciona la Desviación de los 2 conjuntos.
Las Desviaciones obtenidas en este caso son de:
Edades1. 12.84214
Edades2. 4.836664
Menciona el Coeficiente de Variación de los 2 Conjuntos:
Los Coeficientes de Variación obtenidos del caso son:
Edades1. 0.333216
Edades2. 0.161829