Ejercicio 1

Usa el método de Newton paso por paso para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado.

\(x^3-2x^2-5=0\), \([1,4]\)

## Warning: `gather_()` was deprecated in tidyr 1.2.0.
## Please use `gather()` instead.
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## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was generated.

Iteración 1

it_nr1a(p0)

## [1] 2.733333

Iteración 2

it_nr1a(it_nr1a(p0))

## [1] 2.691625

Iteración 3

it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(p0)))

## [1] 2.690648

Iteración 4

it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(p0))))

## [1] 2.690647

Utilizando el método de Newton-Raphson encontramos, después de \(4\) iteraciones, que la raíz de la función es \(2.690647\)

newtonRaphson(f_1a, 3, df_1a)

## $root
## [1] 2.690647
## 
## $f.root
## [1] -1.776357e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.553235e-13

Esto lo comprobó la función newtonRaphson, después de \(5\) iteraciones, con una precisión de \(1.553235e-13\)

\(x-cosx=0\), \([0, \pi/2]\)

Define elem

Iteración 1

it_nr1b(p1)

## [1] 0.7503639

Iteración 2

it_nr1b(it_nr1b(p1))

## [1] 0.7391129

Iteración 3

it_nr1b(it_nr1b(it_nr1b(p1)))

## [1] 0.7390851

Iteración 4

it_nr1b(it_nr1b(it_nr1b(it_nr1b(p1))))

## [1] 0.7390851

Utilizando el método de Newton-Raphson encontramos, después de \(4\) iteraciones, que la raíz de la función es \(0.7390851\)

newtonRaphson(f_1b, 3, df_1b)

## $root
## [1] 0.7390851
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 7
## 
## $estim.prec
## [1] 1.127728e-15

Esto lo comprobó la función newtonRaphson, después de \(7\) iteraciones, con una precisión de \(1.127728e-15\)

Ejercicio 2

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y compáralo con las soluciones obtenidas por medio del método de la bisección (ejercicio 3 de la tarea 2).

\(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

newtonRaphson(f_2a, 1, df_2a)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 1.198157e-09
## 
## $niter
## [1] 14
## 
## $estim.prec
## [1] 2.510525e-09

bisect(f_2a, 0, 1)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(14\) iteraciones, que la raíz de esta función es \(0.6411857\), esto lo comprobó la función bisect después de \(54\) iteraciones.

\(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

newtonRaphson(f_2b, 0, df_2b)

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.665238e-12

bisect(f_2b, 0, 1)

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(4\) iteraciones, que la raíz de esta función es \(0.2575303\), esto lo comprobó la función bisect después de \(55\) iteraciones.

\(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

Intérvalo 1: \(-3\leq x\leq -2\)

newtonRaphson(f_2c, -2, df_2c)

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] 1.332268e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 2.476552e-12

bisect(f_2c, -3, -2)

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] -3.108624e-15
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(5\) iteraciones, que para este intérvalo, la raíz de esta función es \(-2.191308\), esto lo comprobó la función bisect después de \(52\) iteraciones.

Intérvalo 2: \(-1\leq x \leq 0\)

newtonRaphson(f_2c, -0.5, df_2c)

## $root
## [1] -0.79816
## 
## $f.root
## [1] 4.857226e-17
## 
## $niter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 4.586193e-16

bisect(f_2c, -1, 0)

## $root
## [1] -0.79816
## 
## $f.root
## [1] 4.857226e-17
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(6\) iteraciones, que para este intérvalo, la raíz de esta función es \(-0.79816\), esto lo comprobó la función bisect después de \(54\) iteraciones.

\(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

Intérvalo 1: \(0.2\leq x\leq 0.3\)

newtonRaphson(f_2d, 0.2, df_2d)

## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] -2.220446e-16
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 1.849281e-09

bisect(f_2d, 0.2, 0.3)

## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(4\) iteraciones, que, para este intérvalo, la raíz de esta función es \(0.2975302\), esto lo comprobó la función bisect después de \(52\) iteraciones.

Intérvalo 2: \(1.2\leq x \leq 1.3\)

newtonRaphson(f_2d, 1.2, df_2d)

## $root
## [1] 1.256623
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 3.01132e-10

bisect(f_2d, 1.2, 1.3)

## $root
## [1] 1.256623
## 
## $f.root
## [1] 8.881784e-16
## 
## $iter
## [1] 49
## 
## $estim.prec
## [1] 2.220446e-16

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(4\) iteraciones, que, para este intérvalo, la raíz de esta función es \(1.256623\), esto lo comprobó la función bisect después de \(49\) iteraciones.

Ejercicio 3

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y de la secante.

\(e^x+2^{-x}+2\,cos\,x-6=0\), para \(1\leq x\leq 2\).

newtonRaphson(f_3a, 2, df_3a)

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 3.762688e-10
## 
## $niter
## [1] 7
## 
## $estim.prec
## [1] 2.281195e-09

secant(f_3a, 1, 2)

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 2.306688e-11
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 2.559105e-07

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(7\) iteraciones, que la raíz de esta función es \(1.829384\), esto lo comprobó el método de la secante después de \(6\) iteraciones.

\(log(x-1)+cos(x-1)=0\) para \(1.3\leq x \leq 2\).

## Warning in log(x - 1): Se han producido NaNs

newtonRaphson(f_3b, 1.5, df_3b)

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] 2.220446e-16
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 6.951135e-13

secant(f_3b, 1.5, 2)

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] 2.228928e-11
## 
## $iter
## [1] 8
## 
## $estim.prec
## [1] 2.570474e-07

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(5\) iteraciones, que la raíz de esta función es \(1.397748\), esto lo comprobó el método de la secante después de \(8\) iteraciones.

\(2x\,cos\,2x-(x-2)^2=0\) para \(2\leq x \leq 3\) y \(3\leq x \leq 4\).

Intérvalo 1: \(2\leq x \leq 3\)

newtonRaphson(f_3c, 2, df_3c)

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 1.720846e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.970602e-15

secant(f_3c, 2, 3)

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 3.376466e-13
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.939082e-08

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(5\) iteraciones, que, para este intérvalo, la raíz de esta función es \(2.370687\), esto lo comprobó el método de la secante después de \(5\) iteraciones.

Intérvalo 2: \(3\leq x \leq 4\)

newtonRaphson(f_3c, 4, df_3c)

## $root
## [1] 3.722113
## 
## $f.root
## [1] -3.552714e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.552625e-15

secant(f_3c, 3, 4)

## $root
## [1] 3.722113
## 
## $f.root
## [1] -5.194745e-09
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 3.512699e-06

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(5\) iteraciones, que, para este intérvalo, la raíz de esta función es \(3.722113\), esto lo comprobó el método de la secante después de \(6\) iteraciones.

\(e^x-3x^2=0\) para \(0\leq x \leq 1\) y \(3\leq x \leq 5\).

Intérvalo 1: \(0\leq x \leq 1\)

newtonRaphson(f_3d, 1, df_3d)

## $root
## [1] 0.9100076
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 6.017903e-11

secant(f_3d, 0, 1)

## $root
## [1] 0.9100076
## 
## $f.root
## [1] 2.827174e-09
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.22289e-06

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(4\) iteraciones, que, para este intérvalo, la raíz de esta función es \(0.9100076\), esto lo comprobó el método de la secante después de \(5\) iteraciones.

Intérvalo 2: \(3\leq x \leq 5\)

newtonRaphson(f_3d, 4, df_3d)

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] 7.105427e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 2.187036e-11

secant(f_3d, 3, 5)

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] -2.557954e-13
## 
## $iter
## [1] 10
## 
## $estim.prec
## [1] 5.375394e-09

El Método Newton-Raphson determinó, después de \(5\) iteraciones, que, para este intérvalo, la raíz de esta función es \(3.733079\), esto lo comprobó el método de la secante después de \(10\) iteraciones.

Análisis Numérico. Tarea 3. Método de Newton Raphson y de la secante.

Sandoval Lazcano Kenjhy Axcel

Marzo del 2022

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3