Caso 4
Fernando Villarreal Gonzalez
24/2/2022
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016a].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto. [@devore2016].
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(8000)Se generan 300 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 300
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 47 48 52 21 28 26 24 31 44 55 44 45 50 28 21 30 37 36 21 54 45 37 28 42 57
## [26] 38 27 28 23 57 19 42 23 50 42 49 51 40 43 56 39 20 45 50 57 60 56 44 36 52
## [51] 26 56 29 49 28 43 26 48 50 39 56 32 28 40 39 39 23 51 60 58 19 42 26 53 59
## [76] 59 39 43 44 27 57 59 57 23 57 56 21 49 29 23 26 23 48 53 25 26 60 22 20 43
## [101] 30 58 28 43 59 39 28 26 55 23 59 41 43 20 48 59 33 20 60 45 25 56 39 28 51
## [126] 53 50 45 19 30 58 43 56 36 58 46 47 51 58 27 42 52 22 39 26 20 25 25 50 25
## [151] 34 47 59 56 20 43 53 48 29 46 28 43 59 44 26 44 49 57 27 36 25 21 57 43 31
## [176] 58 54 30 29 37 18 54 28 25 31 48 40 42 20 54 57 18 53 49 39 37 30 21 28 52
## [201] 58 18 36 38 36 19 41 26 52 60 38 24 34 26 55 48 29 37 47 58 54 28 21 39 40
## [226] 60 39 47 45 51 56 60 29 38 48 55 52 60 37 42 46 47 45 26 41 49 19 44 19 53
## [251] 35 38 25 23 48 37 43 24 29 50 29 35 42 26 29 40 36 38 38 21 56 33 19 44 21
## [276] 49 18 23 53 39 59 43 33 44 24 38 51 48 18 46 43 22 54 20 54 41 56 52 36 324.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=300\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.1) 32 0.11 10.67 32 10.67
## [22.1,26.38) 34 0.11 11.33 66 22.00
## [26.38,30.65) 31 0.10 10.33 97 32.33
## [30.65,34.93) 10 0.03 3.33 107 35.67
## [34.93,39.21) 37 0.12 12.33 144 48.00
## [39.21,43.49) 30 0.10 10.00 174 58.00
## [43.49,47.77) 26 0.09 8.67 200 66.67
## [47.77,52.04) 37 0.12 12.33 237 79.00
## [52.04,56.32) 29 0.10 9.67 266 88.67
## [56.32,60.6) 34 0.11 11.33 300 100.00Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 15 16 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23
## [26] 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
## [51] 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27
## [76] 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28
## [101] 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [126] 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30
## [151] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [176] 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
## [201] 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
## [226] 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35
## [251] 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37
## [276] 37 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 39 40 41 41 41 41 41 41 41 43 43 43 43 454.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
tabla.edades2 <- fdt(x = edades2, breaks="Sturges")
tabla.edades2## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [14.85,17.91) 2 0.01 0.67 2 0.67
## [17.91,20.97) 8 0.03 2.67 10 3.33
## [20.97,24.03) 30 0.10 10.00 40 13.33
## [24.03,27.09) 52 0.17 17.33 92 30.67
## [27.09,30.15) 71 0.24 23.67 163 54.33
## [30.15,33.21) 63 0.21 21.00 226 75.33
## [33.21,36.27) 43 0.14 14.33 269 89.67
## [36.27,39.33) 18 0.06 6.00 287 95.67
## [39.33,42.39) 8 0.03 2.67 295 98.33
## [42.39,45.45) 5 0.02 1.67 300 100.004.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.75667## [1] 30.094.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 47 39.75667 7.2433333 52.46587778
## 2 48 39.75667 8.2433333 67.95254444
## 3 52 39.75667 12.2433333 149.89921111
## 4 21 39.75667 -18.7566667 351.81254444
## 5 28 39.75667 -11.7566667 138.21921111
## 6 26 39.75667 -13.7566667 189.24587778
## 7 24 39.75667 -15.7566667 248.27254444
## 8 31 39.75667 -8.7566667 76.67921111
## 9 44 39.75667 4.2433333 18.00587778
## 10 55 39.75667 15.2433333 232.35921111
## 11 44 39.75667 4.2433333 18.00587778
## 12 45 39.75667 5.2433333 27.49254444
## 13 50 39.75667 10.2433333 104.92587778
## 14 28 39.75667 -11.7566667 138.21921111
## 15 21 39.75667 -18.7566667 351.81254444
## 16 30 39.75667 -9.7566667 95.19254444
## 17 37 39.75667 -2.7566667 7.59921111
## 18 36 39.75667 -3.7566667 14.11254444
## 19 21 39.75667 -18.7566667 351.81254444
## 20 54 39.75667 14.2433333 202.87254444
## 21 45 39.75667 5.2433333 27.49254444
## 22 37 39.75667 -2.7566667 7.59921111
## 23 28 39.75667 -11.7566667 138.21921111
## 24 42 39.75667 2.2433333 5.03254444
## 25 57 39.75667 17.2433333 297.33254444
## 26 38 39.75667 -1.7566667 3.08587778
## 27 27 39.75667 -12.7566667 162.73254444
## 28 28 39.75667 -11.7566667 138.21921111
## 29 23 39.75667 -16.7566667 280.78587778
## 30 57 39.75667 17.2433333 297.33254444
## 31 19 39.75667 -20.7566667 430.83921111
## 32 42 39.75667 2.2433333 5.03254444
## 33 23 39.75667 -16.7566667 280.78587778
## 34 50 39.75667 10.2433333 104.92587778
## 35 42 39.75667 2.2433333 5.03254444
## 36 49 39.75667 9.2433333 85.43921111
## 37 51 39.75667 11.2433333 126.41254444
## 38 40 39.75667 0.2433333 0.05921111
## 39 43 39.75667 3.2433333 10.51921111
## 40 56 39.75667 16.2433333 263.84587778
## 41 39 39.75667 -0.7566667 0.57254444
## 42 20 39.75667 -19.7566667 390.32587778
## 43 45 39.75667 5.2433333 27.49254444
## 44 50 39.75667 10.2433333 104.92587778
## 45 57 39.75667 17.2433333 297.33254444
## 46 60 39.75667 20.2433333 409.79254444
## 47 56 39.75667 16.2433333 263.84587778
## 48 44 39.75667 4.2433333 18.00587778
## 49 36 39.75667 -3.7566667 14.11254444
## 50 52 39.75667 12.2433333 149.89921111
## 51 26 39.75667 -13.7566667 189.24587778
## 52 56 39.75667 16.2433333 263.84587778
## 53 29 39.75667 -10.7566667 115.70587778
## 54 49 39.75667 9.2433333 85.43921111
## 55 28 39.75667 -11.7566667 138.21921111
## 56 43 39.75667 3.2433333 10.51921111
## 57 26 39.75667 -13.7566667 189.24587778
## 58 48 39.75667 8.2433333 67.95254444
## 59 50 39.75667 10.2433333 104.92587778
## 60 39 39.75667 -0.7566667 0.57254444
## 61 56 39.75667 16.2433333 263.84587778
## 62 32 39.75667 -7.7566667 60.16587778
## 63 28 39.75667 -11.7566667 138.21921111
## 64 40 39.75667 0.2433333 0.05921111
## 65 39 39.75667 -0.7566667 0.57254444
## 66 39 39.75667 -0.7566667 0.57254444
## 67 23 39.75667 -16.7566667 280.78587778
## 68 51 39.75667 11.2433333 126.41254444
## 69 60 39.75667 20.2433333 409.79254444
## 70 58 39.75667 18.2433333 332.81921111
## 71 19 39.75667 -20.7566667 430.83921111
## 72 42 39.75667 2.2433333 5.03254444
## 73 26 39.75667 -13.7566667 189.24587778
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## 76 59 39.75667 19.2433333 370.30587778
## 77 39 39.75667 -0.7566667 0.57254444
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## 82 59 39.75667 19.2433333 370.30587778
## 83 57 39.75667 17.2433333 297.33254444
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## 262 35 39.75667 -4.7566667 22.62587778
## 263 42 39.75667 2.2433333 5.03254444
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## 265 29 39.75667 -10.7566667 115.70587778
## 266 40 39.75667 0.2433333 0.05921111
## 267 36 39.75667 -3.7566667 14.11254444
## 268 38 39.75667 -1.7566667 3.08587778
## 269 38 39.75667 -1.7566667 3.08587778
## 270 21 39.75667 -18.7566667 351.81254444
## 271 56 39.75667 16.2433333 263.84587778
## 272 33 39.75667 -6.7566667 45.65254444
## 273 19 39.75667 -20.7566667 430.83921111
## 274 44 39.75667 4.2433333 18.00587778
## 275 21 39.75667 -18.7566667 351.81254444
## 276 49 39.75667 9.2433333 85.43921111
## 277 18 39.75667 -21.7566667 473.35254444
## 278 23 39.75667 -16.7566667 280.78587778
## 279 53 39.75667 13.2433333 175.38587778
## 280 39 39.75667 -0.7566667 0.57254444
## 281 59 39.75667 19.2433333 370.30587778
## 282 43 39.75667 3.2433333 10.51921111
## 283 33 39.75667 -6.7566667 45.65254444
## 284 44 39.75667 4.2433333 18.00587778
## 285 24 39.75667 -15.7566667 248.27254444
## 286 38 39.75667 -1.7566667 3.08587778
## 287 51 39.75667 11.2433333 126.41254444
## 288 48 39.75667 8.2433333 67.95254444
## 289 18 39.75667 -21.7566667 473.35254444
## 290 46 39.75667 6.2433333 38.97921111
## 291 43 39.75667 3.2433333 10.51921111
## 292 22 39.75667 -17.7566667 315.29921111
## 293 54 39.75667 14.2433333 202.87254444
## 294 20 39.75667 -19.7566667 390.32587778
## 295 54 39.75667 14.2433333 202.87254444
## 296 41 39.75667 1.2433333 1.54587778
## 297 56 39.75667 16.2433333 263.84587778
## 298 52 39.75667 12.2433333 149.89921111
## 299 36 39.75667 -3.7566667 14.11254444
## 300 32 39.75667 -7.7566667 60.16587778Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 48359.24varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 161.7366Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 161.7366## [1] 26.94505desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.71757## [1] 5.1908624.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3198852CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.17251125 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
En la tabla de frecuencias podemos ver la clases y las frecuencias de estas, así como los valores relativos y porcentuales.
En edades1 podemos observar que un 12.33% de los datos se encuentran en el rango de 34.93 y 39.21
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 27.09 y 30.15 que representan el 23.67%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con nuestro conjunto de datos edades1 podemos encontrar media de 39.75 y una desviación de: 12.71
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.09, la desviación es de: 5.19.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3198852y el CV de edades2 es de: 0.1725112
Podemos observas que existe una mayor dispersion en el conjunto edades 1 que en el conjunto edades 2
6 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016b. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.
———. 2016a. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.