Determinar medidas estadísticas de localización media, mediana, moda, máximos mínimos y rango de un conjunto de datos usando funciones de R.
El proceso de este caso permite identificar las medidas de localización de media, mediana, moda, máximos, mínimos, rango y el significado de las mismas para interpretar si una distribución de datos es simétrica o asimétrica.
Primero se presenta como determinar los estadísticos manualmente por medio de programación y luego se identifica como determinar estos mismos valores estadísticos de manera más sencilla por medio de funciones que existen en los paquete base de R para media y mediana y funciones de librerías instaladas para la moda.
En el proceso, los datos se visualizan por medio de la librería ggplot previamente instalada, el gráfico que se muestra es el histograma con lineas verticales que representan la media, mediana y moda.
Finalmente se hace una interpretación del caso identificando la simetría o asimetría del mismo.
El software estadístico moderno como el lenguaje de programación R, permite el cálculo de medias, medianas, desviaciones estándar entre otros estadísticos, así como la construcción y visualización de gráficas que presenten una “huella digital” de la naturaleza de la muestra. [@walpole2012].
En un conjunto de datos las medidas de posición están diseñadas para ayudar al analista alguna medida cuantitativa de dónde está el centro de los datos en una muestra. [@walpole2012]
La media significa el promedio o la suma de todos los elementos divididos entre el total de la muestra, o lo que es lo mismo es un promedio de todos los elementos.
La media proporciona una medida de localización central de los datos. Si los datos son datos de una muestra, la media se denota \(\bar{x}\); si los datos son datos de una población, la media se denota con la letra griega \(\mu\). [@anderson_estadistica_2008].
En las fórmulas estadísticas se usa identificar el valor de la primera observación de la variable \(x\) con \(x_1\), el valor de la segunda observación de la variable \(x\) con \(x_2\) y así con lo siguiente.
En general, el valor de la i-ésima observación de la variable \(x\) se denota \(x_i\) hasta la posición final del conjunto de datos \(x_n\).
La media se representa como \(\bar{x}\). Aquí la fórmula para le media.
\[ \bar{x} = \s um_{i=1}^{n}\frac{x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2+x_3+... x_n}{n} \]
Se muestra el código para determinar la media, sumando cada elemento y dividiendo entre el número de elementos que contiene la muestra.
Se construyen los valores de la muestra a partir de un vector llamado datos.
El contexto de los datos puede ser, edades, medidas de peso en kgs. de algún producto, velocidades de andar en bicicleta u otros contexto en donde existan valores similares.
Se simulan datos de edades de personas.
’’’{r} datos <- c(40,60,50,45,65,70,95,90,45,60,43,56, 65, 80, 45, 70, 45, 75, 45, 54, 35, 46, 47, 50, 50, 60, 50, 50, 50, 50, 50, 65, 50, 50, 22, 54, 68, 70, 46, 54, 55, 50, 55, 40, 68, 76, 56, 55, 45, 50, 43, 46, 47, 70, 24, 34, 54,43, 34, 45, 45, 45, 45) datos
Se identifican valores de los datos en posiciones específica $x_1, x_2, x_3, x_n$, siendo $n =$ 'r length(datos)'
El símbolo de ';' en R en una misma linea significa que se peden tomar como diferentes instrucciones para ahorrar lineas o renglones en el bloque de código.
Se determina el valor de $n$ o la cantidad de elementos en los datos con la función *length()*.
'''{r}
datos[1]; datos[2]; datos[3]; datos[length(datos)]La función paste() vista en otros casos, simplemente imprime en pantalla valores, posiblemente concatenados separados con la coma ‘,’.
’’’{r} n <- length(datos) paste(“Cantidad de elmentos de la muestra =”, n)
Ahora realizar el cálculo de la media aritméticamente.
La función *sum()* suma aritméticamente todos los elementos de la muestra y *round()* redondea el resultado a ciertas posiciones decimales, por ejemplo *round(valor, 2)* redondeado a dos posiciones, siendo valor el resultado obtenido.
'''{r}
sum(datos) / n
paste("Una forma tradicional de sacar la media", round(sum(datos) / n, 2))Esto sería lo mismo que sumar datos[1] + datos[2] + datos[3] + datos[4] + datos[5] + … datos[‘r n’] y luego dividir entre \(n\)
En R la función mean() determina la media de un conjunto de datos, por ejemplo edades de doce personas adultos y adultos mayores, las pregunta son: ¿cuántos datos hay en la muestra?, ¿cuál es la media de los datos? y ¿que representa la media?.
La función round() redondea posiciones decimales.
’’’{r} media <- round(mean(datos),2) paste(“Usando mean(), para determinar la media de los datos =”, media)
La media con valor de 'r media' es un estadístico que representa el promedio de los 'r n' datos de la muestra.
## La mediana
Otra medida de localización importante es la *mediana*. El propósito de la *mediana* es reflejar la tendencia central de la muestra, de manera que no esté influida por los valores extremos. Dado que las observaciones en una muestra son $x_1, x_2, . . . , x_n$, acomodados en orden de magnitud creciente, es decir, ordenados ascendentemente, la mediana de los datos estará dada por alguna de las maneras dependiendo si el número de elementos es par o es impar:
### La fórmula de la mediana
La mediana será representada por $\tilde{x}$
$$
\tilde{x} =\begin{Bmatrix}x_{(n+1)/2}\text{ Si n es impar,}
\\ \frac{1}{2}\cdot(x_{n/2}+x_{n/2+1})\text{ Si n es par,} \end{Bmatrix}
$$
La fórmula significa que si el número de elementos es impar, se toma el que está exactamente a la mitad de los datos ordenados y si por el contrario el número de datos es par se toman el promedio de los dos números contiguos o seguidos, es decir que están a la mitad de todos los datos ya ordenados.
### Mediana matemáticamente
Primero hacer un código para determinar si $n$ es número par o impar o non.
El siguiente código en R, determina si el valor de $n$ es par o impar.
'''{r}
if (n %% 2 == 0) {
n.par <- "par"
print ("n es par")
} más {
n.par <- "impar"
print ("n es impar")
}Para el caso de los datos hay que constatar y verificar si es par o impar la variable \(n\), con valor de ‘r n’ entonces es ‘r n.par’, se elige la opción adecuada de la fórmula.
Toda vez de haber verificado si el valor de \(n\) es par o impar se hacer el cálculo según la opción de la fórmula.
Segundo, se ordenan y se muestran los datos y luego se verifica el elemento que está exactamente a la mitad de entre todos los datos.
La ordenación para este ejemplo se hace con la función order que genera las posiciones en que se ordena el vector datos, los datos se reescriben ordenados.
’’’{r} datos.ordenados <- datos[order(datos)] datos.ordenados
Tercero, finalmente se aplica la fórmula según sea el caso par o impar.
'''{r}
datos.ordenados <- datos[order(datos)]
if (n.par == 'impar') {
mediana <- (datos.ordenados[(n+1)/2])
} más {
mediana <- 1/2 * (datos.ordenados[n/2] + datos.ordenados[n/2+1])
}
medianaPara este ejemplo de ‘r n’ datos es sencillo para el cerebro encontrar la mediana y la media, sin embargo, R puede tratar y analizar grandes volúmenes de datos.
La manera más sencilla en R para determinar la mediana es mediante la función median(), la cual simplemente regresa el valor central de los datos ordenados, independientemente si el valor de \(n\) es par o impar, de hecho debe intuirse que el código de la fórmula está encapsulado en la función median().
’’’{r} mediana <- mediana(datos) print(mediana)
La mediana refleja el valor central de los datos. Como lo dice Lind (2015) es el punto medio de los valores una vez que se han sido ordenados de menor a mayor o de mayor a menor. [@lind_estadistica_2015].
Algunas veces, posiblemente cuando se detectan valores atípicos o *outliers* de la muestra, es necesario pensar en utilizar un concepto llamado *media recortada* la cual se calcula nuevamente pero habiendo quitando cierto porcentaje de los valores mayores y menores del conjunto.
La función *subset()* filtra bajo una expresión o condición un conjunto de datos que pueden ser vectores o *data.frames*. En este caso el resultado es un vector en R llamado *datos.reducido*.
'''{r}
datos.reducido <- subset(datos, datos >=40 & datos <=90)
datos
media(datos.reducido)
mediana(datos.reducido)Ahora los valores de media y mediana son mas cercanos.
La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia. [@anderson_estadistica_2008]. Walpole, 2012) indica que la moda muestral es el valor que ocurre con mayor frecuencia en los datos y es el punto sobre el eje horizontal donde la curva de una distribución de datos tiene su punto máximo. [@walpole_probabilidad_2012].
En R existen varias alternativas para determinar la moda de un conjunto de datos.
Se puede utilizar la función table() para encontrar las frecuencias y posteriormente ordenar tabla tal vez descendentemente y el valor del conjunto de datos de frecuencias de la primera posición será la moda. Algunas veces hay dos o tres valores que se repite en el mismo número de ocasiones o que tienen la misma frecuencia, entonces hay que verificar si el conjunto de datos es bimodal o multimodal.
’’’{r} frecuencias <- table(datos) frecuencias.ordenada <- frecuencias[order(frecuencias, decreciente = TRUE)] frecuencias.ordenada moda <- frecuencias.ordenada[1] moda
### Moda con *mfv(x)*
Otra alternativa es utilizar la librería o el paquete *modeest*; antes que nada deberá instalar el paquete *install.packages("modeest") ,* luego, se podrá cargar la librería con *library(modest).*
### Cargando la librería *modeest*
'''{r message=FALSE, warning=FALSE}
library(modeest)Para determinar la moda se utiliza la función mfv(x) en donde \(x\) es el vector a utilizarse para encontrar la moda.
’’’{r} moda <- mfv(datos) moda
Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda
## Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda
En cualquier distribución, cuando la la moda, la mediana y la media son iguales se interpreta como una distribución simétrica; si los valores de media, moda y mediana son diferentes, por el contrario será asimétrica si si los valores de media y mediana son diferentes[@lind_estadistica_2015].
La siguiente imagen muestra como se pueden presentar las gráficas conforme y de acuerdo al histograma y a su curva de densidad.
! [](images/medidas%20de%20ubicacion.jpg){width="400"}
### Paquete ggplot2
El paquete ggplot2 permite crear gráficas y visualizar datos de una manera más elegante y amigable, es uno de los paquete más utilizados en R para representar y visualizar datos.
Las siguiente instrucciones utilizan el paquete ggplot() previamente instalado con *install.packages("ggplot2")* es una librería.
Algunos tutoriales sobre *ggplot* se encuentran en los siguientes enlaces:
- <https://rpubs.com/anlope10/562981>
- <http://r-statistics.co/Complete-Ggplot2-Tutorial-Part1-With-R-Code.html>
- <https://www.datanalytics.com/libro_r/introduccion-a-ggplot2.html>
- <https://rstudio.com/wp-content/uploads/2015/04/ggplot2-spanish.pdf>
- <https://rpubs.com/MrCristianrl/496586>
#### Cargar la librería ggplot
'''{r message=FALSE, warning=FALSE}
library(ggplot2)Las siguiente lineas permiten crear un conjunto de datos data.frame a partir del vector de datos. Esto transformación de datos tiene la finalidad de tratar con data.frame en lugar de vector y es más práctico para efecto de visualización de datos con ggplot().
’’’{r} df.datos <- data.frame(datos) df.datos
### Histograma de los datos
'''{r}
ggplot(data = df.datos, mapping = aes(x = datos)) +
geom_histogram(contenedores = 30) +
ggtitle('Histograma de datos') +
xlab('Valores') + ylab('Frecuencia')
’’’{r} titulo <- “Histograma de los datos” subtitulo <- paste(“Media=”,media, ” Mediana = “,mediana,” Moda=“,moda) ggplot(data = df.datos, mapping = aes(x=datos)) + geom_histogram(bins=30) + ggtitle(titulo, subtitle = subtitulo) + xlab(‘Valores’) + ylab(‘Frecuencia’) + geom_vline(aes(xintercept = media, color =”medios”), linetype = “discontinuo”, tamaño = 1) + geom_vline(aes(xintercept = mediana, color = “mediana”), linetype = “discontinuo”, tamaño = 1) + geom_vline(aes(xintercept = moda, color = “moda”),. linetype = “discontinuo”, tamaño = 1)
'''{r}
if (media > mediana) {
mensaje <- "De acuerdo y conforme a la gráfica la distribución es asimétrica con sesgo positivo dado que la media es mayor que la mediana."
} else if (media < mediana) {
mensaje <- "De acuerdo y conforme a la gráfica la distribución es asimétrica con sesgo negativo dado que la media es menor que la mediana."
} else if (media == mediana & mediana == moda) {
" De acuerdo y conforme a la gráfica la distribución es simétrica dado que la media es igual a la median y a la moda. "
}
Interpretación: ‘r mensaje’
Los valores máximos y mínimos de un conjunto de dato son los valores de la lista de valores más pequeños y mas grande en la lista de los datos. Se puede observar los valores máximos y mínimos con los datos ordenados y verificar el primer y último elemento de la lista. Se utiliza el vector de datos ordenados.
’’’{r} datos.ordenados
Se puede determinar con las funciones *max()* y *min()* para encontrar los valores máximos y mínimos respectivamente.
'''{r}
max(datos)
min(datos)El rango de un conjunto de datos es el intervalo que existe entre los valores, es decir desde el valor mínimo hasta el valor máximo.
Con los valores de máximo y mínimo la diferencia que existe entre ellos determina el rango.
’’’{r} datos.ordenados[n] - datos.ordenados[1] max(datos) - min(datos)
Con la función range() en R, se obtiene los valores máximos y mínimos y con estos se obtiene el rango con la función diff()
'''{r}
rango(datos)
diff(rango(datos))Primero sacamos unos valores aleatorios para poder hacer las operaciones que nos piden, sacamos valores desde 20 hasta 95, primero sacamos la media que me dio un valor de 53.02, la cual se saca sumando los valores, entre n. Después determinamos la mediana con los datos anteriores la cual nos dio un valor de 50 y por último sacamos la moda la cual nos dio un resultado de 45. En este documento no solo determinamos la media, la mediana y la moda, sino también graficamos en diferentes maneras los resultados, la cual la determinamos de posiciones relativas, también se puede encontrar en forma de histograma de datos, por otra parte determinamos el mínimo y el máximo, también el rango de los datos que determinamos al principio.