Análisis Numérico. Tarea 2. Método de bisección e iteración de punto fijo.

Ejercicio 1

Sea \(f(x)=\sqrt{x}-\cos x\). Usa el método de la bisección para encontrar \(x\in [0,1]\) tal que \(f(x)=0\).

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## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6420898 0.6418457 0.6417236 0.6416626
## [15] 0.6416931 0.6417084 0.6417160 0.6417122 0.6417141 0.6417150 0.6417146
## [22] 0.6417143 0.6417145 0.6417144
## 
## $precision
## [1] 5.960464e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 24

El método de la bisección, después de \(24\) iteraciones y con una precisión de \(5.96 \times 10^-8\), determinó que la raíz de esta función es \(0.6417144\).

## $root
## [1] 0.6417144
## 
## $f.root
## [1] -2.220446e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(54\) iteraciones, con una precisión de \(1.11 \times 10^-16\), cuando x=\(0.6417144\), f(x)=\(2.220446\times 10^-16\)

Ejercicio 2

Usa el método de la bisección para encontrar una raíz con una precisión de \(10^{-2}\) para \(x^3-7x^2+14x-6=0\) en cada intervalo.

\[\begin{equation} a) [0,1]\qquad\qquad b) [1, 3.2]\qquad\qquad c)[3.2, 4] \end{equation}\]

Inciso 2a)

## $aprox
## [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.5625000 0.5937500 0.5781250 0.5859375
## 
## $precision
## [1] 0.0078125
## 
## $iteraciones
## [1] 7

El método de la bisección, después de \(7\) iteraciones y con una precisión de \(7.8 \times 10^-3\), determinó que la raíz de esta función es \(0.5859375\).

## $root
## [1] 0.5857864
## 
## $f.root
## [1] -8.881784e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(54\) iteraciones, con una precisión de \(1.11 \times 10^-16\), cuando x=\(0.5857864\), f(x)=\(-8.881784\times 10^-16\)

Inciso 2b)

## $aprox
## [1] 2.100000 2.650000 2.925000 3.062500 2.993750 3.028125 3.010938 3.002344
## 
## $precision
## [1] 0.00859375
## 
## $iteraciones
## [1] 8

El método de la bisección, después de \(8\) iteraciones y con una precisión de \(8.59 \times 10^-3\), determinó que la raíz de esta función es \(3.002344\).

## $root
## [1] 3
## 
## $f.root
## [1] 7.105427e-15
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(54\) iteraciones, con una precisión de \(4.44 \times 10^-16\), cuando x=\(3\), f(x)=\(-7.105427\times 10^-15\)

Inciso 2c)

## $aprox
## [1] 3.60000 3.40000 3.50000 3.45000 3.42500 3.41250 3.41875
## 
## $precision
## [1] 0.00625
## 
## $iteraciones
## [1] 7

El método de la bisección, después de \(7\) iteraciones y con una precisión de \(6.25 \times 10^-3\), determinó que la raíz de esta función es \(3.41875\).

## $root
## [1] 3.414214
## 
## $f.root
## [1] -2.131628e-14
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(52\) iteraciones, con una precisión de \(4.44 \times 10^-16\), cuando x=\(3.414214\), f(x)=\(-2.131628 \times 10^-14\)

Ejercicio 3

Usa el metodo de la bisección para encontrar las soluciones con una precisión de \(10^{-5}\) para los siguientes problemas.

1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6411133 0.6413574 0.6412354 0.6411743
## [15] 0.6412048 0.6411896 0.6411819
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El método de la bisección, después de \(17\) iteraciones y con una precisión de \(7.629 \times 10^-6\), determinó que la raíz de esta función es \(0.6411819\).

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(54\) iteraciones, con una precisión de \(1.11 \times 10^-16\), cuando x=\(0.6411857\), f(x)=\(0\)

2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.2500000 0.3750000 0.3125000 0.2812500 0.2656250 0.2578125
##  [8] 0.2539062 0.2558594 0.2568359 0.2573242 0.2575684 0.2574463 0.2575073
## [15] 0.2575378 0.2575226 0.2575302
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El método de la bisección, después de \(17\) iteraciones y con una precisión de \(7.629 \times 10^-6\), determinó que la raíz de esta función es \(0.2575302\).

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

Esto lo comprobó la función bisect después de \(55\) iteraciones, con una precisión de \(5.55 \times 10^-17\), cuando x=\(0.2575303\), f(x)=\(-4.440892 \times 10^-16\)

3. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

Para el primer intérvalo, en el que \(-3\leq x\leq -2\)

## $aprox
##  [1] -2.500000 -2.250000 -2.125000 -2.187500 -2.218750 -2.203125 -2.195312
##  [8] -2.191406 -2.189453 -2.190430 -2.190918 -2.191162 -2.191284 -2.191345
## [15] -2.191315 -2.191299 -2.191307
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El método de la bisección, después de \(17\) iteraciones y con una precisión de \(7.629 \times 10^-6\), determinó que la raíz de esta función es \(-2.191307\).

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] -3.108624e-15
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(52\) iteraciones, con una precisión de \(4.44 \times 10^-16\), cuando x=\(2.191308\), f(x)=\(-3.108624 \times 10^-15\)

Para el segundo intérvalo, en el que \(-1\leq x \leq 0\)

## $aprox
##  [1] -0.5000000 -0.7500000 -0.8750000 -0.8125000 -0.7812500 -0.7968750
##  [7] -0.8046875 -0.8007812 -0.7988281 -0.7978516 -0.7983398 -0.7980957
## [13] -0.7982178 -0.7981567 -0.7981873 -0.7981720 -0.7981644
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El método de la bisección, después de \(17\) iteraciones y con una precisión de \(7.629 \times 10^-6\), determinó que la raíz de esta función es \(-0.7981644\).

## $root
## [1] -0.79816
## 
## $f.root
## [1] 4.857226e-17
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(54\) iteraciones, con una precisión de \(1.11 \times 10^-16\), cuando x=\(-0.79816\), f(x)=\(4.857226 \times 10^-17\)

4. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

Para el primer intérvalo, en el que \(0.2\leq x\leq 0.3\)

## $aprox
##  [1] 0.2500000 0.2750000 0.2875000 0.2937500 0.2968750 0.2984375 0.2976563
##  [8] 0.2972656 0.2974609 0.2975586 0.2975098 0.2975342 0.2975220 0.2975281
## 
## $precision
## [1] 6.103516e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 14

El método de la bisección, después de \(14\) iteraciones y con una precisión de \(6.10 \times 10^-6\), determinó que la raíz de esta función es \(0.2975281\).

## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

Esto lo comprobó la función bisect después de \(52\) iteraciones, con una precisión de \(5.55 \times 10^-17\), cuando x=\(0.2975302\), f(x)=\(0\)

Para el segundo intérvalo, en el que \(1.2\leq x \leq 1.3\)

## $aprox
##  [1] 1.250000 1.275000 1.262500 1.256250 1.259375 1.257812 1.257031 1.256641
##  [9] 1.256445 1.256543 1.256592 1.256616 1.256628 1.256622
## 
## $precision
## [1] 6.103516e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 14

El método de la bisección, después de \(14\) iteraciones y con una precisión de \(6.10 \times 10^-6\), determinó que la raíz de esta función es \(1.256622\).

## $root
## [1] 1.256623
## 
## $f.root
## [1] 8.881784e-16
## 
## $iter
## [1] 49
## 
## $estim.prec
## [1] 2.220446e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(49\) iteraciones, con una precisión de \(2.22 \times 10^-16\), cuando x=\(1.256623\), f(x)=\(8.881784 \times 10^-16\)

Ejercicio 4

Considera las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=2 \sin x\). Usa el método de la bisección para encontrar una aproximación con una precisión de \(10^{-5}\) para el primer valor positivo \(x\) tal que \(f(x)=g(x)\).

Podemos denotar que estas funciones convergen en dos puntos diferentes, pero el ejercicio nos pide calcular aquel punto para el primer valor positivo de \(x\), sin contar el punto en el que ambas funciones valen 0.

Que f(x)=g(x) significa que \(2sin(x)=x\), por lo que haciendo un despeje, obtenemos que \(2sin(x)-x=0\); esto implica la existencia de una tercera función h: \(h(x)=2sin(x)-x\)

Esto implica que en realidad estamos buscando la raíz de la función h, por lo que la definimos, la graficamos, usamos el método bisección y comprobamos con la función bisec:

Por medio de la gráfica, podemos distinguir el siguiente intérvalo, en el que \(1\leq x \leq 2\)

## $aprox
##  [1] 1.500000 1.750000 1.875000 1.937500 1.906250 1.890625 1.898438 1.894531
##  [9] 1.896484 1.895508 1.895020 1.895264 1.895386 1.895447 1.895477 1.895493
## [17] 1.895500
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El método de la bisección, después de \(17\) iteraciones y con una precisión de \(7.629 \times 10^-6\), determinó que la raíz de esta función es \(1.895500\).

## $root
## [1] 1.895494
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 53
## 
## $estim.prec
## [1] 2.220446e-16

Esto lo comprobó la función bisect después de \(53\) iteraciones, con una precisión de \(2.22 \times 10^-16\), cuando x=\(1.895494\), f(x)=\(0\)

Por lo que podemos concluir que, el primer valor positivo de \(x\) en el que \(f(x)=g(x)\) es \(x=1.895494\)

Ejercicio 5

Sea \(f(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)^3(x-2)\). ¿A cuál raíz de \(f\) converge el método de la bisección cuando se aplica a los siguientes intervalos?

\[\begin{equation} a) [-3,2.5]\qquad \qquad b) [-2.5, 3]\qquad\qquad c)[-1.75, 1.5]\qquad\qquad d) [-1.5, 1.75] \end{equation}\]

Inciso a) \(-3\leq x \leq 2.5\)

## $aprox
##  [1] -0.250000  1.125000  1.812500  2.156250  1.984375  2.070312  2.027344
##  [8]  2.005859  1.995117  2.000488  1.997803  1.999146  1.999817  2.000153
## [15]  1.999985  2.000069  2.000027  2.000006  1.999995  2.000000  1.999998
## [22]  1.999999  2.000000  2.000000  2.000000  2.000000
## 
## $precision
## [1] 8.195639e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 26

El método de la bisección, después de \(26\) iteraciones y con una precisión de \(8.19 \times 10^-8\), determinó que la raíz de esta función es \(2.000000\).

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

Esto lo desaprobó la función bisect después de \(2\) iteraciones, pues con una precisión de \(0\), cuando x=\(0\), f(x)=\(0\)

Inciso b) \(-2.5\leq x \leq 3\)

## $aprox
##  [1]  0.250000 -1.125000 -1.812500 -2.156250 -1.984375 -2.070312 -2.027344
##  [8] -2.005859 -1.995117 -2.000488 -1.997803 -1.999146 -1.999817 -2.000153
## [15] -1.999985 -2.000069 -2.000027 -2.000006 -1.999995 -2.000000 -1.999998
## [22] -1.999999 -2.000000 -2.000000 -2.000000 -2.000000
## 
## $precision
## [1] 8.195639e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 26

El método de la bisección, después de \(26\) iteraciones y con una precisión de \(8.19 \times 10^-8\), determinó que la raíz de esta función es \(-2.000000\).

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

Esto lo desaprobó la función bisect después de \(2\) iteraciones, pues con una precisión de \(0\), cuando x=\(0\), f(x)=\(0\)

Inciso c) \(-1.75\leq x \leq 1.5\)

## $aprox
##  [1] -0.1250000 -0.9375000 -1.3437500 -1.1406250 -1.0390625 -0.9882812
##  [7] -1.0136719 -1.0009766 -0.9946289 -0.9978027 -0.9993896 -1.0001831
## [13] -0.9997864 -0.9999847 -1.0000839 -1.0000343 -1.0000095 -0.9999971
## [19] -1.0000033 -1.0000002 -0.9999987 -0.9999995 -0.9999999 -1.0000000
## [25] -0.9999999
## 
## $precision
## [1] 9.685755e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 25

El método de la bisección, después de \(25\) iteraciones y con una precisión de \(9.68 \times 10^-8\), determinó que la raíz de esta función es \(-0.9999999\).

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

Esto lo desaprobó la función bisect después de \(2\) iteraciones, pues con una precisión de \(0\), cuando x=\(0\), f(x)=\(0\)

Inciso d) \(-1.5\leq x \leq 1.75\)

## $aprox
##  [1] 0.1250000 0.9375000 1.3437500 1.1406250 1.0390625 0.9882812 1.0136719
##  [8] 1.0009766 0.9946289 0.9978027 0.9993896 1.0001831 0.9997864 0.9999847
## [15] 1.0000839 1.0000343 1.0000095 0.9999971 1.0000033 1.0000002 0.9999987
## [22] 0.9999995 0.9999999 1.0000000 0.9999999
## 
## $precision
## [1] 9.685755e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 25

El método de la bisección, después de \(25\) iteraciones y con una precisión de \(9.68 \times 10^-8\), determinó que la raíz de esta función es \(0.9999999\).

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

Esto lo desaprobó la función bisect después de \(2\) iteraciones, pues con una precisión de \(0\), cuando x=\(0\), f(x)=\(0\)

Ejercicio 6

En cada una de las siguientes ecuaciones, determina un intervalo \([a,b]\) en que convergerá la iteración de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una exactitud de \(10^{-5}\) y realiza los cálculos.

it_pf <- function(g, q0, pr=1e-5, N=100){
  cond <- 1
  it <- 1
  q <- q0
  while(cond==1){
    if(it<=N){
      q[it+1] = g(q[it]) # iteración de la función 
      pr_it <- abs(q[it+1]-q[it]) # precisión en la iteración 
       if(pr_it<pr){
          resultados <- list(sucesion=q, precision=pr_it, iteraciones=it)
          return(resultados)
          cond <- 0
          }#final del segundo if
        else{it <- it+1}
    }#final del primer if
    else{
      print("Se alcanzo el maximo de iteraciones")
      cond <- 0
    }#fin del else
  }#final del while
}# final de la función

1. \(\quad x=\frac{2-e^{x}+x^{2}}{3}\)

## NULL

Para aproximar el número de iteraciones que el método de punto fijo llevará a cabo, podemos utilizar el teorema que nos dice que: \(|Pn-P|<= K^n\)

Tomando en cuenta que \(|Pn-P|=Precisión=Pr\) y que \(K\) es la derivada de la función evaluada en un intérvalo entre 0 y 1 cuando esta alcance su valor máximo.

Utilizando este criterio, para el a), podemos aproximar el número de iteraciones de la siguiente manera:

1. Derivamos la función \[\quad f´(x)=\frac{d}{dx} \frac{2-e^{x}+x^{2}}{3}\] \[\quad f´(x)=\frac{-e^x+2x}{3}\]

2. La evaluamos en el punto más alto entre 1 y 0

$ f´(0.7)==-0.20458$ Por lo tanto \(K=-0.20458\)

3. Usamos la ecuación de \(Pr=K^n\) y despejamos n mediante propiedades logarítimicas \(Pr=K^n\): \(10^{-5}=-0.2394^n\) Aplicamos Log a ambos lados: \(Log(10^{-5})=Log(-0.2394^n)\) -> \(-5=n*(Log(-0.2394))\) -> El logaritmo de un número negativo no existe, por lo tanto, no es posible determinar el número de iteraciones mediante este método.

it_pf(g_6a, 0.2, 1e-8, 50)

## $sucesion
##  [1] 0.2000000 0.2728657 0.2535773 0.2585582 0.2572636 0.2575995 0.2575123
##  [8] 0.2575349 0.2575291 0.2575306 0.2575302 0.2575303 0.2575303 0.2575303
## 
## $precision
## [1] 6.919711e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 13

El método de iteración de punto fijo encontró, después de \(13\) iteraciones, que \(x=0.257\) es el punto en el que ambas funciones se intersectan, es decir, en el que \(x=y=f(x)\)

2. \(\quad x=\frac{5}{x^{2}}+2\)

## NULL

Aproximar el número de iteraciones del b):

1. Derivamos la función \[\quad f´(x)= \frac{d}{dx} \frac{5}{x^{2}} + \frac{d}{dx}2\] \[\quad f´(x)=\frac{-10}{x^3}\]

2. La evaluamos en el punto más alto entre 1 y 0.

Antes de hacerlo, podemos denotar que, cualquier valor de x entre 1 y 0 que asignemos a esta derivada dará como resultado un número negativo, si K es negativo

-> El logaritmo de un número negativo no existe, por lo tanto, no es posible determinar el número de iteraciones mediante este método.

it_pf(g_6b, 2.5, 1e-8, 50)

## $sucesion
##  [1] 2.500000 2.800000 2.637755 2.718623 2.676507 2.697965 2.686906 2.692572
##  [9] 2.689660 2.691154 2.690387 2.690781 2.690579 2.690683 2.690629 2.690657
## [17] 2.690643 2.690650 2.690646 2.690648 2.690647 2.690648 2.690647 2.690647
## [25] 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647
## 
## $precision
## [1] 9.16505e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 27

El método de iteración de punto fijo encontró, después de \(27\) iteraciones, que \(x=2.691\) es el punto en el que ambas funciones se intersectan, es decir, en el que \(x=y=f(x)\)

3. \(\quad x=\left(e^{x} / 3\right)^{1 / 2}\)

## NULL

Aproximar el número de iteraciones del c):

1. Derivamos la función \[\quad f´(x)=\left(e^{x} / 3\right)^{1 / 2}\] \[\quad f´(x)=\frac {e^{x/2}}{2*3^{1/2}}\]

2. La evaluamos en el punto más alto entre 1 y 0

$ f´(1)==0.476 $ Por lo tanto \(K=0.476\)

3. Usamos la ecuación de \(Pr=K^n\) y despejamos n mediante propiedades logarítimicas \(Pr=K^n\): \(10^{-5}=0.476^n\); Aplicamos Log a ambos lados: \(Log(10^{-5})=Log(0.476^n)\) -> \(-5=n*(Log(0.476))\) -> Mediante este método, se concluye que se necesitarán aproximadamente \(15.5\) iteraciones para encontrar el punto fijo

it_pf(g_6c, 0, 1e-8, 50)

## $sucesion
##  [1] 0.0000000 0.3333333 0.3937868 0.4058714 0.4083312 0.4088338 0.4089365
##  [8] 0.4089575 0.4089618 0.4089627 0.4089629 0.4089629 0.4089629
## 
## $precision
## [1] 7.509777e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 12

El método de iteración de punto fijo encontró, después de \(12\) iteraciones, que \(x=0.409\) es el punto en el que ambas funciones se intersectan, es decir, en el que \(x=y=f(x)\)

4. \(\quad x=5^{-x}\)

## NULL

Aproximar el número de iteraciones del d):

1. Derivamos la función \[\quad f´(x)= \frac{d}{dx}5^{-x}\] \[\quad f´(x)=-Ln(5)*5^{-x}\]

2. La evaluamos en el punto más alto entre 1 y 0

Mediante la gráfica observamos que esta función alcanza su punto máximo entre 0 y 1 cuando x=0, por lo tanto, evaluamos en ese punto

$ f´(0)=-Ln(5)*5^{-0}=1.609 $ Por lo tanto \(K=1.609\)

3. Usamos la ecuación de \(Pr=K^n\) y despejamos n mediante propiedades logarítimicas \(Pr=K^n\): \(10^{-5}=1.609^n\); Aplicamos Log a ambos lados: \(Log(10^{-5})=Log(1.609^n)\) -> \(-5=n*(Log(1.609))\) -> Mediante este método, se concluye que se necesitarán aproximadamente \(24\) iteraciones para encontrar el punto fijo

Esta aproximación no está ni de cerca al número de iteraciones que realmente serán necesarias para calcular el punto fijo; por lo tanto, no usar este método de aproximación en los siguientes incisos (origen no comprendido).

it_pf(g_6d, 0.4, 1e-8, 100)

## $sucesion
##  [1] 0.4000000 0.5253056 0.4293655 0.5010561 0.4464541 0.4874634 0.4563286
##  [8] 0.4797776 0.4620084 0.4754119 0.4652661 0.4729258 0.4671314 0.4715081
## [15] 0.4681985 0.4706990 0.4688085 0.4702371 0.4691572 0.4699733 0.4693564
## [22] 0.4698227 0.4694702 0.4697366 0.4695353 0.4696874 0.4695724 0.4696593
## [29] 0.4695936 0.4696433 0.4696058 0.4696341 0.4696127 0.4696289 0.4696166
## [36] 0.4696259 0.4696189 0.4696242 0.4696202 0.4696232 0.4696209 0.4696227
## [43] 0.4696214 0.4696223 0.4696216 0.4696222 0.4696217 0.4696221 0.4696218
## [50] 0.4696220 0.4696219 0.4696220 0.4696219 0.4696219 0.4696219 0.4696219
## [57] 0.4696219 0.4696219 0.4696219 0.4696219 0.4696219
## 
## $precision
## [1] 8.455249e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 60

El método de iteración de punto fijo encontró, después de \(60\) iteraciones, que \(x=0.469\) es el punto en el que ambas funciones se intersectan, es decir, en el que \(x=y=f(x)\)

5. \(\quad x=6^{-x}\)

## NULL

it_pf(g_6e, 0.3, 1e-8, 100)

## $sucesion
##  [1] 0.3000000 0.5841907 0.3510842 0.5330935 0.3847447 0.5018922 0.4068665
##  [8] 0.4823878 0.4213367 0.4700416 0.4307612 0.4621710 0.4368789 0.4571325
## [15] 0.4408408 0.4538990 0.4434023 0.4518205 0.4450567 0.4504832 0.4461244
## [22] 0.4496222 0.4468131 0.4490677 0.4472573 0.4487105 0.4475436 0.4484803
## [29] 0.4477283 0.4483320 0.4478473 0.4482364 0.4479240 0.4481748 0.4479734
## [36] 0.4481351 0.4480053 0.4481095 0.4480258 0.4480930 0.4480391 0.4480823
## [43] 0.4480476 0.4480755 0.4480531 0.4480711 0.4480566 0.4480682 0.4480589
## [50] 0.4480664 0.4480604 0.4480652 0.4480614 0.4480645 0.4480620 0.4480640
## [57] 0.4480624 0.4480637 0.4480626 0.4480634 0.4480628 0.4480633 0.4480629
## [64] 0.4480632 0.4480630 0.4480632 0.4480630 0.4480631 0.4480630 0.4480631
## [71] 0.4480630 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631
## [78] 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631
## 
## $precision
## [1] 8.248957e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 80

El método de iteración de punto fijo encontró, después de \(80\) iteraciones, que \(x=0.448\) es el punto en el que ambas funciones se intersectan, es decir, en el que \(x=y=f(x)\)

6. \(\quad x=0.5(\sin x+\cos x)\)

## NULL

it_pf(g_6f, 0.4, 1e-8, 50)

## $sucesion
## [1] 0.4000000 0.6552397 0.7011256 0.7045974 0.7047998 0.7048113 0.7048120
## [8] 0.7048120 0.7048120
## 
## $precision
## [1] 2.127835e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 8

El método de iteración de punto fijo encontró, después de \(8\) iteraciones, que \(x=0.705\) es el punto en el que ambas funciones se intersectan, es decir, en el que \(x=y=f(x)\)