Ingeniería Económica
M.I.I. Gabriel Grosskelwing Núñez
2022-03-08
1 Fundamentos básicos de Ingeniería Económica
1.1 Concepto de Ingeniería Económica
En la vida cotidiana los individuos toman decisiones en forma rutinaria para elegir una u otra alternativa; los ingenieros las toman en su trabajo; los directivos, al supervisar las actividades de otros; los presidentes corporativos, al operar una empresa, y los funcionarios gubernamentales al trabajar por el bien de la comunidad. La mayoría de las decisiones involucran dinero, llamado capital o fondos de capital, que por lo general existe en cantidades limitadas. La decisión de dónde y cómo invertir dicho capital limitado está motivada por el objetivo principal de agregar valor cuando se consigan los resultados futuros que se espera obtener. Los ingenieros desempeñan un papel vital en la toma de decisiones de inversión de capital debido a su habilidad y experiencia para diseñar, analizar y sintetizar. Es común que los factores en que se basa una decisión sean una combinación de elementos económicos y no económicos. La ingeniería económica se ocupa del estudio de los factores económicos, en lo general, podemos decir entonces que fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existen alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Las técnicas matemáticas simplifican la evaluación económica de las alternativas.
Es conveniente esquematizar el proceso completo del análisis económico, con el objetivo de entender con claridad cuales son los pasos a seguir en este proceso, en la siguiente figura se muestra el diagrama de flujo correspondiente al proceso mencionado (Leland, Tarquin, 2005):
Para comprender adecuadamente la importancia de la Ingeniería Económica en la toma de decisiones, es necesario establecer de manera clara el concepto de Interés y sus respectivas variantes.
1.2 Interés simple e interés compuesto
1.2.1 Interés Simple
El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés.
De una forma esquematizada podemos decir que:
\[ i= Cantidad~final-Cantidad~inicial\] El interés se representa en forma de porcentaje, y está en función deun periodo de tiempo establecido al momento de contratar la deuda o hacer los compromisos de pago, así que, de una forma reducida, podemos decir que el interés es la cantidad de dinero extra que debe pagarse por el hecho de haber contratado o adquirido compromisos financiaros de algún tipo.
Otro concepto importante a considerar es la tasa de retorno, que se define como el interés generado en un periodo específico, éste se expresa en forma de porcentaje y se representa matemáticamente con la siguiente expresión:
\[TR=\frac{interés~acumulado~por~unidad~de~tiempo}{capital}*100{\%}\]
Entonces, interés simple se calcula sólo con el capital (o principal) e ignorando cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes.
La expresión matemática que lo define se escribe de la siguiente manera:
\[i=Cni\]
donde \(C\) corresponde al capital, \(n\) al número de periodos e \(i\) a la tasa de interés.
En términos sencillos, las tasas de interés reflejan dos cosas: una tasa de retorno llamada real más la tasa esperada de inflación. La tasa de retorno real permite al inversionista comprar más de lo que hubiese podido comprar antes de la inversión, mientras la tasa de inflación eleva la tasa real de la tasa del mercado que empleamos a diario.
La inflación significa que el costo y la ganancia estimados de un flujo de efectivo aumentan con el tiempo. Este incremento se debe al valor cambiante del dinero que la inflación fuerza en la moneda de un país, lo que hace que el poder adquisitivo de una unidad monetaria (un dólar, por ejemplo) sea menor respecto de su valor en una época anterior (Leland, Tarquin, 2005).
1.3 Interés Compuesto
En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el capital más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés.
En términos matemáticos, la cantidad de intereses \(I\) para el periodo de tiempo \(t\) se calcula con la siguiente relación:
\[{I_i}=(C+{\sum_{j=1}^{t-1}{I_j}})i\]
La cantidad de dinero que deberá pagarse en un cierto número de periodos \(t\), puede calcularse de la sigueinte manera:
Considere se solicita una cantidad \(C\) a una institución financiera, la cual fija un interés de \(i{\%}\), y usted desea saber cuál es la cantidad de dinero que deberá pagar en un periodo determinado \(t\), donde \(t=1,2,...,n\), entonces:
\[C_1=C+Ci\] factorizando el capital \(C\), tenemos que:
\[C_1=C(1+i)\] Esto para el periodo 1, sin embargo, se requiere calcular el capital para el periodo \(t\), considerando que \(t=1,2,...,n\), entonces:
\[C_2={C_1}(1+i)\] pero definimos que:
\[C_1=C(1+i)\] entonces:
\[C_2=C(1+i)(1+i)=C(1+i)^2\] generalizando, para el periodo \(n-ésimo\):
\[C_n=C(1+i)^n\] Con la expresión anterior podemos determinar el capital a pagar, con interés compuesto, en el \(n-ésimo\) periodo de un lapso de tiempo dado.
1.3.1 Interés capitalizado continuamente
Cuando el interés es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con razón proporcional a la cantidad presente \(S\) al tiempo \(t\), es decir, \(\frac{dS}{dt}=rS\), donde r es la razón de interés en un periodo definido (Zill,Dennis G. & Cullen, Michael R., 2013).
Dado lo anterior, tenemos que:
\[\frac{dS}{dt}=rS\] Resolviendo la ecuación diferencial:
\[\frac{dS}{S}=rdt\] \[\int{\frac{dS}{S}}=\int{rdt}\] \[\ln{S}=rt+C\] \[e^{\ln{S}}=e^{rt+C}\] \[S=e^{rt}e^{C}\] donde \(e^C=~Constante\), por lo que se simplifica la función a:
\[S=Ce^{rt}\] Si en t=0 tenemos un capital \(C_0\) inicial, entonces, sustituyendo condiciones iniciales tenemos que:
\[S=C_0\] \[t=0\] \[C_0=Ce^{0r}\] \[C=C_0\] Entonces, para cualquier tiempo \(t\), la cantidad de dinero \(S\) capitalizada de manera continua se define como:
\[S={C_0}{e^{rt}}\] De esta manera, podemos verificar que, en este caso, el monto inicial crecería de manera exponencial en el tiempo.
1.4 Equivalencia y diagrama de flujo
Los flujos de efectivo son las cantidades de dinero estimadas para los proyectos futuros, u observadas para los sucesos que ya tuvieron lugar en los proyectos. Todos los flujos de efectivo ocurren durante periodos específicos, como 1 mes, cada 6 meses, o 1 año. El periodo más común es un año. Por ejemplo, un pago de $10 000 hecho una vez en diciembre de cada año durante 5 años es una serie de 5 flujos de salida de efectivo. Y la recepción estimada de $500 cada mes durante 2 años es una serie de 24 flujos de entrada de efectivo. La ingeniería económica basa sus cálculos en el tiempo, monto y dirección de los flujos de efectivo.
Dado lo anterior, podemos decir que los flujos de entrada de efectivo son las recepciones, ganancias, ingresos y ahorros generados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo positivo o más indica un flujo de entrada de efectivo. También es importante mencionar que los flujos de salida de efectivo son los costos, desembolso, gastos e impuestos ocasionados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo negativo o menos indica un flujo de salida de efectivo. Cuando un proyecto sólo implica costos, puede omitirse el signo negativo para ciertas técnicas, como el análisis beneficio/costo.
Por otro lado, el diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. Se trata de una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. El diagrama incluye los datos conocidos, los datos estimados y la información que se necesita. Es decir, una vez completado el diagrama de flujo de efectivo, otra persona debe ser capaz de abordar el problema a partir de él.
El diagrama de flujo de efectivo se representa de la siguiente manera:
1.5 Factores de interés y su empleo: factor de pago único, factor valor presente, factor valor futuro, factor serie uniforme, factor de gradiente, factor múltiple.
1.5.1 Factor de Pago Único
El factor fundamental en Ingeniería Económica es el que determina la cantidad de dinero \(F\) que se acumula después de n años (o periodos) a partir de un valor único presente \(P\) con interés compuesto una vez por año (o por periodo). Recuerde que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés. Por consiguiente, si una cantidad \(P\) se invierte en algún momento \(t = 0\), la cantidad de dinero \(F_1\) acumulada en un año a partir del momento de la inversión con una tasa de interés de \(i\) por ciento anual será:
\[F=P(1+i)^n\] Al factor \((1+i)^n\) se le denomina factor de cantidad compuesta de pago único, pero en lo general se le conoce como factor \(F/P\). Tal expresión determina el valor presente \(P\) de una cantidad futura dada \(F\), después de \(n\) años con una tasa de interés \(i\).
Nota: Se adoptó una notación estándar para todos los factores. La notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo: tasa de interés y número de periodos. Siempre está en la forma general \((X/Y,i,n)\). La literal \(X\) representa lo que se busca, mientras que la literal \(Y\) representa lo que está dado. Por ejemplo, \(F/P\) significa encuentre \(F\) cuando \(P\) está dado. La \(i\) es la tasa de interés en porcentaje, y \(n\) representa el número de periodos implicados (Leland, Tarquin, 2005).
Dado entonces lo anterior, si se desea calcular el valor de una inversión \(P\) dado en el futuro \(F\), conociendo la tasa de interés \(i\) y el número de periodos \(n\), basta con que se despeje el factor \(P/F\) de \(F=P(1+i)^n\) el valor de \(P\),quedando de la siguiente manera:
\[F=P(1+i)^n\] \[P={\frac{F}{(1+i)^n}}\] Entonces el factor \(P/F\) se define como \(P/F=\dfrac{1}{(1+i)^n}\).
Nota. Cuando es necesario deflactar, es decir, llevar el valor futuro a un presente considerando a la inflación como interés, se debe utilizar las expresiones con signo negativo, también, si se tiene un valor presente que para efectos de análisis deba afectarse con un valor inflacionario, deberá considerarse la expresión correspondiente con signo negativo.
1.5.2 Factor de Serie Uniforme
Como vimos en el apartado anterior, los factores \(P/F\) y \(F/P\) permiten evaluar los montos, tanto de un valor futuro dado un valor presente como viceversa, sin embargo, asocian todo el vaor en un pago único, sin embargo, la mayoría de los procesos financieros se dan en forma de parcialidades, lo que hace que adquiera la forma de serie uniforme. Dado lo anterior, cada pago \(A\) de la serie puede ser llevado a un valor presente \(P\), aplicando el factor \(P/F\) de la siguiente manera:
\[P=A{\frac{1}{1+i}}+A{\frac{1}{(1+i)^2}}+A{\frac{1}{(1+i)^3}}+{\dotsb}+A{\frac{1}{(1+i)^n}}\] Para simplificar la expresión y obtener el factor \(P/A\), se debe multiplicar la expresión por el término \(\frac{1}{1+i}\) y posteriormente restar la expresión definida para \(P\), quedando de la siguiente manera:
\[{\frac{1}{i+i}}P=A{\frac{1}{(1+i)^2}}+A{\frac{1}{(1+i)^3}}+{\dotsb}+A{\frac{1}{(1+i)^{n+1}}}\] \[-P=-A{\frac{1}{1+i}}-A{\frac{1}{(1+i)^2}}-A{\frac{1}{(1+i)^3}}-{\dotsb}-A{\frac{1}{(1+i)^n}}\] Una vez ejecutada la reducción, el resultado se expresa de la siguiente manera:
\[{\frac{P}{1+i}}-P=A{\frac{1}{(1+i)^{n+1}}}-A{\frac{1}{1+i}}\] simplificando:
\[{\frac{P-(1+i)P}{1+i}}=A{[{\frac{1}{(1+i)^{n+1}}}-{\frac{1}{1+i}}]}\] \[{\frac{{\not}P-{\not}P-iP}{1+i}}={\frac{(1+i)-{(1+i)^{n+1}}}{(1+i)^{n+2}}}\] \[P=A{\frac{(1+i)^{n+1}-(1+i)}{i(1+i)^{n+1}}}\] \[P=A[{\frac{(1+i)^{n+1}}{i(1+i)^{n+1}}}-{\frac{1+i}{i(1+i)^{n+1}}}]\] \[P=A[{\frac{1}{i}-{\frac{1}{i(1+i)^{n+1}}}}]\] \[P={\frac{A}{i}[1-{\frac{1}{(1+i)^n}}]}\] \[P={\frac{A}{i}[{\frac{(1+i)^{n}-1}{(1+i)^{n}}}]}\] \[P=A[{\frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}]~si~y~solo~si~i{\neq}0\] Entoncs, definimos el factor \(P/A\) como:
\[P/A={\frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}\] De manera análoga, el factor \(A/P\) se determina mediante la siguiente expresión:
\[A/P={\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}\] En el caso del valor futuro, también es posible derivar las expresiones de los factores \(A/F\) y \(F/A\), simplemente sustituyendo en las expresiones antes definidas, quedando de la siguiente manera: \[A=P{\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}\] Sustituyendo \(P={\frac{F}{(1+i)^n}}\), escribimos entonces:
\[A=[{\frac{F}{(1+i)^n}}][{\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}]\] Simplificando:
\[A=F{\frac{i}{(1+i)^{n}-1}}\] Entonces, podemos escribir que el factor \(A/F\) queda definido por:
\[A/F={\frac{i}{(1+i)^{n}-1}}\] De la misma manera, el factor \(F/A\) se escribe de la sigueinte manera:
\[F/A={\frac{(1+i)^{n}-1}{i}}\]
1.5.3 Factores de gradiente aritmético
Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante en cada periodo. La cantidad del cambio se llama gradiente.
LAs fórmulas desarrolladas antes para una seria \(A\) tienen cantidades de final de año de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera que es preciso derivar nuevas fórmulas. Supongamos entonces que el flujo de efectivo al final del año 1 es una cantidad base de la serie de flujo de efectivo, por lo que no forma parte de la serie del gradiente. Esto es conveniente por que en las aplicaciones reales la cantidad base suele ser mayor o menor que el aumento o la disminución del gradiente(Leland, Tarquin, 2005).
Dado lo anerior, podemos definir la cantida de flujo de efectivo por efecto del gradiente en el periodo \(n\) como:
\[{CF_n}=cantidad~base+(n-1)G\] Es importante drse cuenta que la cantidad base define una serie uniforme de flujo de efectivo de tamaño \(A\) que ocurre en cada periodo. Con este dato se calculan cantidades equivalentes que implican gradientes aritméticos.
El valor presente total, \(P_T\), para una serie que incluya una cantidad base \(A\) y un gradiente aritmético convencional debe tomar en cuenta el valor presente tanto de la serie uniforme definida por \(A\) y un gradiente aritmético convencional debe tomar en cuenta el valor presente tanto de la serie uniforme definida por \(A\) como de la serie del gradiente aritmético. La suma de los resultados hace que:
\[{P_T}={P_A}{\pm}{P_G}\] Donde \(P_A\) es el valor presente de la serie uniforme únicamente, \(P_G\), sólo el valor presente de la serie del gradiente, y el signo \(+\) o \(-\) se utiliza para un gradiente que aumente \((+G)\) o disminuya \((-G)\), respectivamente.
El valor anual equivalente que corresponde, \(A_T\), es la suma del valor de la serie de la cantidad base, \(A_A\), y el valor de la serie del gradiente, \(A_G\), es decir:
\[{A_T}={A_A}{\pm}{A_G}\]
En esta oportunidad se obtendrán tres factores para los gradientes aritméticos: el factor \(P/G\) para el valor presente, el factor \(A/G\) para la serie anual y el factor \(F/G\) para el valor futuro.
En el valor presente, su valor en el año cero, sólo para el gradiente, es igual a suma de los valores presentes de los pagos individuales, donde cada valor se considera una cantidad futura, expresándose de la siguiente manera:
\[P=G(P/F,i,2)+2G(P/F,i,3)+{\dotsb}+(n-2)G(P/F,i,n-1)+(n-1)G(P/F,i,n)\] Factorizando \(G\) y aplicando la fórmula de \(P/F\), tenemos que:
\[P=G[\frac{1}{(1+i)^2}+\frac{2}{(1+i)^3}+{\dotsb}+\frac{n-2}{(1+i)^{n-1}}+\frac{n-1}{(1+i)^n}]\] Multiplicando ambos lados de la ecuación por \((1+i)\), obtenemos:
\[(1+i)P=G[\frac{1}{(1+i)}+\frac{2}{(1+i)^2}+{\dotsb}+\frac{n-2}{(1+i)^{n-2}}+\frac{n-1}{(1+i)^{n-1}}]\] Restando la expresión para \(P\) de \((1+i)P\) y simplificando podemos verificar que:
\[ip=G[\frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^n}]-G[\frac{n}{(1+i)^n}]\] Factorizando nuevamente, de manera final obtenemos:
\[P={\frac{G}{i(1+i)^n}}[{\frac{(1+i)^{n}-1-in}{i}}]\] Por lo tanto, el factor \(P/G\), se escribe de la siguiente manera:
\[P/G=\frac{(1+i)^{n}-in-1}{{i^2}(1+i)^n}\] La serie uniforme equivalente \(A_G\) para un gradiente aritmético \(G\) se obtiene al multiplicar el valor presente de la ecuación por la fórmula de \((A/P,i,n)\), quedando de la siguiente manera:
\[{A_G}=G[{\frac{(1+i)^{n}-in-1}{{i^2}(1+i)^n}}][\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^{n}-1}]\] Simplificando la expresión:
\[{A_G}=G[\frac{(1+i)^{n}-in-1}{i[(1+i)^n-1]}]\] Por lo tanto, el factor \(A/G\) se escribe de la siguiente manera:
\[A/G=\frac{(1+i)^{n}-in-1}{i[(1+i)^n-1]}\]