Data

Data yang digunakan adalah data IPM provinsi Kepulauan Riau dari tahun 2010 sampai 2021. Menurut Badan Pusat Statistik Indeks pembangunan manusia (IPM) adalah indeks komposit yang mengukur pembangunan manusia dari tiga aspek dasar yaitu umur Panjang dan hidup sehat, pengetahuan, dan standar hidup layak. Nilai IPM berkisar antara 0 sampai dengan 100.Semakin tinggi nilai IPM suatu negara/daerah, menunjukkan pencapaian pembangunan manusianya semakin baik.

Data IPM provinsi Kepulauan Riau dari tahun 2010 sampai 2021 terdiri dari dua variabel yaitu, ipm dan tahun. Pada analisis model regresi linier sederhana, variabel ipm akan menjadi peubah respon \((y)\) dan tahun sebagai peubah penjelas \((x)\). Jika terdapat autokorelasi pada model, maka akan dilakukan penangannan autokorelasi dengan metode Cochrane-Orcutt dan metode Hildreth-Lu.

library(lmtest)
## Warning: package 'lmtest' was built under R version 4.1.2
## Loading required package: zoo
## 
## Attaching package: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
library(orcutt)
## Warning: package 'orcutt' was built under R version 4.1.2
library(HoRM)
## Warning: package 'HoRM' was built under R version 4.1.2
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

Input data tahun dan IPM kemudian disimpan dengan nama ipm.

ipm <- read.csv("C:/Kuliah/Semester 6/Metode Peramalan Deret Waktu/Tugas 1/ipmkepri.csv")
ipm
##    Tahun   ipm
## 1   2010 71.13
## 2   2011 71.61
## 3   2012 72.36
## 4   2013 73.02
## 5   2014 73.40
## 6   2015 73.75
## 7   2016 73.99
## 8   2017 74.45
## 9   2018 74.84
## 10  2019 75.48
## 11  2020 75.59
## 12  2021 75.79

Eksplorasi Data

Berikut summary dari data IPM Kepulauan Riau :

summary(ipm)
##      Tahun           ipm       
##  Min.   :2010   Min.   :71.13  
##  1st Qu.:2013   1st Qu.:72.86  
##  Median :2016   Median :73.87  
##  Mean   :2016   Mean   :73.78  
##  3rd Qu.:2018   3rd Qu.:75.00  
##  Max.   :2021   Max.   :75.79

IPM Provinsi Kepulauan Riau memiliki nilai minimum 71.13 dan nilai maksimum 75.79. Rata-rata IPM dari Provinsi Kepulauan Riau adalah 73.78. IPM Provinsi Kepulauan Riau dari 2010 - 2021 dapat digolongkan dalam IPM kategori tinggi berdasarkan pengelompokan metode baru menurut Badan Pusat Statistik.

x <- ipm$Tahun
y <- ipm$ipm
plot(x,y, pch = 20, col = "red", main = "Plot Tahun vs IPM Kep. Riau", xlab = "Tahun", ylab = "IPM Kep. Riau")

cor(x,y)
## [1] 0.9899972

Berdasarkan scatter plot tahun vs IPM Kep. Riau terlihat bahwa terdapat hubungan yang kuat antara tahun dan IPM. IPM Kepulauan Riau dan tahun menunjukan hubungan linier yang positif.` Nilai korelasi antara IPM Provinsi Kepulauan Riau dan tahun juga sangat besar yaitu 0.989 yang berarti hubungan linier keduanya sangat kuat.

Model Regresi

model<- lm(y~x, data = ipm)
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = ipm)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.32897 -0.14432  0.01181  0.18608  0.29711 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -781.81672   38.55893  -20.28 1.88e-09 ***
## x              0.42451    0.01913   22.19 7.76e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2288 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9801, Adjusted R-squared:  0.9781 
## F-statistic: 492.4 on 1 and 10 DF,  p-value: 7.755e-10

Model regresi dari IPM Kepulauan Riau sebagai peubah respon (y) dan tahun sebagai peubah penjelas (x): \[\hat{y_t} = -781.81 + 0.42451(x_t)\]

Interpretasi model :

0.42451 nilai dugaan perubahan rataan IPM Kepulauan Riau jika tahun berubah dan -781.81 merupakan nilai IPM Kepulauan Riau yang tidak dapat dijelaskan oleh model ini.

Koefisien determinasi :

Koefisien determinasi pada model ini adalah 98%. Hal ini berarti sebesar 98 % dari proporsi IPM Provinsi Kepulauan Riau dapat dijelaskan oleh variabel tahun dan 2% dijelaskan oleh hal lain diluar model ini.

P-value pada model regresi ini kurang dari 0.05 sehingga dapat dikatakan bahwa pada model variabel tahun berpengaruh nyata pada model pada taraf nyata 5%.

Selanjutnya perlu dilakukan uji autokorelasi, baik secara eksploratif atau formal. Korelasi antara IPM Kepulauan Riau dan tahun sangat besar, selain itu nilai koefisien determinasi pada model ini juga sangatlah besar sehingga indikasi adanya autokorelasi sangat kuat.

Asumsi Model

Uji Asumsi dengan Grafik

#sisaan dan fitted value
resi1<- residuals(model)
fit<- predict(model)

#Diagnostik dengan eksploratif
par(mfrow = c(2,2))
qqnorm(resi1)
qqline(resi1, col = "steelblue", lwd = 2)
plot(fit, resi1, col = "steelblue", pch = 20, xlab = "Sisaan", ylab = "Fitted Values", main = "Sisaan vs Fitted Values")
abline(a = 0, b = 0, lwd = 1)
plot(seq(1,12,1), resi1, col = "steelblue", pch = 20, xlab = "Sisaan", ylab = "Order", main = "Sisaan vs Order")
lines(seq(1,12,1), resi1, col = "red")
abline(a = 0, b = 0, lwd = 2)

JIka dilihat dari normal Q-Q Plot sisaan menyebar normal karena tebaran mengikuti garis. Plot sisaan vs Fitted Values menunjukan adanya pola tertentu pada tebaran amatan, hal ini mengindikasikan adanya autokorelasi pada model.

par(mfrow = c(1,2))
acf(resi1)
pacf(resi1)

Plot ACF dan PACF menunjukan tidak ada autokorelasi karena data masih berada dalam garis batas.

Uji Formal Durbin Watson

Selanjutnya dilakukan uji formal Durbin Watson untuk mengetahui apakah ada autokorelasi pada model ini atau tidak.

Hipotesis :

\(H_0\): Tidak terdapat autokorelasi

\(H_1\): Terdapat autokorelasi

dwtest(model)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 0.7724, p-value = 0.001426
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Dari Uji Durbin Watson didapatkan nilai p-value < 0.05. Nilai DW = 0.7724 juga berada pada daerah dibawah nilai \(d_l\)= 0.971. Sehingga tolak \(H_0\) cukup bukti untuk mengatakan bahwa terdapat autokorelasi positif pada taraf nyata 5%.

Model regresi IPM Provinsi Kepulauan Riau dan tahun terdeteksi adanya autokorelasi sehingga perlu dilakukan penangannan untuk mengatasi autokorelasi tersbut.

Penanganan Autokorelasi

Penanganan autokorelasi akan dilakukan dengan dua cara yaitu Metode Cochrane-Orcutt dan Metode Hildreth-Lu. Keduanya merupakan penanganan dengan transformasi \(x\) menjadi \(x^*\) dengan menambah kompenen \(\rho\)(rho).

Metode Cochrane-Orcutt

modelco<-cochrane.orcutt(model)
summary(modelco)
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = ipm)
## 
##                Estimate  Std. Error t value  Pr(>|t|)    
## (Intercept) -613.259516   86.648746  -7.078 5.808e-05 ***
## x              0.340992    0.042941   7.941 2.348e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.157 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8751 ,  Adjusted R-squared:  0.8612
## F-statistic: 63.1 on 1 and 9 DF,  p-value: < 2.348e-05
## 
## Durbin-Watson statistic 
## (original):    0.77240 , p-value: 1.426e-03
## (transformed): 1.94827 , p-value: 3.15e-01
rho<- modelco$rho
rho
## [1] 0.6514619
y.trans<- y[-1]-y[-12]*rho
x.trans<- x[-1]-x[-12]*rho
modelcorho<- lm(y.trans~x.trans)
modelcorho
## 
## Call:
## lm(formula = y.trans ~ x.trans)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)      x.trans  
##    -213.744        0.341

Penduga koefisien regresi setelah transformasi ke persamaan awal :

b0 <- -213.744 / (1-rho)
b0
## [1] -613.2586

Setelah autokorelasi ditangani dengan menggunakan metode Cochrane-Orcutt dengan menggunakan library orcutt dan transformasi didapatkan model regresi yang baru yaitu : \[\hat{y_t} = -613.2586 + 0.340992(x_t)\]

Interpretasi model :

0.340992 nilai dugaan perubahan rataan IPM Kepulauan Riau jika tahun berubah dan -613.259 merupakan nilai IPM Kepulauan Riau yang tidak dapat dijelaskan oleh model ini.

Koefisien determinasi :

Koefisien determinasi pada model ini adalah 87.51%. Hal ini berarti sebesar 87.51 % dari proporsi IPM Provinsi Kepulauan Riau dapat dijelaskan oleh variabel tahun dan 12.49% dijelaskan oleh hal lain diluar model ini.

P-value pada model regresi ini kurang dari 0.05 sehingga dapat dikatakan bahwa pada model variabel tahun berpengaruh nyata pada model pada taraf nyata 5%.

modelco$rho
## [1] 0.6514619

Nilai \(\rho\) pada metode Cochrane-Orcutt didapatkan sebesar 0.6514619.

Metode Hildreth-Lu

Dengan menggunakan Metode Hildreth-Lu terlebih dahulu dicari nilai \(\rho\) dengan nilai SSE minimum. Pertama nilai \(\rho\) dicari antara 0.1 - 0.9

hildreth.lu.func<- function(r, model){
  x <- model.matrix(model)[,-1]
  y <- model.response(model.frame(model))
  n <- length(y)
  t <- 2:n
  y <- y[t]-r*y[t-1]
  x <- x[t]-r*x[t-1]
  
  return(lm(y~x))
}
r <- c(seq(0.1,0.8, by= 0.1), seq(0.9,0.99, by= 0.01))
tab <- data.frame("rho" = r, "SSE" = sapply(r, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
urut <- tab[order(tab$SSE),]
urut 
##     rho       SSE
## 7  0.70 0.2226264
## 6  0.60 0.2227345
## 8  0.80 0.2299162
## 5  0.50 0.2302407
## 9  0.90 0.2446041
## 4  0.40 0.2451449
## 10 0.91 0.2464798
## 11 0.92 0.2484294
## 12 0.93 0.2504531
## 13 0.94 0.2525507
## 14 0.95 0.2547223
## 15 0.96 0.2569679
## 16 0.97 0.2592874
## 17 0.98 0.2616810
## 18 0.99 0.2641485
## 3  0.30 0.2674471
## 2  0.20 0.2971473
## 1  0.10 0.3342456
plot(tab$SSE ~ tab$rho , type = "l",xlab = "rho", ylab = "SSE", 
     main = "Plot SSE vs Rho")
abline(v = tab[tab$SSE==min(tab$SSE),"rho"], lty = 3)

Berdasarkan hasil diatas didapatkan nilai \(\rho\) paling minimum adalah berada diantara 0.6 - 0.8. Selanjutnya akan dicari kembali nilai \(\rho\) dengan selang yang lebih kecil yaitu 0.6 - 0.8 untuk mendapatkan nilai SSE paling minimum.

ro <- c(seq(0.6,0.8, by= 0.001))
tabo <- data.frame("rho" = ro, "SSE" = sapply(ro, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
head(tabo[order(tabo$SSE),])
##      rho       SSE
## 52 0.651 0.2217550
## 53 0.652 0.2217550
## 51 0.650 0.2217557
## 54 0.653 0.2217558
## 50 0.649 0.2217571
## 55 0.654 0.2217573
plot(tabo$SSE ~ tabo$rho , type = "l",xlab = "rho", ylab = "SSE", 
     main = "Plot SSE vs Rho")
abline(v = tabo[tabo$SSE==min(tabo$SSE),"rho"], lty = 3)

Nilai \(\rho\) optimum adalah 0.651 dengan SSE minimum sebesar 0.2217550

modelhl <- hildreth.lu.func(0.651, model)
summary(modelhl)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.211036 -0.128473 -0.008585  0.080109  0.291330 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -214.12225   30.20034  -7.090 5.73e-05 ***
## x              0.34113    0.04288   7.955 2.32e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.157 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8755, Adjusted R-squared:  0.8616 
## F-statistic: 63.28 on 1 and 9 DF,  p-value: 2.316e-05

Setelah autokorelasi ditangani dengan menggunakan metode Cochrane-Orcutt dengan menggunakan library orcutt didapatkan model regresi yang baru yaitu : \[\hat{y_t} = -214.12 + 0.34113(x_t)\]

Interpretasi model :

0.34113 nilai dugaan perubahan rataan IPM Kepulauan Riau jika tahun berubah dan -214.12 merupakan nilai IPM Kepulauan Riau yang tidak dapat dijelaskan oleh model ini.

Koefisien determinasi :

Koefisien determinasi pada model ini adalah 87.55%. Hal ini berarti sebesar 87.55 % dari proporsi IPM Provinsi Kepulauan Riau dapat dijelaskan oleh variabel tahun dan 12.45% dijelaskan oleh hal lain diluar model ini.

P-value pada model regresi ini kurang dari 0.05 sehingga dapat dikatakan bahwa pada model variabel tahun berpengaruh nyata pada model pada taraf nyata 5%.

Uji Autokorelasi

Uji autokorelasi pada model Cochrane-Orcutt

dwtest(modelco)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelco
## DW = 1.9483, p-value = 0.315
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Berdasarkan Uji Durbin Watson didapatkan nilai p-value > 0.05. Nilai DW = 1.9483 juga berada pada daerah diatas nilai \(d_u\)= 1.331. Sehingga tolak \(H_0\) cukup bukti untuk mengatakan bahwa tidak terdapat autokorelasi pada taraf nyata 5%. Model alternatif yang telah ditangani dengan metode Cochrane-Orcutt tidak mengalami autokorelasi.

Uji autokorelasi pada model Hildreth-Lu

dwtest(modelhl)
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelhl
## DW = 1.9477, p-value = 0.3147
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Berdasarkan Uji Durbin Watson didapatkan nilai p-value > 0.05. Nilai DW = 1.9477 juga berada pada daerah diatas nilai \(d_u\)= 1.331. Sehingga tolak \(H_0\) cukup bukti untuk mengatakan bahwa tidak terdapat autokorelasi pada taraf nyata 5%. Model alternatif yang telah ditangani dengan metode Hildreth-Lu tidak mengalami autokorelasi.

Simpulan

Model regresi pada data IPM provinsi Kepulauan Riau tahun 2010 - 2021 terdapat autokorelasi. Autokorelasi tersebut dapat diatasi dengan metode Cochrane-Orcutt dan Hildreth-Lu.