Modelo para Datos Regulares - Matérn hard-core process

Matérn (1960, 1986) sugirió dos modelos estrictos. Aquí se describe el modelo (de su tipo 2) que produce una mayor intensidad final de puntos junto con otros dos modelos que generalizan la idea original de Matérn.

El modelo se basa esencialmente en un adelgazamiento aplicado a un proceso de Poisson estacionario \(N_b\) con intensidad \(\lambda_b\). Los puntos en \(N_b\) están marcados independientemente por números aleatorios distribuidos uniformemente en (0-1). El adelgazamiento retiene un punto \(x\) en \(N_b\) con marca \(m(x)\) si la esfera \(b(x,r_0)\) no contiene puntos en \(N_b\) con marcas menores que \(m(x)\).

Un ejemplo de aplicación de este tipo de modelos

En las aplicaciones, los puntos en \(N_b\) pueden ser la ubicación de las semillas, mientras que las marcas son puntos en el tiempo en el que germinan (es decir cuanto tarda en germinar apartir del momento de siembra). Entonces \(N\) consiste en las ubicaciones \(x\) de aquellas plantas cuyas semillas fueron las primeras en germinar dentro de un área \(b(x,r_0)\), el área que las plantas necesitan para la absorción de nutrientes. La intensidad de N viene dada por:

\[\lambda=p*\lambda_b\]

Aquí \(p\) es la probabilidad de retención del “punto típico” en \(N_b\), que viene dada por:

\[p=\int_{0}^{1}r(t)dt\]

donde \(r(t)=exp(-\lambda_b*V_t)\) es la probabilidad de retención de un punto con marca t con \(0 ≤ t ≤ 1\). Esta fórmula resulta de la observación de que el proceso de subpunto de \(N_b\) que consta de los puntos con una marca menor que t es simplemente un adelgazamiento \(t\) de un proceso de Poisson, que es en sí mismo un proceso de Poisson de intensidad \(\lambda_b*t\).

Como funciona el proceso de simulación en R - Ejemplo con la función rMaternII

El proceso se construye generando:

  1. Primero un proceso Poisson con intensidad \(\lambda\) y los puntos se marcan independientemente con marcas uniformes aleatorias de una uniforme (0,1).
  2. A continuación, se elimina un punto si se encuentra a una distancia de \(r\) unidades de otro punto. De lo contrario, se retiene (adelgazamiento).
  3. Finalmente los puntos retenidos constituyen el Modelo I de Matern.

Nota: Si el argumento estacionario = VERDADERO los puntos de la propuesta se generan en una ventana más grande que win, lo que significa que las propuestas están estacionarias. Si estacionario = FALSO, los puntos de propuesta solo se generan dentro de la ventana ganadora.

Modelo para Datos Regulares - Random Sequential Adsorption

El proceso RSA generalmente se considera dentro de un conjunto finito W y, por lo tanto, es un modelo de proceso de puntos finitos. El patrón se construye colocando de forma iterativa y aleatoria esferas en W con radios siguiendo una \(F(r)\). Si una nueva esfera se cruza con una esfera existente, la nueva esfera se rechaza y se genera otra esfera, con un centro y radio diferente, etc. (Tenga en cuenta que el proceso puede modificarse generando una nueva esfera después del rechazo con un centro diferente pero el mismo radio.) El proceso se detiene si se coloca el número requerido de esferas o si es imposible colocar una nueva esfera (lo que se denomina bloqueo). El patrón formado por los centros de las esferas es una muestra del proceso puntual a generar, y los radios pueden considerarse como marcas.

El algoritmo para simular los datos en R consiste del siguiente procedimiento:

Comenzando con una ventana vacía, el algoritmo agrega puntos uno por uno, cada nuevo punto se genera de manera uniforme en la ventana e independientemente de los puntos anteriores. Si el nuevo punto se encuentra más cerca que r unidades de un punto existente, entonces se rechaza y se genera otro punto aleatorio. El algoritmo termina cuando

  1. Se alcanza el número deseado n de puntos, o
  2. la configuración de puntos actual no ha cambiado para las iteraciones de abandono, lo que sugiere que ya no es posible agregar nuevos puntos.

Simulaciones en R con los modelos MaternI, MaternII y Simple Sequential Inhibition

En este primer caso se generan lo datos con los 3 modelos para datos regulares y se explican los parametros que se ingresan en las funciones:

##Caso Modelo MaterI
require(spatstat)
ppmaternI=rMaternI(kappa = 1000,r = 0.2) #modelo con intensidad 20 y radio de inhibición 0.2 en una ventana 0 a 1.
plot(ppmaternI)

##Caso Modelo MaterII
ppmaternII=rMaternII(kappa = 1000,r = 0.2) #modelo con intensidad 20 y radio de inhibición 0.2 en una ventana 0 a 1.
plot(ppmaternII)

##Caso Modelo SSI
ppSSI=rSSI(r = 0.03,n = 20) #modelo con radio 0.03 y total puntos 20 y en una ventana 0 a 1.
plot(ppSSI)

Se calcularon las funciones K y G para los tres procesos:

##Caso Modelo MaterI
par(mfrow=c(1,2))
plot(pcf(ppmaternI, correction=c("translate")), main = "PCF (Homogénea)")
plot(Kest(ppmaternI, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Homogénea)")

##Caso Modelo MaterII
par(mfrow=c(1,2))
plot(pcf(ppmaternII, correction=c("translate")), main = "PCF (Homogénea)")
plot(Kest(ppmaternII, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Homogénea)")

##Caso Modelo SSI
par(mfrow=c(1,2))
plot(pcf(ppSSI, correction=c("translate")), main = "PCF (Homogénea)")
plot(Kest(ppSSI, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Homogénea)")

También, se estimaron los respectivos envelopes para cada uno de los casos anteriores:

par(mfrow=c(1,1))

##Caso Modelo MaterI
kmaternI = envelope(ppmaternI, Kest, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
plot(kmaternI, main = "Envelopes- K homogénea- MaternI")

##Caso Modelo MaterII
kmaternII = envelope(ppmaternII, Kest, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
plot(kmaternII, main = "Envelopes- K homogénea- MaternII")

##Caso Modelo SSI
kSSI = envelope(ppSSI, Kest, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
plot(kSSI, main = "Envelopes- K homogénea- SSI")

Modelo para Procesos Agregados (Clustering)

Modelo Máter

En este proceso los puntos son independientemente uniformes en el disco \(b(0, R)\). Para este modelo la función de densidad de la distancia desde el centro del cluster es:

\(\delta(r)=\frac{dr^{d-1}}{R^{d}}\)

Variando el radio del disco del cluster y el número promedio de puntos por cluster se observa lo siguiente:

##Modelos Matern para diversos parametros: intensidad de 5, radios de disco 0.5 y 1, promedio 10 y 20.
matern=rMatClust(5, 0.5, 10, win = owin(c(0,1),c(0,1))) 
matern1=rMatClust(5, 0.5, 20, win = owin(c(0,1),c(0,1)))
matern2=rMatClust(5, 1, 10, win = owin(c(0,1),c(0,1)))
matern3=rMatClust(5, 1, 20, win = owin(c(0,1),c(0,1)))

par(mfrow=c(2,2)) 
plot(matern, main="r=0.5 y mu=10")
plot(matern1, main="r=0.5 y mu=20")
plot(matern2, main="r=1 y mu=10")
plot(matern3, main="r=1 y mu=20")

Se calcularon las funciones K y G para el primer proceso.

plot(pcf(matern, correction=c("translate")), main = "PCF (Homogénea)")

plot(Kest(matern, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Homogénea)")

Ahora para el caso inhomogéneo se generó el proceso usando la siguiente función de intensidad:

\(\lambda(x)=10(exp(3x-2))\)

intensidad=as.im(function(x,y){ 10 * exp(3 * x - 2) }, owin())
matern_inhom=rMatClust(15, 0.03, intensidad) ##parametros lamda 15 y radio 0.03
plot(intensidad)

plot(matern_inhom)

De manera analoga, se calcularon las funciones K y G teniendo en cuenta el proceso puntual inhomogéneo.

plot(pcfinhom(matern_inhom, lambda = intensidad, correction=c("translate")), main = "PCF (Inhomogénea)")

plot(Kinhom(matern_inhom, lambda = intensidad, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Inhomogénea)")

Adicionalmente, se estimaron los respectivos envelopes para cada uno de los casos anteriores:

kmaternh = envelope(matern, Kest, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
kmatern = envelope(matern_inhom, Kinhom, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
gmaternh = envelope(matern, pcf, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
gmatern = envelope(matern_inhom, pcfinhom, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
par(mfrow=c(1,2)) 
plot(kmaternh, main = "Envelopes- K homogénea")
plot(kmatern, main = "Envelopes- K inhomogenea") 

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(gmaternh, main = "Envelopes- g homogénea")
plot(gmatern, main = "Envelopes- g inhomogenea")

Modelo Thomas

En este proceso la distribución de puntos (hijas) alrededor de los puntos padres es la simétrica distribución normal con parámetro \(sigma\). Aqui:

\(\delta(r)=\frac{r}{\sigma^{2}}exp(-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}})\)

Variando el parámetro sigma y número promedio de puntos por cluster se observa lo siguiente:

##Modelos Thomas para diversos parametros: intensidad de 5, radios de disco 0.5 y 1, promedio 10 y 20.

thomas=rThomas(5, 0.5, 10, win = owin(c(0,1),c(0,1)))
thomas1=rThomas(5, 0.5, 20, win = owin(c(0,1),c(0,1)))
thomas2=rThomas(5, 1, 10, win = owin(c(0,1),c(0,1)))
thomas3=rThomas(5, 1, 20, win = owin(c(0,1),c(0,1)))

par(mfrow=c(2,2)) 
plot(thomas, main="r=0.5 y mu=10")
plot(thomas1, main="r=0.5 y mu=20")
plot(thomas2, main="r=1 y mu=10")
plot(thomas3, main="r=1 y mu=20")

Se calcularon las funciones K y G para el primer proceso generado.

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(pcf(thomas, correction=c("translate")), main = "PCF (Homogénea)")
plot(Kest(thomas, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Homogénea)")

Para el caso inhomogéneo, se utilizó la misma función del proceso matern.

intensidad=as.im(function(x,y){ 10 * exp(3 * x - 2) }, owin())
thomasinhom=rThomas(15, 0.03, intensidad) ##parametros lamda 15 y radio 0.03

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(intensidad)
plot(thomasinhom)

De manera analoga, se estimaron las funciones k y g en el caso inhomogéneo:

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(pcfinhom(thomasinhom, lambda = intensidad, correction=c("translate")), main = "PCF (Inhomogénea)")
plot(Kinhom(thomasinhom, lambda = intensidad, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Inhomogénea)")

Adicionalmente se generaron los envelopes para cada una de las funciones estimadas anteriormente:

kthomash = envelope(thomas, Kest, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
kthomas = envelope(thomasinhom, Kinhom, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
gthomash = envelope(thomas, pcf, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
gthomas = envelope(thomasinhom, pcfinhom, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
par(mfrow=c(1,2)) 
plot(kthomash, main = "Envelopes- K homogénea")
plot(kthomas, main = "Envelopes- K inhomogenea") 

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(gthomash, main = "Envelopes- g homogénea")
plot(gthomas, main = "Envelopes- g inhomogenea")

Procesos Neyman Scott

La fórmula general para la intensidad es:

\(\lambda=\lambda_{p}\overline{c}\)

  nclust = function(x0, y0, radius, n)
  {
  return(runifdisc(n, radius, centre=c(x0, y0)))
  }
neyman=rNeymanScott(15, 0.5, nclust, radius=0.5, n=5) ##parametros lambda 15, radio 0.5 
plot(neyman)

Se estimó la función K y G para este proceso:

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(pcf(neyman, correction=c("translate")), main = "PCF (Homogénea)")
plot(Kest(neyman, correction=c("translate")), main = "K-estimada (Homogénea)")

Asi mismo, los envelopes por cada función:

kneymanh = envelope(neyman, Kest, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
gneymanh = envelope(neyman, pcf, nsim = 99, fix.n = TRUE) 
## Generating 99 simulations of CSR with fixed number of points  ...
## 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
## 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
## 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,  99.
## 
## Done.
par(mfrow=c(1,2)) 
plot(kneymanh , main = "Envelopes- K homogénea")
plot(gneymanh , main = "Envelopes- G homogenea")

Procesos Cox

Un proceso log gaussiano cox es un proceso cox en el cual la intensidad (driving intensity) tiene la siguiente forma:

\(\wedge (\mu)=exp G(\mu)\)

Donde, \(G(\mu)\) es un campo aleatorio gaussiano.

Se generó el proceso cox usando la libreria RandomFields y un modelo de covarianza exponencial el cual tiene la siguiente función:

\(C_{0}(r)=\sigma^{2}exp(-r/\alpha)\)

require(RandomFields)
cox <- rLGCP(model="gauss", mu=5, var=0.005, scale=0.3, win = square(1))

##Si fuera inhomogeneo
#m <- as.im(function(x, y){5 - 1.5 * (x - 0.5)^2 + 2 * (y - 0.5)^2}, W=owin())
#cox <- rLGCP(model="gauss", mu=m, var=0.2, scale=0.1, win = square(1))
        
lambda=attributes(cox)$Lambda

cox1 <- rLGCP(model="exp", mu=2, var=0.2, scale=0.1, win = square(1))
lambda1=attributes(cox1)$Lambda


par(mfrow=c(2,2)) 
plot(cox)
plot(lambda)
plot(cox1)
plot(lambda1)

variando la varianza y dejando fija la media y alpha:

require(RandomFields)
cox2 <- rLGCP(model="gauss", mu=4, var=0.5, scale=0.2, win = square(1))
lambda2=attributes(cox2)$Lambda

cox3 <- rLGCP(model="gauss", mu=4, var=0.5, scale=0.1, win = square(1))
lambda3=attributes(cox3)$Lambda


par(mfrow=c(2,2)) 
plot(cox2)
plot(lambda2)
plot(cox3)
plot(lambda3)

Se realizó la estimación de las funciones K y g, teniendo en cuenta la función de intensidad estimada en el modelo. Para un proceso Cox log-gaussiano la función de correlación por pares se calcula como:

\(G_{2}(\mu,\nu)=exp(C(\mu,\nu))\)

donde \(C(\mu,\nu)=cov(G(\mu),G(\nu))\)

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(pcfinhom(cox, correction=c("isotropic")), main = "PCF (Inhomogénea)")
plot(Kinhom(cox, correction=c("isotropic")), main = "K-estimada (Inhomogénea)")

Asi mismo, los envelopes:

kcoxh <- envelope(cox, Kinhom, nsim = 99, fix.n = TRUE,verbose = F) 
gcoxh <- envelope(cox, pcfinhom, nsim = 99, fix.n = TRUE, verbose = F) 

par(mfrow=c(1,2)) 
plot(kcoxh , main = "Envelopes- K Inhomogénea")
plot(gcoxh , main = "Envelopes- G Inhomogenea")

  1. Matérn, B. (1960) Spatial variation: Stochastic models and their applications to problems in forest surveys and other sampling investigations. Meddelanden från Statens Skogsforskn- ingsinstitut, 49(5).

  2. Matérn, B. (1986) Spatial Variation, Lecture Notes in Statistics 36. Springer-Verlag, Berlin.