Taller 7: Endogeneidad y Modelo de Corrección de Errores
Michael González
9 de febrero de 2022
El consumo total es igual al consumo del hogar más el consumo del gobierno. Las tres series presentan el mismo comportamiento creciente. Con esto se intuye que no son estacionarias en media. Sin embargo se necesitan las pruebas formales. De esta manera, con la prueba Dickey-Fuller aumentada se concluye formalmente que las series no son estacionarias. Posteriormente es necesario diferencias dos veces para que las variables sean estacionarias en media.
Modelo dinámico y Correción de la endógeneidad
Se aplicó logaritmos a todas las variables en niveles dado que el lambda BoxCox arrojaron valores cercanos a cero.
Todos los estimadores resultaron estadisticamente significativos y positivos a todo nivel. La elasticidad del consumo hogar-consumo total es 0.79 pp mientras que la elasticidad consumo gobierno-consumo total es de 0.21 pp. Esto indica, que en esta economía, el consumo de los hogares sobre el consumo total es cuatro veces más importante que el consumo del gobierno. Este modelo dinámico presenta endogeneidad por simultaneidad. Cuando se explica el consumo total por medio del consumo de los hogares, la variable consumo total puede aparecer en otro modelo explicada también por el consumo del gobierno. Por otro lado, el modelo \(ConsumoTotal_t=\alpha_t + \beta_1 ConsumoHogar_t + \beta_2 Consumo Gobierno_t + \varepsilon_t\) corresponde a una identidad en el cual su r2 arrroja 1 que es el mayor valor posible.
El modelo dinámico endógeno que se plantea es el siguiente:
\[ ln(consumo total)_t = \beta_0 + \beta_1 ln(consumo hogar)_t + \beta_2 ln(consumo gobierno)_t + \varepsilon_t \]
La prueba de Hausman arrojó que el logaritmo del consumo para el hogar y para el gobierno son variables endógenas cuando tratan de explicar el consumo total (Anexos).
El modelo dinámico endógeno que se plantea es el siguiente:
\[ ln(consumo total)_t = \beta_0 + \beta_1 ln(consumo hogar)_t + \beta_2 ln(consumo gobierno)_t + \varepsilon_t \]
El modelo dinámico corregido que se plantea es el siguiente:
\[ ln(consumo \ total)_t = \beta_0 + \beta_1 ln(consumo \ hogar)_t + \beta_2 ln(consumo \ gobierno)_t \] \[ + \beta_3 ln(consumo \ total)_{t-1} + \varepsilon_t \]
La corrección del modelo se puede mirar por algunos caminos. Uno de ellos es incluir las variables faltantes queel comportamiento futuro del consumo total. Esta variable puede ser el consumo total del trimestre inmediatamente anterior.
##
## (1) Modelo dinámico endógeno | (2) Modelo dinámico corregido
## ==================================================================================
## Dependent variable:
## -----------------------------------------------------------
## `ln(consumo total)`
## OLS dynamic
## linear
## (1) (2)
## ----------------------------------------------------------------------------------
## `ln(consumo hogar)` 0.792*** 0.772***
## (0.004) (0.012)
##
## `ln(consumo gobierno)` 0.209*** 0.201***
## (0.004) (0.006)
##
## L(`ln(consumo total)`) 0.029*
## (0.016)
##
## Constant 0.504*** 0.482***
## (0.015) (0.019)
##
## ----------------------------------------------------------------------------------
## Observations 72 71
## R2 1.000 1.000
## Adjusted R2 1.000 1.000
## Residual Std. Error 0.001 (df = 69) 0.001 (df = 67)
## F Statistic 1,977,568.000*** (df = 2; 69) 1,306,412.000*** (df = 3; 67)
## ==================================================================================
## Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01Bajo el modelo (2) corregido la magnitud de los efectos sobre el contumo total se mantienen. Sin embargo, el efecto del consumo el hogar cae 0.02 pp y el consumo del gobierno baja 0.008 pp. Esta disminución en la elasticidad de ambas variables es exactamente lo que explica la elasticidad del consumo total del trimestre anterior. De esta forma, su R2 continúa siendo 1.
Análisis de residuales
Las pruebas formales informan que existen problemas de autocorrelación. La prueba Ljung-Box rechaza la hipotesis nula de no autocorrelación, así como la prueba de Breusch-Godfrey. No obstante, la prueba Durbin-Watson resulta no concluyente pues arroja un p valor muy cercano a 0.55.
De las gráficas de autocorrelación se puede observar que puede haber autocorrelación puesto que los rezagos del pasado son estadísticamente significativos y los rezagos decaen en las funciones de autocorrelación parcial ACF. Adicionalmente los residuos son estacionarios según las pruebas de Dickey-Fuller Aumentanda, Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin (KPSS) y Phillips-Perron.
Modelo de Rezagos Distribuidos ADL.
Los rezagos estadisticamente significativos para las variables Hogar y Gobierno son: \(t\) y \(t-4\). Para la variable total es \(t-4\). Lo que quiere decir que el consumo del hogar y gobierno afectan contemporaneamente al consumo total, pero tambien el consumo del hogar, gobierno y total de un año atrás afectan el consumo total del año subsiguiente. Por tanto, el modelo óptimo debiera tener 3 rezagos (\(t-4\)). Uno para consumo hogar, otro para el consumo del gobierno y finalente para el consumo total. Así el modelo sería ADL(1,2).
El modelo ADL a estimar es el siguiente.
\[ ln(consumo \ total)_t = \beta_0 + \beta_1 ln(consumo \ hogar)_t + \beta_2 ln(consumo \ gobierno)_t + \beta_3 ln(consumo \ gobierno)_{t-4} \] \[ + \beta_4 ln(consumo \ hogar)_{t-4} + \beta_5 ln(consumo \ total)_{t-4} + \varepsilon_t \]
A este modelo lo llamaremos el modelo (1).
##
## Modelo ADL
## ========================================================================================
## Dependent variable:
## -----------------------------------------------------------
## `ln(consumo total)`
## (1) (2)
## ----------------------------------------------------------------------------------------
## `ln(consumo hogar)` 0.795*** 0.770***
## (0.004) (0.012)
##
## `ln(consumo gobierno)` 0.206*** 0.201***
## (0.004) (0.006)
##
## L(`ln(consumo gobierno)`, 4) -0.154***
## (0.016)
##
## L(`ln(consumo hogar)`, 4) -0.614***
## (0.060)
##
## L(`ln(consumo total)`, 4) 0.766***
## (0.074)
##
## L(`ln(consumo total)`, 1) 0.030*
## (0.016)
##
## Constant 0.128*** 0.481***
## (0.038) (0.019)
##
## ----------------------------------------------------------------------------------------
## Observations 68 71
## R2 1.000 1.000
## Adjusted R2 1.000 1.000
## Residual Std. Error 0.001 (df = 62) 0.001 (df = 67)
## F Statistic 1,882,457.000*** (df = 5; 62) 1,306,196.000*** (df = 3; 67)
## ========================================================================================
## Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01En el primero modelo (1) todos los rezagos resultaron significativos. La proporción de la elasticidad consumo hogar - consumo gobierno se mantiene 4:1. Sin embargo el consumo de los hogares y el del gobierno presentan signos negativos, lo que quiere decir que aumentar el consumo un años atrás disminuye el consumo actual. Esto puede ocurrir por las politicas monetarias con inflación objetivo que noo permite que los precios aumenten monotonamente y de manera consistente en la economía.
Como bien sabemos, uno de los factores que aumente la inflación es el aumento en la demanda. Por tanto, estos signos reflejarian el trabajo de la subida de la tasa de intervención propuesta por el Banco de la Republica cada cierto periodo en sus reuniones de Junta. Otro aspecto a resaltar es que el consumo total del año pasado es positivo y tendria una elasticidad de 0.78% relacionada con el consumo del año inmediatamente posterior. Por su parte, el modelo de Koyck arroja que todos los coeficientes son positivos y estadísticamente significativos y la relacion 4:1 de las elasticidades se cumple.
En cuanto a los problemas de autocorrelación, el primer modelo no arroja problemas de autocorrelación pero el modelo de koyck sí según la prueba Box-Ljung (Anexos). La prueba de cointegración de Phillips-Outliaris arroja que las series ln(consumo hogar) y ln(consumo gobierno) no están coointegradas apesar de tener una tendencia creciente de largo plazo.
Modelo de corrección de errores
A pesar de que el modelo elegido (1) no presenta problemas de autocorrelación y tampoco sus variables están cointegradas, vamos a aplicar el modelo de correción de errores incluyendoo más términos rezagados de la variables explicativas y de la respuesta.
##
## MCE
## =========================================================
## Dependent variable:
## ----------------------------
## `ln(consumo total)`
## ---------------------------------------------------------
## `ln(consumo hogar)` 0.798***
## (0.012)
##
## `ln(consumo gobierno)` 0.200***
## (0.006)
##
## L(`ln(consumo total)`, 1) -0.034
## (0.087)
##
## L(`ln(consumo hogar)`, 1) 0.019
## (0.072)
##
## L(`ln(consumo gobierno)`, 1) 0.019
## (0.017)
##
## L(`ln(consumo total)`, 4) 0.774***
## (0.140)
##
## L(`ln(consumo hogar)`, 4) -0.617***
## (0.111)
##
## L(`ln(consumo gobierno)`, 4) -0.158***
## (0.030)
##
## L(`ln(consumo hogar)`, 8) 0.061
## (0.110)
##
## L(`ln(consumo gobierno)`, 8) 0.015
## (0.028)
##
## L(`ln(consumo total)`, 8) -0.078
## (0.138)
##
## Constant 0.189***
## (0.066)
##
## ---------------------------------------------------------
## Observations 64
## R2 1.000
## Adjusted R2 1.000
## Residual Std. Error 0.001 (df = 52)
## F Statistic 705,124.800*** (df = 11; 52)
## =========================================================
## Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01En este modelo de correción de errores se observa que solo los rezagos significativos fueron los del modelo anteriormente elegido (1). Por lo tanto, el rezago de todas las variables explicativas un año atrás afecta el valor actual en el consumo total. No asi los rezagos de dos años atrás. No obstante, tampoco existe autocorrelación para este modelo, pues la prueba Ljung-Box no puede rechazar la hipótesis nula (Anexos). Tampoco se observa un comportamiento de autocorrelación en los rezagos de las funciones de autocorrelación total y parcial.
Multiplicadores de largo plazo
Los multiplicadores de largo plazo del modelo (1) que no contenia los problemas de autocorrelación y es bien comportado serían
## (Intercept)
## 0.127863
## `ln(consumo hogar)`
## 0.7951965
## `ln(consumo gobierno)`
## 0.2062015
## L(`ln(consumo gobierno)`, 4)
## -0.1538101
## L(`ln(consumo hogar)`, 4)
## -0.6141543
## L(`ln(consumo total)`, 4)
## 0.7663019De la segunda tabla donde se muestran los coeficientes del modelo (1) que surge de ADL, el equilibrio de largo plazo sería \(\lambda = (\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4)/(1-\beta_5)\). Y el de corto plazo sería \(\delta = \beta_0/(1-\beta_5)\)
## [1] 0.998868## [1] 0.5471289Por tanto, el equilibrio de largo plazo por tanto es \(lambda = 0.998868\). Y el equilibrio de corto plazo es \(\delta=0.5471289\).
La desviación respecto al equilibrio es \(\lambda - \delta = (0.998868-0.5471289)=0.4517391\).
Finalmente, se aplican los criterios de información AIC y BIC. El mejor seggún AIC y BIC lo presenta el modelo de corrección de errores MCE a pesar de que algunos coeficientes no resultaron significativos. Sin embargo, el modelo elegido por parsimonia y el cual tampoco contiene autocorrelación es el modelo (1). Por lo cual, finalmente despues de todo se elige este.
Anexos
Prueba Dickey-Fuller Aumentada para las variables en logaritmos.
##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: ln(consumo total)
## Dickey-Fuller = -2.4237, Lag order = 4, p-value = 0.4028
## alternative hypothesis: stationary##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: ln(consumo hogar)
## Dickey-Fuller = -2.3068, Lag order = 4, p-value = 0.4504
## alternative hypothesis: stationary##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: ln(consumo gobierno)
## Dickey-Fuller = -3.5663, Lag order = 4, p-value = 0.04252
## alternative hypothesis: stationaryPrueba Dickey-Fuller Aumentada para las variables en logaritmos con 2 diferencias.
## Warning in adf.test(diff(`ln(consumo total)`, differences = 2)): p-value smaller
## than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: diff(`ln(consumo total)`, differences = 2)
## Dickey-Fuller = -5.4756, Lag order = 4, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary## Warning in adf.test(diff(`ln(consumo hogar)`, differences = 2)): p-value smaller
## than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: diff(`ln(consumo hogar)`, differences = 2)
## Dickey-Fuller = -4.916, Lag order = 4, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary## Warning in adf.test(diff(`ln(consumo gobierno)`, differences = 2)): p-value
## smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: diff(`ln(consumo gobierno)`, differences = 2)
## Dickey-Fuller = -5.7398, Lag order = 4, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationaryGrafica de las segundas diferencias de las variables en logaritmos
Prueba de Wu-Hausman (Para consumo hogar)
##
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 2000(2), End = 2017(4)
##
## Call:
## dynlm(formula = L(`ln(consumo hogar)`) ~ `ln(consumo total)` +
## L(`ln(consumo total)`))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.011783 -0.004487 -0.001001 0.003884 0.013290
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.27738 0.03732 7.433 2.34e-10 ***
## `ln(consumo total)` 0.23796 0.10269 2.317 0.0235 *
## L(`ln(consumo total)`) 0.71754 0.10277 6.982 1.53e-09 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.005926 on 68 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9992, Adjusted R-squared: 0.9992
## F-statistic: 4.2e+04 on 2 and 68 DF, p-value: < 2.2e-16##
## t test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.387905 0.029830 13.0039 < 2.2e-16 ***
## `ln(consumo total)` 1.275332 0.074207 17.1861 < 2.2e-16 ***
## L(`ln(consumo hogar)`) -0.336331 0.077720 -4.3275 5.146e-05 ***
## resid(Et1) 1.192621 0.101835 11.7114 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## Wald test
##
## Model 1: `ln(consumo hogar)` ~ `ln(consumo total)` + L(`ln(consumo hogar)`) +
## resid(Et1)
## Model 2: `ln(consumo hogar)` ~ `ln(consumo total)` + L(`ln(consumo hogar)`)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 67
## 2 68 -1 137.16 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Prueba de Wu-Hausman (Para consumo gobierno)
##
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 2000(2), End = 2017(4)
##
## Call:
## dynlm(formula = L(`ln(consumo gobierno)`) ~ `ln(consumo total)` +
## L(`ln(consumo total)`))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.051043 -0.016677 0.004493 0.015577 0.040103
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.4628 0.1407 -24.617 < 2e-16 ***
## `ln(consumo total)` -0.8402 0.3871 -2.171 0.0334 *
## L(`ln(consumo total)`) 2.0047 0.3874 5.175 2.19e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.02234 on 68 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9923, Adjusted R-squared: 0.9921
## F-statistic: 4390 on 2 and 68 DF, p-value: < 2.2e-16##
## t test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -2.02978 0.40667 -4.9913 4.525e-06 ***
## `ln(consumo total)` 0.66707 0.13419 4.9710 4.884e-06 ***
## L(`ln(consumo gobierno)`) 0.43197 0.11533 3.7456 0.0003766 ***
## resid(Et1) 0.38926 0.13616 2.8589 0.0056607 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## Wald test
##
## Model 1: `ln(consumo gobierno)` ~ `ln(consumo total)` + L(`ln(consumo gobierno)`) +
## resid(Et1)
## Model 2: `ln(consumo gobierno)` ~ `ln(consumo total)` + L(`ln(consumo gobierno)`)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 67
## 2 68 -1 8.1734 0.005661 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Análisis de residuales
Pruebas de no autocorrelación
##
## Box-Ljung test
##
## data: residuals(modelo_solved)
## X-squared = 132.69, df = 20, p-value < 2.2e-16## lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
## 1 -0.1221872 2.195596 0.574
## Alternative hypothesis: rho != 0##
## Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 3
##
## data: modelo_solved
## LM test = 10.738, df = 3, p-value = 0.01323##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: residuals(modelo_solved)
## Dickey-Fuller = -1.9377, Lag order = 4, p-value = 0.6006
## alternative hypothesis: stationary## Warning in pp.test(residuals(modelo_solved)): p-value smaller than printed p-
## value##
## Phillips-Perron Unit Root Test
##
## data: residuals(modelo_solved)
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -65.173, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.01
## alternative hypothesis: stationary## Warning in kpss.test(residuals(modelo_solved)): p-value greater than printed p-
## value##
## KPSS Test for Level Stationarity
##
## data: residuals(modelo_solved)
## KPSS Level = 0.16426, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.1Número de rezagos óptimos
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.3538 0.1435 2.4651 0.0172
## L(`ln(consumo hogar)`, 0:5)0 0.8028 0.0117 68.8182 0.0000
## L(`ln(consumo hogar)`, 0:5)1 0.1530 0.1109 1.3801 0.1738
## L(`ln(consumo hogar)`, 0:5)2 0.0890 0.0791 1.1247 0.2662
## L(`ln(consumo hogar)`, 0:5)3 0.0749 0.0791 0.9464 0.3486
## L(`ln(consumo hogar)`, 0:5)4 -0.5393 0.0770 -7.0019 0.0000
## L(`ln(consumo hogar)`, 0:5)5 -0.0796 0.1045 -0.7620 0.4497
## L(`ln(consumo gobierno)`, 0:5)0 0.2003 0.0057 35.2401 0.0000
## L(`ln(consumo gobierno)`, 0:5)1 0.0491 0.0279 1.7621 0.0843
## L(`ln(consumo gobierno)`, 0:5)2 0.0336 0.0190 1.7636 0.0840
## L(`ln(consumo gobierno)`, 0:5)3 0.0173 0.0193 0.8932 0.3761
## L(`ln(consumo gobierno)`, 0:5)4 -0.1408 0.0197 -7.1596 0.0000
## L(`ln(consumo gobierno)`, 0:5)5 -0.0168 0.0271 -0.6211 0.5374
## L(`ln(consumo total)`, 1:5)1 -0.2130 0.1384 -1.5387 0.1303
## L(`ln(consumo total)`, 1:5)2 -0.1256 0.0967 -1.2994 0.1999
## L(`ln(consumo total)`, 1:5)3 -0.0697 0.0978 -0.7123 0.4797
## L(`ln(consumo total)`, 1:5)4 0.6849 0.0975 7.0233 0.0000
## L(`ln(consumo total)`, 1:5)5 0.0789 0.1299 0.6074 0.5464Tendencia creciente de largo plazo entre las variables
Autocorrelación ADL
##
## Box-Ljung test
##
## data: resid.Koy
## X-squared = 131.25, df = 20, p-value < 2.2e-16##
## Box-Ljung test
##
## data: residuals(dynlm1)
## X-squared = 16.29, df = 20, p-value = 0.6985Prueba de cointegración ln(consumo hogar) - ln(consumo gobierno)
## Warning in po.test(bfx): p-value greater than printed p-value##
## Phillips-Ouliaris Cointegration Test
##
## data: bfx
## Phillips-Ouliaris demeaned = -10.942, Truncation lag parameter = 0,
## p-value = 0.15Prueba de cointegración ln(consumo total) - ln(consumo gobierno)
## Warning in po.test(bfx): p-value greater than printed p-value##
## Phillips-Ouliaris Cointegration Test
##
## data: bfx
## Phillips-Ouliaris demeaned = -11.977, Truncation lag parameter = 0,
## p-value = 0.15Prueba de cointegración ln(consumo total) - ln(consumo hogar)
## Warning in po.test(bfx): p-value greater than printed p-value##
## Phillips-Ouliaris Cointegration Test
##
## data: bfx
## Phillips-Ouliaris demeaned = -9.4372, Truncation lag parameter = 0,
## p-value = 0.15Prueba autocorrelación para modelo de corrección de errores
##
## Box-Ljung test
##
## data: resid.MCE
## X-squared = 22.62, df = 20, p-value = 0.3078
