Series de Tiempo Univariadas - ARMA (Parte Práctica)

Simulaciones

b) Simule y grafique sólo una realización del proceso \(Z_t\) para 30 pasos en el tiempo con \(\omega\) = \(\pi\) y \(\sigma\) = 1.

c) En relación a efectuar pronósticos con el modelo (31), ¿Qué se puede decir sobre los valores a futuro si se conoce parte de la historia de una realización?

El proceso \(Z_t\) es estacionario, por tanto puede esperarse que al efectuar pronósticos con el modelo (31) siga el mismo comportamiento dado. Es decir, que para valores a futuro siga el mismo patrón. Además, vale notar igualmente que las funciones Seno y Coseno son funciones de comportamiento cíclico, así que ésto indica que a través del tiempo el modelo continúe con la misma oscilación, así que, para los valores futuros conociendo parte de la historia de dicha realización, el comportamiento seguiría igual.

Modelos MA(3) y AR(3)

3. Considere los modelos \(MA(3)\) y \(AR(3)\) siguientes:

  • \(Z_t =\) \(\alpha_t\) + 0.97\(\alpha_{t-1}\) - 0.12\(\alpha_{t-2}\) - 0.5\(\alpha_{t-3}\),

  • \(Z_t =\) 0.97\(Z_{t-1}\) - 0.12\(Z_{t-2}\) - 0.5\(Z_{t-3}\) + \(\alpha_t\)

a) Realice una simulación de una sóla realización o trayectoria, cada proceso para 100 pasos en el tiempo y grafíquela.

Correlogramas

b) Incluya los gráficos de los correlogramas muestrales basados en las trayectorias del paso anterior para ambos procesos.

Gráficos de Dispersión para Modelos AR(3) y MA(3)

c) Con los valores obtenidos en las simulaciones realice 4 gráficos de dispersión para cada modelo.

  • \(Z_t\) vs \(Z_{t-1}\)

  • \(Z_t\) vs \(Z_{t-2}\)

  • \(Z_t\) vs \(Z_{t-3}\)

  • \(Z_t\) vs \(Z_{t-4}\)

Gráficos de Dispersión para Modelo AR(3)

Gráficos de Dispersión para Modelo MA(3)

¿Cuál es la principal diferencia entre los diagramas de dispersión entre los 2 procesos?

La principal diferencia que se observa es que las observaciones de los diagramas de dispersión del modelo MA(3) se encuentran en un rango más amplio, en comparación con las observaciones mostradas del modelo AR(3). También visualmente se aprecia más dispersión (nubes de datos sin alguna tendencia) en las gráficas de \(Z_t\) vs \(Z_{t-2}\) y \(Z_t\) vs \(Z_{t-3}\) del Modelo AR(3), que en las correspondientes \(Z_t\) vs \(Z_{t-2}\) y \(Z_t\) vs \(Z_{t-3}\) del Modelo MA(3). Sin embargo, para ambos modelos en \(Z_t\) vs \(Z_{t-1}\) se nota una relación lineal positiva, e igualmente se aprecia en \(Z_t\) vs \(Z_{t-4}\) una relación lineal negativa, para ambos modelos AR(3) y MA(3).

Bibliografía

  • Abraham y Lodolter. (2005). Statistical Methods for Forecasting.

  • Box y Jenkins. (1986). Time Series Analysis: Forecasting and Control.

  • Breitung, Brüggemann, Herwartz, Krätzig, Lütkepohl, Terärsvirta, Tschernig. (2004). Applied Time Series Econometrics, Editado por Lütkepohl y Krätzig.

  • Brockwell y Davis. (1996). Introduction to Time Series and Forecasting.

  • Castaño, E. (s.f.). Análisis de Series de Tiempo Lineales.

  • Enders, W. (2004). Applied Econometric Time Series.

  • Gómez, C. (2021). Series de Tiempo Univariadas. Material de clase STU presencial: semestre 2021-II.

  • Guerrero, V. (2003). Análisis Estadístico de Series de Tiempo Económicas.

  • Liu (2005). Time Series Analysis and Forecasting.

  • Maddala y Kim. (2000). Unit roots, Cointegration and Structural Changes.

  • Pascual, Romo y Ruiz. (2004). Bootstrap prediction intervals for power-transformed time series.

  • Wei, W. (2005). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.