Os dados de palmerpenguins contém medidas de tamanho para três espécies de pinguins observadas em três ilhas no Arquipélago Palmer, na Antártida. Esses dados foram coletados de 2007 a 2009 pela Dra. Kristen Gorman com o Palmer Station Long Term Ecological Research Program[1], parte da US Long Term Ecological Research Network[2].

[1] Palmer Station, Antarctica LTER. Página web. http://https://pal.lternet.edu. Acessado: 01-02-2022.

[2] US Long Term Ecological Research Network. Página web. http://https://https://lternet.edu/ Acessado: 01-02-2022

O presente trabalho se propõe a investigar quais variáveis podem melhor explicar o comprimento do bico de pinguins da espécie Gentoo no arquipélago Palmer.

Ao decorrer do processo foi preciso ajustar diversos modelos de regressão linear múltipla até escolher o modelo mais adequado aos dados e que respeita as suposições de normalidade, homocedasticidade e independência dos erros, além de linearidade entre as variáveis.

Segundo os principais estudos sobre os pinguins da ilha Palmer, a variável sexo possui forte relação com o tamanho do comprimento do bico de todos os pinguins da ilha palmer, mas a espécia Gentoo em especial possui o coeficiente mais influente para essa variável em alguns dos modelos propostos[3] e por conta disso supomos razoável incluir a variável no ajuste final.

[3] GORMAN, Kristen B.; WILLIAMS, Tony D.; FRASER, William R. Ecological sexual dimorphism and environmental variability within a community of Antarctic penguins (genus Pygoscelis). PloS one, v. 9, n. 3, p. e90081, 2014.

Como a maioria dos modelos dos artigos de referência são modelos lineares generalizados[4], nossa técnica de encontrar o melhor modelo foi falha.

[4] GORMAN, Kristen; LTER, Palmer Station Antarctica. Structural size measurements and isotopic signatures of foraging among adult male and female Gentoo penguins (Pygoscelis papua) nesting along the Palmer Archipelago near Palmer Station, 2007-2009. 2014.

• sex: Sexo do Pinguim. (variável binária)
• year: Ano de coleta do dado. (variável qualitativa)
• island: Ilha de origem do pinguim. (variável qualitativa)
• species: Espécie do pinguim.(variável qualitativa)
• bill_depth_mm: Profundidade do bico do pinguim em milímetros.(variável quantitativa contínua)
• flipper_length_mm: Comprimento da nadadeira do Pinguim em milímetros. (variável quantitativa contínua)
• body_mass_g: Massa corporal em gramas do pinguim.

• bill_length_mm: Comprimento do bico do pinguim em milímetros. (variável quantitativa contínua)

Existem 11 linhas com valores faltantes no dataset. Para não prejudicar o experimento, retiramos todas as linhas em que pelo menos uma coluna não tenha um dado. Também filtramos os dados para apenas selecionar a espécie Gentoo.

Em seguida verificamos se havia algum valor discrepante na amostra para as variáveis numéricas por meio de box plots.

Testamos um novo modelo retirando o valor discrepante usando o teste de Grubbs para identificá-lo(\(Ho\): O valor mais alto do dataset não é discrepante).

Transformando a variável sexo em numérica

Para poder realizar operações com a variável sexo, escolhemos “feminino” como categoria de referência e transformamos a coluna em numérica.

One-hot encoding das variáveis categóricas

Criamos 3 variáveis indicadoras para a variável categórica ilha.

Usamos inicialmente o método de “todos os modelos possíveis” para escolher o melhor modelo. Avaliamos as métricas \(R^2\), \(R^2\) ajustado, estatística PRESS e informação de Akaike(AIC).

Escolhemos os seguintes critérios para tornar automática a comparação entre modelos:

• Diferença entre o \(R^2\) do modelo mais simples e do mais completo menor que 0.05,

• \(R^2\) do modelo mais recente for maior que o modelo antigo em 0.09.

• AIC do modelo antigo maior que do modelo novo.

• Estatística PRESS do modelo antigo maior que do modelo novo.

Se TODOS os critérios acima são respeitados, o modelo novo é escolhido.

Como os modelos dos artigos de referência são modelos lineares generalizados, nossa técnica de encontrar o melhor modelo linear foi falha. Usamos o método de todos os modelos possíveis, mas chegamos à conclusão de que o modelo não reforçava o que diz a literatura e não respeitava as suposições de um modelo linear.

Optamos por modelos baseados nas variáveis mais presentes na literatura e manualmente testar a violação de suposições através da análise de resíduos e realizar a comparação entre modelos reduzidos com o modelo completo por meio do teste F-parcial. Também analisamos valores influentes por meio das DFBETAS, que não ultrapassaram o limiar \(\frac{2}{\sqrt{118}}\) para nenhuma variável do modelo. Logo não foi preciso se preocupar com valores influentes alterando o ajuste do modelo. É seguro também afirmar que não houve problemas de colinearidade no modelo, pois calculamos os fatores de inflação de variância para cada variável e todos foram baixos. No fim foi necessária uma transformação da variável resposta para que o ajuste fosse ideal.

Descobrimos que o modelo que inclui as variaveis massa corporal em grama, sexo e comprimento da nadadeira, é o que melhor se ajusta aos dados com um \(R^2\) = 0,4919, que é razoavelmente bom para sugerir uma boa qualidade do ajuste do modelo que tem como variável resposta o logaritmo natural do comprimento do bico do penguim.

\[log(Y) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \beta_3X_3 + \epsilon\] Onde Y corresponde ao comprimento do bico em milímetros, \(X_1\) massa corporal em gramas, \(X_2\) sexo, \(X_3\) tamanho da nadadeira em milímetros e \(\epsilon\) os resíduos.

## 
## Call:
## lm(formula = log(dados$bill_length_mm) ~ dados$body_mass_g + 
##     dados$sex + dados$flipper_length_mm)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.109955 -0.027128  0.000716  0.025198  0.103189 
## 
## Coefficients:
##                           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)              3.069e+00  1.825e-01  16.819  < 2e-16 ***
## dados$body_mass_g        3.020e-05  1.455e-05   2.076  0.04016 *  
## dados$sex               -2.871e-02  1.380e-02  -2.081  0.03966 *  
## dados$flipper_length_mm  2.992e-03  8.849e-04   3.381  0.00099 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.04296 on 114 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5195, Adjusted R-squared:  0.5069 
## F-statistic: 41.09 on 3 and 114 DF,  p-value: < 2.2e-16

Considerando as hipóteses das variáveis explicativas serem ou não significativas, de acordo com os p-valores, ao nível de significância de 5%, temos evidências para rejeitar que as variáveis explicativas e o intercepto são não significativos.

Pela a hipótese da significância do modelo, o p-valor calculado a partir da estatística F mostra que ao nível de significância de 5%, temos evidências para rejeitar que o modelo é não significativo.

O \(R^2\) mostra que conseguimos explicar por volta de 47% dos erros do modelo, o que para este presente trabalho é satisfatório para contribuir na sustentação de nossa hipótese inicial de que há uma relação linear entre as variáveis explicativas e a variável resposta.

• Intercepto: Em média, o logaritmo do comprimento do bico é de 3.069 mm.

• Massa corporal em gramas: a cada grama, o logaritmo do comprimento do bico do Gentoo aumenta a uma taxa de 0,00003 mm.

• Sexo: Como fêmeas compoem a referência da variável, o coeficiente indica que o logaritmo do bico das fêmeas é menor em comprimento em -0,02871 mm.

• Comprimento da nadadeira: A cada milímetro da nadadeira o logaritmo do bico do pinguim Gentoo aumenta em 0,002992 mm.

Com o modelo ajustado, prosseguimos para verificar as suposições do modelo com gráficos e testes.

Observando o gráfico dos resíduos, é possível notar que os resíduos não aparentam seguir um padrão.

Observando o histograma, podemos ver que os resíduos aparentam seguir uma distribuição normal.

Usamos o teste de falta de ajuste para verificar a linearidade entre as variáveis resposta e explicativas. A conclusão foi que não há evidências ao nível de 5% de significância para rejeitar a hipótese nula de que o modelo mais simples é adequado aos dados.

## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: log(dados$bill_length_mm) ~ dados$body_mass_g + dados$sex + dados$flipper_length_mm
## Model 2: log(dados$bill_length_mm) ~ species_Adelie + species_Chinstrap + 
##     species_Gentoo + island_Biscoe + island_Dream + island_Torgersen + 
##     bill_depth_mm + flipper_length_mm + body_mass_g + sex
##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F  Pr(>F)  
## 1    114 0.21040                              
## 2    113 0.20539  1 0.0050066 2.7544 0.09976 .
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Temos informações sobre a sequência de coleta dos dados, portanto usaremos o teste de Durbin-Watson para verificar independência entre os erros, onde a hipótese nula é de que os erros não são autocorrelacionados entre si. Como o p-valor da estatística de teste é maior que 0.05, ao nível de significância de 5% não há evidências para rejeitar a hipótese nula, e assim, o modelo respeita mais uma suposição.

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1       0.0722902      1.845033   0.422
##  Alternative hypothesis: rho != 0

Observando a tabela com os DFBETAS é possível perceber que não há nenhum valor que ultrapasse o limiar \(\frac{2}{\sqrt{118}}\), logo não há de se preocupar com valores influentes alterando o ajuste do modelo.

Como os fatores de aumento de variância não são muito altos é seguro afirmar que não temos problemas graves de multicolinearidade seguindo essse modelo.

##       dados$body_mass_g               dados$sex dados$flipper_length_mm 
##                  3.2975                  3.0416                  2.1016

O modelo final apresentou com \(R^2\) = 0,4919 um ajuste satisfatório e nos indica uma relação logarítmica entre o comprimento do bico do pinguim Gentoo em milímetros e as variaveis sexo, comprimento da nadadeira em milímetros e massa corporal em gramas. Porém, com base nas referências acreditamos ser possível ajustar um modelo linear generalizado com performance significativamente superior ao proposto nesse presente trabalho.