Übungen zu Korrelation
Lukas Stammler
2022-05-10
Technische Vorbemerkung
- Die Übungen sind für die Arbeit mit jamovi [1] angelegt, können aber mit
jeder anderen Statistiksoftware bearbeitet werden.
- Die Datensätze für alle Übungen können hier
als zip-Datei heruntergeladen werden. Es wird empfohlen, alle Datensätze
im gleichen Ordner abzulegen.
- Die Datensätze liegen im
.csv-Format vor (header = TRUE, sep = “,”, dec = “.”) und können direkt in jamovi geöffnet werden. Es wird empfohlen, nach der Kategorisierung der Variablen in jamovi, die Datei im jamovi-Format.omvzu speichern.
[1] The jamovi project (2021). jamovi (Version 1.6) [Computer Software]. Retrieved from https://www.jamovi.org
Übung 1
Aufgabe
Entscheide für jede der 6 Grafiken, ob ein starker, moderater oder schwacher Zusammenhang zwischen den Variablen besteht und ob ein lineares Modell gültig ist.
Lösung
- starker Zusammenhang, nicht linear
- starker Zusammenhang, nicht linear
- starker positiver linearer Zusammenhang (r = 0.955)
- schwacher positiver linearer Zusammenhang (r = 0.275)
- schwacher negativer linearer Zusammenhang (r = -0.568)
- moderater bis starker negativer linearer Zusammenhang (r = -0.718)
Übung 2
Aufgabe
Das Great Britain Office of Population Census and Surveys sammelte einst Daten aus einer Zufallsstichprobe von verheirateten Paaren. Erfragt wurden Alter und Körpergrösse von Ehegattin und Ehegatten.
- Beschreibe die Beziehung zwischen dem Alter von Ehegattin und
Ehegatten.
- Beschreibe die Beziehung zwischen der Körpergrösse von Ehegattin und
Ehegatten.
- Welche Grafik zeigt eine stärkere Korrelation? Begründe deine Antwort.
Lösung
- Der Zusammenhang zwischen dem Alter von Mann und Frau ist stark,
positiv und linear.
- Der Zusammenhang zwischen der Körpergrösse von Mann und Frau ist
schwach aber positiv.
- Alter zwischen den Ehepartnern korreliert stärker (r = 0.939) als
Körpergrösse (r = 0.306). Die Punkte im Altersplot streuen weniger um
eine gedachte Gerade als die Punkte im Plot zur Körpergrösse.
Übung 3
Aufgabe
Welcher Korrelationskoeffizient nach Pearson passt zu welcher Grafik?
- r = -0.7
- r = 0.45
- r = 0.06
- r = 0.92
Lösung
Plot a) r = 0.06, nicht linear
Plot b) r = 0.92, stark positiv linear
Plot c) r = 0.45, moderat positiv linear
Plot d) r = -0.7, moderat negativ linear
Übung 4
Besteht ein Zusammenhang zwischen Körpergrösse und Schuhgrösse bei
den Physiotherapie-Studierenden. Arbeiten Sie mit dem Datensatz
physio.csv bzw. physio.omv, den Sie bereits
früher erstellt haben.
Aufgabe
- Laden Sie den Datensatz
physio.csvbzw.physio.omvin jamovi.
- Formulieren Sie Ihre Hypothesen.
- Beschreiben Sie die interessierenden Variablen deskriptiv inkl.
Grafik
- Führen Sie eine Korrelationsanalyse durch.
- Interpretieren Sie ihr Resultat.
Lösung
- Formulieren Sie Ihre Hypothesen.
- \(H_0\): Es besteht kein
Zusammenhang zwischen Schuhgrösse und Körpergrösse.
- \(H_A\): Es besteht ein
Zusammenhang zwischen Schuhgrösse und Körpergrösse.
- Beschreiben Sie die interessierenden Variablen deskriptiv inkl.
Grafik (verwenden Sie für die Grafik das jamovi-Modul
scatr).
##
## DESCRIPTIVES
##
## Descriptives
## --------------------------------------------------
## Groesse Schuhgroesse
## --------------------------------------------------
## N 228 228
## Missing 0 0
## Mean 169.4781 39.27193
## Median 168.0000 39.00000
## Standard deviation 7.764397 2.448717
## Minimum 148.0000 35.00000
## Maximum 198.0000 48.00000
## --------------------------------------------------## Warning in max(nchar(levels)): kein nicht-fehlendes Argument für max; gebe -Inf
## zurück
- Führen Sie eine Korrelationsanalyse durch.
Wählen Sie in jamovi unter dem Register Regression >
Correlation Matrix
- Interpretieren Sie ihr Resultat.
Geprüft wurde der Zusammenhang zwischen Körpergrösse und
Schuhgrösse. Die Korrelationsanalyse ergab einen positiven Zusammenhang
zwischen Körpergrösse und Schuhgrösse, \(p\) = .85 [.8152, .8861], p <
.0001.
Übung 5
Um Zusammenhänge richtig zu interpretieren ist es wichtig, stets die
Grafiken anzuschauen. Um dies zu verdeutlichen analysieren wir den
Datensatz anscombe.csv. Dieser besteht aus 4
x-y-Kombinationen (x1-y1, x2-y2 etc) die alle die gleichen statistischen
Merkmale (Mittelwert, Standardabweichung, Korrelationskoeffizient nach
Pearson etc. aufweisen) und trotzdem völlig unterschiedlich sind.
Laden Sie den Datensatz anscombe.csv hier
herunter.
Aufgabe
- Laden Sie den Datensatz
anscombe.csvin jamovi. Sie müssen die x-Variablen in jamovi als continuous kategorisieren.
- Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung für jede Variable.
Was fällt Ihnen auf?
- Berechnen Sie die Korrelationskoeffizienten nach Pearson \(p\) für die 4 x-y-Paare.
- Erstellen Sie für jedes x-y-Paar eine Grafik.
Lösung
- Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung für jede Variable. Was fällt Ihnen auf?
##
## DESCRIPTIVES
##
## Descriptives
## ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4
## ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## N 11 11 11 11 11 11 11 11
## Mean 9.000000 9.000000 9.000000 9.000000 7.500909 7.500909 7.500000 7.500909
## Standard deviation 3.316625 3.316625 3.316625 3.316625 2.031568 2.031657 2.030424 2.030579
## ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x-Variablen haben alle den gleichen Mittelwert 9 und die gleiche
Standardabweichung 3.32.
- y-Variablen haben alle den gleichen Mittelwert 7.5 und die gleiche
Standardabweichung 2.03
- Berechnen Sie die Korrelationskoeffizienten nach Pearson für die vier x-y-Paare.
- Erstellen Sie eine Korrelationsmatrix mit allen x- und y-Variablen. Lesen Sie den Korrelationskoeffizienten bei den zusammengehörenden Paaren x1-y1, x2-y2, x3-y3 und x4-y4
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4
## ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## x1 —
## x2 1.0000000 —
## x3 1.0000000 1.0000000 —
## x4 -0.5000000 -0.5000000 -0.5000000 —
## y1 0.8164205 0.8164205 0.8164205 -0.5290927 —
## y2 0.8162365 0.8162365 0.8162365 -0.7184365 0.7500054 —
## y3 0.8162867 0.8162867 0.8162867 -0.3446610 0.4687167 0.5879193 —
## y4 -0.3140467 -0.3140467 -0.3140467 0.8165214 -0.4891162 -0.4780949 -0.1554718 —
## ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| Paar | \(r\) |
|---|---|
| x1-y1 | .8164 |
| x2-y2 | .8162 |
| x3-y3 | .8163 |
| x4-y4 | .8165 |
- Bis auf die 3. Stelle nach dem Komma sind alle
Korrelationskoeffizienten gleich und weisen auf einen starken
Zusammenhang hin.
- Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman für das Paar x3-y3 ist
\(r_S = 0.991\). Haben Sie eine
Erklärung dafür?
- Erstellen Sie für jedes x-y-Paar eine Grafik.
- Das erste Datenpaar entspricht recht gut einem linearen
Zusammenhang.
- Das zweite Datenpaar zeigt keinen linearen Zusammenhang.
- Das dritte Datenpaar zeigt einen Ausreisser, der nicht mit einem
linearen Modell vereinbar ist.
- Das vierte Datenpaar zeigt ebenfalls einen Ausreisser, der nicht mit einem linearen Modell vereinbar ist.
Übung 6
Wir arbeiten mit dem Datensatz calories5000.csv Laden
Sie den Datensatz calories5000.csv hier
herunter.
Der Datensatz umfasst n = 5’000 Probanden.
| Variable | Beschreibung |
|---|---|
| User_ID | Benutzer anonym |
| Gender | Geschlecht, male, female |
| Age | Alter in Jahren |
| Height | Körpergrösse in cm |
| Weight | Körpergewicht in kg |
| Duration | Durchschnittliche Trainingsdauer |
| Heart_Rate | Durchschnittliche Herzfrequenz während einem Training |
| Body_Temp | Durchschnittliche Körpertemperatur während einem Training |
| Calories | Durchschnittlicher Kalorienverbrauch pro Training |
Aufgabe
Laden Sie den Datensatz
calories5000.csvin jamovi und kategorisieren Sie die Variablen. Speichern Sie den Datensatz alscalories5000.omv, wir benötigen ihn wieder bei den Regressionsanalysen.Finden Sie einen linearen Zusammenhang zwischen
- Herzfrequenz und Kalorienverbrauch?
- Körpertemperatur und Kalorienverbrauch?
- Herzfrequenz und Körpertemperatur?
- Alter und Trainingsdauer?
- Herzfrequenz und Kalorienverbrauch?
- Vermutlich besteht ein starker Zusammenhang zwischen der
Trainingsintensität und dem Kalorienverbrauch. Können Sie mit aus den
gegebenen Variablen eine neue, abgeleitete Variable für
Trainingsintensität berechnen?
Lösung
- Finden Sie einen linearen Zusammenhang zwischen
- Herzfrequenz und Kalorienverbrauch?
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## -----------------------------------------------------------
## Heart_Rate Calories
## -----------------------------------------------------------
## Heart_Rate Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
## Spearman's rho —
## p-value —
##
## Calories Pearson's r 0.8976648 —
## p-value < .0000001 —
## 95% CI Upper 0.9029171 —
## 95% CI Lower 0.8921444 —
## Spearman's rho 0.9169651 —
## p-value < .0000001 —
## -----------------------------------------------------------Es besteht ein signifikanter positiver Zusammenhang zwischen Herzfrequenz und Kalorienverbrauch, \(r\) = 0.898, \(r_s\) = 0.916, p < .0001. Auf Grund der Grafik ist ein vollkommen linearer Zusammenhang unsicher. Für \(r\) ist ein linearer Zusammenhang voraussetzung, deshalb entscheiden wir uns für den \(r_s\).
- Körpertemperatur und Kalorienverbrauch?
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## ----------------------------------------------------------
## Body_Temp Calories
## ----------------------------------------------------------
## Body_Temp Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
## Spearman's rho —
## p-value —
##
## Calories Pearson's r 0.8235807 —
## p-value < .0000001 —
## 95% CI Upper 0.8322993 —
## 95% CI Lower 0.8144546 —
## Spearman's rho 0.9185212 —
## p-value < .0000001 —
## ----------------------------------------------------------Es besteht ein signifikanter positiver Zusammenhang zwischen Körpertemperatur und Kalorienverbrauch, \(r\) = 0.82, \(r_s\) = 0.92, p < .0001. Der Zusammenhang ist eindeutig nicht linear und wir entscheiden uns für \(r_s\).
- Herzfrequenz und Körpertemperatur?
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## -----------------------------------------------------------
## Heart_Rate Body_Temp
## -----------------------------------------------------------
## Heart_Rate Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
## Spearman's rho —
## p-value —
##
## Body_Temp Pearson's r 0.7759284 —
## p-value < .0000001 —
## 95% CI Upper 0.7867266 —
## 95% CI Lower 0.7646554 —
## Spearman's rho 0.8144434 —
## p-value < .0000001 —
## -----------------------------------------------------------Es besteht ein signifikanter positiver Zusammenhang zwischen Körpertemperatur und Herzfrequenz, \(r\) = .77, \(r_s\) = .81, p < .0001. Der Zusammenhang ist eindeutig nicht linear und wir entscheiden uns für \(r_s\).
- Alter und Trainingsdauer?
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## --------------------------------------------------------
## Age Duration
## --------------------------------------------------------
## Age Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
## Spearman's rho —
## p-value —
##
## Duration Pearson's r 0.0366568 —
## p-value 0.0095350 —
## 95% CI Upper 0.0643108 —
## 95% CI Lower 0.0089466 —
## Spearman's rho 0.0346048 —
## p-value 0.0144030 —
## --------------------------------------------------------Es besteht kein Zusammenhang zwischen Alter und Trainingsdauer, \(r\) = .04, p = .0095; \(r_s\) = .03, p = .0144. Die signifikanten p-Werte sind etwas irritierend ;)
- Vermutlich besteht ein starker Zusammenhang zwischen der Trainingsintensität und dem Kalorienverbrauch. Können Sie mit aus den gegebenen Variablen eine neue, abgeleitete Variable für Trainingsintensität berechnen?
- Erstellen Sie in jamovi > Data eine abgeleitete Variable
Intensity = Heart_Rate * Duration
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## ----------------------------------------------------------
## Calories Intensity
## ----------------------------------------------------------
## Calories Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
## Spearman's rho —
## p-value —
##
## Intensity Pearson's r 0.9743146 —
## p-value < .0000001 —
## 95% CI Upper 0.9756833 —
## 95% CI Lower 0.9728699 —
## Spearman's rho 0.9849117 —
## p-value < .0000001 —
## ----------------------------------------------------------Es besteht ein signifikanter, linearer und postiver Zusammenhang zwischen Trainingsintensität und Kalorienverbrauch. Mit \(r\) = 0.9743 [0.9729, 0.9754], p < .0001 ist der Zusammenhang stark.
Übung 7
Fragestellung: Besteht ein Zusammenhang zwischen dem Alter einer Person und ihrer Performance beim 100-Meter-Sprint. Um die Frage zu beantworten, messen wir von 6 Personen das Alter in Jahren, und die Zeit für 100 Meter in Sekunden.
Aufgabe
- Laden Sie den Datensatz
m100.csvin jamovi.
- Formulieren Sie Ihre Hypothesen.
- Erstellen Sie ein Streudiagramm und führen Sie eine
Korrelationsanalyse durch.
- Interpretieren Sie ihr Resultat.
Lösung
- Formulieren Sie Ihre Hypothesen.
- \(H_0\): Es besteht kein
Zusammenhang zwischen dem Alter und Zeit für den 100-Meter-Sprint.
- \(H_A\): Es besteht ein Zusammenhang zwischen dem Alter und Zeit für den 100-Meter-Sprint.
- Erstellen Sie ein Streudiagramm und führen Sie eine Korrelationsanalyse durch.
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## -----------------------------------------------------
## jahre sec
## -----------------------------------------------------
## jahre Pearson's r —
## p-value —
## Spearman's rho —
## p-value —
##
## sec Pearson's r 0.7301807 —
## p-value 0.0993819 —
## Spearman's rho 0.8285714 —
## p-value 0.0583333 —
## ------------------------------------------------------ Interpretieren Sie ihr Resultat.
Die Daten zeigen keinen signifikanten Zusammenhang zwischen
Alter und Laufzeit \((r = 0.730, p =
0.099)\). Aus dem Streudiagramm geht nicht eindeutig hervor ob
der Zusammenhang zwischen Alter und Laufzeit linear ist. Die Messung der
Laufzeit beim jüngsten Läufer ist vermutlich ein Ausreisser. Auch die
Berechnung des Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman ergibt keinen
signifikanten Zusammenhang zwischen Alter und Laufzeit \((r_s = 0.829, p = 0.058)\).
Übung 8
Hier ein Beispiel dafür, dass man mit Korrelationen jeden Unsinn “beweisen” kann.
2020 publizierte Pavlo Blavatskyy eine Studie, in der der Zusammenhang des BMI der Minister von 15 Postsowjet-Staaten und dem Korruptionslevel untersucht wurde. Er ermittelte mit Hilfe von Machine-Learning-Algorithmen anhand von Fotografien der Minister deren BMI und verglich diesen mit 5 Korruptionsindizes [@corruption]. 2021 wurde Blavatskyy der Ig-Nobelpreis wikipedia für diese Publikation verliehen Improbable Research.
Für diese Aufgabe wird nur der Korruptionsindex CPI von Transparancy International berücksichtigt (die anderen 4 stehen im Datensatz für eigene Analysen zur Verfügung). Der CPI 2020 umfasst 180 Länder, die auf einer Skala von 0 (hohes Maß an wahrgenommener Korruption) bis 100 (keine wahrgenommene Korruption) angeordnet werden. Weltweit erreichen mehr als zwei Drittel aller Länder eine Punktzahl von unter 50 Punkten, das heisst wengier als die Hälfte der möglichen Punktzahl. Der Durchschnitt liegt bei nur 43 Punkten.
Der Index fasst 13 Einzelindizes von 12 unabhängigen Institutionen zusammen und beruht auf Daten aus der Befragung von Expertinnen und Experten, Umfragen sowie weiteren Untersuchungen. Der Korruptionswahrnehmungsindex bezieht sich dabei auf den öffentlichen Sektor und erfasst keine Aktivitäten wie Steuerbetrug, Geldwäsche, illegale Finanzströme oder andere Formen der Korruption im privaten Sektor. Transparency International
Wir arbeiten mit dem Datensatz corruption.csv Laden Sie
den Datensatz corruption.csv hier
herunter.
Aufgabe
Fragestellung: Besteht ein Zusammenhang zwischen dem BMI von Ministern ehemaliger Sowjet-Staaten und dem Korruptionsindex CPI Corruption_Perceptions_Index_2017.
- Laden Sie den Datensatz
corruption.csvin jamovi.
- Formulieren Sie Ihre Hypothesen.
- Erstellen Sie ein Streudiagramm und führen Sie eine
Korrelationsanalyse durch.
- Interpretieren Sie ihr Resultat.
Lösung
- Formulieren Sie Ihre Hypothesen.
- \(H_0\): Es besteht kein
Zusammenhang zwischen dem BMI der Minister und dem
Korruptionsindex
- \(H_A\): Es besteht ein
Zusammenhang zwischen dem BMI der Minister und dem
Korruptionsindex
- Erstellen Sie ein Streudiagramm und führen Sie eine Korrelationsanalyse durch.
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## --------------------------------------------------------------------------------------------------------
## Median_BMI Corruption_Perceptions_Index_2017
## --------------------------------------------------------------------------------------------------------
## Median_BMI Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
##
## Corruption_Perceptions_Index_2017 Pearson's r -0.9267462 —
## p-value 0.0000007 —
## 95% CI Upper -0.7890977 —
## 95% CI Lower -0.9757729 —
## --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Interpretieren Sie ihr Resultat.
Die Daten zeigen einen signifikanten linearen Zusammenhang zwischen dem BMI und dem Korruptionsindex. Nimmt der BMI zu, sinkt der Korrupitionsindex (und verschlechtert sich damit). Mit \(p\) = -0.927 [-0.976, -0.789], p < .0001 ist der Zusammenhang sehr stark.
Je höher der Korruptionsindex, desto geringer ist die Korruption,
d.h. es besteht ein negativer Zusammenhang zwischen Korruptionsindex und
Korruption. Die Aussage ist wenig intuitiv und wird besser verständlich,
wenn wir den Corruption_Perceptions_Index_2017 transformieren, so dass
ein Korruptionsindex von 0 keiner Korruption und ein Korruptionsindex
von 100 maximaler Korruption entspricht:
Corruption_Perceptions_Index_2017_t = 100 - Corruption_Perceptions_Index_2017
##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## Median_BMI Corruption_Perceptions_Index_2017_t
## ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## Median_BMI Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
##
## Corruption_Perceptions_Index_2017_t Pearson's r 0.9267462 —
## p-value 0.0000007 —
## 95% CI Upper 0.9757729 —
## 95% CI Lower 0.7890977 —
## ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Die Aussage dieser Grafik ist intuitiv besser verständlich: Es besteht ein starker positiver linearer Zusammenhang zwischen BMI und Korruption; mit zunehmendem BMI der Minister steigt auch die Korruption im Land. Der Korrelationskoeffizient wird durch diese Transformation nicht beeinflusst.
Anmerkung: Die Art der Fragestellung, die Methodik der Studie und die
Schlussfolgerung sind äusserst fragwürdig. Die Studie von Pavlo
Blavatskyy wurde in der Presse und von anderen Forscher:innen massiv
kritisiert, z.B. hier.
Übung 9
Ist die Impfung gegen COVID-19 wirksam? Um diese Frage zu beantworten
verwenden wir den Datensatz impfquote_bag.csv mit den
Variablen Impfquote(% der kantonalen Bevölkerung, die
mindestens einmal geimpft sind) und inzsumTotal_last7d
(Covid-19 7-Tage-Inzidenz pro 100’000). Die Variable
geoRegion gibt die jeweiligen Kantone an. (Die Daten
stammen vom BAG. Sie wurden von Marius Brülhart aufbereitet und von Der
Bund online publiziert).
Aufgabe
- Formuliere eine Fragestellung.
- Formuliere die Hypothesen.
- Erstelle ein Streudiagramm.
- Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Pearson.
- Interpretiere dein Resultat.
Lösung
- Formuliere eine Fragestellung: Besteht ein Zusammenhang zwischen der
kantonalen Impfquote und der kantonalen 7-Tage-Inzidenz an
Covid-19-Infektionen.
- Formuliere die Hypothesen.
\(H_0:\) Es gibt keinen Zusammenhang
zwischen der kantonalen Impfquote und der kantonalen 7-Tage-Inzidenz.
\(p = 0\)
\(H_A:\) Es gibt einen Zusammenhang
zwischen der kantonalen Impfquote und der kantonalen 7-Tage-Inzidenz.
\(p \neq 0\)
- Erstelle ein Streudiagramm.
- Berechne den Korrelationskoeffizienten nach Pearson.
##
## Pearson's product-moment correlation
##
## data: impfquote$Impfquote and impfquote$inzsumTotal_last7d
## t = -7.3577, df = 24, p-value = 1.343e-07
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.9223423 -0.6567817
## sample estimates:
## cor
## -0.8323732##
## CORRELATION MATRIX
##
## Correlation Matrix
## --------------------------------------------------------------------------
## Impfquote inzsumTotal_last7d
## --------------------------------------------------------------------------
## Impfquote Pearson's r —
## p-value —
## 95% CI Upper —
## 95% CI Lower —
##
## inzsumTotal_last7d Pearson's r -0.8323732 —
## p-value 0.0000001 —
## 95% CI Upper -0.6567817 —
## 95% CI Lower -0.9223423 —
## --------------------------------------------------------------------------- Interpretiere dein Resultat: Die Daten zeigen einen signifikanten linearen Zusammenhang zwischen kantonaler Impfquote und Covid-19 7-Tage-Inzidenz. Mit zunehmender Impfquote nimmt die Covid-19-Inzidenz ab (\(p\) = -0.832 [-0.922, -0.657], p < 0.0001)
Haben wir damit bewiesen, dass die Impfung wirksam ist? Nein! Auch wenn der Zusammenhang stark und signifikant ist, kann anhand dieser Analyse kein kausaler Zusammenhang zwischen Impfquote und Covid-19-Inzidenz bewiesen werden werden! Die Korrelation kann jedoch als Hinweis für einen Kausalzusammenhang dienen.