GET00186 - Estatística Aplicada II

Vamos considerar o problema de modelar variáveis que são mensuradas em uma escala binária.

Este contexto, como podemos imaginar, não seria contemplado pela classe dos modelos de regressão linear. Sendo assim, precisaríamos de uma outra ferramenta que fosse capaz de modelar um cenário como este.

Vamos discutir o problema acima, considerando a seguinte situação: suponha que um pesquisador está interessado em entender como determinadas características dos pacientes podem interferir ou não na morte destes pacientes.

Notem que a nossa variável de interesse é uma variável binária com dois possíveis resultados (morreu ou não morreu). Podemos então pensar na variável resposta como \[ Z = \left\{ \begin{array}{rl} 1,&\mbox{se o resultado é um sucesso (morreu),}\\ 0,&\mbox{se o resultado é um fracasso (não morreu).}\\ \end{array} \right. \] em que sucesso é morreu e fracasso é não morreu.

Podemos perceber claramente que \(Z \sim\) Bernoulli(\(P\)). Suponha que observamos uma amostra aleatória simples de tamanho \(n\), isto é, \(Z_1, \ldots, Z_n\). Além disso, foram observadas \(p\) variáveis explicativas, para facilitar o entendimento, suponha que \(p = 2\) (sexo e estado civil). Além disso, suponha ainda que foram observadas pessoas dos sexos masculino (M) e feminino (F) e pessoas solteiras (S), casadas (C) e viúvas (Vi). Dentre as possibilidades de cruzamentos das variáveis explicativas, temos as seguites possíveis configurações que podem ser observadas \[V = \{(M,S);(M,C);(M,Vi);(F,S);(F,C);(F,Vi)\}.\]

\(V\) representa o conjunto com todas as configurações observadas, com cardinalidade \(J\). Podemos dividir a nossa amostra em \(J\) grupos (pois temos \(J\) configurações) e definir em cada sub-amostra a variável \(Z^{j}_i\), \(j = 1, \ldots, J\) e \(i = 1, \ldots, n_j\), \(n_1 + \ldots + n_J = n\). Sendo assim, podemos redefinir nossas variáveis da seguinte forma \[ Z^{j}_i = \left\{ \begin{array}{rl} 1,&\mbox{se o indivíduo } i \mbox{ do grupo } j \mbox{ morreu},\\ 0,&\mbox{se o indivíduo } i \mbox{ do grupo } j \mbox{ não morreu}.\\ \end{array} \right. \]

Podemos perceber claramente que \(Z^{j}_j \sim\) Bernoulli(\(p_j\)). Vamos definir a variável \[Y_j = \sum_{i=1}^{n_j}Z^{j}_i, j = 1, \ldots, J.\]

Podemos notar que a variável \(Y_j\) é a soma de variáves aleatórias Bernoulli(\(p_j\)) independentes e identicamente distribuídas. Logo, \[Y_j \sim \mbox{Binomial}(n_j,p_j), j = 1, \ldots, J.\]

Na literatura, o modelo de regressão logística é um dos mais utilizados para se modelar o cenário descrito acima. Neste caso, estamos interessado em modelar \(p_j\) - a probabilidade de vir a óbito com configuração \(j\), \(j = 1, \ldots, J\).

Deste modo, para definirmos o modelo, supomos que foram observadas \(J\) configurações associadas a \(p\) covariáveis explicativas, isto é, \(\boldsymbol X_j = (1, x_{1j}, \ldots, x_{pj})^T\), e que foi observada uma amostra de tamanho \(n\), com \(n_j\) indivíduos na configuração \(j\). Deste modo, \[ \begin{align} Y_j &\sim \mbox{Binomial}(n_j,p_j), \\ log \left( \frac{p_j}{1-p_j} \right) &= \boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta \end{align} \]

A função de verossimilhança associada ao modelo é dada por \[ \begin{align} L(\beta_0, \ldots, \beta_p; y_1, \ldots, y_J) &= \prod_{j=1}^{J} P(Y_j = y_j) \\ &= \prod_{j=1}^{J} \left( \begin{array}{c} n_j \\ y_j \end{array} \right) p_j^{y_j} (1-p_j)^{n_j-y_j} \end{align} \]

Do modelo definido anteriormente, podemos ver que \[p_j = \frac{e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}}{1 + e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}}\] e assim podemos reescrever a função de verossimilhança da seguinte forma \[ \begin{align} L(\beta_0, \ldots, \beta_p; y_1, \ldots, y_J) &= \prod_{j=1}^{J} P(Y_j = y_j) \\ &= \prod_{j=1}^{J} \left( \begin{array}{c} n_j \\ y_j \end{array} \right) \left(\frac{e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}}{1 + e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}}\right)^{y_j} \left(1-\frac{e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}}{1 + e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}} \right)^{n_j-y_j}\\ &= \prod_{j=1}^{J} \left( \begin{array}{c} n_j \\ y_j \end{array} \right) \left(\frac{e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}}{1 + e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}} \right)^{y_j} \left(\frac{1}{1 + e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}} \right)^{n_j-y_j}\\ &= \prod_{j=1}^{J} \left( \begin{array}{c} n_j \\ y_j \end{array} \right) \frac{e^{y_j{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta}}}{(1 + e^{\boldsymbol X_j^T \boldsymbol \beta})^n} \end{align} \]

Com o modelo especificado e a sua função de verossimilhança definida, podemos partir para fazer inferência sobre o mesmo, isto é, fazer afirmações sobre as quantidades desconhecidas no mesmo, isto é, sob os parâmteros do modelo.

Esta análise poderia ocorrer sob a perspectiva frequentista, mas aqui optaremos por realizar a análise sob a perspectiva Bayesiana.