1.3.1 Survival time

Survival time, atau biasa dinotasikan dengan T, mewakili waktu sampai suatu peristiwa terjadi. Misalnya, ini dapat merujuk pada waktu hingga pelanggan melakukan churn, waktu hingga pelanggan melakukan konversi, atau waktu hingga mesin rusak.

Fungsi kepadatan peluangnya (pdf) adalah \(f(t)\) dan fungsi distribusi kumulatif (cdf) didapat dari

\[F(t) = \text{Pr} \left[ T < t \right] = \int_{-\infty}^{t} f(u) du\]

1.3.2 Survival function

Survival function, dilambangkan sebagai S(t), mewakili probabilitas bahwa peristiwa yang diinginkan tidak terjadi selama beberapa t waktu.

\[ S(t) = 1 - F(t) = \text{Pr} \left[ T \geq t\right]\]

1.3.3 Hazard function

Survival function, dilambangkan sebagai h(t), menyatakan probabilitas bersyarat bahwa peristiwa akan terjadi dalam \([t,t+dt)\), dengan keadaan belum pernah terjadi sebelumnya.

\[h(t) = \lim_{dt \to 0} \frac{\text{Pr} \left[ t \leq T < t + dt\ | T \geq t\right ] }{dt} = \frac{f(t)}{S(t)} = -\frac{d}{dt}\log S(t)\]

Dengan demikian, fungsi hazard dan Survival dihubungkan dengan rumus berikut:

\[S(t) = \exp\left(- \int_{0}^{t} h(u) du \right)\]

Dimana, \(H(t) = \int_{0}^{t} h(u) du\) adalah fungsi hazard kumulatif (cumulative hazard function)

1.4.1 Kaplan-Meier

• Metode Kaplan–Meier adalah modifikasi dari fungsi tahan hidup yang digunakan untuk menangani masalah data tak lengkap (Lawless, 2003)
• Metode Kaplan-Meier dapat digunakan untuk menangani data tersensor dengan perhitungan yang relatif sederhana, serta dapat digunakan pada data sampel kecil.
• Jika tidak observasi tersensor maka fungsi tahan hidupnya adalah :

\[S(t)=\frac{banyaknya~objek~yang~masih~hidup \geq t}{n},t\geq0\]

1.4.2 Uji Log Rank

• Uji Log-Rank ialah uji yang sering digunakan dalam melihat ketahanan hidup dalam suatu kelompok
• Hipotesis untuk mengetahui perbedaan peluang kumulatif tahan hidup pada pasien anak yang berjenis kelamin laki-laki yaitu \(S_1(t)\) dan perempuan \(S_2(t)\) yaitu sebagai berikut

\[H_0:S_1(t) = S_2(t)\] \[H_1:S_1(t) \neq S_2(t)\]

• Ekspektasi dan varians banyaknya objek yang mengalami peristiwa dirumuskan sebagai berikut :

\[E(d_{jA})=\frac{n_{jA}n_j}{n_j}\]

• Statistik uji untuk kesamaan rata-rata kejadian dalam dua kelompok ialah sebagai berikut:

\[\chi^2=\frac{(\sum d_{jA}-\sum E(d_{jS}))^2}{\sum E(d_{jA})}+\frac{(\sum d_{jB}-\sum E(d_{jB}))^2}{\sum E(d_{jB})}\]

dengan kriteria keputusan adalah \(H_0\) ditolak jika \(\chi^2_{hitung} > \chi^2_{\alpha(db)}\)