Estadístico para datos agrupados

Estadísticos

Al tener una muestra de datos numéricos, conviene calcular los estadísticos antes de realizar los agrupamientos, puesto que de lo contrario podemos perder información.

No obstante, hay situaciones en que los datos los obtenemos ya agrupados. En estos casos, aún sigue siendo posible calcular los estadísticos y utilizarlos como aproximaciones de los estadísticos “reales”, los cuales no conocemos.

La media \(\bar{x}\), la varianza \(s ^2\), la desviación estándar \(s\), de un conjunto de datos agrupados se calculan mediante las mismas fórmulas que para los datos no agrupados con la única diferencia de que sustituimos cada clase por su marca de clase y la contamos con su frecuencia.

Es decir, si tenemos \(k\) clases, con sus respectivas marcas \(X_1 ,\dots, X_k\) con frecuencias absolutas \(n_1, \dots n_k\) de forma que \(n = \sum n_j\). Entonces.

\[\bar{x} = \frac{\sum_{j=1}^{k}{n_j \times X_j}}{n}\]

\[\sigma^2 = \frac{\sum_{j=1}^{k}{n_j \times X_j^2}}{n} - \bar{x}^2\]

\[s^2 = \frac{\sum_{j=1}^{k}{n_j \times X_j^2}}{n-1} - \bar{x}^2\]

\[s^2 = \frac{n}{n-1} \times \sigma^2\]

\[s = \sqrt{s^2},\ \ \sigma = \sqrt{\sigma^2}\]

Intevalo crítico para la mediana

Se conoce como intervalo crítico para la mediana, \([L_c, L_{c+1})\), al primer intervalo donde la frecuencia relativa acumulada sea mayor o igual que 0.5

Denotemos por \(n_c\) su frecuencia absoluta, por \(A_c = L_{c+1} - L_c\) su amplitud y por \(N_{c-1}\) la frecuencia absoluta acumulada del intervalo inmediatamente anterior (en caso de ser \([L_c, L_{c+1}) = [L_1, L_2)\), entonces \(N_{c-1}=0\)). Entonces, \(M\) será una aproximación para la mediana de los datos “reales” a partir de datos agrupados.

\[M = L_c + A_c \times \frac{\frac{n}{2}-N_{c-1}}{n_c}\]

Aproximación de los cuantiles

La fórmula anterior nos permite aproximar el cuantil \(Q_p\) de los datos “reales” a partir de los datos agrupados:

\[Q_p = L_p + A_p \times \frac{p \times n - N_{p-1}}{n_p}\]

donde el intervalo \([L_p, L_{p+1})\) denota el primer intervalo cuya frecuencia relativa acumulada es mayor o igual a \(p\).

Ejemplo 2

Vamos a seguir trabajando con nuestra variable cw y, esta vez, lo que haremos será calcular los estadísticos de la variable con los datos agrupados y, para acabar, la mediana y algunos cuantiles.

crab = read.table("https://raw.githubusercontent.com/joanby/r-basic/master/data/datacrab.txt", header = TRUE, stringsAsFactors = TRUE, sep = " ")
cw = crab$width

TablaFrecs = function(x,k,A,p){
  L = min(x)-p/2+A*(0:k)
  x_cut = cut(x, breaks = L, right = FALSE, include.lowest = TRUE)
  intervals = levels(x_cut)
  mc = (L[1]+L[2])/2+A*(0:(k-1))
  Fr.abs = as.vector(table(x_cut))
  Fr.rel = round(Fr.abs/length(x),4)
  Fr.cum.abs = cumsum(Fr.abs)
  Fr.cum.rel = cumsum(Fr.rel)
  tabla = data.frame(intervals, mc, Fr.abs, Fr.cum.abs, Fr.rel, Fr.cum.rel)
  tabla
}


TablaFrecs.L = function(x,L,V = FALSE){
  x_cut = cut(x,  breaks = L, right = FALSE, include.lowest = V)
  intervals = levels(x_cut)
  mc = (L[1:(length(L)-1)] + L[2:length(L)])/2
  Fr.abs = as.vector(table(x_cut))
  Fr.rel = round(Fr.abs/length(x),4)
  Fr.cum.abs = cumsum(Fr.abs)
  Fr.cum.rel = cumsum(Fr.rel)
  tabla = data.frame(intervals,mc,Fr.abs,Fr.cum.abs,Fr.rel,Fr.cum.rel)
  tabla
}

k = nclass.FD(cw)

A = diff(range(cw))/k

L1 = min(cw) #- (0.5 * 0.1)

L = L1 + (0:k)*A 



tabla = TablaFrecs.L(cw, L, V = TRUE)
tabla

##      intervals       mc Fr.abs Fr.cum.abs Fr.rel Fr.cum.rel
## 1      [21,22) 21.48077      1          1 0.0058     0.0058
## 2    [22,22.9) 22.44231      7          8 0.0405     0.0463
## 3  [22.9,23.9) 23.40385     14         22 0.0809     0.1272
## 4  [23.9,24.8) 24.36538     21         43 0.1214     0.2486
## 5  [24.8,25.8) 25.32692     35         78 0.2023     0.4509
## 6  [25.8,26.8) 26.28846     27        105 0.1561     0.6070
## 7  [26.8,27.7) 27.25000     25        130 0.1445     0.7515
## 8  [27.7,28.7) 28.21154     20        150 0.1156     0.8671
## 9  [28.7,29.7) 29.17308     12        162 0.0694     0.9365
## 10 [29.7,30.6) 30.13462      8        170 0.0462     0.9827
## 11 [30.6,31.6) 31.09615      0        170 0.0000     0.9827
## 12 [31.6,32.5) 32.05769      2        172 0.0116     0.9943
## 13 [32.5,33.5] 33.01923      1        173 0.0058     1.0001

TOT = length(cw)
TOT

## [1] 173

Media

anchura.media = round(sum(tabla$Fr.abs*tabla$mc)/TOT,3)
anchura.media

## [1] 26.288

Varianza

v = (sum(tabla$Fr.abs * tabla$mc^2) / TOT) - anchura.media^2
varianza = round(v,3)
varianza

## [1] 4.535

Desviación estándar

ds = sqrt(varianza)
ds

## [1] 2.129554

Intervalo modal

El intervalo modal es el intervalo que más se repite.

I.modal = tabla$intervals[which(tabla$Fr.abs == max(tabla$Fr.abs))]
I.modal

## [1] "[24.8,25.8)"

Por lo tanto, con los datos de los que disponemos, podemos afirmar que la anchura de los cangrejos de la muestra es de 26.29 mm, con una desviación estándar de unos 4.54 mm, que el grupo de anchuras más numeroso era el de \([24.85,\ 26.15)\).

Intervalo crítico para la mediana

I.critico = tabla$intervals[which(tabla$Fr.cum.rel >= 0.5)]
I.critico[1]

## [1] "[25.8,26.8)"

Deducción de la mediana

n = TOT
Lc = L[6]
Lc.pos = L[7]
Ac = L[7]-L[6]
#tabla$intervals[6] = "[25.8,26.8)"
Nc.ant = tabla$Fr.cum.abs[5]
nc = tabla$Fr.abs[6]
M = Lc + Ac * ((n/2)-Nc.ant)/nc
M

## [1] 26.1104

median(cw)

## [1] 26.1

Cuantiles

También podemos hacer aproximaciones de los cuantiles.Hemos creado una función aprox.quantile.p para no tener que copiar la operación cada vez que queramos calcular un cuantil aproximado.

aprox.quantile.p = function(Lcrit, Acrit, n, p, Ncrit.ant, ncrit){
  round(Lcrit+Acrit*(p*n-Ncrit.ant)/ncrit,3)
}


aprox.quantile.p(Lc, Ac, n, 0.25, Nc.ant, nc) #Primer cuartil

## [1] 24.57

aprox.quantile.p(Lc, Ac, n, 0.75, Nc.ant, nc)

## [1] 27.651

summary(cw)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    21.0    24.9    26.1    26.3    27.7    33.5

Usar las notas del ejemplo 3

notas = c(6,0,3,3,8,2,7,9,10,0,8,3,1,10,4,5,10,6,10,8,7,10,5,
          5,7,9,5,9,5,5,6,2,9,7,5,10,5,6,4,0,10,2,6,1,9,0,
          9,9,7,6,4,8,9,8,9,4,1,9,8,6,0,9,10,2,6,0,5,9,
          10,3,6,4,3,9,7,3,4,2,1,10,7,6,10,9,0,0,10,2,10,2,1,
          5,2,3,0,8,4,0,7)
# Definimos vector de extremos

L = c(0,5,7,8,10)
# Definimos notas1 como el resultado de la codificación en intervalos utilizados como 
#etiquetas los propios intervalos

notas1 = cut(notas, breaks = L, right = FALSE, include.lowest = TRUE)
notas1

##  [1] [5,7)  [0,5)  [0,5)  [0,5)  [8,10] [0,5)  [7,8)  [8,10] [8,10] [0,5) 
## [11] [8,10] [0,5)  [0,5)  [8,10] [0,5)  [5,7)  [8,10] [5,7)  [8,10] [8,10]
## [21] [7,8)  [8,10] [5,7)  [5,7)  [7,8)  [8,10] [5,7)  [8,10] [5,7)  [5,7) 
## [31] [5,7)  [0,5)  [8,10] [7,8)  [5,7)  [8,10] [5,7)  [5,7)  [0,5)  [0,5) 
## [41] [8,10] [0,5)  [5,7)  [0,5)  [8,10] [0,5)  [8,10] [8,10] [7,8)  [5,7) 
## [51] [0,5)  [8,10] [8,10] [8,10] [8,10] [0,5)  [0,5)  [8,10] [8,10] [5,7) 
## [61] [0,5)  [8,10] [8,10] [0,5)  [5,7)  [0,5)  [5,7)  [8,10] [8,10] [0,5) 
## [71] [5,7)  [0,5)  [0,5)  [8,10] [7,8)  [0,5)  [0,5)  [0,5)  [0,5)  [8,10]
## [81] [7,8)  [5,7)  [8,10] [8,10] [0,5)  [0,5)  [8,10] [0,5)  [8,10] [0,5) 
## [91] [0,5)  [5,7)  [0,5)  [0,5)  [0,5)  [8,10] [0,5)  [0,5)  [7,8) 
## Levels: [0,5) [5,7) [7,8) [8,10]

#Definimos marcas de clase
MC = (L[1:length(L)-1]+L[2:length(L)])/2
#Definimos notas2 como el resultado de la codificación en intervalos utilizando como
#etiquetas las marcas de clase
notas2 = cut(notas, breaks = L, labels = MC, right = FALSE, include.lowest = TRUE, notas2)
notas2

##  [1] 6   2.5 2.5 2.5 9   2.5 7.5 9   9   2.5 9   2.5 2.5 9   2.5 6   9   6   9  
## [20] 9   7.5 9   6   6   7.5 9   6   9   6   6   6   2.5 9   7.5 6   9   6   6  
## [39] 2.5 2.5 9   2.5 6   2.5 9   2.5 9   9   7.5 6   2.5 9   9   9   9   2.5 2.5
## [58] 9   9   6   2.5 9   9   2.5 6   2.5 6   9   9   2.5 6   2.5 2.5 9   7.5 2.5
## [77] 2.5 2.5 2.5 9   7.5 6   9   9   2.5 2.5 9   2.5 9   2.5 2.5 6   2.5 2.5 2.5
## [96] 9   2.5 2.5 7.5
## Levels: 2.5 6 7.5 9

Media

media.notas = sum(as.vector(table(notas1)) * as.numeric(as.vector(levels(notas2)))) / length(notas)

media.notas

## [1] 5.843434

mean(notas)

## [1] 5.535354

Varianza

fr.abs = as.vector(table(notas1))
mc = as.numeric(as.vector(levels(notas2)))
var.notas = (sum(fr.abs * mc^2)/ length(notas)) - media.notas^2

DS

sqrt(var.notas)

## [1] 2.797588

sd(notas)

## [1] 3.29289

Intervalo modal

I.modal = levels(notas1)[which(fr.abs == max(fr.abs))]

I.modal

## [1] "[0,5)"

Intervalo crítico para la media

fr.cum = cumsum(prop.table(table(notas1)))
I.critico = fr.cum[which(fr.cum >= 0.5)][1]
I.critico

##     [5,7) 
## 0.5757576

Deducción de la mediana

n = length(notas)

Lc = L[2]
Lc.pos = L[3]

Ac = Lc.pos - Lc

Nc.ant = fr.abs[1]

nc = fr.abs[2]

M = Lc + Ac * ((n/2) - Nc.ant)/nc
M

## [1] 6.25

median(notas)

## [1] 6

Cuantiles

aprox.quantile.p(Lc, Ac, n, 0.75, Nc.ant, nc)

## [1] 8.725

quantile(notas, 0.75)

## 75% 
##   9

Estadístico para datos agrupados

Téllez Gerardo Rubén

13/1/2022

Estadísticos

Intevalo crítico para la mediana

Aproximación de los cuantiles

Ejemplo 2

Media

Varianza

Desviación estándar

Intervalo crítico para la mediana

Deducción de la mediana

Cuantiles

Usar las notas del ejemplo 3

Media

Varianza

DS

Intervalo crítico para la media

Deducción de la mediana

Cuantiles